Làm sao để học tốt lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>[Tóm tắt Lý Thuyết – Bài Tập – Lượng Giác] </i>

<i>[Tổng hợp và biên tập bởi Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.dangtrunghieu.wordpress.com] </i> 1
<b>6. Phương trình lượng giác khác (khơng mẫu mực) </b>

Những phương trình lượng giác cơ bản, những phương trình lượng giác mẫu mực được trình bày
trong mục 5. đã có phương pháp giải rõ ràng và cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế giải tốn chúng ta cịn
gặp rất nhiều phương trình lượng giác khác khơng nằm trong những dạng trên và khơng có phương pháp
vạn năng nào chung cho mọi trường hợp. Dù vậy, chúng ta có thể nêu ra một vài phương pháp chung cho
việc giải những phương trình lượng giác.

<i><b>a)</b></i> <i><b>Biến đổi phương trình đã cho về những phương trình lượng giác cơ bản, mẫu mực mà ta đã </b></i>
<i><b>biết cách giải. (quy lạ về quen) </b></i>

<i><b>Ví dụ:</b></i> Giải phương trình cos5 sin 4<i>x</i> <i>x</i>cos3 sin 2<i>x</i> <i>x</i>









1 1

sin(4 5 ) sin(4 5 ) sin(3 2 ) sin(2 3 )

2 2

sin 9 sin sin 5 sin

9 5 2 ₂

sin 9 sin 5

9 5 2

14 7

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>k</i>




 

 

       

   

 


 



  _  

  

 _{  }



<i><b>b)</b></i> <i><b>Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích (rất thường sử dụng) </b></i>
Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng tích ( ). ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

<i>f x</i>
<i>f x g x</i>

<i>g x</i>




   _



<i><b>Ví dụ:</b></i> Giải phương trình sin<i>x</i>sin 2<i>x</i>sin 3<i>x</i>cos<i>x</i>cos 2<i>x</i>cos3<i>x</i>

sin 2 2sin 2 cos cos 2 2 cos 2 cos

sin 2 (1 2 cos ) cos 2 (1 2 cos )

(sin 2 cos 2 )(1 2 cos ) 0

sin 2 cos 2 cos( 2 ) cos 2

sin 2 cos 2 0 ₂ ₈ ₂

1

1 2 cos 0 cos 1 2

cos 2

2

2 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

 



 _

   

   

   




    

 _ _

 

 _

_ _   

   

 _  _{ }  _{ } _



 

<i><b>c)</b></i> <i><b>Đưa về cùng hàm lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều hàm lượng giác khác nhau </b></i>
<i>(</i>sin , cos ...<i>x</i> <i>x ) thì biến đổi phương trình về phương trình mới mà trong đó chỉ cịn lại một hàm </i>
<i>lượng giác. Lúc đó, có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác đó. </i>

<i><b>Ví dụ:</b></i> Giải phương trình 3 1₂ tan 2 1 (1)
cot 2<i>x</i>cos 2<i>x</i> <i>x</i>

Điều kiện: sin 2 0 2

cos 2 0

4 2

<i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>k</i>



 

 



 _

 _ 

 _{  }



2 2

(1)3tan 2<i>x</i> 1 tan 2<i>x</i>tan 2<i>x</i> 6 tan 2<i>x</i>4 tan 2<i>x</i> 5 0 (2)

Đặt <i>t</i>tan 2<i>x</i>

2 1 tan 2 1 8 2

(2) 4 5 0

5 tan 2 5 arctan 5

2 2

<i>x</i> <i>k</i>

<i>t</i> <i>x</i>

<i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>k</i>

 



  


 

 

    _ _  

 

  _{ } _



</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>[Tóm tắt Lý Thuyết – Bài Tập – Lượng Giác] </i>

<i>[Tổng hợp và biên tập bởi Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.dangtrunghieu.wordpress.com] </i> 2
<i><b>d)</b></i> <i><b>Đưa về cùng một cung lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều cung lượng giác khác nhau </b></i>

<i>(x</i>, 2 ,3 ...<i>x x ) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà tại đó chỉ cịn lại một cung </i>
<i>lượng giác. Sau đó có thể dùng các cơng thức biến đổi lượng giác để đưa về phương trình tích hay </i>
<i>tìm cách đặt ẩn phụ… </i>

<i><b>Ví dụ:</b></i> Giải phương trình 4cos2<i>x</i>sin 4<i>x</i>4cos 2<i>x</i>2

1 cos 2

4 2 sin 2 cos 2 4 cos 2 2

2

2 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 4 cos 2 2

2 sin 2 cos 2 2 cos 2 0

cos 2 0 ₄ ₂

2 cos 2 (sin 2 1) 0

sin 2 1

4

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>k</i>

 

 _



   

    

   

  





     _  

 

 _{   }



<i><b>e)</b></i> <i><b>Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:</b></i> 2 2 0 0
0

<i>A</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>B</i>




 _{  }




<i><b>Ví dụ:</b></i> Giải phương trình sin 22 2sin 2 1₂ 2 tan 1 0
cos

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

    

Điều kiện: cos 0

2
<i>x</i>   <i>x</i>  <i>k</i>
2

2

2 2

2 2

1

sin 2 2sin 2 2 tan 1 0

cos

sin 2 2sin 2 1 tan 2 tan 1 0
(sin 2 1) (tan 1) 0

sin 2 1 0 sin 2 1

tan 1 0 tan 1 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _

    

      

    

   

 

_ _    

   

 

<i><b>f)</b></i> <i><b>Đánh giá các hàm hay biểu thức của phương trình: </b></i>

2

<i>A B</i> <i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i>

<i>B</i> <i>m</i>

<i>B</i> <i>m</i>

 





  

 _{ }


 



<i><b>Ví dụ:</b></i> Giải phương trình sin(<i>x</i><i>y</i>) cos( <i>x</i><i>y</i>)2

Ta có: sin( ) 1, , sin( ) cos( ) 2 ,

cos( ) 1, ,

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>

  



     

 _ _ _



Do đó: sin(<i>x</i><i>y</i>) cos( <i>x</i><i>y</i>)2

2

sin( ) 1 2 ₄ ₂

,
2

cos( ) 1

2 2

4 2

<i>k</i> <i>l</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>k</i>

<i>k l</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>k</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>l</i> <i>y</i>



 _ 



 


  

 _

    

  

_ _ _ 

  

 _ _{ }  _{ }

</div>

<!--links-->