tài liệu toán tài chính k58ktkt nguyenvantien0405

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.81 MB, 130 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HÀM

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

OUR GOAL

6.1. Khái niệm cơ bản: hàm 2 biến số; một số hàm 2 biến trong phân tích kinh tế và tài
chính

6.2. Giới hạn của hàm 2 biến số 
6.3. Tính liên tục của hàm 2 biến số

6.4. Đạo hàm riêng và vi phân hàm 2 biến

6.4.1. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1
6.4.2. Đạo hàm riêng và vi phân cấp n

6.4.3. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp hai biến số, hàm ẩn
6.4.4. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong tài chính

6.5. Cực trị của hàm 2 biến số ứng dụng trong tài chính

6.5.1.Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc của hàm 2 biến
6.5.2. Cực trị có điều kiện ràng buộc: của hàm 2 biến

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN

Định nghĩa: Cho không gian:

Ánh xạ:

Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D
Mỗi cặp (x,y) tương ứng với một số thực z

x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc

(

)

(

)

, ,

f D R

x y z f x y

=
a

(

)

{

}

,

: ,

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN

Mỗi cặp (x,y) tương ứng với một số thực z
x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc

Tập D là miền xác định (domain)

Miền giá trị (range) của hàm f

   



, ,



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN

A) Ta có:

Tập xác định:

b) Ta có:

Tập xác định:

3, 2 3 2 1 6

3 1 2

f    



 



, 1 0, 1



D  x y x y   x 

3, 2 3ln 2



2 3



f   

 



, 2



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÍ DỤ 1

Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau:

(

)

(

)

(

)

) ,

) , ln 2 1

a f x y y x

b f x y x y

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN

Định nghĩa: Cho không gian:

Ánh xạ:

Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D
Mỗi cặp (x,y,z) tương ứng với một số thực u

x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) sao cho
giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực.

(

)

(

)

, , , ,

f D R

x y z u f x y z

=
a

(

)

{

}

3 , , : , , 3

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ĐỒ THỊ.

Định nghĩa. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thì
đồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) sao cho









</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN





2 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN





2 2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN







4 2 1



x2 y2
f x y x e 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ

a) Hàm sản xuất

b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận
c) Hàm lợi ích

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

HÀM SẢN XUẤT

Hàm sản xuất là hàm dạng:

Q=Q(K,L)

trong đó K là vốn, L là lao động.

Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng:

trong đó a, α, β là hằng số dương.

,

Q

aK L

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

HÀM TỔNG CHI PHÍ, TỔNG DOANH THU, TỔNG LỢI

NHUẬN

Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu
tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là giá thuế
đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định.

Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là
giá thị trường của sản phẩm.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

HÀM LỢI ÍCH

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

HÀM CUNG, HÀM CẦU

Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng
là P1, P2,…,Pn. Khi đó

Hàm cung:

Hàm cầu:

1 2

( , , , )

i

S i n

Q



S P P



P

1 2

( , , , )

i

D i n

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

LIMIT

When need the concept of limit?

Continuity of functions

Defining derivatives // velocity, tangent line, acceleration,
rate of change

Defining integral // calculating areas, distance, volume,
length (quantities)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

SINGLE VARIABLE

What happens to f(x) when x gets closer to 2 but not
equal to 2?



f(x) gets closer to 4.

Ste
p 2
3

Step
1

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

NOTATION

What happens to f(x) when x gets closer to 2 but not
equal to 2?

Answer: 4

x



2 limf(x) = ?

4

• Read: “the limit of f, as x approaches a, equals L”

• f(x) approaches L as x approaches a

• f(x) tend to get closer and closer to L as x gets closer and closer to a

• f(x) goes to L as x goes to a

lim

� →�

�

(

�

)=

�

x goes to a, we

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

MULTIVARIABLE

What happens to f(x,y) when (x,y) gets closer to (0,0) but
not equal to (0,0)?

(x,y)



(0,0)

limf(x,y) = ?

lim

( � , � ) →(�, �)

�

(

�

,

�

)=

�

(x,y) goes to (a,b)

we never

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

GIỚI HẠN HÀM NHIỀU BIẾN

- Giới hạn hàm 1 biến

- Giới hạn hàm 2 biến

- Sự khác biệt

 

lim





x a

f x

L

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26></div>
(27)<div class='page_container' data-page=27></div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

VÍ DỤ

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

VÍ DỤ 2

Tìm các giới hạn sau

Sinh viên tự tham khảo thêm

       





       

2 3 2
2 2

, 0,1 , 1,2

2 2

2 2 2 2

, 1,2 , 0,0

) lim ) lim 2

3 3

) lim ) lim

x y x y

x y

a b x y x y xy

x y

x y x y

c d

x y x y

 

 


</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Định nghĩa. Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu

Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D.

Định lý. Các hàm đa thức liên tục tại mọi điểm. Các hàm hữu tỉ
liên tục trên miền xác định của nó.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

VÍ DỤ 3.

Tìm các khoảng liên tục của hàm số:





2 2
2 2

, x y

f x y

x y




</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

ĐẠO HÀM RIÊNG

Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D.

Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x.

Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến
x.

Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y
Ký hiệu:

(

)

(

)

(

)

(

)

, , '

x x x x

y y y y

f z

f x y ff x y D f z

x x x

f z

f x y ff x y D f z

y y y

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

ĐẠO HÀM RIÊNG

Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại điểm (x0,y0)

Lấy đạo hàm riêng theo biến nào thì xem biến còn lại như
hằng số và tiến hành lấy đạo hàm như hàm 1 biến.

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0

, ,

' lim

, ,

' lim

x x x

y y y

f x y f x y

f
f

x x x

f x y f x y

f
f

y y y

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

-VÍ DỤ 4.

Cho hàm số

Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số)

Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số)

3 3 2 4

z = x + xy - y

'y 6 4

z = xy - y

2 2

'x 3 3

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

VÍ DỤ 5.

Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:

Với hàm nhiều hơn hai biến ta làm tương tự.













3 2 3 2

) , 2

) , sin

1
) , , xy ln

a f x y x x y y
x

b f x y

y
c f x y z e z

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 gọi là ĐHR
cấp 2

Tương tự cho các cấp cao hơn.
Ký hiệu:

   

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

x x xx x y xy

y x yx y y yy

z f z z f z

f f f f

x x x x y x x y x y

z f z z f z

f f f f

x y y x y x y y y y

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

VÍ DỤ 6.

Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau.

Đáp án

3 2

z



x



y



xy

'

3 '

2 "

6 "

1 "

2

x y

xx xy

yy

z

x

y

z

y x

z

x

z













</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

VÍ DỤ 7.

Tính các ĐHR cấp 2 của hàm số:

) y ) xy ) ln x

a z x b z e c z

y

 

    

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

VÍ DỤ 8.

Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:

Hỏi:

- Hàm 2 biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2?
- Hàm n biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2?

- Thứ tự lấy ĐHR có ảnh hưởng đến kết quả???



,



3 2 3

2

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

Định lý Clairaut. Giả sử hàm f được xác định trên đĩa D chứa
điểm (a,b). Nếu các hàm số liên tục trên D thì:

Ma trận Hessian.

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

n

n n n n

x x x x x x
x x x x x x

x x x x x x

f f f

H

f f f

  
 
 
  
 
 
 
  

 
 


   




,





,



xy yx

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

VÍ DỤ 9.

Tìm ma trận Hess của hàm ba biến sau

Sinh viên kiểm tra lại kết quả dưới đây

3 4 5

( , , )

f x y z



x y z

2 4 5 2 3 5 2 4 4
2 3 5 3 2 5 3 3 4
2 4 4 3 3 4 3 4 3

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z
H x y z x y z x y z
x y z x y z x y z

 

 

 

 

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

VI PHÂN TOÀN PHẦN HÀM NHIỀU BIẾN

Cho hàm hai biến f(x,y) có các đạo hàm riêng f’x; f’y
Khi đó biểu thức:

Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biến đã cho.
Ý nghĩa:

 dx
 dy
 df

x y

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

VÍ DỤ 10.

Hàm số

Có vi phân tồn phần là

3 2

z x





y



xy



3 



2 

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

VI PHÂN CẤP 2

Vi phân cấp 2 của hàm hai biến f(x,y) là biểu thức có
dạng:

Chú ý:

2 2

2 2 2 2

xy

x y

d f  f dx  f dxdy  f dy









2 2 2

2 2 2 2

x y

xx xy yx yy

xx xy yy

d f d df d f dx f dy

d f f dx f dxdy f dydx f dy
d f f dx f dxdy f dy

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

VÍ DỤ 11.

A) Vi phân cấp 2 của hàm số:

là

B) Tính vi phân cấp 2 của hàm số:









2 2 2 3 3

2 2

) ln )

) z sin

a z x y b z xy x y

c x y

   

 

3 2

z



x



y



xy

6

2

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46></div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

KHÁI NIỆM HÀM ẨN

Trong nhiều trường hợp, mặc dù ta có thể chứng minh
được rằng phương trình F(x,y)=0 xác định một hàm số
y=y(x) nhưng ta không thể biểu diễn y theo x một cách
trực tiếp. Trong trường hợp đó ta phải xét hàm số y gián
tiếp dưới dạng phương trình F(x,y)=0.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình

F(x,y)=0. Ta có:

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

VÍ DỤ 20.

A) Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác định bởi
phương trình:

Đ/S:

B) Tìm đạo hàm của y biết





2 2

2 x



y



1 0



y



0

2 '

x

x

y





3 3 6

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50></div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Cuc dai

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52></div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC ĐẠI

Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D
Xét điểm

Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có:

Thì M0 gọi là điểm cực đại của hàm số.











,





,



</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

CỰC ĐẠI HÀM HAI BIẾN











,





,



</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC TIỂU

Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D
Xét điểm

Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có:

Thì M0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số.











,





,



</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

CỰC TIỂU HÀM HAI BIẾN











,





,



</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

VÍ DỤ 12.

Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 và điểm

Ta có:

Do giá trị hàm số tại M0 nhỏ hơn giá trị hàm số tại mọi
điểm xung quanh nó (khác M0) nên M0 là điểm cực tiểu

của hàm số.





















2 2 2

1;0 2

, 2 3 1 2 2

f M f

f M f x y x y x x y

 

         







 



</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực tiểu của
hàm nhiều biến.

Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,…,xn) xác định và có các đạo
hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D.

Điểm là điểm:
Cực đại khi?

Cực tiểu khi?

1 2

( , ,...., )n

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

ĐIỀU KIỆN CẦN

Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất

cả các biến độc lập trong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu)

tại điểm

thì

Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.

Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ.

1 2

( , ,...., )n

M x x x D

1 2

( , ,...., ) 0 ,n 1, 2, ,
i

f

x x x i n

x



 

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

Để hàm số đạt cực trị tại điểm M thì:

+ Điều kiện cần:

+ Điều kiện đủ: theo ma trận Hess tại M

1. Xác định dương  Cực tiểu

2. Xác định âm  Cực đại

3. Còn lại  Chưa kết luận





0 , 1, 2, ,
i

f

M i n

x



 

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61></div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA CỰC TRỊ

Giả sử

là điểm dừng của hàm số f(x1,x2,…,xn) và tại điểm đó hàm
số có tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.

Đặt:

1 2

( , ,...., )

n

M x x

x



D

1 2

( , ,...., ) ( , 1,2, , )

ij n

i j

f

a x x x i j n

x x



 

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ CÓ CỰC TRỊ

Ma trận Hess:

Xét các định thức con chính:

11 12 1
21 22 2

1 2

n
n

n n nn

a a a

H

a a a

 
 
 


 
 
 


   


11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

11 12
1 11 2

21 2

1 2 1 2

, , , , ,

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a a a a a
a a

D a D D D

a a

a a a a a a

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

TIÊU CHUẨN XÉT CỰC TRỊ

i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 thì M là điểm cực tiểu của hàm số

ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)n Dn>0 thì M là điểm cực đại của

hàm số

iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) và tồn tại k sao cho Dk=0 thì chưa

thể kết luận về cực trị địa phương của hàm số tại . Hàm số có
thể đạt cực trị hoặc khơng đạt cực trị tại điểm M. Muốn có
được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

ÁP DỤNG CHO HÀM 2 BIẾN

Ma trận Hess hàm 2 biến:

( ) ; ( ) ( ); ( )
xx xy yx yy

A B
A f M B f M f M C f M H

B C
D A

A B

D AC B

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

ÁP DỤNG CHO HÀM 2 BIẾN

i) Nếu A>0, ∆>0 thì M là điểm cực tiểu

ii) Nếu A<0, ∆>0 thì M là điểm cực đại

iii) Nếu ∆<0 thì M không là điểm cực trị

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67></div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

VÍ DỤ













2 2
4 4
3 3

)

,

)

,

c)

,













a f x y

x

y

b f x y

x

y

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN

1. Tìm tập xác định

2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2
3. Giải hệ pt tìm điểm dừng

4. Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng
5. Xét dấu định thức cấp 2

6. Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếu có)

' 0

x
y

z
z










</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

VÍ DỤ 13.

Tìm cực trị của hàm số

Đ/S: cực tiểu tại M(1;1)

3 3

( , )

3

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

VÍ DỤ 14.

Tìm cực trị của hàm số:

4 4 2 2 5 5

2 2

3 3

) 2 ) 5

) ) 3 6

) 6

a z x y x xy y b z xy x y

x

c z y d z x xy y x y

x y

e z x y xy

       

       

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

VÍ DỤ 15. (cực trị hàm 3 biến)

Tìm cực trị của hàm số

Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2)

3 2 2

( , , )

2

3

1.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Tìm cực trị của hàm số:

Với điều kiện:

Hướng dẫn. Giải điều kiện, đưa về hàm 1 biến
Nhưng nếu điều kiện phức tạp thì???





f x y xy  x

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0

Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên

thì tồn tại số λ sao cho:

Số λ được gọi là nhân tử Lagrange.

Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm số Lagrange.

0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
( , ) 0

f

x y x y

x x

f

x y x y

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Ta viết lại phương trình đã cho dạng:

Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y)
Giải phương trình ta có λ, x0,y0

0 0
0 0
0 0

( , ) 0

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

HAI BIẾN CHỌN – ĐK ĐỦ

Ta xét giá trị của định thức

Hoặc

Tại các điểm dừng tìm được

xx xy x
yx yy y

x y

L L L

D L L L

L L L



  
  
  

  
0

x y x y

x xx xy x xx xy
y yx yy y yx yy

L L L

D L L L L L

L L L L L

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

ĐIỀU KIỆN ĐỦ

Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điều kiện của
hàm số.

Nếu D<0 thì M(x0;y0) là điểm cực tiểu có điều kiện của
hàm số.

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

CÁCH 2. SỬ DỤNG VI PHÂN CẤP 2

Tính giá trị sau:

Nếu D>0 thì là cực tiểu
Nếu D<0 thì là cực đại.

 

2

xx y yy x xy x y

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

VÍ DỤ 16.

Tìm cực trị của hàm số

với điều kiện:

Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3)
Cực đại tại N(-4/3;-5/3)

( , ) 6 4

3 f x y

 

x



y

2 1.

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

VÍ DỤ 17.

1. Tìm cực trị của hàm số:
Với điều kiện:

2. Tìm cực trị của hàm số:
Với điều kiện:





f x y   x y

2 2 1

x  y 





8 15 2

f x y  x  y 

2 2

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

GTLN, GTNN (THAM KHẢO)

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập đóng, 
bị chặn

Cho D là tập đóng, bị chặn trong miền có biên cho bởi
phương trình ϕ(x1,x2,…,xn)=0

Giả sử f(x1,x2,…,xn) là hàm số liên tục trên D.

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

GTLN, GTNN (THAM KHẢO)

B1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với điều kiện ϕ(x1,x2,
…,xn)=0.

B2. Tìm các điểm dừng của f(x1,x2,…,xn) thuộc D.

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

VÍ DỤ 18.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

trong miền

Đ/S:

2 2

( , ) x

2 f x y





y



x

2 2

:

1 D x



y



1 1 1 3 9

min ,0 ; max ,

2 4 2 2 4

D f f D f f

 

         

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

VÍ DỤ 19.

Miền D:

Biên của miền D là

Bước 1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện:

Bước 2. Tìm các điểm dừng thuộc D của hàm số

Bước 3. So sánh giá trị hàm số tại các điểm tìm được và kết
luận.

2 2

1 0

x



y





2 2

( , )

2

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

VÍ DỤ 19.

Bước 1.

Hàm Lagrange:

Ta có hệ phương trình:



, ,



2 2 2



2 2 1



L x y  x  y  x  x  y 













2 2 2 2

2 2

2 2 1
2 2 1

0 2 1 2 0

0 4 2 0 2 0

2
1 0

0 1 0

1 0

x
y

x
x

L x x

y

L y y y

x y

L x y

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

VÍ DỤ 19.

Giải tiếp hpt ta có 4 nghiệm

Như vậy có 4 điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện:

Đặt 4 điểm như sau:

1/ 2 3 / 2 2 2

0 0 1/ 2 1/ 2

1 1 3 / 2 3 / 2

y y x x

x x y y

       
 
 
 
   
   
     
 
   

2 2

1 0

x



y





















1 1;0 ; 2 1;0 ; 3 1/ 2; 3 / 2 ; 4 1/ 2; 3 / 2

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

VÍ DỤ 19.

Bước 2.

Hệ phương trình tìm điểm dừng:

Ta nhận điểm này vì thuộc miền D do:





5
0 2 1 0 1/ 2

1/ 2;0

0 4 0 0

x
y

f x x

M

f y y

 
     


  
  
   
  


2 2 1 0 1 1

4 4

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

VÍ DỤ 19.

Bước 3.

Ta có:

Tương tự:







1;0



12 2.02 1 0

f M  f    







 



















2 2
2
3 4
5

1;0 1 2.0 1 2

1 3 9 1 3 9

; ; ;

2 2 4 2 2 4

1 1

2 4

f M f

f M f f M f

f M f

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

VÍ DỤ 19.

So sánh giá trị hàm số tại M1, M2, M3, M4, M5 ta có:













5
3 4
1 1

min ,0
2 4

1 3 9

max ,

2 2 4

D

f f M f

f f M f M f

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

ỨNG DỤNG

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

HÀM SẢN XUẤT

Hàm sản xuất là hàm dạng:

Q=Q(K,L)

trong đó K là vốn, L là lao động.

Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng:

trong đó a, α, β là hằng số dương.

,

Q

aK L

 

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

HÀM TỔNG CHI PHÍ, TỔNG DOANH THU, TỔNG LỢI

NHUẬN

Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu
tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là giá thuế
đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định.

Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là
giá thị trường của sản phẩm.

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

HÀM LỢI ÍCH

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

HÀM CUNG, HÀM CẦU

Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng
là P1, P2,…,Pn. Khi đó

Hàm cung:

Hàm cầu:

1 2

( , , , )

i

S i n

Q



S P P



P

1 2

( , , , )

i

D i n

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ CẬN BIÊN

Xét mơ hình hàm kinh tế:

trong đó xi là các biến số kinh tế.

Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M được
gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó.

Ý nghĩa: biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w khi
giá trị xi thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến
độc lập cịn lại khơng thay đổi.



, ,...,

2 n



</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX

Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L)

Các đạo hàm riêng:

được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của tư

bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL)
tại điểm (K, L)

'K f ( , ); 'L f ( , )

Q K L Q K L

K L

 

 

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX

Đạo hàm riêng:

Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử
dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử

dụng lao động.

Đạo hàm riêng:

Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử
dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử
dụng tư bản.

'K f ( , )

Q K L

K






'L f ( , )

Q K L

L




</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

VÍ DỤ 21.

Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là:

trong đó K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao
động và sản lượng hàng ngày. Giả sử doanh nghiệp đó
đang sử dụng 16 đơn vị sản phẩm và 81 đơn vị lao động
trong một ngày tức là K=16; L=81. Xác định sản lượng cận
biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý

nghĩa.

1 3
4 4

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM LỢI ÍCH

Cho hàm lợi ích:

Đạo hàm riêng:

MUi gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i.

Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có
thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị
các hàng hóa khác khơng thay đổi.

1 2

( , ,..., )n
U U x x x

( 1, )

i

U

MU i n

x



 

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

VÍ DỤ 22.

Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng
đối với 2 loại hàng hóa là.

Trong đó x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U

là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày.

Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1
và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận

biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.

3 1
2 2
1 2

2

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

HỆ SỐ CO GIÃN RIÊNG

Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn).

Hệ số co giãn của của hàm w theo biến xi tại điểm M là số
đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xi thay
đổi 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc lập khác
không đổi, được ký hiệu và xác định như sau:













0 0 0 0

1 2 0 0 0

1 2
0 0 0

1 2
, ,....,

. , ,....,
, ,....,
i
n
f i
x n
i n

f x x x x

voi M x x x

x f x x x

 

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

VÍ DỤ 23.

Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai hàng hóa có
liên quan có dạng:

p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2.

a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giá của

hàng hóa đó tại (p1,p2)

b) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giá của

hàng hóa thứ hai tại (p1,p2)

c) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và cho biết ý

nghĩa của tại điểm (20,30).

2 2
1 1 2

5 6300 2

3

d

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

GIẢI

Ta có:

Tại điểm (20,30) ta có:

Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa 2 ở
mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% cịn giá hàng hóa 2 khơng
đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự, nếu giá của
hàng hóa 1 khơng đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăng thêm 1% thì cầu đối
với hàng hóa 1 cũng giảm 0,75%.

1 1

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

4 . ; .

5 3 5

6300 2 6300 2

3 3
d d
Q Q
p p
p p
p p

p p p p

   

   

1 1

1 0, 4; 2 0,75

d d

Q Q

p p

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN

Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)

là hàm cận biên của hàm kinh tế trên
theo biến x.

là hàm cận biên của hàm kinh tế trên
theo biến y.

'x z f ( , )

z x y

x x

 

 

 

'y z f ( , )

z x y

y y

 

 

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN

Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói
rằng

Giá trị z – cận biên của biến x giảm dần khi x tăng và y

không đổi.

Giá trị z – cận biên của biến y giảm dần khi y tăng và x

không đổi

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN

Cơ sở toán học:

là hàm số giảm khi

2 2

( , ) 0

z

f

x y

x









( , )

z

f

x y

x







( , )

z

f

x y

y







2 2

( , ) 0

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

VÍ DỤ 24.

Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb –
Douglas như sau:

Tìm điều kiện của α, β để hàm số trên tuân theo quy luật
lợi ích cận biên giảm dần.

( , ,

0)

Q aK L

 

a

 

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

HÀM THUẦN NHẤT

Hàm số z=f(x,y) được gọi là hàm thuần nhất cấp k nếu với
mọi t>0 ta có:

Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm thuần nhất cấp (α+β) vì với mọi 
t>0 ta có:

( , )

k

( , )

f tx ty



t f x y





( , )

( ) ( )

( , )

Q tK tL

a tK



tL



t

 

aK L

 

t

 

Q K L

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

VÍ DỤ 25.

Các hàm sau có là hàm thuần nhất khơng? Tìm cấp tương
ứng.

0,5 0,5

2 2

1

4 )

9

2 )

a Q

K

K L

L

xy

b z

x

y







</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ SẢN XUẤT

Xét hàm sản xuất Q=f(K;L)

trong đó K, L là yếu tố đầu vào, Q là yếu tố đầu ra.

Bài toán đặt ra là: Nếu các yếu tố đầu vào K, L tăng gấp

m lần thì đầu ra Q có tăng gấp m lần hay không ?
Ta tiến hành so sánh:

(

,

)

( , )

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

HIỆU QUẢ THEO QUY MƠ SẢN XUẤT

Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng
theo quy mơ.

Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm
theo quy mơ.

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

HIỆU QUẢ CỦA QUY MƠ VỚI BẬC THUẦN NHẤT

Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) là hàm thuần nhất cấp k.
+ Nếu k>1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy
mơ.

+ Nếu k<1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy

mơ.

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

VÍ DỤ 26.

Xét vấn đề hiệu quả theo quy mô của các hàm sản xuất
sau:

0,5 0,5

1

4 )

9 )

a Q

K

K L

L

b Q aK L

 





</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

CỰC TRỊ HÀM KINH TẾ – VÍ DỤ 27.

Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết

hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị
thời gian là:

và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là

Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

1 2 1 2

1 2

1230 5 1350 3

14 14

P P P P

Q    Q   

2 2

1 2 1 1 2 2

( , )

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

VÍ DỤ 27.

Hướng dẫn:
Ta có:

Hàm tổng doanh thu:

1 2
1

1 2 1 1 1 2

1 2 1 2 2 2 1 2

1230 5

5 1230 14 360 3

1350 3 3 1350 14 570 5

P P

Q P P Q P Q Q

P P P P Q P Q Q

Q
 



        

 
  
         
 











1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 2

1 2 1 2 1 2

360 3 570 5

3 5 2 360 570

TR PQ P Q Q Q Q Q Q Q
TR Q Q Q Q Q Q

       

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

VÍ DỤ 27.

Hàm tổng chi phí:

Hàm lợi nhuận:

Hệ pt tìm điểm dừng:

2 2

1 1 2 2

TC Q Q Q Q

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 2

3 5 2 360 570

4 3 6 360 570

TR TC Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q



         
    
1
2

1 2 1

1 2 2

8 3 360 0 30

3 12 570 0 40

Q

Q Q Q

Q Q Q

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

VÍ DỤ 27.

Ta có:

Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại Q1=30; Q2=40



 



1 1 1 2 2 2

8 3 12

8 0; 8 12 3 87 0

Q Q Q Q Q Q

A

     

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

VÍ DỤ 28.

Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm
là:

trong đó là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là
lượng lao động, w là tiền lương cho một lao động, K là
tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản
phẩm.

Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, 
r = 0,02, P = 3.

w

R C

PQ

L rK



 





1/3

.

1/3

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

VÍ DỤ 29.

Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất 3
loại sản phẩm là:

Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu
được lợi nhuận tối đa.

Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200

2 2 2

3

7

300 1200

4

1 3

20 Q

Q Q

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

VÍ DỤ 30.

Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm
cầu đối với hai loại sản phẩm đó như sau:

Với hàm chi phí kết hợp là:

Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bán tương ứng để
doanh nghiệp đó thu lợi nhuận tối đa.

1300

1 2

675 0,5

Q





p

Q





p

2 2

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

ĐÁP ÁN

Ta có:

1 1

2 2

250;

1050

100;

1150

Q

p

Q

p



</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

VÍ DỤ 31.

Một cơng ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở
với hàm chi phí tương ứng là:

Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2.
Hàm cầu ngược về sản phẩm của cơng ty có dạng:

A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đề tối đa hóa

lợi nhuận.

B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn
của cầu theo giá.

2 2

128 0, 2

;

156 0,1

TC





Q

TC





Q

1 2

600 0,1 ; trong do

600

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

ĐÁP ÁN

A) Q1=600; Q2=1200

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

VÍ DỤ 32.

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6$, giá thuê một đơn vị
lao động là 4$. Giá bán một sản phẩm là 2$.

Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận của
doanh nghiệp tối đa.

Đáp số: K=1/36; L=1/16





0,5 0,5

0;

0

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

VÍ DỤ 33.

Cho hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa:

(x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2; x>0,
y>0).

Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2USD, 3USD và thu
nhập dành cho người tiêu dùng là 130USD. Hãy xác định
lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu
được lợi ích tối đa.



,



0,4

.

0,6

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

VÍ DỤ 34.

Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng

quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên đài truyền hình (y phút).
Hàm doanh thu:

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng,
trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là
B=180 triệu đồng.

a) Tìm x, y để cực đại doanh thu.

b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu
cực đại tăng lên bao nhiêu ?



,



320

2

3

5

540 2000

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

VÍ DỤ 35.

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 trong đó 
Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động. Doanh nghiệp thuê một
đơn vị vốn là 3$; một đơn vị lao động là 1$. Ngân sách chi
cho yếu tố đầu vào là B=160$.

A) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

VÍ DỤ 35.

B) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng
tối đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ thì
sản lượng tối đa tăng lên bao nhiêu đơn vị?

C) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên
giảm dần hay khơng?

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

ĐÁP ÁN

A) Hiệu quả không đổi
Sản lượng tăng 1,5%
B) K=L=40; Qmax=1600

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

VÍ DỤ 36.

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K:

vốn và L: lao động)

A) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất.

B) Giả sử thuê tư bản là 4$, giá thuê lai động là 3$ và doanh
nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định là 1050$. Hãy
cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và
bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa.

Đáp án

</div>

tài liệu toán tài chính k58ktkt nguyenvantien0405

<b>HÀM</b>

<b>OUR GOAL</b>

<b>KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN</b>

(

)

(

)

(

)

{

}

<sub>,</sub>

<sub>: ,</sub>

<b>KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN</b>





<b>TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN</b>

<b>TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN</b>













<b>VÍ DỤ 1</b>

(

)

(

)

(

)

<b>KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN</b>

(

)

(

)

(

)

{

}

<b>ĐỒ THỊ.</b>









<b>ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN</b>





<b>ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN</b>





<b>ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN</b>

<b>ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN</b>









<b>HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ</b>

<b>HÀM SẢN XUẤT</b>

,

<i>Q</i>

<i>aK L</i>

<b>HÀM TỔNG CHI PHÍ, TỔNG DOANH THU, TỔNG LỢI </b>

<b>NHUẬN</b>

<b>HÀM LỢI ÍCH</b>

<b>HÀM CUNG, HÀM CẦU</b>

( , , , )

<i>Q</i>



<i>S P P</i>



<i>P</i>

( , , , )

<b>LIMIT</b>

<b>SINGLE VARIABLE</b>

x



2

limf(x) = ?