tài liệu ôn thi đầu vào cao học cần thơ năm 2012 bạn cũng làm được như tôi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chöông I. NHOÙM §1. Phép toán hai ngôi 1.1. Ñònh nghóa Phép toán hai ngôi (gọi tắt là phép toán) trên tập hợp X là moät aùnh xaï f : X × X −→ X (x, y) −→ f(x, y). Ta duøng kyù hieäu xfy thay cho f(x, y). 1.2. Ñònh nghóa Cho phép toán ∗ trên tập hợp X. Ta nói phép toán ∗: (i) giao hoán, nếu với mọi x, y ∈ X, x ∗ y = y ∗ x; (ii) kết hợp, nếu với mọi x, y, z ∈ X, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z); (iii) có phần tử trung hòa trái (tương ứng, phải) là e nếu e ∈ X và với mọi x ∈ X, e ∗ x = x (tương ứng, x ∗ e = x). Nếu e vừa là phần tử trung hòa trái vừa là phần tử trung hòa phải thì ta nói e là phần tử trung hòa của phép toán ∗. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> §2. Khaùi nieäm veà nhoùm 2.1. Ñònh nghóa Nhóm là một vị nhóm mà mọi phần tử đều khả đối xứng. Nói cách khác, tập hợp G khác rỗng với phép toán nhân được gọi là một nhóm nếu các tính chất sau được thỏa: (G1 ) Với mọi x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz); (G2 ) Tồn tại e ∈ G sao cho với mọi x ∈ G, ex = xe = x; (G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại x−1 ∈ G sao cho xx−1 = x x = e. −1. Nếu phép toán trên G là cộng thì các tính chất trên trở thành: (G1 ) Với mọi x, y, z ∈ G, (x + y) + z = x + (y + z); (G2 ) Tồn tại 0 ∈ G sao cho với mọi x ∈ G, 0+x = x+0 = x; (G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại −x ∈ G sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0. Trường hợp phép toán trên nhóm G giao hoán thì ta nói G là nhóm giao hoán hay là nhóm Abel. Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn khi tập hợp G hữu hạn. Khi đó số phần tử của G được gọi là cấp của nhóm G. Nếu nhóm G không hữu hạn thì ta nói G là nhóm vô hạn. 2.2. Định lý. Cho nhóm (G, .) và x, y, x1, ..., xn ∈ G. Khi đó: (i) Phần tử đơn vị e là duy nhất. (ii) Phần tử nghịch đảo x−1 của x là duy nhất và (x−1 )−1 = x. (iii) xy = e khi và chỉ khi yx = e. Hơn nữa khi đó y = x−1 . 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (iv) (x1...xn)−1 = xn −1 ...x1−1 . Ñaëc bieät (xn )−1 = (x−1 )n với mọi n nguyên dương. (v) Phép toán nhân có tính giản ước, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ G, từ đẳng thức xy = xz hay yx = zx đều dẫn đến y = z. 2.3. Kyù hieäu Trong nhóm nhân (G, .), với x ∈ G và n nguyên dương ta ñaët: x0 = e xn = x.x...x(ncopy) x−n = (x−1 )n Khi đó với mọi m, n nguyên xm xn = xm+n vaø (xm )n = xmn , ∀m, n ∈ Z. Ký hiệu tương ứng của xn cho nhóm cộng (G, +) là nx. Khi đó mx + nx = (m + n)x vaø m(nx) = (mn)x. 2.4. Định lý. Cho (G, .) là một nửa nhóm khác rỗng. Các mệnh đề sau tương đương: (i) (G, .) laø moät nhoùm; (ii) Với mọi a, b ∈ G, các phương trình ax = b và ya = b đều có nghiệm trong G; (iii) Trong G có phần tử đơn vị trái e và với mọi x ∈ G, tồn taïi x ∈ G sao cho xx = e; (iv) Trong G có phần tử đơn vị phải e và với mọi x ∈ G, toàn taïi x ∈ G sao cho xx = e . 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 1.8. Cho nhóm (G, .). Giả sử tồn tại ba số nguyên i liên tiếp sao cho với mọi x, y ∈ G, (xy)i = xiy i . Chứng minh rằng G giao hoán.. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> §3. Nhóm hoán vị 3.1. Ñònh nghóa Cho tập hợp X = Ø gồm n phần tử (ta có thể đồng nhất X với {1, 2, · · · , n}). Khi đó tập hợp Sn gồm tất cả các song ánh từ X vào X là một nhóm với phép hợp nối ánh xạ. Ta gọi Sn là nhóm hoán vị bậc n. Nhóm hoán vị Sn là nhóm hữu hạn có cấp n!, có phần tử trung hòa là ánh xạ đồng nhất IdX và phần tử nghịch đảo của σ ∈ Sn là ánh xạ ngược σ −1 . Nhóm này không giao hoán nếu n ≥ 3. 3.2. Một số thuật ngữ và ký hiệu 1) Phép hoán vị σ ∈ Sn được gọi là một r-chu trình hay một chu trình có chiều dài r nếu tồn tại các phần tử phân biệt i1, i2, ..., ir ∈ X sao cho σ(i1) = i2, · · · , σ(ir−1) = ir , σ(ir ) = i1 và σ(i) = i, ∀i ∈ X \ {i1 , i2, · · · , ir }. Khi đó ta viết σ = (i1i2 · · · ir ). Hai chu trình σ = (i1i2 · · · ir ), σ  = (j1 j2 · · · js ) được gọi là rời nhau hay độc lập nếu {i1 , i2, · · · , ir }∩{j1 , j2 , · · · , js } = Ø. 2) Mỗi 2-chu trình trong Sn được gọi là một chuyển vị. Như vậy mỗi chuyển vị có dạng (i j) với 1 ≤ i = j ≤ n. 3.3. Nhaän xeùt Hai chu trình σ và τ rời nhau thì chúng giao hoán lẫn nhau, nghóa laø στ = τ σ. 3.4. Định lý. Mọi phép hoán vị bậc n khác ánh xạ đồng nhất đều được phân tích thành tích các chu trình rời nhau có chiều dài lớn hơn hay bằng 2. Cách phân tích là duy nhất sai khác một sự đổi chỗ các chu trình. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 3.5. Bổ đề. Mọi chu trình trong Sn đều được phân tích thành tích cuûa caùc chuyeån vò. 3.6 Định lý. Mọi phép hoán vị σ trong Sn đều được phân tích thaønh tích cuûa caùc chuyeån vò. Caùch phaân tích khoâng duy nhaát nhöng tính chaün leû cuûa soá caùc chuyeån vò k trong phaân tích laø duy nhaát. Ñaët sgn(σ) = (−1)k . Neáu k chaün, nghóa laø sgn(σ) = 1, thì ta nói σ là hoán vị chẵn. Nếu k lẻ, nghĩa là sgn(σ) = −1, thì ta nói σ là hoán vị lẻ. 3.7. Định lý. Với mọi σ, τ ∈ Sn thì sgn(στ ) = sgn(σ)sgn(τ ). 3.8. Heä quaû. Neáu σ laø moät r-chu trình thì (i) sgn(σ) = (−1)r−1 ; (ii) σ chaün ⇔ r leû; vaø σ leû ⇔ r chaün. Bài 1.10. Chứng minh rằng trong nhóm hoán vị Sn , nếu một hoán vị có cấp lẻ thì đó phải là một hoán vị chẵn. Xét chiều đảo. Bài 1.11. Trong nhóm hoán vị S10, xét các phép hoán vị   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ; σ1 = 2 3 5 7 6 1 8 4 10 9 σ2 = (1 3 4 7)(2 5)(1 2 4 3). a) Viết σ1 và σ2 dưới dạng tích các chu trình rời nhau và dưới dạng tích các chuyển vị. Suy ra tính chẵn, lẻ và cấp của chuùng. b) Viết σ1 σ2; σ22; σ2−1 ; σ2−2; σ12σ2 ; σ1σ22 dưới dạng tích các chu trình rời nhau. Xét tính chẵn, lẻ và cấp của chúng. c) Tìm σ ∈ Sn thoûa σ1σσ2−2 = σ13. Bài 1.14. Xét nhóm hoán vị Sn và σ là một k-chu trình. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chứng minh rằng với l ∈ N, σ l là k-chu trình khi và chỉ khi (k, l) = 1. Bài 1.44. Xét nhóm hoán vị S4. Chứng minh rằng tập hợp K = {Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G (Ta goïi K laø nhoùm Klein). Bài 1.45. Chứng minh rằng: a) Nhóm hoán vị Sn được sinh bởi các chuyển vị. b) Nhoùm thay phieân An laø nhoùm con chuaån taéc cuûa Sn vaø được sinh bởi các 3-chu trình. c) Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của An và H có chứa ít nhaát moät 3-chu trình thì H = An .. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> §4. Nhoùm con 4.1. Ñònh nghóa Nhoùm con H cuûa nhoùm G laø moät taäp con oån ñònh cuûa nhoùm G sao cho cùng với phép toán cảm sinh H là một nhóm. Ký hiệu H ≤ G để chỉ H là một nhóm con của G. 4.2. Ñònh lyù. Cho H laø moät taäp con khaùc roãng cuûa nhoùm (G, .). Các mệnh đề sau tương đương: (i) H ≤ G; (ii) Với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H và x−1 ∈ H; (iii) Với mọi x, y ∈ H, x−1 y ∈ H. 4.3. Ví duï 1) Các tập hợp {e} và G đều là các nhóm con của G. Ta gọi đây là các nhóm con tầm thường của G. 2) Gọi An là tập hợp gồm tất cả những hoán vị chẵn trong nhóm hoán vị Sn . Khi đó An ≤ Sn . Ta gọi An là nhóm thay phieân baäc n. 3) Tập hợp SL(n, R) gồm các ma trận vuông cấp n với hệ số thực có định thức bằng 1 là một nhóm con của nhóm tuyến tính đầy đủ GL(n, R). Ta gọi SL(n, R) là nhóm tuyến tính đặc bieät baäc n treân R. 4.4. Ñònh lyù. Giao cuûa moät hoï khoâng roãng caùc nhoùm con cuûa moät nhoùm G cuõng laø nhoùm con cuûa G. 4.5. Ñònh nghóa Cho S là một tập con của nhóm G. Nhóm con sinh bởi S là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S và được ký hiệu là S . Tập hợp S được gọi là tập sinh của nhóm S . Nếu S hữu 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> hạn: S = {x1, ..., xn} thì ta nói S là nhóm hữu hạn sinh với các phần tử sinh x1 , ..., xn mà ta thường ký hiệu nhóm này là x1 , ..., xn . 4.6. Định lý. Cho S là một tập con của nhóm G. Khi đó: (i) Neáu S = Ø thì S = {e}. (ii) Neáu S = Ø thì S = {x1 ε1 ...xnεn |n ∈ N∗, xi ∈ S, εi = ±1}. 4.7. Chuù yù Neáu H vaø K laø hai nhoùm con cuûa nhoùm G thì H ∪K khoâng nhất thiết là một nhóm con của G. Ta ký hiệu H ∨ K để chỉ nhóm con sinh bởi H ∪ K. Bài 1.15b. Chứng minh rằng:   x y 2 2 H = | x; y ∈ Q; x + y > 0 laø moät nhoùm 2y x con cuûa nhoùm (GL(2, Q), .). . Ví duï. Cho nhoùm (G, .) vaø H, K laø hai nhoùm con cuûa G. Chứng minh rằng HK là một nhóm con của G khi và chỉ khi HK = KH. Baøi 1.18. Cho (G, .) laø moät nhoùm vaø H laø moät nhoùm con của G. Chứng minh rằng với mỗi x ∈ G, tập hợp x−1Hx cũng là nhóm con của G (Ta gọi đây là các nhóm con liên hợp với H). Bài 1.20. Cho H, K là các nhóm con của nhóm G. Chứng minh raèng H ∪ K laø nhoùm con cuûa G khi vaø chæ khi H ⊂ K hay K ⊂ H. Baøi 1.22. Cho (G, .) laø moät nhoùm Abel vaø H laø moät nhoùm con của G. Với mỗi n ∈ N ta đặt Hn = {x ∈ G| xn ∈ H}.Chứng 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> minh rằng với m, n ∈ N ta có a) Hn là nhóm con của G, và Hn chứa H. b) Hm ∩ Hn = Hd , trong đó d = (m, n). Suy ra điều kiện để Hm ∩ Hn = H. Baøi 1.23. Cho (G, .) laø moät nhoùm Abel vaø H laø moät nhoùm con của G. Đặt K = {x ∈ G| ∃n ∈ N∗, xn ∈ H}. Chứng minh raèng a) K là nhóm con chuẩn tắc của G, và K chứa H. b) trong nhóm thương G/K không có phần tử nào có cấp hữu hạn lớn hơn 1. Baøi 1.24. Cho nhoùm (G, .) vaø H, K laø hai nhoùm con cuûa G. Chứng minh rằng nếu H và K có chỉ số hữu hạn trong G thì nhóm con H ∩ K cũng có chỉ số hữu hạn trong G. Bài 1.25. Cho nhóm (G, .) hữu hạn và H, K là hai nhóm con của G. Chứng minh rằng |HK||H ∩ K| = |H||K|.. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> §5. Nhoùm con cyclic vaø nhoùm cyclic 5.1. Ñònh nghóa Cho G là một nhóm. Nhóm con a của G sinh bởi phần tử a ∈ G được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi a. Nếu tồn tại phần tử a ∈ G sao cho a = G thì ta nói G là một nhóm cyclic và a là phần tử sinh của G. 5.2. Mệnh đề. Nhóm con cyclic sinh bởi a là tập hợp gồm tất cả các lũy thừa an với n ∈ Z, nghĩa là a = {an | n ∈ Z}. Cho (G, .) laø moät nhoùm vaø a ∈ G. Xeùt nhoùm con cyclic a . Khi đó có hai trường hợp có thể xảy ra: Trường hợp 1. Tất cả các lũy thừa an (n ∈ Z) đều khác nhau từng đôi một. Trong trường hợp này a là nhóm vô hạn. Trường hợp 2. Tồn tại những lũy thừa của a bằng nhau, chẳng hạn ak = al (k > l). Khi đó ak−l = e với k − l > 0. Do đó tồn tại những số nguyên dương m sao cho am = e. Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho an = e. Khi đó các phần tử e, a, ..., an−1 ñoâi moät khaùc nhau vaø a = {e, a, ..., an−1}. Thaät vậy, với 0 ≤ i < j ≤ n − 1, vì 0 < j − i < n nên do tính chất nhỏ nhất của n suy ra aj−i = e, nghĩa là aj = ai. Hơn nữa, với x ∈ a , toàn taïi m ∈ Z sao cho x = am . Chia m cho n ta tìm được q, r ∈ Z với 0 ≤ r ≤ n − 1 sao cho m = qn + r. Khi đó x = am = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ar , và khẳng định trên được chứng minh. Tóm lại, nếu tất cả các lũy thừa của a đều khác nhau thì a là nhóm vô hạn, còn nếu tồn tại những lũy thừa của a bằng nhau thì a là nhóm hữu hạn cấp n: a = {e, a, ..., an−1}, 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> trong đó n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho an = e. Từ ñaây ta coù ñònh nghóa sau: 5.3. Ñònh nghóa Cấp của một phần tử a trong nhóm G là cấp của nhóm con cyclic a . Ta thường ký hiệu o(a) hay |a| để chỉ cấp của phần tử a. 5.4. Heä quaû. Cho (G, .) laø moät nhoùm vaø a ∈ G. Ta coù: (i) a có cấp vô hạn khi và chỉ khi với mọi k ∈ Z, nếu ak = e thì k = 0. (ii) a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại k ∈ Z∗ sao cho ak = e. (iii) Nếu a có cấp hữu hạn thì cấp của a là số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho an = e. Hơn nữa, khi đó với mọi k ∈ Z, ak = e khi vaø chæ khi k laø boäi soá cuûa n. 5.5. Ví duï 1) Nhóm cộng các số nguyên Z là nhóm cyclic sinh bởi 1. 2) Với mỗi n nguyên dương, quan hệ đồng dư modulo n trên Z định bởi x ≡ y(mod n) ⇔ x − y chia heát cho n. Đây là một quan hệ tương đương trên Z với các lớp tương đương laø x = {x + kn|k ∈ Z}. Tập thương của Z theo quan hệ đồng dư modulo n định bởi Zn = {x|x ∈ Z} = {0, 1, ..., n − 1}. Trên Zn ta định nghĩa phép toán cộng như sau: x + y = x + y. . 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Khi đó Zn trở thành một nhóm giao hoán. Hơn nữa, Zn là nhóm cyclic hữu hạn cấp n sinh bởi 1. Ta gọi Zn là nhóm cộng caùc soá nguyeân modulo n. 3) Trong nhóm hoán vị Sn , một r-chu trình σ = (i1 i2 ... ir ) luôn luôn có cấp r vì σ r = Id và σ l = Id với mọi 0 < l < r. 5.6. Định lý. Mọi nhóm con của nhóm cyclic đều là nhóm cyclic. Hơn nữa, nếu H ≤ a và H = {e} thì H = an trong đó n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho an ∈ H. 5.7. Heä quaû. H laø moät nhoùm con cuûa nhoùm coäng caùc soá nguyên Z khi và chỉ khi H có dạng nZ = {nk|k ∈ Z} với n∈N Bài 1.26. Chứng minh rằng trong nhóm hoán vị Sn , mọi k-chu trình đều có cấp k và cấp của tích các chu trình rời nhau baèng boäi chung nhoû nhaát cuûa caùc caáp cuûa caùc chu trình naøy. Bài 1.27. a) Hãy mô tả tất cả các phần tử có cấp 20 trong S9 . b) Chứng minh rằng trong S9 không tồn tại phần tử nào có caáp 18. Bài 1.29. Tìm hai phần tử a, b của một nhóm G sao cho a, b đều có cấp hữu hạn nhưng ab lại có cấp vô hạn. Bài 1.30. Cho nhóm (G, .) và a, b ∈ G. Chứng minh rằng a) Caáp cuûa ab baèng caáp cuûa ba. b) Caáp cuûa a−1 baèng caáp cuûa a. c) Giả sử ab = ba và a có cấp r, b có cấp s, trong đó r, s nguyên tố cùng nhau; khi đó ab có cấp rs. d) Giả sử ab = ba và a có cấp r, b có cấp s, trong đó a ∩ b = {e}; khi đó ab có cấp [r, s]. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài 1.31. Chứng minh rằng nếu G là một nhóm có hơn một phần tử và chỉ có hai nhóm con là {e} và G thì G phải là nhoùm cyclic caáp nguyeân toá. Bài 1.32. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhóm G chỉ có hữu hạn nhóm con là G hữu hạn. Bài 1.34. Cho nhóm cyclic G = x hữu hạn cấp n. Chứng minh rằng với k, l ∈ Z ta có a) Cấp của xk bằng n/d, trong đó d = (n, k). b) xk = xl khi vaø chæ khi (n, k) = (n, l). c) G = xk khi và chỉ khi (n, k) = 1. Từ đó suy ra số các phần tử sinh của G. d) Haõy moâ taû taát caû caùc nhoùm con cuûa G. Bài 1.35. Cho hai nhóm G1 và G2 , trong đó mỗi nhóm có ít nhất hai phần tử. Chứng minh rằng nhóm G1 × G2 cyclic khi và chỉ khi G1 và G2 là các nhóm cyclic hữu hạn có cấp nguyên toá cuøng nhau.. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> §6. Nhoùm con chuaån taéc vaø nhoùm thöông 6.1. Ñònh lyù. Cho (G, .) laø moät nhoùm vaø H laø moät nhoùm con cuûa G. Xeùt quan heä ∼ treân G nhö sau: x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H. Khi đó (i) ∼ laø moät quan heä töông ñöông treân G. (ii) Lớp tương đương chứa x là x = xH, trong đó xH = {xh|h ∈ H}. Ta gọi xH là lớp ghép trái của H (bởi phần tử x). Tập hợp thương của G theo quan hệ ∼, ký hiệu là G/H, được gọi là taäp thöông cuûa G treân H vaø |G/H| laø chæ soá cuûa nhoùm con H trong G, kyù hieäu laø [G : H]. 6.2. Chuù yù Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa được quan hệ ∼ trên G nhö sau: x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H. Khi đó ∼ cũng là một quan hệ tương đương trên G và lớp tương đương chứa x là x = Hx, trong đó Hx = {hx|h ∈ H}. Ta gọi Hx là lớp ghép phải của H (bởi phần tử x). 6.3. Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của G. Khi đó |G| = |H|[G : H]. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 6.4. Hệ quả. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó: (i) Cấp của mỗi nhóm con của G là một ước số của cấp cuûa G. (ii) Cấp của mỗi phần tử thuộc G là một ước số của cấp cuûa G. (iii) Neáu G coù caáp nguyeân toá thì G laø nhoùm cyclic vaø G được sinh bởi một phần tử bất kỳ khác e. 6.5. Ñònh nghóa Một nhóm con H của nhóm (G, .) được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi x ∈ G và h ∈ H, x−1 hx ∈ H. Ký hiệu H  G để chæ H laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa G. 7.6. Mệnh đề. Cho H là một nhóm con của nhóm (G, .). Các mệnh đề sau tương đương: (i) H  G; (ii) ∀x ∈ G, x−1 Hx ⊂ H; (iii) ∀x ∈ G, x−1 Hx = H; (iv) ∀x ∈ G, xH = Hx; trong đó x−1 Hx = {x−1hx|h ∈ H}. 6.6. Nhaän xeùt 1) Nếu G giao hoán thì mọi nhóm con của G đều chuẩn taéc. 2) Các nhóm con tầm thường {e} và G đều chuẩn tắc trong G. 6.7. Ví duï 1) Nhoùm thay phieân baäc n laø nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> hoán vị Sn vì với mọi hoán vị chẵn τ ta có σ −1 τ σ cũng là hoán vị chẵn với mọi hoán vị σ ∈ Sn . 2) Nhoùm tuyeán tính ñaëc bieät SL(n, R) laø nhoùm con chuaån tắc của nhóm tuyến tính đầy đủ GL(n, R) vì với mọi X ∈ GL(n, R) vaø A ∈ SL(n, R) ta coù det(X −1 AX) = (detX)−1 (detA)(detX) = det(A) = 1, nghóa laø X −1 AX ∈ SL(n, R). 6.8. Ñònh lyù. Cho G laø moät nhoùm vaø H laø nhoùm con chuaån tắc của G. Khi đó tập thương G/H cùng với phép toán nhân định bởi (xH)(yH) = xyH là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên H (phần tử đơn vị trong G/H là lớp eH = H, trong đó e là phần tử đơn vị của G, còn phần tử nghịch đảo của lớp xH chính là x−1 H). 6.9. Ví duï 1) Vì nhóm cộng các số nguyên Z giao hoán nên với mỗi n nguyeân döông nhoùm con nZ chuaån taéc trong Z. Nhoùm thöông Z/nZ chính laø nhoùm coäng Zn caùc soá nguyeân modulo n. 2) Ta có An  Sn . Nếu σ và τ là hai hoán vị lẻ thì σ −1τ là hoán vị chẵn nên σ −1 τ ∈ An , từ đó σAn = τ An . Điều này chứng tỏ nhóm thương Sn /An có đúng hai phần tử: Sn /An = {An , An }, trong đó An = Sn \ An . Baøi 1.38. Cho H, K laø hai nhoùm con cuûa nhoùm (G, .). Chứng minh rằng: a) Neáu H chuaån taéc trong G thì HK laø nhoùm con cuûa G. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> b) Nếu H, K đều chuẩn tắc trong G thì HK là nhóm con chuaån taéc cuûa G. Baøi 1.39. Cho H, K laø hai nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm (G, .) thỏa H ∩ K = {e}. Chứng minh rằng xy = yx với mọi x ∈ H, y ∈ K. Bài 1.40. Cho nhóm (G, .) và S ⊂ G thỏa x−1 Sx ⊂ S với mọi x ∈ G. Chứng minh S chuẩn tắc trong G. Bài 1.41. Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của G có chỉ số [G : H] = 2. Chứng minh H là một nhóm con chuaån taéc cuûa G. Haõy toång quaùt hoùa keát quaû treân. Bài 1.43. Cho nhóm (G, .). Ta gọi hoán tử của hai phần tử x và y trong G là phần tử [x, y] = x−1 y −1 xy. Nhóm con của G sinh bởi tất cả các hoán tử của các phần tử trong G được gọi là nhóm hoán tử của G và được ký hiệu là [G, G]. Chứng minh raèng: a) [G, G] laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. b) Với H là nhóm con chuẩn tắc của G, nhóm thương G/H giao hoán khi và chỉ khi [G, G] ⊂ H. Suy ra nhóm thương G/[G, G] giao hoán.. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> §7. Đồng cấu 7.1. Ñònh nghóa Một ánh xạ f từ nhóm G vào nhóm G được gọi là một đồng cấu (nhóm) nếu f bảo toàn phép toán, nghĩa là với mọi x, y ∈ G, f(xy) = f(x)f(y). Một đồng cấu từ nhóm G vào G được gọi là một tự đồng cấu của G. Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu từ nhóm G vào nhóm G thì ta nói G đẳng cấu với G , ký hiệu G  G . 7.2. Ví duï 1) Ánh xạ đồng nhất idG của nhóm G là một tự đẳng cấu, gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của G. 2) Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Khi đó ánh xạ bao haøm iH : H −→ G (iH (x) = x) laø moät ñôn caáu, goïi laø ñôn caáu chính taéc. 3) Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó ánh xạ π : G −→ G/H định bởi π(x) = xH là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc. 4) Giả sử G và G là hai nhóm tùy ý. Khi đó ánh xạ f : G −→ G định bởi f(x) = e (e là phần tử trung hòa của G ) là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường. 5) Ánh xạ x → cos 2πx + i sin 2πx là một đồng cấu từ nhóm cộng các số thực R vào nhóm nhân các số phức khác không C∗ . 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 6) Ánh xạ x → ex là một đẳng cấu từ nhóm cộng các số thực R lên nhóm nhân R+ các số thực dương. 7) Ánh xạ x → ln x là một đẳng cấu từ nhóm nhân R+ các số thực dương lên nhóm cộng các số thực R. 8) Ánh xạ sgn : Sn −→ ({−1; 1}, .) là một đồng cấu. 9) Ánh xạ det : GL(n, R) −→ R∗ là một toàn cấu. 10) Cho (G, .) laø moät nhoùm vaø a ∈ G. AÙnh xaï ϕa : G −→ G định bởi ϕa (x) = axa−1 là một tự đẳng cấu của G. Thật vậy, ϕa là một đồng cấu vì ∀x, y ∈ G, ϕa (xy) = a(xy)a−1 = (axa−1)(aya−1) = ϕa (x)ϕa(y). Mặt khác, ϕa là một song ánh vì với mỗi y ∈ G, tồn tại duy nhất x = a−1 ya ∈ G sao cho y = ϕa(x). Ta gọi ϕa là một tự ñaúng caáu trong cuûa nhoùm G. 7.3. Mệnh đề. Nếu f : G −→ G là một đồng cấu nhóm thì f(e) = e và f(x−1 ) = (f(x))−1 với mọi x ∈ G (e và e lần lượt là các phần tử đơn vị của các nhóm G và G ). 7.4. Mệnh đề. Tích của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm. Đặc biệt, tích của hai đơn cấu (tương ứng: toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (tương ứng: toàn cấu, đẳng cấu). 7.5. Mệnh đề. Ánh xạ ngược của một đẳng cấu nhóm là một ñaúng caáu nhoùm. 7.6. Định lý. Cho đồng cấu nhóm f : G −→ G và H là một nhóm con của G, H  là một nhóm con của G . Khi đó: (i) f(H) laø moät nhoùm con cuûa G . 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> (ii) f −1 (H  ) là một nhóm con của G. Hơn nữa, nếu H  là nhoùm con chuaån taéc cuûa G thì f −1 (H ) laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Ñaëc bieät, Imf = f(G) laø nhoùm con cuûa G vaø Kerf = f −1 (e ) laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Ta goïi Imf laø aûnh cuûa f vaø Kerf laø haït nhaân cuûa f. 7.7. Định lý. Đồng cấu nhóm f : G −→ G là đơn cấu khi và chæ khi Kerf = {e}. 7.8. Định lý đẳng cấu 1. Cho đồng cấu nhóm f : G −→ G . Khi đó ánh xạ f : G/Kerf −→ G định bởi f(xKerf) = f(x) laø moät ñôn caáu. Ñaëc bieät, G/Kerf  Imf. 7.9. Ñònh lyù ñaúng caáu 2. Cho G laø moät nhoùm vaø H, K laø hai nhóm con của G, hơn nữa H chuẩn tắc trong G. Khi đó HK ≤ G, H  HK, H ∩ K  K vaø K/H ∩ K  HK/H qua đẳng cấu k(H ∩ K) → kH, trong đó HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}. 7.10. Ñònh lyù ñaúng caáu 3. Cho G laø moät nhoùm vaø H laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Ta coù (i) K laø moät nhoùm con cuûa G/H khi vaø chæ khi K coù daïng K = K/H với K ≤ G và H ≤ K. (ii) K laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa G/H khi vaø chæ khi K có dạng K = K/H với K  G và H ≤ K. Hơn nữa, khi đó (G/H)/(K/H)  G/K qua ñaúng caáu xH(K/H) → xK. 7.11. Hệ quả. Mọi nhóm cyclic vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z. Mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhóm cộng Zn các số nguyên mod n. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 7.12. Ví duï 1) Đồng cấu f : R −→ C∗ định bởi f(x) = cos 2πx + i sin 2πx có Kerf = Z và Imf = U trong đó U = {z ∈ C∗ | |z| = 1}. Do đó R/Z  U. 2) Đồng cấu sgn : Sn −→ ({−1; 1}, .) có Kerf = An và Imf = {±1} neân Sn /An  {±1}. 3) Toàn cấu f = det : GL(n, R) −→ R∗ có Kerf = {A ∈ GL(n, R)|detA = 1} = SL(n, R) neân GL(n, R)/SL(n, R)  R∗ . Bài 1.46. Cho (G, .) là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng ánh xạ f : x → xk với k là một số nguyên cho trước, là một đồng cấu nhóm. Hãy xác định Kerf. Bài 1.47. Cho (G, .) là một nhóm. Chứng minh rằng ánh xạ x → x−1 là một tự đẳng cấu của nhóm G khi và chỉ khi G giao hoán. Bài 1.48. Xét đồng cấu nhóm cộng f : Z −→ Z. Chứng minh raèng a) Imf có dạng nZ với n ∈ N; b) Kerf = {0} hoặc Kerf = Z; c) Tìm tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng Z. Bài 1.49. Xét đồng cấu nhóm cộng f : Q −→ Z. a) Chứng minh rằng với n ∈ N∗ , f(1) = nf(1/n). b) Suy ra f(1) = 0 và f phải là đồng cấu tầm thường. Bài 1.50. Hãy mô tả tất cả các tự đồng cấu f : Z12 −→ Z12 . Bài 1.58. Chứng minh rằng: 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> a) GL(n, R)/SL(n, R)  R∗ . b) Nhóm thương R/Z đẳng cấu với nhóm nhân T gồm các số phức có môđun bằng 1. Baøi 1.64. Cho nhoùm (G, .). a) Chứng minh rằng tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G cùng với phép toán tích các ánh xạ là một nhóm. Ta ký hiệu nhoùm naày laø Aut(G). b) Với mỗi g ∈ G, ánh xạ ϕg : x → gxg −1 là một tự đẳng cấu của G. Ta gọi đây là các tự đẳng cấu trong của G. c) Gọi Int(G) là tập tất cả các tự đẳng cấu trong của G. Chứng minh rằng Int(G) là một nhóm con chuẩn tắc của Aut(G). d) Chứng minh G/C(G)  Int(G), trong đó C(G) là tâm cuûa G. Bài 1.66. Xét ánh xạ f : Z → Z định bởi f(x) = nx, trong đó n ∈ N∗ cho trước. Chứng minh rằng: a) f là một đồng cấu nhóm cộng. Tìm Imf và Kerf. b) f là một đẳng cấu nhóm cộng từ Z đến nZ. Từ đó, hãy moâ taû taát caû caùc nhoùm con cuûa nhoùm nZ. c) Với m ∈ N, Z/mZ  nZ/mnZ.. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Chöông II. VAØNH VAØ TRƯỜNG §1. Khaùi nieäm veà vaønh 1.1. Ñònh nghóa Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân thoûa caùc tính chaát sau: (R1 ) (R, +) laø nhoùm Abel; (R2 ) (R, .) là nửa nhóm; (R3 ) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với moïi x, y, z ∈ R, ta coù x(y + z) = xy + xz; (y + z)x = yx + zx. Phần tử trung hòa của phép cộng được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0; phần tử đối xứng của phần tử x ∈ R là phần tử đối của x ký hiệu là −x. Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành R giao hoán; nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì vành R được gọi là vành có đơn vị. Phần tử đơn vị được ký hiệu là e hay 1. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 1.2. Nhaän xeùt Cho R là vành có đơn vị e. Phần tử x ∈ R được gọi là khả nghịch nếu x khả đối xứng với phép nhân, nghĩa là tồn tại y ∈ R sao cho xy = yx = e. Kyù hieäu R∗ = {x ∈ R| x khaû nghòch}. Khi đó R∗ là một nhóm đối với phép nhân, gọi là nhóm các phần tử khả nghịch của R. 1.3. Ví duï 1) Treân nhoùm coäng Zn caùc soá nguyeân modulo n, ta ñònh nghĩa phép toán nhân như sau: với mọi x, y ∈ Zn , x y = xy. Khi đó Zn trở thành vành giao hoán có đơn vị 1. 2) Tập M(n, R) các ma trận vuông cấp n với hệ số thực cùng với phép cộng và nhân ma trận thông thường là vành có đơn vị. Vành này không giao hoán nếu n ≥ 2. 3) Giả sử R1 , R2 , · · · , Rn là các vành. Khi đó tích Descartes n . Ri = {(x1 , x2, · · · , xn )|x1 ∈ R1, x2 ∈ R2, · · · , xn ∈ Rn }. i=1. cùng với phép cộng (xi ) + (yi) = (xi + yi ) và phép nhân (xi )(yi) = (xi yi ), là một vành, gọi là vành tích trực tiếp của R1 , R2, · · · , Rn . Hiển nhiên nếu mọi vành Ri đều giao hoán (tương ứng, có đơn vị) thì vành tích trực tiếp cũng giao hoán (tương ứng, có đơn vị). 1.4. Mệnh đề. Cho R là một vành. Khi đó với mọi x, y, z ∈ R vaø n ∈ Z ta coù (i) x(y − z) = xy − xz vaø (y − z)x = yx − zx. (ii) 0x = x0 = 0. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> (iii) x(−y) = (−x)y = −(xy) vaø (−x)(−y) = xy. (iv) (nx)y = x(ny) = n(xy). Ñaëc bieät, neáu R coù ñôn vò e thì nx = (ne)x = x(ne). Ví dụ. Chứng minh rằng trong vành Zn phần tử k khả nghòch khi vaø chæ khi (k, n) = 1. Baøi 2.3. Giaûi caùc phöông trình a) 21x + 24 = 101 trong Z103. b) 68(x + 24) = 102 trong Z492. c) 78x − 13 = 35 trong Z666. Baøi 2.4. Tìm taát caû caùc soá nguyeân n thoûa ñieàu kieän trong mỗi trường hợp sau: a) 27n − 18 chia heát cho 133. b) 92n + 18 chia heát cho 100. c) 95n − 15 chia heát cho 335.. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> §2. Vaønh con, Ideal vaø vaønh thöông 2.1. Ñònh nghóa Cho R laø moät vaønh. (i) Tập con A khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu A ổn định đối với hai phép toán trong vành R và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành. (ii) Vành con I của R được gọi là một ideal trái (tương ứng, ideal phải) của R nếu với mọi r ∈ R và x ∈ I ta có rx ∈ I (tương ứng, xr ∈ I ). Ta nói I là một ideal của R nếu I vừa là ideal trái vừa là ideal phải của R. 2.2. Ñònh lyù (Ñaëc tröng cuûa vaønh con). Cho A laø moät taäp con khác rỗng của vành R. Các mệnh đề sau tương đương: (i) A laø moät vaønh con cuûa R; (ii) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A; (iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A và xy ∈ A. 2.3. Ñònh lyù (Ñaëc tröng cuûa ideal). Cho I laø moät taäp con khác rỗng của vành R. Các mệnh đề sau tương dương: (i) I laø moät ideal cuûa R; (ii) Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x + y ∈ I, −x ∈ I, rx ∈ I vaø xr ∈ I; (iii) Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x − y ∈ I, xr ∈ I và rx ∈ I. 2.4. Nhaän xeùt 1) Các tập con {0} và R đều là các ideal của R, gọi là các ideal tầm thường. 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> 2) Nếu vành R giao hoán thì các khái niệm ideal trái, ideal phaûi vaø ideal laø truøng nhau. 3) Giả sử R là vành có đơn vị và I là một ideal trái hay phải của R. Khi đó I = R ⇔ I chứa ít nhất một phần tử khả nghịch ⇔ I chứa phần tử đơn vị. 4) Với I, J là hai ideal của R, đặt I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J }; IJ = {. n . xi yi |xi ∈ I, yi ∈ J, n ∈ N∗ }.. i=1. Khi đó I + J và IJ cũng là các ideal của R, gọi là tổng và tích cuûa caùc ideal I vaø J. 2.5. Ví duï 1) I là ideal của Z khi và chỉ khi I có dạng nZ với n ∈ Z. 2) M(n, Z) laø vaønh con cuûa M(n, Q) nhöng khoâng laø ideal. 3) M(n, 2Z) laø ideal cuûa M(n, Z). Từ Định nghĩa 2.1 ta thấy giao của một họ khác rỗng các vành con (tương ứng, ideal) của một vành R cũng là một vành con (tương ứng, ideal) của vành R. Giả sử S là một tập con của vành R. Khi đó S chứa trong ít nhất một vành con (tương ứng, ideal) của R, chẳng hạn S ⊂ R. Giao của tất cả các vành con (tương ứng, ideal) của R có chứa S là một vành con (tương ứng, ideal) của R có chứa S. Ta có ñònh nghóa sau: 2.6. Ñònh nghóa Cho S laø moät taäp con khaùc roãng cuûa vaønh R. Ta ñònh nghóa: 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> (i) Giao của tất cả các vành con của R có chứa S là vành con sinh bởi S. (ii) Giao của tất cả các ideal của R có chứa S là ideal sinh bởi S, ký hiệu là S . Từ định nghĩa ta thấy vành con (tương ứng, ideal) của R sinh bởi tập hợp S chính là vành con (tương ứng, ideal ) nhỏ nhất của R có chứa S. Đặc biệt {0} là vành con và cũng là ideal sinh bởi tập rỗng. Mệnh đề sau đây mô tả vành con và ideal sinh bởi các tập hợp khác rỗng. 2.7. Ñònh lyù. Cho S laø moät taäp con khaùc roãng cuûa vaønh R. Khi đó (i) Vaøn h con của R sinh bởi S là tập hợp  s1 s2 · · · sn |si ∈ S hay − si ∈ S, n ∈ N∗ . hữu hạn. (ii) Nếu R có đơn vị thì ideal sinh bởi S là tập hợp n  S = xi si yi |xi, yi ∈ R, si ∈ S, n ∈ N∗ . i=1. (iii) Nếu R giao hoán có đơn vị thì n  xi si |xi ∈ R, si ∈ S, n ∈ N∗ . S = i=1. 2.8. Ñònh nghóa Cho S là một tập con của vành R và I = S . Ta nói I được sinh ra bởi S và S là tập sinh của I. Nếu S hữu hạn thì ta nói I hữu hạn sinh. Đặc biệt, nếu S = {a} thì ta viết I = a , gọi là ideal chính sinh bởi a. 2.9. Nhaän xeùt Nếu vành R giao hoán, có đơn vị thì ideal chính sinh bởi a 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> laø: a = {xa|x ∈ R}. Ta còn ký hiệu tập hợp trên là Ra. 2.10. Định lý. Giả sử I là một ideal của vành (R, +, .). Trên nhóm thương (R/I, +) ta định nghĩa phép toán nhân như sau: (x + I)(y + I) = xy + I. Khi đó (R/I, +, .) là một vành, gọi là vành thương của R trên ideal I. 2.11. Nhaän xeùt 1) Nếu vành R giao hoán thì vành thương R/I cũng giao hoán. Chiều đảo lại không đúng. 2) Neáu vaønh R coù ñôn vò e thì vaønh thöông R/I coù ñôn vò là e + I. Chiều đảo lại không đúng. 2.12. Ví duï Vaønh thöông cuûa vaønh caùc soá nguyeân Z treân ideal nZ chính là vành Zn các số nguyên modulo n, trong đó ngoài phép cộng đã biết, ta có phép toán nhân định bởi (x + nZ)(y + nZ) = xy + nZ. Đây chính là vành mà ta đã xét trong ví dụ 1.3. Baøi 2.7. Cho R laø moät vaønh tuøy yù. a) Với a ∈ R, tập hợp C(a) = {x ∈ R|ax = xa} được gọi là tâm hoá tử của a. Chứng minh rằng C(a) là một vành con của R có chứa a. b) Tập hợp C(R) = {x ∈ R|ax = xa, ∀a ∈ R} được gọi là tâm của R. Chứng minh rằng C(R) là một vành con giao hoán cuûa R. 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> c) Tìm taâm cuûa vaønh M(n, R). Baøi 2.10. Cho R laø moät vaønh tuøy yù, I vaø J laø hai ideal cuûa R. Ñaët I + J = {x + y| x ∈ I, y ∈ J }. Chứng minh rằng I + J là một ideal của R. Nếu R là vành các soá nguyeân vaø I = mZ; J = nZ thì I + J coù daïng theá naøo? Baøi 2.11. Cho R laø moät vaønh tuøy yù, I vaø J laø hai ideal cuûa R. Ñaëêt IJ =. n . xi yi | n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J. .. i=1. Chứng minh rằng IJ là một ideal của R. Nếu R là vành các soá nguyeân vaø I = mZ; J = nZ thì IJ coù daïng theá naøo? Bài 2.13. Cho R là một vành tùy ý và a ∈ R. Chứng minh rằng tập hợp aR = {ax| x ∈ R} là một ideal phải của R, và tập hợp Ra = {xa| x ∈ R} là một ideal trái của R. Suy ra nếu R giao hoán thì aR = Ra là ideal của R; hơn nữa, nếu giả thiết thêm R có đơn vị thì đây chính là ideal chính sinh bởi a. Bài 2.14. Cho R là một vành có đơn vị và a ∈ R. Chứng minh raèng a) a khaû nghòch phaûi khi vaø chæ khi aR = R. b) a khaû nghòch traùi khi vaø chæ khi Ra = R. c) a khaû nghòch khi vaø chæ khi aR = Ra = R. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Bài 2.15. a) Cho R là một vành giao hoán và a ∈ R. Chứng minh rằng tập hợp con Ann (a) = {x ∈ R|ax = 0} laø moät ideal cuûa R. b) Tìm Ann (4) trong vaønh Z32 . Bài 2.16. Cho R là một vành tùy ý . Một phần tử x ∈ R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số n nguyên dương sao cho xn = 0. a) Chứng minh rằng nếu R có đơn vị là e và x lũy linh thì e + x khaû nghòch. b) Giả sử R giao hoán, có đơn vị và u ∈ R khả nghịch. Chứng minh rằng nếu x lũy linh thì u + x khả nghịch. c) Giả sử R giao hoán. Chứng minh rằng tập hợp N(R) gồm tất cả các phần tử lũy linh của R là một ideal của R và trong vành thương R/N(R) không có phần tử lũy linh nào khác khoâng (Ta goïi N(R) laø nil-caên cuûa R).. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> §3. Đồng cấu 3.1. Ñònh nghóa Một ánh xạ f từ vành R vào vành R được gọi là một đồng cấu vành nếu f bảo toàn các phép toán, nghĩa là với mọi x, y ∈ R, f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y). Một đồng cấu từ R vào R được gọi là một tự đồng cấu của R. Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu từ R vào R thì ta nói R đẳng cấu với R , ký hiệu là R  R . 3.2. Ví duï 1) Ánh xạ đồng nhất idR của vành R là một tự đẳng cấu, gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của R. 2) Giả sử A là một vành con của vành R. Khi đó ánh xạ bao hàm: iA : A −→ R định bởi iA (x) = x là một đơn cấu, gọi là ñôn caáu chính taéc. 3) Giả sử I là một ideal của vành R. Khi đó ánh xạ π : R −→ R/I định bởi π(x) = x + I là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính taéc. 4) Giả sử R, R là hai vành. Khi đó ánh xạ f : R −→ R định bởi f(x) = 0R (0R là phần tử không của vành R ) là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường. 5) Cho R laø moät vaønh coù ñôn vò vaø a ∈ R khaû nghòch. Khi đó ánh xạ f : R −→ R định bởi f(x) = axa−1 là một tự đẳng cấu của R. Thật vậy, dễ thấy f là một song ánh, hơn nữa f là 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> đồng cấu vì f(x + y) = a(x + y)a−1 = axa−1 + aya−1 = f(x) + f(y), f(xy) = a(xy)a−1 = (axa−1)(aya−1) = f(x)f(y); vaäy f laø ñaúng caáu. 6) Xét ánh xạ f : Z6 −→ Z6 định bởi f(x) = 4x. Khi đó f là đồng cấu vành vì f(x + y) = f(x + y) = 4(x + y) = 4x + 4y = f(x) + f(y), f(x y) = f(xy) = 4xy = 4x y+12x y = 16x y = (4x)(4y) = f(x)f(y). 3.3. Mệnh đề. Nếu f : R −→ R là một đồng cấu vành thì f(0R ) = 0R và f(−x) = −f(x) với mọi x ∈ R. 3.4. Mệnh đề. Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành. Đặc biệt, tích của hai đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành cũng là đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng caáu) vaønh. 3.5. Mệnh đề. Ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành cũng là ñaúng caáu vaønh. 3.6. Định lý. Cho đồng cấu vành f : R → R và A là một vành con của R, A là một vành con của R . Khi đó (i) f(A) laø moät vaønh con cuûa R . (ii) f −1 (A) là một vành con của R. Hơn nữa, nếu A là moät ideal cuûa R thì f −1 (A) cuõng laø ideal cuûa R. Ñaëc bieät, Imf = f(R) laø vaønh con cuûa R vaø Kerf = f −1 (0R ) laø ideal cuûa R. Ta goïi Imf laø aûnh cuûa f vaø Kerf laø haït nhaân cuûa f. 3.7. Định lý. Đồng cấu vành f : R −→ R là đơn cấu khi và chæ khi Kerf = {0R }. 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 3.8. Định lý đẳng cấu 1. Cho đồng cấu vành f : R −→ R . Khi đó ánh xạ f : R/Kerf −→ R định bởi f (x+Kerf) = f(x) laø ñôn caáu vaønh. Ñaëc bieät, R/Kerf  Imf. 3.9. Ñònh lyù ñaúng caáu 2. Cho R laø moät vaønh vaø I laø moät ideal, A là một vành con của R. Khi đó I + A là vành con của R; I laø ideal cuûa I + A; I ∩A laø ideal cuûa A vaø A/I ∩A  (I + A)/I qua ñaúng caáu vaønh x + I ∩ A → x + I. 3.10. Ñònh lyù ñaúng caáu 3. Cho R laø moät vaønh vaø I laø moät ideal của R. Khi đó (i) A laø moät vaønh con cuûa vaønh thöông R/I khi vaø chæ khi A có dạng A/I với A là một vành con của R và A chứa I. (ii) A laø moät ideal cuûa vaønh thöôngR/I khi vaø chæ khi A có dạng A/I với A là một ideal của R và A chứa I. Hơn nữa, ta coù (R/I)/(A/I)  R/A qua ñaúng caáu (x + I) + (A/I) → x + A. 3.11. Ví duï Xét đồng cấu vành f : Z6 −→ Z6 định bởi f(x) = 4x, ta có Imf = 4Z6 = 2Z6 = {2x|x ∈ Z6 }; Kerf = {x ∈ Z6 |4x = 0} = {x ∈ Z6 |4x ≡ 0( mod 6)} = {x ∈ Z6 |x ≡ 0( mod 3)} = 3Z6 . Theo Ñònh lyù ñaúng caáu ta coù Z6/3Z6  2Z6 . Bài 2.19. Cho f là một tự đồng cấu của vành R. Chứng minh rằng tập hợp I = {x ∈ R|f(x) = x} 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> laø moät vaønh con cuûa R.. 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> §4. Miền nguyên và trường 4.1 Ñònh nghóa (i) Cho R là một vành giao hoán. Phần tử x ∈ R \ {0} được gọi là ước của 0 nếu tồn tại y ∈ R \ {0} sao cho xy = 0. (ii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không được gọi là miền nguyên. (iii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch được gọi là một trường. 4.2. Nhaän xeùt 1) Trong miền nguyên R, phép nhân có tính giản ước cho các phần tử khác không nghĩa là nếu xy = xz và x = 0 thì y = z. Thật vậy, từ xy = xz ta suy ra x(y − z) = xy − xz = 0 từ đó y − z = 0, nghĩa là y = z (do x = 0 và R không có ước của khoâng). 2) Mọi trường R chỉ có hai ideal là {0} và R. 3) (R, +, .) là một trường khi và chỉ khi các tính chất sau đây được thỏa: i) (R, +) laø nhoùm Abel; ii) R \ {0} laø nhoùm Abel; iii) Phép nhân phân phối với phép cộng. 4.3. Ví duï 1) Tập các số nguyên Z với phép cộng và nhân thông thường là miền nguyên nhưng không là trường. 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> 2) Tập hợp các số hữu tỷ Q với phép cộng và nhân thông thường là trường. Ta gọi đó là trường các số hữu tỷ Q. Tương tự, ta có trường các số thực R và trường các số phức C. 3) Vành Zn các số nguyên modulo n là trường khi và chỉ khi n = p nguyeân toá (Baøi taäp 2.25). 4.4. Định lý. (i) Mọi trường đều là miền nguyên. (ii) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trường. 4.5. Nhaän xeùt Giả thiết hữu hạn trong (ii) của Định lý 4.4 không thể bỏ được. Chẳng hạn Z là miền nguyên vô hạn nhưng không phải là trường. 4.6. Ñònh nghóa Cho R là một trường và I là một tập con khác rỗng của R ổn định đối với hai phép toán trong R. Ta nói I là một trường con của R nếu I với hai phép toán cảm sinh từ R cũng là một trường. 4.7. Ví duï Trường các số hữu tỷ Q là trường con của trường các số thực R. Tương tự, R là trường con của C. 4.8. Định lý (Đặc trưng của trường con). Cho R là một trường và I là tập con của R có chứa ít nhất hai phần tử. Các mệnh đề sau tương đương: (i) I là một trường con của R; (ii) Với mọi x, y ∈ I, x + y ∈ I, xy ∈ I, −x ∈ I và hơn nữa, nếu x = 0 thì x−1 ∈ I; (iii) Với mọi x, y ∈ I, x − y ∈ I và hơn nữa, nếu x = 0 thì x y ∈ I. −1. 39.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Xét R là một trường với phần tử đơn vị e. Trong nhóm cộng R, phần tử đơn vị e hoặc có cấp hữu hạn hoặc có cấp vô hạn. Giả sử e có cấp hữu hạn là n. Khi đó n phải là số nguyên tố, vì nếu không thì có 1 < m, k < n sao cho n = mk dẫn đến 0 = ne = (mk)e = (me)(ke), suy ra me = 0 hoặc ke = 0, mâu thuẫn với tính chất của cấp n. Vậy nếu e có cấp hữu hạn thì cấp đó phải là số nguyên tố. Trường hợp e có cấp vô hạn, ta nói R là trường có đặc số (hoặc đặc trưng) 0, ký hiệu là charR = 0. Trường hợp e có cấp hữu hạn p, ta nói trường R có đặc số (hoặc đặc trưng) p, ký hiệu là charR = p. 4.9. Ví duï 1) Các trường số Q, R, C đều có đặc số 0; 2) Với p nguyên tố, trường Zp các số nguyên modulo p có ñaëc soá p. 4.10. Định lý. Cho R là một trường. Các mệnh đề sau tương ñöông: (i) charR = 0; (ii) Với mọi x ∈ R \ {0} và n ∈ Z, nếu nx = 0 thì n = 0; (iii) R chứa một trường con đẳng cấu (vành) với Q. 4.11. Định lý. Cho R là một trường và p là một số nguyên tố. Các mệnh đề sau tương đương: (i) charR = p; (ii) Với mọi x ∈ R \ {0} và n ∈ Z, nx = 0 khi và chỉ khi p|n; (iii) R chứa một trường con đẳng cấu (vành) với Zp . Bài 2.23. Trong trường các số phức C xét √ √ Q( 2) = {a + b 2| a, b ∈ Q} vaø Q(i) = {a + bi| a, b ∈ Q}. 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> C.. √ a) Chứng minh rằng Q( 2) và Q(i) là các trường con của √ b) Chứng minh rằng Q( 2) và Q(i) không đẳng cấu. √ c) Tìm tất cả các trường con của Q( 2); của Q(i).. Bài 2.24. Chứng  a a) K = −b với Q(i).  a b) F = 2b √ với Q( 2).. minh raèng   b : a, b ∈ Q là một trường đẳng cấu a b a. .  : a, b ∈ Q. là một trường đẳng cấu. Bài 2.25. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng caùc khaúng ñònh sau töông ñöông: a) Zn laø moät mieàn nguyeân; b) Zn là một trường; c) n laø moät soá nguyeân toá. Bài 2.26. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị; I là một ideal cuûa R vaø I khaùc R. Ta noùi i) I là ideal tối đại của R nếu chỉ có hai ideal chứa I là I vaø R. ii) I là ideal nguyên tố của R nếu tính chất sau được thỏa: Với mọi x, y ∈ R, nếu xy ∈ I thì x ∈ I hay y ∈ I. Chứng minh rằng a) R/I laø mieàn nguyeân khi vaø chæ khi I laø ideal nguyeân toá. b) R/I là trường khi và chỉ khi I là ideal tối đại.. 41.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Bài 2.27. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và R có hơn một phần tử. Chứng minh rằng các khẳng định sau tương ñöông: a) R là một trường; b) R chæ coù hai ideal laø {0} vaø R. c) Mọi đồng cấu vành từ R vào một vành bất kỳ hoặc là đồng cấu 0 hoặc là đơn cấu. Bài 2.35.Tìm tất cả các tự đồng cấu của các trường sau: a) Truờng các số hữu tỉ Q. √ b) Trường Q( 2). c) Trường Q(i). d) Trường các số thực R. e) Trường các số phức C sao cho các tự đồng cấu đó thu hẹp trên R là ánh xạ đồng nhất.. 42.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Chöông III. VAØNH ĐA THỨC §1. Vành đa thức một ẩn 1.1. Ñònh nghóa Giả sử R là một vành giao hoán và có đơn vị 1. Gọi A là tập hợp tất cả các dãy (a0, a1, ..., an, ...), trong đó các ai ∈ R, ∀i ∈ N và bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn. Như vậy A là một bộ phận của lũy thừa Descartes RN . Ta ñònh nghóa pheùp coäng vaø nhaân trong A nhö sau: Giả sử f = (a0, a1, ..., an, ...) và g = (b0 , b1, ..., bn, ...) là các phần tử tùy ý của A. Khi đó f + g = (a0 + b0, a1 + b1, ..., an + bn , ...), fg = (c0 , c1 , ..., cn, ...), trong đó ck =. . ai bj , k = 0, 1, 2, .... i+j=k. 43.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Dễ dàng kiểm tra lại rằng A cùng với hai phép toán đó lập nên một vành giao hoán, có đơn vị là (1, 0, 0, ...), phần tử không của vành này là (0, 0, 0, ...). Ta sẽ ký hiệu phần tử đơn vị của A là 1 và phần tử không của A là 0. Ñaët x = (0, 1, 0, 0, ...). Deã thaáy raèng x2 = (0, 0, 1, 0, ...); x3 = (0, 0, 0, 1, 0, ...); xn = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...).   n phần tử 0. Ta quy ước x0 = (1, 0, 0, ...) và mỗi phần tử a ∈ R có thể đồng nhất với dãy (a, 0, 0, ...) nhờ đơn cấu vành R −→ A a −→ (a, 0, 0, ...). Nhö vaäy axn = (0, 0, ..., 0, a, 0, ...), ∀a ∈ R.   n phần tử 0. Do đó f = (a0 , a1, ..., an, 0, 0, ...) = a0 + a1x + ... + an xn , và thường được viết là f(x) = an xn + ... + a1 x + a0 . Cách biểu thị như vậy là duy nhất đối với mỗi phần tử f ∈ A. Noùi caùch khaùc, an xn + ... + a1x + a0 = bn xn + ... + b1x + b0 44.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> khi vaø chæ khi a n = bn , . . . , a 1 = b1 , a 0 = b0 . Vành A nói trên được gọi là vành đa thức của ẩn x (hoặc biến x) với các hệ số trong R, và được ký hiệu là R[x]. Mỗi phần tử của R[x] được gọi là một đa thức của ẩn x trên R. Đa thức dạng axn (a ∈ R) được gọi là một đơn thức. Giả sử f(x) = an xn + ... + a1x + a0 với an = 0. Khi đó ta nói đa thức f(x) có bậc là n và ký hiệu degf = n hay degf(x) = n. Phần tử ai được gọi là hệ số thứ i của f(x), phần tử an được gọi là hệ số cao nhất, còn phần tử a0 được gọi là hệ số tự do. Bậc của đa thức 0 được quy ước là −∞. Deã daøng thaáy raèng: i) deg(f(x) + g(x)) ≤ max{degf(x), degg(x)} ii) deg(f(x)g(x)) ≤ degf(x) + degg(x) với f(x) và g(x) là hai đa thức bất kỳ trên R. 1.2. Ñònh lyù. Neáu D laø moät mieàn nguyeân thì D[x] cuõng laø một miền nguyên, hơn nữa, với mọi f(x), g(x) ∈ D[x], ta có deg(f(x)g(x)) = degf(x) + degg(x). 1.3. Định lý (Phép chia Euclide). Giả sử K là một trường và f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] sao cho f(x) = g(x)q(x) + r(x), với degr(x) < degg(x). Các đa thức q(x) và r(x) được gọi tương ứng là thương và dö trong pheùp chia f(x) cho g(x). 45.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> 1.4. Ví duï Trong thực hành, để thực hiện phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta sắp đặt như việc chia số nguyên. Chẳng hạn trong Z11[x], để tìm thương và dư trong phép chia đa thức f(x) = −1x3 − 7x2 + 3x − 5 cho. g(x) = −2x2 + 2x − 1,. ta vieát −1x3 − 7x2 + 3x − 5 −2x2 + 2x − 1 −1x3 + 1x2 − 6x 6x + 4 2 − 8x + 9x − 5 − 8x2 + 8x − 4 1x − 1 Vaäy −1x3 − 7x2 + 3x − 5 = (−2x2 + 2x − 1)(6x + 4) + 1x − 1. 1.5. Ñònh nghóa Cho các đa thức f(x), g(x) ∈ K[x], ở đây K là một trường vaø g(x) = 0. Neáu toàn taïi q(x) ∈ K[x] sao cho f(x) = q(x)g(x) thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) (hay g(x) là ước của f(x)) trong K[x]. Một đa thức d(x) ∈ K[x] là ước của hai đa thức f(x) và g(x) được gọi là ước chung của f(x) và g(x). Nếu d(x) là ước chung của f(x) và g(x), đồng thời d(x) chia hết cho mọi ước chung khác của f(x) và g(x) thì d(x) được gọi là ước chung lớn nhất của f(x) và g(x), viết tắt là UCLN, ký hiệu là d(x) = (f(x), g(x)). Để đảm bảo tính duy nhất của UCLN, ta 46.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> quy ước rằng hệ số cao nhất của UCLN bao giờ cũng lấy bằng 1. 1.6. Thuaät chia Euclide Để tìm UCLN của hai đa thức f(x), g(x) ∈ K[x] ta dùng thuật chia Euclide bằng cách thực hiện một số hữu hạn phép chia lieân tieáp nhö sau: f(x) = g(x)q(x) + r(x), degr(x) < degg(x) g(x) = r(x)q1 (x) + r1 (x), degr1(x) < degr(x) ...... rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x), degrk (x) < degrk−1 (x) rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x). Đa thức dư cuối cùng khác 0 trong dãy phép chia nói trên chính laø rk (x) vaø UCLN =. rk (x) . heä soá cao nhaát cuûa rk (x). 1.7. Ví duï Trong R[x] cho các đa thức f(x) = 4x4 − 2x3 − 16x2 + 5x + 9 vaø g(x) = 2x3 − x2 − 5x + 4. Tìm d(x) = (f(x), g(x)) và tìm các đa thức u(x), v(x) ∈ R[x] sao cho f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x). 47.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> Giải. Để tìm UCLN của f(x) và g(x), ta thực hiện dãy các phép chia lieân tieáp 4x4 − 2x3 − 16x2 + 5x + 9 2x3 − x2 − 5x + 4 4x4 − 2x3 − 10x2 + 8x 2x 2 − 6x − 3x + 9 f(x) = g(x)q(x) + r(x), r(x) = −6x2 − 3x + 9, q(x) = 2x. Nhân g(x) với 3 rồi chia cho r(x): 6x3 − 3x2 − 15x + 12 6x3 + 3x2 − 9x − 6x2 − 6x + 12 − 6x2 − 3x + 9 − 3x + 3. −6x2 − 3x + 9 −x + 1. 3g(x) = r(x)q1(x) + r1(x), q1(x) = −x + 1, r1 (x) = −3x + 3. Laáy r(x) chia cho r1 (x) ta coù −6x2 − 3x + 9 −3x + 3 −6x2 + 6x 2x + 3 − 9x + 9 − 9x + 9 0 r(x) = (2x + 3)r1 (x). Do đó ta có r1 (x) = −3x + 3 là dư cuối cùng khác 0. Theo quy ước, ta sẽ lấy d(x) = (f(x), g(x)) = x − 1. Theo quaù trình treân ta coù r1 (x) = 3g(x) − r(x)q1(x) = 3g(x) − q1(x)(f(x) − g(x)q(x)) = (3 + q(x)q1(x))g(x) − q1(x)f(x). 48.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> Suy ra d(x) =. −x + 1 2x2 − 2x − 3 f(x) + g(x). 3 3. 1.8. Đa thức bất khả quy trên miền nguyên Neáu D laø mieàn nguyeân thì D[x] cuõng laø mieàn nguyeân (Ñònh lý 1.2). Đa thức f(x) ∈ D[x] khác không, không khả nghịch goïi laø baát khaû quy trong D[x] (hay coøn goïi laø baát khaû quy trên D) nếu nó không có ước thực sự trong D[x], tức là nếu f(x) = g(x)h(x) (g(x), h(x) ∈ D[x]) thì g(x) hay h(x) phaûi laø phần tử khả nghịch của D. Nói riêng, nếu K là một trường thì các phần tử khả nghịch trong K[x] chính là các phần tử khác không của K. Đa thức f(x) ∈ K[x], khaùc khoâng, khoâng khaû nghòch laø baát khaû quy treân K khi vaø chæ khi neáu f(x) = g(x)h(x), (g(x), h(x) ∈ K[x]) thì g(x) hay h(x) là phần tử khác không của K. Số các đa thức bất khả quy trên một trường là vô hạn. Cụ thể ta có định lý sau: Bài 3.2. Xác định các số thực a, b, c sao cho đa thức f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c chia heát cho x + 2 vaø chia cho x2 − 1 thì dö x. Bài 3.4. Cho F là một trường và K là một trường con của F . Chứng minh rằng với f, g ∈ K[x], f là ước của g trong K[x] khi và chỉ khi f là ước của g trong F [x]. Bài 3.12. Cho F là một trường và a, b ∈ F ; a = 0. Chứng minh raèng f(x) ∈ F [x] baát khaû qui khi vaø chæ khi f(ax + b) baát khaû qui.. 49.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> §2. Nghiệm của đa thức 2.1. Ñònh nghóa Giả sử c ∈ R và f(x) = an xn + ... + a1x + a0 ∈ R[x]. Phần tử f(c) = an cn + ...a1c + a0 được gọi là giá trị của f(x) tại c. Nếu f(c) = 0 thì c được gọi là nghiệm của f(x). Tìm nghiệm của f(x) trong R là giải phương trình đại số an xn + ... + a1x + a0 = 0 trong R. 2.2. Định lý Bezout. Phần tử c của trường K là nghiệm của đa thức f(x) ∈ K[x] khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x − c. 2.3. Sơ đồ Horner Cho f(x) = an xn + ... + a1x + a0 ∈ K[x] vaø c ∈ K. Ta duøng sơ đồ Horner dưới đây để tìm q(x) = bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0 vaø r = f(c) trong thuaät chia Euclide f(x) = (x − c)q(x) + r. c. an bn−1 = an. an−1 bn−2 = an−1 + cbn−1. ... .... a1 b0 = a1 + cb1. a0 r= a0 + cb0. 2.4. Ví duï a) Trong Q[x] cho f(x) = 3x5 + 4x4 − 2x3 + 5x2 − x + 6 và c = 4 ∈ Q. Ta có sơ đồ Horner như sau: 3 4 4 3 16. −2 5 −1 62 253 1011 50. 6 4050.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> Vaäy f(x) = (x − 4)q(x) + r với q(x) = 3x4 + 16x3 + 62x2 + 253x + 1011 vaø r = f(4) = 4050. b) Trong Z7 [x] cho f(x) = 2x5 −x3 +3x2 −2 vaø c = −3 ∈ Z7 . Ta có sơ đồ Horner như sau: 2 0 −1 3 0 −2 −3 2 1 3 1 −3 0 Vậy f(x) = (x + 3)q(x) với q(x) = 2x4 + x3 + 3x2 + x − 3, r = 0. Đa thức f(x) chia hết cho x + 3 nên c = −3 là một nghiệm cuûa f(x). 2.5. Định lý. Cho đa thức f(x) trên trường K, degf(x) = n ≥ 0. Khi đó f(x) có nhiều nhất n nghiệm trên K. 2.6. Hệ quả. Nếu hai đa thức trên trường K có cùng bậc n và lấy những giá trị bằng nhau tại n + 1 phần tử khác nhau cuûa K thì chuùng baèng nhau. 2.7. Nhaän xeùt Thực ra Hệ quả 2.6 vẫn còn đúng cho các đa thức trên miền nguyeân R. Neáu R khoâng phaûi laø mieàn nguyeân thì heä quaû treân không đúng. 2.8. Ñònh nghóa Cho đa thức f(x) trên trường K. . a) Neáu f(x) = a0 ∈ K, ñaët f (x) = 0. Neáu f(x) = với n ≥ 1, đặt f  (x) = cuûa f(x).. n . n . a k xk. k=0. kak xk−1 . Ta gọi f  (x) là đạo hàm. k=1. 51.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> b) Ñaët f (0)(x) = f(x), f (1)(x) = f  (x), f (2) (x) = (f (1)(x)) , . . ., f (k) (x) = (f (k−1) (x)) , ∀k ∈ N∗ . Ta nói f (m) (x) là đạo hàm caáp m cuûa f(x), ∀m ∈ N. 2.9. Khai trieån Taylor Cho đa thức f(x) trên trường K và degf(x) = n. Khi đó với mỗi c ∈ K đa thức f(x) có thể khai triển duy nhất dưới daïng n  f(x) = ck (x − c)k . k=0. Thật vậy, thực hiện phép chia f(x) cho x − c ta có f(x) = (x − c)g(x) + c0 , trong đó c0 ∈ K và g(x) ∈ K[x] (degg(x) = n − 1) xác định duy nhất theo Định lý 1.3. Lại tiếp tục thực hiện phép chia g(x) cho x − c ta coù duy nhaát c1 ∈ K vaø g1 (x) ∈ K[x] sao cho g(x) = (x − c)g1 (x) + c1 , degg1 (x) = n − 2. Khi đó ta có f(x) = (x − c)2 g1 (x) + c1(x − c) + c0 . Lặp lại quá trình trên, cuối cùng ta được f(x) = cn (x − c)n + cn−1 (x − c)n−1 + · · · + c1 (x − c) + c0. Nhờ sơ đồ Horner ta dễ dàng thu được các hệ số c0 , ..., cn như baûng sau: c c .. .. an an an .. .. an−1 ∗ ∗ .. .. c c. an cn = a n. cn−1. 52. ... ... ... .. .. a1 ∗ c1. a0 c0.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> 2.10. Ví duï Trong vành Q[x], để phân tích đa thức f(x) = x4 − x3 + 1 theo các lũy thừa của x − 3 ta lập sơ đồ Horner 3 3 3 3 3. 1 1 1 1 1 1. −1 2 5 8 11. 0 6 21 45. 0 18 81. 1 55. Từ đó f(x) = (x − 3)4 + 11(x − 3)3 + 45(x − 3)2 + 81(x − 3) + 55. 2.11. Nhaän xeùt Trong trường hợp K là trường có đặc số 0 thì các hệ số ck trong khai triển Taylor có thể tính theo các đạo hàm của đa thức f(x) như sau: f (k) (c) , ck = k! nghóa laø n  f (k) (c) (x − c)k . f(x) = k! k=0. 2.12. Ñònh nghóa Giả sử k là một số tự nhiên khác không, R là miền nguyên. Phần tử c ∈ R được gọi là nghiệm bội k của đa thức f(x) ∈ R[x] neáu f(x) chia heát cho (x − c)k nhöng khoâng chia heát cho (x − c)k+1 , nghóa laø f(x) coù theå phaân tích thaønh f(x) = (x − c)k g(x) 53.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> với g(x) ∈ R[x] và g(c) = 0. 2.13. Nhaän xeùt i) Neáu f(x) =. n . ck (x − c)k laø khai trieån Taylor cuûa ña. k=0. thức f(x) thì c là nghiệm bội m khi và chỉ khi cm = 0 và ci = 0, ∀i < m. ii) Nói riêng, nếu f(x) ∈ K[x] với charK = 0 thì c ∈ K là nghieäm boäi m cuûa f(x) khi vaø chæ khi f (m) (c) = 0 vaø f (i)(c) = 0, ∀i < m. 2.14. Ví duï Trong Z7 [x], cho f(x) = 2x4 − 3x3 + 2x − 3 vaø c = −2 ∈ Z7 . Để kiểm tra xem c có là nghiệm của f(x) hay không, nếu có thì là nghiệm bội bao nhiêu, ta sẽ dùng sơ đồ Horner một số laàn lieân tieáp nhö sau: −3. 0. 2. −3. −2 2. 0. 0. 2. 0. −2 2. 3. 1. 0. −2 2. −1. 3. 2. Căn cứ vào sơ đồ Horner ta thấy c = −2 là một nghiệm kép cuûa f(x). Bài 3.5. Chứng minh rằng trong vành C[x], f(x)|g(x) khi và chỉ khi mọi nghiệm của f(x) đều là nghiệm của g(x) và mọi nghiệm bội cấp k của f(x) đều là nghiệm bội cấp l với l ≥ k cuûa g(x). Bài 3.6. Trong các trường hợp sau hãy chứng minh f|g trong Q[x]. a) f(x) = x(x+1)(2x+1) vaø g(x) = (x+1)2n −x2n −2x−1. 54.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> b) f(x) = x2 − x + 1 vaø g(x) = (x − 1)n+2 + x2n+1 . c) f(x) = x2 + x + 1 vaø g(x) = x3k + x3m+1 + x3n+2. trong đó k, m, n là các số nguyên dương. Bài 3.7. Tìm điều kiện của k, m, n ∈ N để f|g trong Q[x] cho mỗi trường hợp sau: a) f(x) = x2 + x + 1 vaø g(x) = x2n + xn + 1. b) f(x) = x2 + x + 1 vaø g(x) = (x + 1)n + xn + 1. c) f(x) = x2 − x + 1 vaø g(x) = (x − 1)n + xn + 1. d) f(x) = x2 − x + 1 vaø g(x) = x3k − x3m+1 + x3n+2 . Bài 3.8. Với mỗi số nguyên dương k, đặt fk (x) = xk − 1 là đa thức với hệ số hữu tỉ. Chứng minh rằng với mọi m, n ∈ N∗ , a) fm |fn khi vaø chæ khi m|n. b) (fm , fn ) = fd với d = (m, n). Bài 3.9. Cho F là trường Q hay trường Z5 và f, g ∈ F [x]. Tìm h = (f, g); k = [f, g] vaø u, v ∈ F [x] thoûa h = uf + vg trong các trường hợp sau: a) f(x) = 4x4 − 2x3 − 16x2 + 5x + 9 vaø g(x) = 2x3 − x2 − 5x + 4. b) f(x) = x5 +3x4 +x3 +x2 +3x+1 vaø g(x) = x4 +2x3 +x+2. c) f(x) = 4x4 −8x3 +9x2 −5x+1 vaø g(x) = 4x4 +x2 +3x+1. Bài 3.10. Trong các trường hợp sau hãy tìm khai triển Taylor của đa thức f ∈ R[x] tại x0. Xét xem x0 là nghiệm bội cấp mấy của f và tìm các đạo hàm f (i) (x0) với 1 ≤ i ≤ 6. a) f(x) = x5 − 2x4 − 5x3 + 15x2 − 12x + 12 vaø x0 = 2. b) f(x) = x5 − 5x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 9 vaø x0 = 3. 55.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> c) f(x) = x6 − 6x5 + 13x4 − 15x3 + 18x2 − 20x + 8 vaø x0 = 2. d) f(x) = 8x6 −12x5 +6x4 +7x3 −12x2 +6x−1 vaø x0 = 1/2.. 56.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> §3. Đa thức nội suy Lagrange 3.1. Bài toán Cho x1, x2 , ..., xn , c1, c2, ..., cn là các phần tử của trường K, trong đó xi = xj , ∀i = j. Tìm tất cả các đa thức f(x) ∈ K[x] sao cho f(xi ) = ci , ∀i. Ñaët ϕ(x) = (x − x1)(x − x2)...(x − xn ) =. n . (x − xj ),. j=1. ϕi (x) =.  ϕ(x) = (x − xj ), 1 ≤ i ≤ n, (x − xi ) j=i. ψi(x) =.  (x − xj ) ϕi (x) = , 1 ≤ i ≤ n, ϕi (xi) (xi − xj ) j=i. f0 (x) = c1 ψ1(x) + c2 ψ2(x) + ... + cn ψn (x) =. n . ci ψi (x).. i=1. Khi đó ta có kết quả sau: 3.2. Mệnh đề. Với giả thiết và ký hiệu như trên, đa thức f(x) ∈ K[x] thoûa maõn ñieàu kieän f(xi ) = ci , i = 1, 2, ..., n khi vaø chæ khi f(x) coù daïng f(x) = f0 (x) + g(x)ϕ(x). (1). với g(x) là đa thức nào đó của K[x]. 3.3. Nhaän xeùt Trong (1), lấy g(x) là đa thức không thì ta có f(x) = f0(x) cũng là đa thức thỏa điều kiện f(xi ) = ci , hơn nữa degf(x) ≤ n − 1. 57.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> 3.4. Ví duï Tìm tất cả các đa thức f(x) ∈ R[x] sao cho f(−4) = 2, f(−1) = 3, f(5) = −6 vaø f(7) = 9. Giaûi. Ñaët ϕ(x) ϕ1 (x) ϕ2 (x) ϕ3 (x) ϕ4 (x). = = = = =. (x + 4)(x + 1)(x − 5)(x − 7), (x + 1)(x − 5)(x − 7), (x + 4)(x − 5)(x − 7), (x + 4)(x + 1)(x − 7), (x + 4)(x + 1)(x − 5).. Suy ra ϕ1 (−4) = −297, ϕ2(−1) = 144, ϕ3(5) = −108, ϕ4(7) = 176. 1 1 1 1 ϕ1 , ψ 2 = ϕ2 , ψ 3 = − ϕ3 , ψ 4 = ϕ4 . 297 144 108 176 Khi đó tất cả các đa thức cần tìm có dạng Ñaët ψ1 = −. f(x) = 2ψ1(x)+3ψ2 (x)−6ψ3(x)+9ψ4(x)+g(x)ϕ(x), g(x) ∈ R[x]. Bài 3.11. Trong các trường hợp sau hãy tìm tất cả các đa thức f thỏa điều kiện đã cho: a) f ∈ R[x] thoûa f(2) = 4; f(3) = 6; f(4) = 8. b) f ∈ Z5 [x] thoûa f(2) = 1; f(−1) = 3; f(3) = 2. c) f ∈ Z101[x] thoûa f(2) = 30; f(5) = 21; f(3) = −13.. 58.

<span class='text_page_counter'>(59)</span> §4. Đa thức trên trường số thực và phức 4.1. Định lý cơ bản của Đại số. Mọi đa thức f(x) bậc n ≥ 1 trên trường số phức đều có n nghiệm phức (kể cả số bội). 4.2. Hệ quả. Các đa thức bất khả quy của vành C[x], C là trường số phức, là các đa thức bậc nhất. 4.3. Mệnh đề. Nếu một số phức α là nghiệm của đa thức f(x) với hệ số thực thì số phức liên hợp α cũng là một nghiệm của f(x). 4.4. Định lý (Các đa thức bất khả quy trong R[x]). Các đa thức bất khả quy trong R[x] là các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai ax2 + bx + c với biệt số Δ = b2 − 4ac < 0. Bài 3.14. Trong các trường hợp sau hãy phân tích f thành tích các đa thức bất khả qui trên Q, trên R và trên C: a) f(x) = x5 + 2x4 − 2x3 − 15x − 18. b) f(x) = x5 + 2x4 − 7x3 − 14x2 − 18x − 36. c) f(x) = x5 − 2x4 − 4x3 + 4x2 − 5x + 6. d) f(x) = 16x6 − 36x5 − 84x4 + 99x3 + 201x2 + 45x − 25. e) f(x) = 9x6 − 30x5 + 49x4 − 28x3 − 4x2 + 16x + 4. f) f(x) = −4x6 − 23x5 − 63x4 − 85x3 − 57x2 − 8x − 16.. 59.

<span class='text_page_counter'>(60)</span> §5. Đa thức trên trường số hữu tỷ 5.1. Nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số hữu tỷ Cho f(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1x + a0, an = 0 là một đa thức với hệ số hữu tỷ. Khi đó f(x) có thể được viết dưới dạng f(x) = b−1 (bn xn + bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0) = b−1 g(x), trong đó b là mẫu số chung của các phân số ai (i = 1, 2, ..., n) và bi là những số nguyên. Tập nghiệm của f(x) bằng tập nghiệm của g(x). Vậy việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỷ có thể đưa về việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số nguyên. Do đó giả sử f(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1x + p a0, n ≥ 1 là một đa thức với hệ số nguyên và α = , (p, q) = 1 q là nghiệm hữu tỷ của f(x). Khi đó a) p là ước của a0 còn q là ước của an . b) p − q là ước của f(1) còn p + q là ước của f(−1). 5.2. Ví duï Tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức f(x) = x5 − 8x4 + 20x3 − 20x2 + 19x − 12. Vì toång caùc heä soá cuûa f(x) baèng 0 neân 1 laø moät nghieäm cuûa f(x). Chia f(x) cho x − 1 ta được đa thức thương là g(x) = x4 − 7x3 + 13x2 − 7x + 12. Dễ thấy rằng g(α) > 0, ∀α < 0, do đó g(x) không có nghiệm âm. Các nghiệm hữu tỷ của g(x) đều nguyên và phải là các 60.

<span class='text_page_counter'>(61)</span> ước dương của 12. Ta lần lượt xét các ước dương của 12 là 2, 3, 4, 6, 12 ta coù g(1) = 12, g(−1) = 40, g(−1) 40 = , 1+2 3. g(−1) 40 = , 1+6 7. g(−1) 40 = 1 + 12 13. khoâng phaûi laø caùc soá nguyeân neân caùc soá 2, 6, 12 khoâng phaûi laø nghiệm của g(x) (theo tính chất 2b). Với α = 3 và α = 4 thì g(1) g(−1) , 1−α 1+α nguyên nên chúng có thể là nghiệm của g(x). Ta lại sử dụng sơ đồ Horner để kiểm tra xem 3 và 4 có phải là nghiệm của g(x) hay khoâng. 1 −7 13 3 1 −4 1 4 1 0 1. −7 12 −4 0 0. Vậy ta có các nghiệm nguyên của g(x) là 3 và 4. Do đó các nghiệm hữu tỷ của f(x) là 1, 3 và 4. 5.3. Bổ đề. Nếu f(x) là đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hôn 0 vaø f(x) khoâng baát khaû quy trong Q[x] thì f(x) phaân tích được thành tích những đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số nguyeân. 5.4. Tieâu chuaån Eisenstein Giả sử f(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1x + a0 (n > 1) là đa thức với hệ số nguyên và giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho: 61.

<span class='text_page_counter'>(62)</span> i) heä soá cao nhaát an khoâng chia heát cho p, taát caû caùc heä soá còn lại đều chia hết cho p; ii) hệ số tự do a0 không chia hết cho p2 . Khi đó f(x) là một đa thức bất khả quy trong Q[x]. 5.5. Ví duï Dùng tiêu chuẩn Eisenstein để chứng minh các đa thức sau ñaây baát khaû quy trong Q[x]. a) x4 − 8x3 + 12x2 − 6x + 2; b) x4 − x3 + 2x + 1. Giải. a) Xét tiêu chuẩn Eisenstein với p = 2, ta thấy rằng hệ soá cao nhaát khoâng chia heát cho 2, taát caû caùc heä soá coøn laïi chia hết cho 2, hệ số tự do không chia hết cho 22 . Vậy đa thức đã cho baát khaû quy trong Q[x]. b) Để đa thức đã cho như vậy ta không áp dụng được tiêu chuẩn Eisenstein nên ta phân tích đa thức theo lũy thừa của x − 1, ta coù x4 − x3 + 2x + 1 = (x − 1)4 + 3(x − 1)3 + 3(x − 1)2 + 3(x − 1) + 3. Đa thức y 4 + 3y 3 + 3y 2 + 3y + 3 là bất khả quy vì thỏa mãn tiêu chuẩn Eisenstein với p = 3. Do đó đa thức đã cho bất khả quy trong Q[x]. Bài 3.15. Chứng minh rằng các đa thức sau bất khả qui trên Q. a) x4 − 8x3 + 12x2 − 6x + 3. b) x4 − x3 + 2x + 1. c) xp−1 + ... + x + 1 với p là số nguyên tố dương. d) 5x3 + 6x2 + 5x + 25. 62.

<span class='text_page_counter'>(63)</span> e) 7x3 + 6x2 + 11x + 11. f) x3 − 3n2 x + n3 với n nguyên dương. g) 3x4 + 5x3 − 4x + 1. h) x4 − 9x3 + 6x − 1. i) x4 + 8x3 + x2 + 2x + 5.. 63.

<span class='text_page_counter'>(64)</span>