Tổng hợp đề thi giữa kỳ + cuối kỳ Cao học KHTN TpHCM

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>T</b>

<b>ổ</b>

<b>ng h</b>

<b>ợp đề</b>

<b> thi cao h</b>

<b>ọ</b>

<b>c l</b>

<b>ớ</b>

<b>p TỐN GI</b>

<b>Ả</b>

<b>I TÍCH K23 </b>

Đạ

i h

ọ

c khoa h

ọ

c t

ự

nhiên –

Đạ

i h

ọ

c Qu

ố

c gia Tp. H

ồ

Chí Minh

<b>Gi</b>

<b>ả</b>

<b>i tích hàm nâng cao </b>

Đề

thi gi

ữ

a kì (90 phút)

(Khơng sử dụng tài liệu)

1. Cho E, F là hai không gian định chuẩn và ℒ(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ E vào F. Với Λ ∈ ℒ(E,F), đặt

x 1

sup x . (1)

≤

Λ = Λ

a) Chứng minh

{

}

x 1 x 1 x 1

x

sup x sup x sup inf M 0 x M x , x E .
x

< = ≠

Λ

Λ = Λ = Λ = = > Λ ≤ ∀ ∈

b) Chứng minh rằng: Λ ≤ Λx . x , ∀Λ ∈ ℒ(E,F), x ∈ E.

c) Chứng tỏ rằng (1) xác định một chuẩn trên ℒ(E,F) và, với chuẩn này, ℒ(E,F) là một không
gian Banach khi F là một không gian Banach..

2. Cho E = C[0,1] là không gian Banach các hàm số liên tục trên [0,1], với chuẩn

( )

0 t 1

x sup x t

≤ ≤

= . Với mỗi x ∈ E và t ∈ [0,1], đặt

( )( ) (

1

) ( )

0

T x t =

∫

t−s x s ds.

Chứng minh rằng T ∈ ℒ(E,F).

Đề

thi cu

ố

i kì (120 phút)

(Khơng sử dụng tài liệu)

1. Cho E, F là hai không gian định chuẩn và Λ ∈ ℒ(E,F), với ℒ(E,F) là khơng gian ánh xạ tuyến
tính liên tục từ E vào F. Ta nói Λ là một tốn tử compact khi và chỉ khi Λ

( )

A compact trong
F với mọi tập A bị chặn trong E.

a) Chứng minh rằng Λ ∈ ℒ(E,F) là một toán tử compact nếu và chỉ nếu Λ

( )

B compact trong

F, trong đó B là quả cầu đơn vị trong E.

b) Cho F là một không gian định chuẩn hữu hạn chiều. Chứng minh rằng mọi ánh xạ tuyến
tính liên tục từE và F đều là toán tử compact.

c) Cho F là một không gian Banach và

( )

Λ_n là một dãy các phần tử của ℒ(E,F). Chứng minh
rằng nếu các Λ_n đều là các toán tử compact và

( )

Λ_n hội tụ (trong ℒ(E,F)) vềΛ ∈ ℒ(E,F)
thì Λ cũng là tốn tử compact.

d) Cho Λ ∈ ℒ(E,F) là một toán tửcompact. Đặt v=id_E− Λ. Chứng minh rằng Kerv≡v−1

( )

0

là một không gian hữu hạn chiều.

2. Cho

( )

e_{n n}_∈_ là một họ trực chuẩn các vecto trong không gian Hilbert E.
a) Chứng minh rằng với mọi dãy số thực

( )

α_{n n}_∈_, ta có

2

n n

2

k k k

k 1 k 1

e

= =

α = α

∑

∑

,

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) Chứng minh rằng nễu chuỗi số
n

2
k
k 1=

α

∑

hội tụ thì chuỗi
n
k k
k 1
e
=
α

∑

hội tụ (trong E) và
2

2

k k k

k 1 k 1

e

∞ ∞

= =

α = α

∑

∑

.

c) Với mỗi x ∈ E và n ∈ℕ, đặt xn = x, e_n . Chứng minh rằng



n ₂

2
n

k 1

x x ,

=

≤

∑

với mọi n ∈ℕ. Suy ra rằng n 2 2
k 1

x x ,

∞
=

≤

∑

với mọi x ∈ E.

d) Giả sử thêm rằng khơng gian sinh bởi họ

( )

e_{n n}_∈_ thì dày đặc trong E. Chứng minh rằng
2

2

n
n 1

x x, e ,

∞
=

=

∑

với mọi x ∈ E.

<b>Đạ</b>

<b>i s</b>

<b>ố</b>

<b> tuy</b>

<b>ế</b>

<b>n tính </b>

<b>ứ</b>

<b>ng d</b>

<b>ụ</b>

<b>ng </b>

Đề

thi gi

ữ

a kì (60 phút)

(Được sử dụng tài liệu)
Câu 1. Giải hệphương trình vi phân

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x ' t 4x t 3y t
y ' t 6x t 5y t

= − +
 
 
 
= − +
 

  ∀t ∈ℝ với

( )

( )

x 0 1

y 0 3

=
 
 
 
=
 
 

Câu 2. Giải hệphương trình vi phân

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

u' t 3u t 3v t

v' t 5u t v t

= +
 
 
 
= − −
 

  ∀t ∈ℝ với

( )

( )

u 0 2

v 0 3

=
 
 
 
= −
 
 

Câu 3. Cho A∈M_n

( )



a) Xét c ∈ℝ và K=

{

Z∈n AZ=cZ

}

≤n. Chứng minh có H≤n thỏa H_ =K và mơ tả
tập H.

b) Giả sửA chéo hóa được trên ℂ và p_A

( )

x tách được trên ℝ. Chứng minh A cũng chéo hóa

được trên ℝ.

Đề

thi cu

ố

i kì (120 phút)

(Không được sử dụng tài liệu)
Câu 1. (2,5 điểm) Giải hệphương trình vi phân thực

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x ' t 3x t 9y t 2

y ' t x t 3y t 2t

= − − −
 
 
 
= + +
 

  ∀t ∈ℝ với

( )

( )

x 0 1

y 0 1

=
 
 
 
= −
 
 

Và x(t), y(t) là các hàm khả vi theo t trên ℝ.
Câu 1. (5 điểm)

Cho ma trận thực

1 2 2
A 4 4 4
1 1 2

− −
 
 
=_ − _
 ₋ ₋ 
 

a) Giải thích tại sao A có dạng chính tắc Jordan JA và tìm mà trận khả nghịch P (có các hệ số

đều nguyên) sao cho J_A =P AP−1 . Từđó xác định ma trận S (chéo hóa được trên ℝ) và N

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Áp dụng giải hệphương trình vi phân thực

( )

( )

X ' t =AX t , t∀ ∈ và X(0) = (-1, 0, 1) trong đó X :→3 khả vi trên ℝ.
Câu 3. (2,5 điểm)

Cho các số thực v > 0 và w ≤ 0.

a) Đặt A ln v 0

1 / v ln v

 
=  

  và

( )

( )

ln w
B

ln w

− −π

 

=  _π ₋ 

  khi w < 0. Tính

A

e và eB.
b) Xét H∈M₂

( )

 thỏa p_H

( ) (

x = x−v

)

2.

Tùy theo khảnăng chéo hóa của H trên ℝ, chứng minh rằng có K∈M₂

( )

 thỏa eK =H.
c) Xét S∈M₂

( )

 thỏa p_S

( ) (

x = x−w

)

2.

Chứng minh: ∃ ∈T M₂

( )

 , eT = ⇔S (S≠O₂ và S chéo hóa được trên ℝ).

<b>Gi</b>

<b>ả</b>

<b>i tích th</b>

<b>ự</b>

<b>c </b>

Đề

thi gi

ữ

a kì (60 phút)

(Khơng được sử dụng tài liệu)

Câu 1. Chứng minh rằng nếu Ω đo được, bị chặn thì Lr

( )

Ω ⊂Ls

( )

Ω ∀∞ ≥ ≥ ≥, r s 1. Ngược lại nếu

( )

( )

r s

L Ω ⊂L Ω ∀∞ ≥ ≥ ≥, r s 1 thì Ω có bị chặn khơng?
Câu 2. Tìm khai triển Fourier dạng thực của hàm sau

( )

2 3x2
f x

12

π −
=
trên

(

−π π,

)

. Tính ₄

n 1

1
n

∞
=

∑

.

Đề

thi cu

ố

i kì (120 phút)

(Không được sử dụng tài liệu)

Câu 1. (2đ) Tìm đạo hàm cấp 1 theo nghĩa suy rộng của hàm sau
2

2

4x 3, x 0
f (x) x 5x 3, 0 x 2

9

2x , x 2

x 5



+ ≤





=_ − + < ≤


− + >
+



Câu 2. (3đ) cho f :→ là hàm tuần hoàn với chu kì 2π sao cho f (x)=x2 với 0≤ < πx 2 .
a) Tìm khai triển chuỗi Fourier của f.

b) Chuỗi Fourier ở câu a) hội tụ tới giá trị nào khi x = 0, khi x = 2π và x ∈ (0,2π). Từđó suy ra
giá trị của

2
n 1

1
n

∞
=

∑

.

c) Tìm giá trị của khai triển Fourier ở câu a) với x∈

(

2k , 2(k 1)π + π

)

, với k ∈ℤ.

Câu 3. (2đ) Tìm biến đổi Fourier của

ibx

2 2

e

g(x) , b, k 0.

x k

−

= >
+

Câu 4. (2đ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Chứng minh rằng hàm

( )

x
3
e
f x

x

−

= thuộc về L 0,2

(

∞

)

.

Câu 5. (1đ)

a) Đặt _n

( )

_n

n

1
f x .

x
1 x

n

=

 ₊ 
 
 

Chứng minh rằng f_n

( )

x ≤g x

( )

với mọi n≥3 và

( )

( )

[

]

2

x , x 0,1
g x

4x , x− 1, .

 _∈


= 

∈ +∞


b) Tìm giới hạn

n
n

n
0

dx
lim

x

1 x

n

∞

→∞ _ _

+
 
 

</div>

<!--links-->