CÁC BÁO CÁO CỦA TIỂU BAN KHOA HỌC CƠ BẢN TẠI HỘI NGHỊ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ LẦN THỨ XXII
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (659.03 KB, 22 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
PHÂN HIỆU ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI
TẠI TP. HỒ CHÍ MINH
CƠNG THỨC KUNNETH TRONG PHẠM TRÙ ABEN
Nguyễn Thị Thái Hà
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
Lời giới thiệu
<i>Trong nhiều tài liệu như Basis Homological Algebra ( M.Scott</i>
<i>Osbrone), Homology theory (James W. Vick)... công thức Kunneth</i>
được chứng minh trực tiếp cho hàm tử Tenxơ và hàm tử Hom.
<i>Hoặc trong Homological Algebra (Henri Cartan và Samuel</i>
<i>Eilenberg) công thức Kunneth được chứng minh cho một hàm tử</i>
cộng tính bất kì khi xét trong phạm trù môđun trái hoặc phải.
Báo cáo này chứng minh công thức kunneth trong phạm trù aben
(đối số là các vật trong phạm trù). Bố cục gồm 2 phần:
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
Phần 1: Hàm tử cộng tính và Hàm tử dẫn suất
Nội dung chính của phần 1 là Định lí dãy đồng điều khớp và mơ tả
<i>đồng cấu nối δk</i>
Trong phạm trù aben cho dãy khớp ngắn của các phức
<i>0 −→ X</i>0 <i>−→ X −→ X</i>00<sub>−→ 0. Khi đó dãy vơ tận các đồng điều</sub>
sau là dãy khớp
<i>. . . −→ Hi +1(X</i>00)
<i>δi +1</i>
<i>→ Hi(X</i>0<i>) −→ Hi(X ) −→ Hi(X</i>00)
<i>δi</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.1 Hàm tử cộng tính
Định nghĩa Hàm tử cộng tính
<i>Cho t : A −→ A</i>0 là một hàm tử của các phạm trù aben.
<i>Hàm tử t được gọi là hàm tử cộng tính nếu nó bảo tồn cấu trúc</i>
cộng tính của tập hợp các đồng cấu, nghĩa là với hai đồng cấu bất
<i>kì ϕ, ψ : A</i>1<i>−→ A</i>2 của A thì
<i>t(ϕ + ψ) = t(ϕ) + t(ψ)</i>
Định nghĩa phần tử của Vật
<i>Cho A là một vật trong phạm trù aben A. Một phần tử x của A</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.1 Hàm tử cộng tính
Định nghĩa Hàm tử cộng tính
<i>Cho t : A −→ A</i>0 là một hàm tử của các phạm trù aben.
<i>Hàm tử t được gọi là hàm tử cộng tính nếu nó bảo tồn cấu trúc</i>
cộng tính của tập hợp các đồng cấu, nghĩa là với hai đồng cấu bất
<i>kì ϕ, ψ : A</i>1<i>−→ A</i>2 của A thì
<i>t(ϕ + ψ) = t(ϕ) + t(ψ)</i>
Định nghĩa phần tử của Vật
<i>Cho A là một vật trong phạm trù aben A. Một phần tử x của A</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.1 Hàm tử cộng tính
Bổ đề 1
<i>Hàm tử cộng tính t : A</i>1× A2 <i>−→ A, hiệp biến theo biến thứ nhất</i>
và phản biến theo biến thứ hai, là hàm tử khớp phải nếu và chỉ
nếu với mỗi dãy khớp
<i>A</i>0<sub>1</sub> <i>−→ A</i>1 <i>−→ A</i>001 −→ 0
trong A1 và
<i>0 −→ A</i>0<sub>2</sub> <i>−→ A</i>2<i>−→ A</i>002
trong A2 thì
<i>t(A</i>0<sub>1</sub><i>, A</i>2<i>) ⊕ t(A</i>1<i>, A</i>002)
<i>ϕ</i>
<i>−→ t(A</i>1<i>, A</i>2<i>) −→ t(A</i>001<i>, A</i>
0
2) −→ 0
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.2 Phức n - phân bậc
Định nghĩa Phức n - phân bậc
<i>Cho tập hợp n-phân bậc C = (C<sub>¯i</sub>).</i>
<i>các phép lấy vi phân ∂ := {∂(k)} trong C là tập hợp của n đồng</i>
<i>cấu ∂(k): C −→ C có bậc −¯ek</i> <i>1 ≤ k ≤ n thoả</i>
<i>∂(k)∂(k</i>0)<i>+ ∂(k</i>0)<i>∂(k)</i>= 0
<i>∂(k)∂(k)</i>= 0
<i>Khi đó tập hợp n-phân bậc và phép lấy vi phân ∂ được gọi là phức</i>
<i>n-phân bậc , kí hiệu C = (C<sub>¯i</sub>, ∂(k)) hay C = (C<sub>¯i</sub>, ∂).</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.2 Phức n - phân bậc
Định nghĩa phức liên kết
<i>Trong phạm trù aben cho phức n-phân bậc C = (C<sub>¯i</sub>, ∂) . Nếu tồn</i>
tại các vật
f
<i>Ci</i> =
X
<i>σ(i )=i</i>
<i>C<sub>i</sub></i> <i><sub>∀i ∈ Z</sub></i>
thìf<i>C<sub>i</sub></i> xác định tập hợp 1-phân bậc trong A
và
e
<i>C = (</i>f<i>Ci,∂)</i>e
với
e
<i>∂i</i> <i>:= ∂</i>
(1)
<i>¯i</i> <i>+ ... + ∂</i>
<i>(n)</i>
<i>¯i</i>
là một phức 1- phân bậc. Phức<i>C được gọi là phức liên kết</i>e
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.4 Phép giải
Định nghĩa phép giải xạ ảnh
<i>Trong phạm trù aben cho vật A và dãy phức dương</i>
<i>P : . . . −→ P</i>3
<i>∂3</i>
<i>→ P</i>2
<i>∂2</i>
<i>→ P</i>1
<i>∂1</i>
<i>→ P</i>0 <i>−→ 0.</i>
<i>Đồng cấu ε : P</i>0 <i>−→ A được gọi là đồng cấu bổ sung A của dãy</i>
<i>phức dương P nếu ε∂</i>1<i>= 0.</i>
<i>Một phép giải dương của A là một dãy phức dương P được bổ</i>
<i>sung A sao cho dãy</i>
<i>. . . −→ P</i>3<i>−→ P</i>2<i>−→ P</i>1<i>−→ P</i>0<i>→ A −→ 0ε</i>
khớp.
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.4 Phép giải
<i>Định nghĩa đồng cấu trên f .</i>
<i>Cho A, A</i>0 <i>là các vật trong phạm trù aben, đồng cấu f : A −→ A</i>0
<i>và X , X</i>0 <i>tương ứng là các dãy phức dương được bổ sung A, A</i>0<i>.</i>
<i>Biến đổi dây chuyền F : X −→ X</i>0 làm cho biểu đồ
<i>X</i>
<i>F</i>
−<i>→ X</i>0
↓ ↓
<i>A</i>
<i>f</i>
−
<i>→ A</i>0
<i>giao hốn thì F được gọi là đồng cấu trên f .</i>
<i>Bổ đề 2 (Sự tồn tại duy nhất về đồng cấu trên f )</i>
<i>Cho đồng cấu f : A −→ A</i>0 trong phạm trù aben.
<i>X là dãy phức dương, xạ ảnh được bổ sung A,</i>
<i>X</i>0 <i>là phép giải dương của A</i>0<i>.</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.4 Phép giải
<i>Định nghĩa đồng cấu trên f .</i>
<i>Cho A, A</i>0 <i>là các vật trong phạm trù aben, đồng cấu f : A −→ A</i>0
<i>và X , X</i>0 <i>tương ứng là các dãy phức dương được bổ sung A, A</i>0<i>.</i>
<i>Biến đổi dây chuyền F : X −→ X</i>0 làm cho biểu đồ
<i>X</i>
<i>F</i>
−<i>→ X</i>0
↓ ↓
<i>A</i>
<i>f</i>
−
<i>→ A</i>0
<i>giao hốn thì F được gọi là đồng cấu trên f .</i>
<i>Bổ đề 2 (Sự tồn tại duy nhất về đồng cấu trên f )</i>
<i>Cho đồng cấu f : A −→ A</i>0 trong phạm trù aben.
<i>X là dãy phức dương, xạ ảnh được bổ sung A,</i>
<i>X</i>0 <i>là phép giải dương của A</i>0<i>.</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.5 Phép giải của dãy khớp ngắn và Hàm tử dẫn suất
Bổ đề 3
<i>Cho 0→A0 ψ→ A→ Aϕ</i> 00 −→ 0 khớp.
<i>X</i>0 <i>là phức dương xạ ảnh acrylic được bổ sung A</i>0
<i>X</i>00 <i>là phức dương xạ ảnh được bổ sung A</i>00.
<i>Khi đó tồn tại phức dương X được bổ sung A và đồng cấu Ψ, Φ</i>
<i>tương ứng trên ψ, ϕ sao cho</i>
<i>0→X</i>0 Ψ<i>→ X</i> <i>→ X</i>Φ 00−→ 0
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.5 Phép giải của dãy khớp ngắn và Hàm tử dẫn suất
Bổ đề 4 (sự tồn tại của phép giải xạ ảnh)
Trong phạm trù aben có đủ xạ ảnh, với mỗi dãy khớp ngắn của
các vật
<i>0 −→ A</i>0 <i>−→ A −→ A</i>00−→ 0
luôn tồn tại phép giải xạ ảnh
<i>0 −→ X</i>0 <i>−→ X −→ X</i>00<i>−→ 0.</i>
Bổ đề 5
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.5 Phép giải của dãy khớp ngắn và Hàm tử dẫn suất
Bổ đề 4 (sự tồn tại của phép giải xạ ảnh)
Trong phạm trù aben có đủ xạ ảnh, với mỗi dãy khớp ngắn của
các vật
<i>0 −→ A</i>0 <i>−→ A −→ A</i>00−→ 0
luôn tồn tại phép giải xạ ảnh
<i>0 −→ X</i>0 <i>−→ X −→ X</i>00<i>−→ 0.</i>
Bổ đề 5
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.6 Hàm tử dẫn suất
Định lý 1
<i>Cho t : A</i>1× A2 −→ A là hàm tử cộng tính trong các phạm trù
aben, hiệp biến theo biến thứ nhất và phản biến theo biến thứ hai.
Giả sử A1 có đủ xạ ảnh và A2 có đủ nội xạ.
<i>Nếu 0 −→ A</i>0<i><sub>k</sub></i> <i>−→ Ak</i> <i>−→ A</i>00<i>k</i> <i>−→ 0(k = 1, 2) là các dãy khớp</i>
trong A<i>k</i> thì các dãy sau khớp
<i>. . . −→ t</i>2<i>(A</i>001<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>01<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>001<i>, A</i>2)
<i>−→ t</i>0<i>(A</i>01<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>0<i>(A</i>1<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>0<i>(A</i>001<i>, A</i>2) −→ 0
và
<i>. . . −→ t</i>2<i>(A</i>1<i>, A</i>02<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>002<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>02)
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.6 Hàm tử dẫn suất
Định lý 1
<i>Cho t : A</i>1× A2 −→ A là hàm tử cộng tính trong các phạm trù
aben, hiệp biến theo biến thứ nhất và phản biến theo biến thứ hai.
Giả sử A1 có đủ xạ ảnh và A2 có đủ nội xạ.
<i>Nếu 0 −→ A</i>0<i><sub>k</sub></i> <i>−→ Ak</i> <i>−→ A</i>00<i>k</i> <i>−→ 0(k = 1, 2) là các dãy khớp</i>
trong A<i>k</i> thì các dãy sau khớp
<i>. . . −→ t</i>2<i>(A</i>001<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>01<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>001<i>, A</i>2)
<i>−→ t</i>0<i>(A</i>01<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>0<i>(A</i>1<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>0<i>(A</i>001<i>, A</i>2) −→ 0
và
<i>. . . −→ t</i>2<i>(A</i>1<i>, A</i>02<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>002<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>2<i>) −→ t</i>1<i>(A</i>1<i>, A</i>02)
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
Phần 2: Công thức Kunneth
<i>Định lý 2 (Đồng cấu α)</i>
<i>Nếu hàm tử t : A</i>1× A2 −→ A ở trên khớp phải thì tồn tại duy
nhất đồng cấu
<i>α : t(H(X</i>1<i>), H(X</i>2<i>)) −→ Ht(X</i>1<i>, X</i>2)
có bậc 0 để sơ đồ
<i>t(Z (X</i>1<i>), Z</i>0<i>(X</i>2))
<i>ξ</i>
−
<i>→ t(H(X</i>1<i>), H(X</i>2)) (1)
↓ ↓ (2)
<i>Ht(X</i>1<i>, X</i>2)
<i>ζ</i>
<i>−−→ t(Z</i>0<i>(X</i>1<i>), Z (X</i>2)) (3)
(4)
giao hốn. Đồng cấu này có quan hệ tự nhiên với biến đổi dây
<i>chuyền X</i>1 <i>−→ X</i>10 <i>và X</i>20 <i>−→ X</i>2<i>.</i>
<i>Nếu X</i>1<i>, X</i>2 <i>có các đồng cấu vi phân tầm thường thì α là đồng cấu</i>
đơn vị.
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
Định lý 3
<i>Cho dãy khớp ngắn 0 −→ X</i>0 <i>−→ Xψ</i> <i>−→ Xϕ</i> 00−→ 0 của các phức
trong phạm trù A1 <i>và phức Y trong A</i>2 sao cho dãy
<i>0 −→ t(X</i>0<i>, Y ) −→ t(X , Y ) −→ t(X</i>00<i>, Y ) −→ 0</i>
<i>khớp. Lấy δ : H(X</i>00<i>) −→ H(X</i>0<i>) và ∆ : Ht(X</i>00<i>, Y ) −→ Ht(X</i>0<i>, Y )</i>
<i>là các đồng cấu nối. Khi đó, nếu t là hàm tử khớp phải thì sơ đồ</i>
sau giao hốn
<i>t(H(X</i>00<i>), H(Y ))−−−−→ t(H(Xt(δ,id )</i> 0<i><sub>), H(Y ))</sub></i>
↓ ↓
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
Định lý 4
<i>Cho t : A</i>1× A2−→ A là hàm tử cộng tính khớp phải, hiệp biến
<i>theo biến thứ nhất và phản biến theo biến thứ hai. X</i>1<i>, X</i>2lần lượt
là các phức của A1<i>, A</i>2<i>. Giả sử</i>
<i>0 −→ t(Z (X</i>1<i>), X</i>2<i>) −→ t(X</i>1<i>, X</i>2)
khớp và đồng cấu
<i>α : t(B(X</i>1<i>), H(X</i>2<i>)) −→ Ht(B(X</i>1<i>), X</i>2)
là tồn cấu. Khi đó dãy
<i>. . . −→ Ht(X</i>1<i>, X</i>2)
<i>k</i>∗
<i>−→ Ht(B(X</i>1<i>), X</i>2)
<i>i</i>∗
<i>−→ Ht(Z (X</i>1<i>), X</i>2)
<i>j</i>∗
<i>−→ Ht(X</i>1<i>, X</i>2<i>) −→ . . .</i>
được sinh bởi các đồng cấu tự nhiên
<i>X</i>1
<i>k</i>
<i>−→ B(X</i>1)
<i>i</i>
<i>−→ Z (X</i>1)
<i>j</i>
<i>−→ X</i>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
Công thức Kunneth
Định lý 5 (Công thức Kunneth cho hàm tử khớp phải)
Cho A1<i>, A</i>2 và A là các phạm trù aben và hàm tử cộng tính khớp
<i>phải t : A</i>1× A2−→ A hiệp biến theo biến thứ nhất, phản biến
theo biến thứ hai. Gi s rng A1 cú x nhă, A2 có đủ nội xạ
<i>và A có tổng trực tiếp. Cho X</i>1<i>, X</i>2 lần lượt là các phức trong
A<sub>1</sub><i>, A</i>2<i>.</i>
1. Nếu các đồng cấu
<i>α</i>1 <i>: t(B(X</i>1<i>), H(X</i>2<i>)) −→ Ht(B(X</i>1<i>), X</i>2)
<i>α</i>2<i>: t(Z (X</i>1<i>), H(X</i>2<i>)) −→ Ht(Z (X</i>1<i>), X</i>2)
là các đẳng cấu và nếu
<i>t</i>1<i>(B(X</i>1<i>), X</i>2<i>) = 0 = t</i>1<i>(Z (X</i>1<i>), H(X</i>2))
<i>Khi đó tồn tại đồng cấu β có bậc -1 sao cho</i>
<i>0 −→ t(H(X</i>1<i>), H(X</i>2))
<i>α</i>
<i>−→ Ht(X</i><sub>1</sub><i>, X</i>2)
<i>β</i>
<i>−→ t</i><sub>1</sub><i>(H(X</i>1<i>), H(X</i>2)) −→ 0
</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
Hàm tử cộng tính và hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
Công thức Kunneth
Định lý 5 (Công thức Kunneth cho hàm tử khớp phải)
Cho A1<i>, A</i>2 và A là các phạm trù aben và hàm tử cộng tính khớp
<i>phải t : A</i>1× A2−→ A hiệp biến theo biến thứ nhất, phản biến
theo biến thứ hai. Giả sử rằng A1 có x nhă, A2 cú ni x
<i>v A cú tổng trực tiếp. Cho X</i>1<i>, X</i>2 lần lượt là các phức trong
A<sub>1</sub><i>, A</i>2<i>.</i>
2. Nếu các đồng cấu
<i>α</i>1<i>: t(H(X</i>1<i>), B</i>0<i>(X</i>2<i>)) −→ Ht(X</i>1<i>, B</i>0<i>(X</i>2))
<i>α</i>2<i>: t(H(X</i>1<i>), Z</i>0<i>(X</i>2<i>)) −→ Ht(X</i>1<i>, Z</i>0<i>(X</i>2))
là các đẳng cấu và nếu
<i>t</i>1<i>(X</i>1<i>, B</i>0<i>(X</i>2<i>)) = 0 = t</i>1<i>(H(X</i>1<i>), Z</i>0<i>(X</i>2))
<i>Khi đó tồn tại đồng cấu β có bậc -1 sao cho</i>
<i>0 −→ t(H(X</i>1<i>), H(X</i>2))
<i>α</i>
<i>−→ Ht(X</i><sub>1</sub><i>, X</i>2)
<i>β</i>
<i>−→ t</i><sub>1</sub><i>(H(X</i>1<i>), H(X</i>2)) −→ 0
</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22></div>
<!--links-->
