Bài soạn Đề thi HSG Toan 9 vong I-HD

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 90 phút
Đề bài:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- x - 2010.2011
b) (x
2
- x + 1) (x
2
- x + 2) - 12
Bài 2: Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1

2n chữ số 1 n chữ số 4
Bài 3:
a) Rút gọn phân thức:
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3x y z xyz
x y y z z x
+ + −
− + − + −
b) Tìm các số x,y,z sao cho: x
2
+4y
2
+ z

2
+14 = 2x + 12y + 4z
Bài 4: Tìm dư trong phép chia đa thức A = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2011
cho đa thức B = x
2
+8x + 12
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD=HA. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Qua A kẻ
đường vuông góc với DE cắt DE tại K.
a) Tứ giác AHDK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AE = AB.
c) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.
Đáp án + Biểu điểm:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- x - 2010.2011=(x
2
- 2011x)+(2010x - 2010.2011)=(x-2011)(x+2010) 1đ
b) (x
2
- x + 1) (x
2
- x + 2) – 12.Đặt x
2
- x + 1=t, ta có:
t(t+1)-12=t
2
+t-12=(t+4)(t-3) 0,5đ
Thay x

2
- x + 1=t, ta có:
(x
2
-x+5)(x
2
-x-2)=(x
2
-x+5)(x-2)(x+1) 0,5đ
Bài 2: Đặt 11…1=a (n chữ số 1), suy ra 10
n
=9a+1. Ta có:
A = 11…100….0+11…1 + 4.11…1+1
= 11..1.10
n
+5.11..1+1
= a.(9a+1) +5a + 1= (3a+1)
2
là số chính phương 1đ
Bài 3:
a) Rút gọn phân thức:
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3x y z xyz
x y y z z x
+ + −
− + − + −
=
2 2 2

2 2 2
( )( )
2( ) 2
x y z x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx
+ + + + − − − + +
=
+ + − − −
1đ
b) Ta có:
x
2
+4y
2
+ z
2
+14 = 2x + 12y + 4z
⇔ x
2
+4y
2
+ z
2
+14 - 2x - 12y - 4z = 0
⇔(x-1)
2
+(2y-3)
2
+(z-2)
2

=0⇔ x=1, y=3/2, z=2 1đ
Bài 4: Ta có: B = x
2
+8x + 12
A = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2011
= (x
2
+8x + 7)(x
2
+8x + 15)
= (B - 5)(B + 3)
= B
2
-2B-15
Suy ra A chia cho B dư -15 1đ
Bài 5: Vẽ hình đúng: 0,5đ
a) Chứng minh được AHDK là hình vuông 1,5đ
b) Chứng minh được ∆AHB=∆AKE. Suy ra AE=AB 1đ
c) Chứng minh được H,M,K thẳng hàng và suy ra góc AHM bằng 45
0
1đ