Đề thi – Đáp án Đề Kiểm tra cuối kỳ lần 1 năm 2007

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Đáp án Kiểm tra cuối kỳ môn Hàm suy rộng Lớp K49A1T
Hàmf :_R→_R xác định bởi

f(x) =










1 nếu −1< x≤0,
−1 nếu0< x < 1,
0 nếu1≤ |x|.
(i) Có hai cách để chứng minh câu này.

Cách 1. Ta coif như một phiếm hàm xác định trênD(_R)
f :ϕ∈D(_R)7→ hf, ϕi=

Z

R

f(x)ϕ(x)dx,

råi tính tuyến tính, liên tục của nó và chứng minhsuppf lµ tËp compact.

Chú ý, để chứng minhsuppf là tập compact ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn, cụ thể nó

nằm trong[−1,1].Khi đó, do tính đóng của giá ta có ngaysuppf là compact.

C¸ch 2. B»ng c¸ch coif nh­ mét phiÕm hàm trênE(_R)
f :E(_R)7 hf, i=

Z 1

1

f(x)(x)dx,

ri chng minh tớnh tuyn tính, liên tục của nó.
(ii) Dùng định nghĩa có ngay

hDf, ϕi=ϕ(1) +ϕ(−1)−2ϕ(0) = hδ(−1) +δ(1)−2δ, ϕi

nªnDf =δ(−1) +δ(1)−2δ.
(iii) CãF(Df)(ξ) = (i)Ff(),
màf E0₍

R)nên

Ff() =hf, eix_i₌
Z 1

1

f(x)eixdx= 2(cos1)
i

do úF(Df)() = 2(1cos).

(iv) Gi ý: trước hết ta đoán xem nguyên hàm suy rộngF củaf có dạng như thế nào bằng
cách tìm ngun hàm thụng thng ca nú.

Nguyên hàm trên từng khoảng của

f(x) =

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

cã d¹ng

F(x) =















x+C1 nÕu −1< x < 0,
−x+C2 nÕu0< x < 1,
C3 nÕux <−1,
C4 nÕu1< x.

Ta cần thống nhất cácC1, C2, C3, C4.Ngun hàm thơng thường có tính liên tục nên
C1 =C2 =C3+ 1 =C4+ 1

do đó

F(x) =

(

−|x|+ 1 +C nÕu|x| ≤1,
C nÕu|x| ≥1.

Ta kiÓm tra xemF cã là nguyên hàm suy rộng củaf bằng cách kiểm tra phiếm hàm
D(_R)

Z 1

1

(|x|+ 1)(x)dx

có tuyến tính, liên tục không (nghĩa là có là hàm suy rộng không)?

v o hm suy rộng của phiếm hàm này có phảif khơng? Nghĩa là kiểm tra đẳng thức sau
−

Z 1

−1

(−|x|+ 1)Dϕ(x)dx=

Z 1

−1

f(x)ϕ(x)dx?

Nh­ vËy, nguyên hàm suy rộng củaf là hàm liên tục F.

(v) Do giá của hàm liên tục và giá của hàm suy rộng ứng với hàm liên tục đó là như nhau
nên

suppF =

(

[−1,1] nÕuC = 0,
R nÕuC 6= 0.

(vi) Bằng định nghĩa dễ dàng kiểm tra cấp củaF trên(−1,1)bằng0.

(vii) Có(Df)∗F =f ∗(DF) =f ∗f mà f ∈L1₍

R)nªn
f ∗f(x) =

Z

R

f(x−y)f(y)dy=

Z 0

−1

f(x−y)dy−

Z 1

0

f(x−y)dy.

B»ng cách chia thành các khoảng nhỏ|x| 2,2x 1,1x0,0x1,1
x2với chú ý

f(xy) =











1 nÕux < y ≤x+ 1,
−1 nÕux−1< y < x,
0 nếu1 |xy|,
ta tính được

f f(x) =

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta cũng có thể làm cách khác với chú ý((x0)F)(x) =F(xx0)nên

((Df)F)(x) = ((δ(1) +δ(−1)−2δ)∗F)(x) =F(x−1) +F(x+ 1)−2F(x).
(viii) VíiC = 0 cã

F(x) =

(

−|x|+ 1 nếu |x| 1,
0 nếu |x| 1.
nênF L2₍

R).
Lại có

DF(x) = f(x)

1 nếu 1< x0,
1 nếu0< x <1,
0 nếu|x| 1,
nênf L2₍

R),và

D2F =Df =δ(1) +δ(−1)−2δ 6∈L2(_R).
Nh­ vËy,F ∈Wl(_R), l∈_Zkhi vµ chØ khil 1.

KhiC 6= 0có

FF() = C(2)1/2+2(cos1)
2
không là hàm đo được nênF 6∈Wl₍

R),∀l ∈Z.
(ix) Cã

fk(x) = kf(x−k) =









k nÕuk−1< x≤k,
−k nÕuk < x < k+ 1,
0 nếu|xk| 1,
nên|fk(x)| (1 +|x|),vàsuppfk = [k1, k+ 1].

Do ú

D0
lim

kfk =S

0
lim

kfk= 0
và trongE0 _dÃy_{f

k}k=1 không héi tô.
(x) Cã

gk(x) =
k
X

j=1

(f(x−j) +f(x+j)) =










1 nÕu −k−1< x≤ −k hc0< x≤1,
−1 nÕuk < x < k+ 1 hc −1< x <0,
0 nếu|x| k+ 1hoặc|x|< k1,
nên|gk(x)| 1,và suppgk = [k1,k][k, k+ 1]∪[−1,1].

Do đó

D0
− lim

k→∞gk =S
0
− lim

k→∞gk=−f
vµ trongE0 _d·y_{g

</div>

<!--links-->