Đề GK CH2020-2022 – 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>

<b>————-ĐỀ THI GIỮA KÌ</b>

<b>NĂM HỌC 2020-2021</b>

<b>——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng</b>

Mã mơn học:

<b>MAT...</b>

Số tín chỉ:

<b>3</b>

Đề số:

<b>1</b>

Dành cho sinh viên lớp:

<b>Cao học 20-22</b>

Ngành học:

<b>...</b>

Thời gian làm bài

<b>...</b>

(không kể thời gian phát đề)

<b>Câu 1.</b>

Cho các hàm

a

,

f

∈

C

1

(

<b>R</b>

2

)

.

Xét phương trình

a(x

,

t)u

x

(x

,

t) +

u

t

(x

,

t) +

u(x

,

t) =

f

(x

,

t)

,

x

∈

<b>R</b>

,

t

>

0.

(a) Giả sử

|

a(x

,

t)

| ≤

1,

∀

(x

,

t)

∈

<b>R</b>

2

_và

_u

_∈

_C

1

₍

<b>_R</b>

_×

₍

_0,

_∞

₎₎

_∩

_C(

<b>_R</b>

_×

_[

_0,

_∞

₎₎

_{là nghiệm của}

phương trình đã cho. Chứng minh rằng

max

(x,t)∈∆(X,T)

|

u(x

,

t)

| ≤

x∈[X

max

−T,X+T]

|

u(x

, 0

)

|

+

(x,t)

max

∈∆(X,T)

|

f

(x

,

t)

|

với

∆

(X

,

T) =

{

0

≤

t

≤

T

,

|

x

−

X

| ≤

T

−

t

}

,

T

>

0,

X

∈

<b>R</b>

.

(b) Với

a(x

,

t) =

1/

(t

+

1

)

,

f

(x

,

t) =

1, tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn

u(x

, 0

) =

cos

(x)

,

x

>

0.

Tìm miền mà nghiệm vừa tìm được là nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện trên.

(c) Với

T

>

2, hãy tìm hàm điều khiển

h(t)

sao cho có nghiệm của phương trình trên thỏa

mãn

u(

0,

t) =

h(t)

, 0

<

t

<

T

,

và

u(x

,

T) =

1, 0

<

x

<

ln

(

3

)

.

Liệu có hàm điều khiển

h(t)

nào khi

T

<

2?

<b>Câu 2.</b>

Xác định loại phương trình sau:

3

u

xx

(x

,

y)

−

2

u

xy

(x

,

y) +

2

u

yy

(x

,

y) +

2

u(x

,

y) =

0

trong

<b>R</b>

2

.

Tìm nghiệm giải tích của phương trình đã cho thỏa mãn

u(

0,

y) =

cos

(y)

,

u

x

(

0,

y) =

0.

Kiểm tra lại nghiệm tìm được.

<b>Câu 3.</b>

Giả sử

u

∈

C

2

(B

1

)

∩

C

1

(

B

¯

1

)

,

B

1

=

{

(x

,

y)

∈

<b>R</b>

2

:

x

2

+

y

2

<

1

}

,

là nghiệm của bài

toán biên Dirichlet

(

∆

u

= (xy

+

1

)u

+

f

(x

,

y)

trong

B

¯

1

,

u

=

0

trên

<i>∂</i>

B

1

.

Chứng minh rằng

Z

B1

|∇

u(x

,

y)

|

2

dxdy

≤

C

Z

B1

</div>

<!--links-->