Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1
<b>Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH </b>

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH </b>

<b>VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC </b>

Chuyên đề giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức ln là một bài tốn hay được
nhiều bạn học sinh đặc biệt là các bạn trường chuyên rất quan tâm. Trong bài học hôm nay xin
được đưa ra một số phương pháp đặc biệt để giải những bài toán đặc biệt. Dùng chữ “đặc biệt” ở
đây bởi lẽ cách giải bài tốn sẽ địi hỏi các bạn phải có một kiến thức thật tốt ở tất cả các chuyên
đề khác của toán học như chuyên đề bất đẳng thức (BĐT), chuyên đề khảo sát hàm số, chuyên đề
lượng giác v.v…Sau đây xin giới thiệu một số phương pháp giải sau:

<b>1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy </b>

<i>Cho hai số dương </i>𝑎, 𝑏<i>. Khi đó ta có BĐT sau: </i>𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏<i>. Ngồi ra ta cịn có hai BĐT Chauchy </i>
<i>ngược như sau: </i>𝑎𝑏 ≤(𝑎+𝑏)2

4 <i> và </i>𝑎𝑏 ≤
𝑎2+𝑏2

2 <i>. </i>

<b>Ví dụ 1. Giải phương trình sau: </b>√𝒙𝟐_{+ 𝟑𝒙 + 𝒙√𝟏 + 𝟑𝒙 = (𝒙 + 𝟏)}𝟐_(𝟏)

<i>Giải:</i> Điều kiện: {𝑥2+ 3𝑥 ≥ 0
1 + 3𝑥 ≥ 0 ⇔ {

[𝑥 ≤ −3
𝑥 ≥ 0
𝑥 ≥ −1

3

⇔ 𝑥 ≥ 0.

Áp dụng BĐT cauchy ngược cho 2 cặp số dương 2√𝑥 ,√𝑥 + 3 và 2𝑥, √1 + 3𝑥 ta có

√𝑥2 _{+ 3𝑥 =}1

2. 2√𝑥. √𝑥 + 3 ≤
1
2.

4𝑥 + 𝑥 + 3
2
𝑥√1 + 3𝑥 =1

22𝑥√1 + 3𝑥 ≤
1
2.

4𝑥2_{+ 1 + 3𝑥}

2

Cộng 2 vế lại ta có:

√𝑥2 _{+ 3𝑥 + 𝑥√1 + 3𝑥 ≤}4𝑥 + 𝑥 + 3

4 +

4𝑥2 _{+ 1 + 3𝑥}

4 = (𝑥 + 1)

2_{ℎ𝑎𝑦 𝑉𝑇 ≤ 𝑉𝑃}

Dấu “=” xảy ra ⇔ {2√𝑥 = √𝑥 + 3

2𝑥 = √1 + 3𝑥 ⇔ 𝑥 = 1.

<b>Ví dụ 2. Giải phương trình sau: </b>𝟏𝟑√𝒙𝟐_{− 𝒙}𝟒_{+ 𝟗√𝒙}𝟐_{+ 𝒙}𝟒_{= 𝟏𝟔 (𝟐)}
<i>Giải:</i> Điều kiện: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Áp dụng BĐT cauchy ngược cho 2 cặp số 𝑥, 2√1 − 𝑥2_và_3𝑥_,_{2√1 + 𝑥}2

13√𝑥2_{− 𝑥}4 _{= 13𝑥√1 − 𝑥}2 ₌13

2 𝑥. 2√1 − 𝑥2 ≤
13

2 .

𝑥2_{+ 4 − 4𝑥}2

2 =

13

4 (4 − 3𝑥

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

9√𝑥2 _{+ 𝑥}4 ₌3

23𝑥. 2√1 + 𝑥2 ≤
3
2.

9𝑥2_{+ 4 + 4𝑥}2

2 =

3

4(4 + 13𝑥

2_).

Cộng hai vế ta có

13√𝑥2_{− 𝑥}4 _{+ 9√𝑥}2_{+ 𝑥}4 _≤1

4[13(4 − 3𝑥

2_{) + 3(4 + 13𝑥}2_{)] = 16}

Dấu “=” xảy ra ⇔ { 𝑥 = 2√1 − 𝑥2

3𝑥 = 2√1 + 𝑥2 ⇔ 𝑥 =

2√5

5 .

Thơng thường đối với các dạng tốn thi trong phổ thông thường cho các bạn dễ nhẩm được nghiệm
để các bạn có thể đưa ra các nhóm số dương 𝑎, 𝑏 dễ dàng trước khi áp dụng BĐT Cauchy. Đối với
loại bài tốn như ví dụ 2 sẽ đòi hỏi thời gian để các bạn có thể tìm ra được nhóm 𝑎, 𝑏 phù hợp.
Loại bài tốn như ví dụ 2 thường chỉ sử dụng đối với các hình thức thi chuyên, thi tuyển học sinh
giỏi, cịn đối với chương trình phổ thơng và thi tốt nghiệp hay đại học các bạn không nên bận tâm
quá.

<i>Bài tập minh họa </i>

Giải các phương trình sau:
a. 3√𝑥3_{+ 4𝑥 = 𝑥}2_{+ 2𝑥 + 4}_.

b. 4√1 − 𝑥2 _{+ √1 − 𝑥}4

+ √1 + 𝑥4 = 3.
c. 2 √1 − 𝑥3 +4

3√𝑥 + 1 = 𝑥
2 ₊10

3.
<b>2. Lượng giác hóa phương trình </b>

Đối với các phương trình vơ tỉ mà điều kiện để tồn tại phương trình là |𝑥| ≤ 𝑎 thì ta có thể sử dụng
phương pháp lượng giác hóa để giải quyết bài tốn bằng cách đặt 𝑥 = √𝑎 sin 𝑡 hoặc 𝑥 = √𝑎 cos 𝑡.

<b>Ví dụ 3.Giải phương trình sau: </b>𝟏 + √𝟏 − 𝒙𝟐_{= 𝒙(𝟏 + 𝟐√𝟏 − 𝒙}𝟐_{) (𝟑).}
<i>Giải:</i> Điều kiện: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Đặt 𝑥 = sin 𝑡 với 𝑡 ∈ [−𝜋

2,
𝜋

2]. Khi đó:

(3) ⇔ 1 + cos 𝑡 = sin 𝑡 (1 + 2 cos 𝑡) ⇔ sin 𝑡 − cos 𝑡 + 2 sin 𝑡 cos 𝑡 − 1 = 0.

Dạng phương trình đối xứng (tự giải tiếp).

<b>Ví dụ 4.Giải phương trình sau: </b>𝟏
𝒙+

𝟏

√𝟏−𝒙𝟐 = 𝟐 (𝟏 +
√𝟑

𝟑) (𝟒).
<i>Giải:</i> Tự giải

<i>Bài tập minh họa </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

a. 1

1−𝑥2=
3𝑥

√1−𝑥2− 1.

b. 𝑥 + √2 − 𝑥2 _{= √2}_.

c. 𝑥3 + √(1 − 𝑥2₎3 _{= 𝑥√2(1 − 𝑥}2₎_.
<b>3. Sử dụng tính biến thiên của hàm số </b>

a. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷. Nếu hàm 𝑓 đồng biến (tương ứng nghịch biến) trên 𝐷

thì:

 Phương trình: 𝑓(𝑢(𝑥)) = 𝑓(𝑣(𝑥)) ⇔ 𝑢(𝑥) = 𝑣(𝑥).

 BPT: 𝑓(𝑢(𝑥)) > 𝑓(𝑣(𝑥)) ⇔ 𝑢(𝑥) > 𝑣(𝑥) (tương ứng 𝑢(𝑥) < 𝑣(𝑥)).

b. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) xác định trên 𝐷. Nếu hàm 𝑓 đồng biến, 𝑔 nghịch biến (hoặc
ngược lại) thì phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) có nghiệm duy nhất.

<b>Ví dụ 5.Giải phương trình sau: </b>(𝒙 − 𝟏)(𝟑 + √𝒙𝟐_{− 𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝟐𝒙(𝟑 + √𝟒𝒙}𝟐_{+ 𝟐) = 𝟎 (𝟓)}
<i>Giải:</i> (5) ⇔ (𝑥 − 1) (3 + √(𝑥 − 1)2_{+ 2) = (−2𝑥) (3 + √(−2𝑥)}2_{+ 2)}

⇔ 𝑓(𝑥 − 1) = 𝑓(−2𝑥).

Trong đó 𝑓(𝑡) = 𝑡(3 + √𝑡2_{+ 2)}_{. Vì}_𝑓′_{(𝑡) = 3 + √𝑡}2_{+ 2 +} 𝑡2

√𝑡2₊₂> 0, ∀𝑡 nên hàm số 𝑓(𝑡) ln

đồng biến. Khi đó phương trình:

𝑓(𝑥 − 1) = 𝑓(−2𝑥) ⇔ 𝑥 − 1 = 2𝑥 ⇔ 𝑥 =1
3.

<b>Ví dụ 6.Giải BPT: </b>√𝒙𝟐_{− 𝟐𝒙 + 𝟑 − √𝒙}𝟐_{− 𝟔𝒙 + 𝟏𝟏 > √𝟑 − 𝒙 − √𝒙 − 𝟏 (𝟔)}
<i>Giải:</i> Điều kiện: {3 − 𝑥 ≥ 0

𝑥 − 1 ≥ 0⇔ 1 ≤ 𝑥 ≤ 3.

(6) ⇔ √𝑥2_{− 2𝑥 + 3 + √𝑥 − 1 > √𝑥}2 _{− 6𝑥 + 11 + √3 − 𝑥}

⇔ √(𝑥 − 1)2_{+ 2 + √𝑥 − 1 > √(3 − 𝑥)}2_{+ 2 + √3 − 𝑥 ⇔ 𝑓(𝑥 − 1) > 𝑓(3 − 𝑥)}

Trong đó 𝑓(𝑡) = √𝑡2_{+ 2 + √𝑡}_với_{𝑡 ≥ 0}_{. Vì}_𝑓′_{(𝑡) =} 𝑡
√𝑡2₊₂+

1

2√𝑡 > 0, ∀𝑡 ≥ 0 nên hàm số 𝑓(𝑡)

đồng biến. Khi đó BPT:

𝑓(𝑥 − 1) > 𝑓(3 − 𝑥) ⇔ 𝑥 − 1 > 3 − 𝑥 ⇔ 𝑥 > 2.

So sánh với điều kiện suy ra BPT có nghiệm là 2 < 𝑥 ≤ 3.

<b>Ví dụ 7. Giải phương trình sau: </b>𝟑√𝒙 + 𝟔+ 𝒙𝟐= 𝟕 − √𝒙 − 𝟏 (𝟕)<b>. </b>
<i>Giải:</i> Điều kiện: 𝑥 ≥ 1 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

Đặt {𝑓(𝑥) = √𝑥 + 6
3

+ 𝑥2

𝑔(𝑥) =7 −√𝑥 − 1 ⇒{

𝑓′(𝑥)= 1

3( √𝑥+63 )2+ 2𝑥 > 0

𝑔′(𝑥) = − 1

2√𝑥−1< 0

, ∀𝑥≥ 1⇒ hàm 𝑓 đồng biến và hàm 𝑔

nghịch biến trên [1, +∞). Suy ra phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)có nghiệm duy nhất 𝑥 = 2.

<i>Bài tập minh họa </i>

Giải các phương trình sau:
a. √3 + 𝑥 + √𝑥 + √7𝑥 + 2 = 4.

b. 𝑥3 + 3𝑥2+ 4𝑥 + 2 = (3𝑥 + 2)√3𝑥 + 1.

c. 3𝑥(2 + √9𝑥2_{+ 3) + (4𝑥 + 2)(√𝑥}2_{+ 𝑥 + 1 + 1) = 0}_.

<b>4. Sử dụng tính Max, Min của hàm số </b>

Phương pháp này cịn có tên gọi là phương pháp đánh giá hai về. Xét phương trình: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

với 𝑥 ∈ 𝐷. Nếu ta chứng minh được hàm 𝑓(𝑥) ≥ 𝑀 và 𝑔(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc ngược lại). Khi đó ta có
phương trình:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇔ {𝑓(𝑥) = 𝑀
𝑔(𝑥) = 𝑀

<b>Ví dụ 8.Giải phương trình sau: </b>√𝟓 + 𝟐𝒙 + √𝟒 − 𝟐𝒙 =(𝟒𝒙+𝟏)_𝟐𝟕 𝟐

<i>Giải: Điều kiện: </i>−5

2≤ 𝑥 ≤ 2.

Đặt {𝑓(𝑥) = √5 + 2𝑥 +√4 − 2𝑥
𝑔(𝑥) =(4𝑥+1)2

27

⇒{𝑓

′₍_𝑥₎₌ √4−2𝑥−√5+2𝑥
√4−2𝑥√5+2𝑥

𝑔′(𝑥) = 8

27(4𝑥 + 1)
Ta có BBT của hàm 𝑓 và 𝑔 như sau:

Rõ ràng {𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(2) = 𝑓 (−

5
2) = 3

𝑔(𝑥) ≤ 𝑔(2) = 𝑔 (−5

2) = 3

, ∀𝑥 ∈ [−5

2; 2].

Suy ra 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 3 ⇔ 𝑥 = 2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = −5

2.
<i>Bài tập minh họa </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

a. 2 √1 − 𝑥3 +4

3√𝑥 + 1 = 𝑥
2 ₊10

3.

b. 3√𝑥2_{− 𝑥 + 1}_{= √}3
4

3

− √𝑥2₊53
4
4

.

<b>5. Đặt ẩn phụ </b>

Quá trình đặt ẩn phụ nhằm để đưa phương trình về phương trình hay hệ phương trình khơng chứa
căn thức. Ta xét các ví dụ sau:

<b>Ví dụ 9.Giải phương trình sau: </b>𝟐(𝒙𝟐_{+ 𝟐) = 𝟓√𝒙}𝟑_{+ 𝟏 (𝟗)}
<i>Giải: Điều kiện: </i>𝑥 ≥ −1.

(9) ⇔ 2(𝑥2+ 2) = 5√(𝑥 + 1)(𝑥2_{− 𝑥 + 1)}
Đặt: {𝑎 = √𝑥 + 1 ≥ 0

𝑏 = √𝑥2_{− 𝑥 + 1 ≥ 0}⇒ 𝑎

2_{+ 𝑏}2_{= 𝑥}2_{+ 2}_{. Thay tất cả vào (9) ta có}

2(𝑎2_{+ 𝑏}2_{) = 5𝑎𝑏 ⇔ 2𝑏}2_{− 5𝑎. 𝑏 + 2𝑎}2_{= 0 ⇔ [}𝑏 =

5𝑎 + 3𝑎
4 = 2𝑎
𝑏 =5𝑎 − 3𝑎

4 =

𝑎
2

 Với 𝑏 = 2𝑎 ⇒ √𝑥2_{− 𝑥 + 1 = 2√𝑥 + 1 ⇔ 𝑥}2_{− 𝑥 + 1 = 4(𝑥 + 1)}

⇔ 𝑥2_{− 5𝑥 − 3 = 0 ⇔}

[

𝑥 =5 + √37

2 (𝑛ℎậ𝑛)
𝑥 =5 − √37

2 (𝑙𝑜ạ𝑖)

 Với 𝑏 =𝑎

2⇒ √𝑥

2_{− 𝑥 + 1 =}√𝑥+1

2 ⇔ 4(𝑥

2_{− 𝑥 + 1) = 𝑥 + 1 ⇔ 4𝑥}2_{− 5𝑥 + 3 = 0}_(vơ
nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình là 𝑥 =5+√37

2 .

<b>Ví dụ 10.Giải phương trình sau: </b>𝟐√𝟑𝒙 − 𝟐𝟑 + 𝟑√𝟔 − 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟎 (𝟏𝟎)

<i>Giải: Điều kiện: </i>𝑥 ≤6₅.
Đặt {𝑎 = √3𝑥 − 2

3

𝑏 = √6 − 5𝑥 ≥ 0⇒ 5𝑎

3_{+ 3𝑏}2_{= 8 (∗)}_.

Hơn nữa từ (10) suy ra 2𝑎 + 3𝑏 − 8 = 0 ⇔ 𝑏 =8−2𝑎

3 thay vào (*) ta được:

5𝑎3+ 3 (8 − 2𝑎
3 )

2

− 8 = 0 ⇔ 15𝑎3+ 4𝑎2− 32𝑎 + 40 = 0
⇔ (𝑎 + 2)(15𝑎2_{− 26𝑎 + 20) = 0 ⇔ 𝑎 = −2.}
Suy ra √3𝑥 − 23 = −2 ⇔ 3𝑥 − 2 = −8 ⇔ 𝑥 = −2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
<i>Giải: Điều kiện: </i>1 ≤ 𝑥 ≤ 7

Đặt {𝑎 = √7 − 𝑥 ≥ 0

𝑏 = √𝑥 − 1 ≥ 0⇒ 𝑥 = 𝑏

2_{+ 1}_.

(10) ⇔ 𝑏2_{+ 1 + 2𝑎 = 2𝑏 + 𝑎𝑏 + 1 ⇔ (𝑏 − 𝑎)(𝑏 − 2) = 0 ⇔ [}𝑏 = 2

𝑏 = 𝑎

 Với 𝑏 = 2 ⇒ √𝑥 − 1 = 2 ⇔ 𝑥 = 5 (𝑛ℎậ𝑛).

 Với 𝑏 = 𝑎 ⇒ √𝑥 − 1 = √7 − 𝑥 ⇔ 𝑥 = 4 (𝑛ℎậ𝑛).
Vậy nghiệm của phương trình là 𝑥 = 4 hoặc 𝑥 = 5.
<i>Bài tập minh họa </i>

Giải các phương trình sau:
a. 𝑥 + √5 + √𝑥 − 1 = 6
b. 2𝑥2 + 5𝑥 − 1 = 7√𝑥3 _{− 1}
<b>6. Sử dụng hằng đẳng thức </b>

a. <i>Quy tắc nhân liên hợp: </i>

Quá trình này chỉ sử dụng khi ta nhẩm được nghiệm của phương trình. Sử dụng quy tắc nhân liên
hợp nhằm rút gọn phương trình, phân tích về tích các đa thức. Cần nhớ hai dạng hằng đẳng thức
(HĐT) sau để có thể nhân liên hợp cho đúng

𝑎2 _{− 𝑏}2 _{= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)𝑣à 𝑎}3_{± 𝑏}3 _{= (𝑎 ± 𝑏)(𝑎}2_{∓ 𝑎𝑏 + 𝑏}2₎
<b>Ví dụ 12.Xét lại ví dụ 7: </b>√𝒙 + 𝟔𝟑 + 𝒙𝟐 _{= 𝟕 − √𝒙 − 𝟏 (𝟏𝟐)}

<i>Giải: Điều kiện: </i>𝑥 ≥ 1.

Nhẩm được 𝑥 = 2 là nghiệm nên ta phân tích (11) như sau:

(12) ⇔ √𝑥 + 63 − 2 + 𝑥2− 4 = 1 − √𝑥 − 1

⇔(√𝑥 + 6

3

− 2) ((√𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + 4)

(√𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + 4 + (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) =

(1 − √𝑥 − 1)(1 + √𝑥 − 1)
1 + √𝑥 − 1
⇔ 𝑥 − 2

( √𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + 4+ (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) =

2 − 𝑥

1 + √𝑥 − 1

⇔ (𝑥 − 2) ( 1

(√𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + 4+ 𝑥 + 2 +
1

1 + √𝑥 − 1) = 0
⇔ 𝑥 = 2.

<b>Ví dụ 13.Giải BPT sau: </b>(𝟒𝒙 + 𝟑)(√𝒙 − 𝟏 − √𝒙 − 𝟑)𝟐≤ 𝟏𝟔 (𝟏𝟑)<b>.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7
Nhân 2 vế của (13) cho (√𝑥 − 1 + √𝑥 − 3)2 ta có:

(4𝑥 + 3)(√𝑥 − 1 − √𝑥 − 3)2(√𝑥 − 1 + √𝑥 − 3)2≤ 16(√𝑥 − 1 + √𝑥 − 3)2
⇔ (4𝑥 + 3) ≤ 4(√𝑥 − 1 + √𝑥 − 3)2⇔ 4𝑥 + 3 ≤ 4 (2𝑥 − 4 + 2√(𝑥 − 1)(𝑥 − 3))

⇔ 8√𝑥2_{− 4𝑥 + 3 ≥ −4𝑥 + 19 ⇔ [}

−4𝑥 + 19 < 0

{_64(𝑥2_{− 4𝑥 + 3) ≥ (−4𝑥 + 19)}−4𝑥 + 19 ≥ 0 2

⇔
[

𝑥 >19
4
{ 𝑥 ≤

19
4

48𝑥2_{− 104𝑥 − 169 ≥ 0}

⇔

[

𝑥 >19
4

{

𝑥 ≤19
4
[

𝑥 ≤ −13
12
𝑥 ≥13

4
⇔ [

𝑥 ≤ −13
12
𝑥 ≥13

4

So sánh điều kiện suy ra BPT có nghiệm là: 𝑥 ≥13

4.

b. Sử dụng HĐT để đưa phương trình về tích các đa thức bằng 0

<b>Ví dụ 14.Giải phương trình sau: </b>𝒙𝟐− 𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟐(𝟏 − 𝒙)√𝒙𝟐_{+ 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 (𝟏𝟒).}

<i>Giải: Điều kiện: </i>𝑥2+ 2𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ [𝑥 ≤ −1 − √2
𝑥 ≥ −1 + √2

(1) ⇔ (𝑥2− 2𝑥 + 1) + 2(𝑥 − 1)√𝑥2_{+ 2𝑥 − 1 − 2 = 0}

⇔ (𝑥 − 1)2_{+ 2(𝑥 − 1)√𝑥}2_{+ 2𝑥 − 1 + (𝑥}2_{+ 2𝑥 − 1) − (𝑥}2_{+ 2𝑥 + 1) = 0}

⇔ [𝑥 − 1 + √𝑥2_{+ 2𝑥 − 1]}2_{− (𝑥 + 1)}2_{= 0 ⇔ [} 𝑥 − 1 + √𝑥2+ 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 1

𝑥 − 1 + √𝑥2_{+ 2𝑥 − 1 = −𝑥 − 1}

⇔ [ √𝑥2+ 2𝑥 − 1 = 2
√𝑥2_{+ 2𝑥 − 1 = −2𝑥} ⇔ [

𝑥2+ 2𝑥 − 1 = 4
{ −2𝑥 ≥ 0

𝑥2_{+ 2𝑥 − 1 = 4𝑥}2

⇔ [

𝑥2_{+ 2𝑥 − 5 = 0}

{_3𝑥2_{− 2𝑥 + 1 = 0 (𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)}𝑥 ≤ 0 ⇔ [

𝑥 = −1 + √6 (𝑛ℎậ𝑛)
𝑥 = −1 − √6 (𝑛ℎậ𝑛)

<i>Bài tập minh họa </i>

Giải các phương trình sau:

a. √𝑥2 _{− 𝑥 + 1 + √𝑥}2 _{+ 𝑥 + 1 = 2}

b. 3√𝑥 − 8+ √𝑥 + 7 + 𝑥3− 8𝑥2− 8𝑥 − 14 = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8

d. 42𝑥+√𝑥+2+ 2𝑥 = 42+√𝑥+2+ 2𝑥 +4𝑥−4 (ĐH Khối D-2010)
e. √𝑥2 _{+ 91 = √𝑥 − 2 + 𝑥}2

f. 3√𝑥 + 6+ √𝑥 − 1 = 𝑥2_{− 1}

g. 𝑥3 _{+ 3𝑥}2_{− 3 √3𝑥 + 5}3

= 1 − 3𝑥
<b>7. Phương pháp tọa độ hóa vecto </b>

Phương pháp này sử dụng các BĐT vecto như sau:
 |𝑢⃗ | + |𝑣 | ≥ |𝑢⃗ + 𝑣 |

 |𝑢⃗ | − |𝑣 | ≤ |𝑢⃗ − 𝑣 |

 |𝑢⃗ ||𝑣 | ≥ 𝑢⃗ . 𝑣

Dấu “=” xảy ra ⇔ 𝑢⃗ và 𝑣 cùng phương.

<b>Ví dụ 15. Giải phương trình sau: </b>√𝒙𝟐_{− 𝟐𝒙 + 𝟓 + √𝒙}𝟐_{− 𝟒𝒙 + 𝟏𝟑 = √𝟐𝟔 (𝟏𝟓)}<b>_.</b>
<i>Giải: </i>

√(𝑥 − 1)2 _{+ 4 + √(2 − 𝑥)}2_{+ 9 = √26.}

Đặt 𝑢⃗ = (𝑥 − 1; 2); 𝑣 = (2 − 𝑥; 3). Khi đó

𝑉𝑇 = |𝑢⃗ | + |𝑣 | ≥ |𝑢⃗ + 𝑣 | = √26 = 𝑉𝑃.

Dấu “=” xảy ra ⇔𝑢⃗⃗ và 𝑣 cùng phương ⇔𝑥−1

2−𝑥=
2

3⇔ 𝑥 =
7
5.

<b>Ví dụ 16. Giải phương trình sau: </b>𝒙√𝒙 + 𝟏 + √𝟑 − 𝒙 = 𝟐√𝒙𝟐_{+ 𝟏 (𝟏𝟔)}<b>_.</b>
<i>Giải: </i>Điều kiện: −1 ≤ 𝑥 ≤ 3.

Đặt 𝑢⃗ = (𝑥; 1), 𝑣 = (√𝒙 + 𝟏; √𝟑 − 𝒙). Khi đó: 𝑉𝑇 =⃗⃗ 𝑢. 𝑣⃗⃗ ≤|𝑢⃗⃗ ||𝑣⃗⃗ |= 2√𝑥2_{+ 1 = 𝑉𝑃.}

Dấu “=” xảy ra ⇔𝑢⃗⃗ và 𝑣 cùng phương ⇔ 𝑥

√𝑥+1=
1

√3−𝑥⇔ 𝑥√3 − 𝑥 = √𝑥 + 1

⇔ { 𝑥 ≥ 0

𝑥2(3 − 𝑥) = 𝑥 + 1⇔ {

𝑥 ≥ 0

𝑥3− 3𝑥2+ 𝑥 + 1 = 0⇔ {

𝑥 ≥ 0
[ 𝑥 = 1

𝑥 = 1 ± √2

⇔ [ 𝑥 = 1
𝑥 = 1 + √2

<i>Bài tập minh họa </i>

Giải các phương trình sau:

a. √𝑥2 _{+ 2𝑥 + 5 + √𝑥}2_{− 6𝑥 + 13 = 4√2}_.

b. √𝑥2 _{− 𝑥 + 1 + √𝑥}2_{− √3𝑥 + 1 = (√3 + 1)√2 − √3}_.

c. √𝑥2 _{− 4𝑥 + 5 − √𝑥}2_{− 4𝑥 + 13 = 2}_.

</div>

<!--links-->