Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính volterra fredholm

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÚY

PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
VOLTERRA - FREDHOLM

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chun ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2019


ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÚY

PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
VOLTERRA - FREDHOLM

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chun ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2019


Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học PGS.TS. Khuất
Văn Ninh đã tận tình hướng dẫn em trong q trình hồn thành khóa luận
tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường, các thầy cơ trong khoa
Tốn - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và hỗ trợ em trong q
trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp.
Cuối cùng, em xin cảm ơn những người thân và bạn bè đã ln bên em, động
viên em hồn thành khóa luận này.
Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đề tài “Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình
tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm” là cơng trình nghiên cứu của riêng
tơi. Trong q trình viết khóa luận tơi đã có sự tham khảo một số tài liệu
có nguồn gốc rõ ràng và được sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Khuất
Văn Ninh. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực
và chưa công bố trước đấy. Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước sự cam
đoan này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Người thực hiện

Nguyễn Thị Thúy

Mục lục
Mở đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Một số không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Không gian C[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Không gian Cn[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Không gian Lp[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Công thức cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.1

Cơng thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.2

Công thức parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA - FREDHOLM

9

2.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm . . . .

9

2.2

Áp dụng cơng thức cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích

2.3

phân tuyến tính Volterra - Fredholm loại hai . . . . . . . . . .

10

Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình là một lĩnh vực khá rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả
quan tâm nghiêm cứu. Trong đó phương trình tích phân đóng vai trị quan
trọng. Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lý,
hóa học, sinh học cũng như trong nghiên cứu các mơ hình kinh tế, qn sự,
tình báo và một số ngành khác.
Chúng ta biết rằng, phần lớn các phương trình tích phân nảy sinh từ các
bài tốn thực tiễn đều nói chung khơng tìm được nghiệm chính xác. Do vậy,
một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương tích
phân. Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã tìm ra các phương pháp
để giải gần đúng phương trình.
Chính vì lý do đó, em đã chọn đề tài nghiên cứu: “Phương pháp cầu phương
giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm” nhằm có
điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức của mình về loại phương
trình này.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến Volterra - Fredholm.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Giải số phương trình tích phân Volterra - Ferdholm.

1


+ Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình
tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải, trình bày phương pháp cầu phương và nêu một số ví
dụ giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm.

5. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, trình bày một số kiến thức về không gian Banach, không
gian hàm và một số kiến thức giải tích số phục vụ cho chương sau.

1.1

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1
Cho X là không gian vectơ trên trường K (K là trường số thực hoặc trường
số phức) một hàm số · : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) x ≥ 0, ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = θ;
(ii) λx = |λ| . x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;
(iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X.
Cặp (X, · ) được gọi là một không gian định chuẩn và viết ngắn gọn là X.
Nhận xét
1. | x − y | ≤ x − y , ∀x, y ∈ X
2. Cho X là một không gian định chuẩn và
d : X × X −→ R
(x, y) −→ d(x, y):= x − y .
3


Khi đó d là một metric trên X và gọi là metric sinh bởi chuẩn.
Định nghĩa 1.2
Cho X là một không gian định chuẩn, dãy (xn ) ⊂ X, x ∈ X. Ta nói dãy (xn )
hội tụ đến x nếu lim xn − x = 0.
n→∞

Định nghĩa 1.3
Dãy (xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản nếu
∀ε > 0,∃N ∈ N (∀m, n ≥ N ) : xm − xn < ε. Không gian X được gọi là
không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
Nói cách khác, khơng gian định chuẩn X là một không gian Banach khi và
chỉ khi nó là metric đầy (đủ) với metric sinh bởi chuẩn.

1.2

1.2.1

Một số không gian hàm
Không gian Rn

Định nghĩa 1.4
Mỗi vectơ x thuộc Rn là một bộ gồm n số
thực cóthứ tự dạng (x1 , x2 , ..., xn )
x
 1 


 x2 

được kí hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn ) hoặc x = 
 .. ,
 . 


xn
xi được gọi là thành phần thứ i của x.
Không gian vectơ thực n chiều Rn là một không gian định chuẩn với chuẩn
n

1. x

1

=

|xi | nếu x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .

i=0

4


n

2. x
3. x

1.2.2

2

=

∞

|xi |2 nếu x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .

i=0

= max |xi | nếu x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .
1≤i≤n

Không gian C[a,b]

Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a, b] với khoảng cách giữa

hai phần tử x(t) và y(t) là d (x, y) = max |x(t) − y(t)| là không gian C[a,b] .
a
Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
x (t) ∈ C[a,b] :

1.2.3

x = max |x(t)|.
t∈[a,b]

Không gian Cn[a,b]

Không gian Cn[a,b] gồm tập tất cả các hàm x(t) xác định trên [a, b] có đạo hàm
liên tục đến cấp n với chuẩn được xác định bởi
x = max |x(t)| , |x (t)| , ..., x(n) (t)
a≤t≤b

1.2.4

Không gian Lp[a,b]

Cho một khơng gian E và một độ đo µ trên một σ - đại số các tập con của
E. Họ tất cả các hàm số f sao cho
p

|f | dµ < +∞
E

Gọi là khơng gian Lp [E, µ].

Khi E là một tập hợp đo được theo độ đo Lebesgue trong Rk và µ là độ đo
Lebesgue thì ta viết Lp (E), E = [a, b] thì ta có khơng gian Lp[a,b] .

5


1.3

Tích phân phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.5
Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x thuộc đoạn [a, b] và y thuộc một
tập hợp số thực K nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc K hàm f (x, y)
b

khả tích trong đoạn [a, b]. Đặt I(y) =

f (x, y)dx. Khi đó I(y) là một hàm
a

số xác định trên tập K và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm
f (x, y) trong đoạn [a, b].
Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d} .
Ta có các định lý sau đây:
Định lí 1.3.1 Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D
b

thì tích phân phụ thuộc tham số: I(y) =

f (x, y)dx là một hàm liên tục
a

trong đoạn [c, d].
Định lí 1.3.2 Gải sử hàm f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D liên tục theo x thuộc đoạn [a, b] mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn nữa
∂f
f (x, y) có đạo hàm riêng
(x, y) là một hàm liên tục trong hình chữ nhật
∂y
b

f (x, y)dx, y ∈ [c, d] là một

D. Khi đó tích phân phụ thuộc tham số I(y) =
a
b

hàm khả vi và I (y) =
a

∂f
(x, y)dx, y ∈ [c, d].
∂y

Định lí 1.3.3 Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật

6

D = [a, b] × [c, d] thì ta có công thức
 b

d
d
I(y) =
c

1.4

f (x, y)dx dy =


c

b

a



f (x, y)dy  dx.


a



d

c

Công thức cầu phương

Bản chất công thức này là sự thay thế tích phân bằng tổng hữu hạn. Chia
đoạn [a, b] bởi các điểm: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Khi đó
b

n

f (x)dx =
a

Ak f (xk ) + Rn (f ),

(1.1)

k=0

trong đó
n

•Ak là hệ số của công thức cầu phương, Ak ≥ 0,

Ak = b − a.
k=0

•xk (k = 0, n) là các nút của phương pháp cầu phương.
b

n

f (x)dx ≈

khi Rn (f ) là nhỏ thì cơng thức (1.1) trở thành

Ak f (xk )
k=0

a

Việc lựa chọn quy tắc tính khác nhau sẽ có các cơng thức cầu phương khác
nhau tương ứng với các Ak , xk , Rn (f ).

1.4.1

Công thức hình thang

Nếu chọn cơng thức hình thang, thì chúng ta có
Giả sử [a, b] được chia thành n phần bằng nhau:
a = x0 < x1 < · · · < xn = b, h =
b

f (x)dx ≈
a

b−a
n

b−a

[y0 + 2(y1 + y2 + · · · + yn−1 ) + yn ]
2n

Với y0 = f (x0 ), yk = f (xk ), ∀k = 0, n.
7

(1.2)


b−a
b−a
b−a
b−a
, A0 =
, A1 =
= A2 = · · · = An−1 , An =
.
2n
2n
n
2n
n
Khi đó cơng thức (1.2) có dạng
Ak f (xk ).
Đặt Ak =

k=0

Vậy cơng thức hình thang chính là cơng thức cầu phương.

1.4.2

Cơng thức parabol

Nếu chọn cơng thức parabol (Simpson), thì chúng ta có
Giả sử [a, b] được chia thành 2n phần bằng nhau:
a = x0 < x1 < · · · < x2n = b, h =
b

f (x)dx ≈
a

b−a
2n

b−a
[y0 + 4(y1 + y3 + · · · + y2n−1 ) + 2(y2 + y4 + · · · + y2n−2 ) + y2n ]
6n
(1.3)

với y0 = f (x0 ), yk = f (xk ), ∀k = 0, 2n.
Đặt
A2n =

b−a
b−a
, A0 =
6n
6n
2(b − a)

3n
b−a
=
3n

A1 = A3 = · · · = A2n−1 =
A2 = A4 = · · · = A2n−2
n

Ak f (xk ).

Khi đó cơng thức (1.1) có dạng
k=0

Vậy cơng thức parabol chính là cơng thức cầu phương.

8


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP
XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN
TÍNH VOLTERRA - FREDHOLM
Chương này trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân
tuyến tính Voltterra - Fredholm và một số ví dụ minh họa. Nội dung của
chương này được tham khảo trong hai tài liệu tiếng anh.

2.1

Phương trình tích phân tuyến tính

Volterra - Fredholm

Định nghĩa 2.1
Các phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm xuất hiện trong
q trình nghiên cứu các bài tốn giá trị biên và các bài tốn vật lý và sinh
học.
Phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm loại hai có dạng
x

u(x) = f (x) +

b

K1 (x, t)u(t)dt +
a

K2 (x, t) u(t)dt

(2.1)

a

trong đó
f (x) - là hàm liên tục trên [a, b],
K1 (x, t), K2 (x, t) - là hàm liên tục theo hai biến (x, t) ∈ D, D = [a, b] × [a, b],
9


u(x) - là hàm phải tìm với x ∈ [a, b].
Vu=

Fu =

x
a K1 (x, t)u(t)dt gọi là tốn tử tích phân tuyến tính Volterra;
b
a K2 (x, t)u(t)dt gọi là tốn tử tích phân tuyến tính Fredholm.
x
3

5

Ví dụ 2.1 u(x) = −6 − 2x + 19x − x +

1

(x − t)u(t)dt +
0

(x + t)u(t)dt.
0

Định nghĩa 2.2
Nghiệm của bài toán (2.1) là một hàm liên tục đoạn [a, b] và thỏa mãn cơng
thức (2.1).
Định nghĩa 2.3 Nghiệm chính xác theo phương pháp cầu phương
Giả sử: π = {x0 , x1 , x2 , ..., xn } , trong đó a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b,
a−b
là phép phân hoạch [a, b] theo công thức cầu phương.
xi+1 = xi +h, h =
n

Nghiệm chính xác của bài tốn (2.1) theo phương pháp cầu phương là các giá
trị u(xi ) của nghiệm u (x) của phương trình tại các điểm xi tức là {u (x0 ),
u (x1 ) , ..., u (xn )}.
• Nghiệm của phương trình theo phương pháp cầu phương tại xi được kí hiệu
là ui , i = 0, n hay {u0 , u1 , .., un }.

2.2

Áp dụng công thức cầu phương giải xấp xỉ phương
trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm
loại hai

Giả sử phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm loại hai sau
đây có nghiệm duy nhất u = u(x), x ∈ [a, b].
x

u(x) = f (x) +

b

K1 (x, t)u(t)dt +
a

K2 (x, t) u(t)dt.
a

10

(2.2)

Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân
tuyến tính Volterra - Fredholm đó.
Chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Trong phương trình (2.2) thay x = xi
xi

u(xi ) = f (xi ) +

b

K1 (xi , t)u(t)dt +
a

K2 (xi , t) u(t)dt

(2.3)

a

ui ≈ u(xi ), fi ≈ f (xi )
Áp dụng công thức cầu phương (1.1) ta có
xi

i

K1 (xi , t)u(t)dt ≈

Ak K1 (xi , tk )uk

k=0
n

a
b

K2 (xi , t) u(t)dt ≈

Ak K2 (xi , tk )uk
k=0

a

Ta được hệ phương trình tuyến tính gồm (n + 1) phương trình và (n + 1) ẩn
i

fi +

n

Ak K1 (xi , tk )uk +
k=0

Ak K2 (xi , tk )uk = ui , i = 0, 1, ..., n
k=0

Ta thiết lập bảng nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình theo
phương pháp cầu phương
i

xi

ui

u(xi )

0

x0

u0

u(x0 )

1

x1

u1

u(x1 )

2

x2

u2

u(x2 )

···

···

···

···

n

xn

un

u(xn )

11


Trong đó u(xi ) là giá trị chính xác của nghiệm tại x = xi , ui là giá trị của
nghiệm xấp xỉ tại x = xi .

2.3

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2 Giải phương trình sau đây bằng cơng thức hình thang
1

x

u (x) = −5 − x + 12x2 − x3 − x4 +

(x − t)u(t)dt +

(x + t)u(t)dt (2.4)
0

0

Ta chia đoạn [0, 1] thành 10 phần bằng nhau
x0 = 0, x1 = 0.1, x2 = 0.2, x3 = 0.3, x4 = 0.4, x5 = 0.5,
x6 = 0.6, x7 = 0.7, x8 = 0.8, x9 = 0.9, x10 = 1
1−0
1 h
1
Khoảng cách giữa các điểm chia là h =
= ; =
10
10 2
20
Đặt
u0 ≈ u (0) ,

u6 ≈ u (0.6)

u1 ≈ u (0.1) ,

u7 ≈ u (0.7)

u2 ≈ u (0.2) ,

u8 ≈ u (0.8)

u3 ≈ u (0.3) ,

u9 ≈ u (0.9)

u4 ≈ u (0.4) ,

u10 ≈ u (1)

u5 ≈ u (0.5) ,
Thay x bởi xi , khi đó phương trình (2.4) có dạng
xi

u(xi ) = −5 − xi + 12xi 2 − xi 3 − xi 4 +

1

(xi − t)u(t)dt +
0

(x1 + t)u(t)dt
0

(2.5)
+) i = 0, khi đó (2.5) trở thành
0

u0 ≈ u (0) = −5 − 0 + 12.02 − 03 − 04 +

(0 − t)u(t)dt +
0

12

1

(0 + t)u(t)dt
0


1

⇔u (0) = −5 +

tu(t)dt
0

Áp dụng phương pháp cầu phương theo cơng thức hình thang để tính tích
phân vế phải
1
u0 = −5 +
[0.u(0) + 1.u(1)
20


0.1u(0.1) + 0.2u(0.2) + 0.3u(0.3) + 0.4u(0.4)


+ 2
+0.5u(0.5) + 0.6u(0.6) + 0.7u(0.7) + 0.8u(0.8) + 0.9u(0.9)
1
3
1
1
u1 + u2 +
u3 + u4
⇔ u0 = −5 +
100
50
100
25
3
7
2
9
1
1
u7 + u8 +
u9 + u10
(2.6)
+ u5 + u6 +
20
50
100
25
100
20
+) i = 1, khi đó (2.5) trở thành

0.1

u1 ≈ u (0.1) = −4.9811 +

1

(0.1 − t)u(t)dt +
0

(0.1 + t)u(t)dt
0

Áp dụng phương pháp cầu phương theo cơng thức hình thang để tính tích
phân vế phải
1
1
[(0.1 − 0) u (0)] +
[(0.1 + 0) u(0) + (0.1 + 1) u(1)
u1 = −5 +
20
20


(0.1 + 0.1) u(0.1) + (0.1 + 0.2) u(0.2) + (0.1 + 0.3) u(0.3)




+ 2  + (0.1 + 0.4) u(0.4) + (0.1 + 0.5) u(0.5) + (0.1 + 0.6) u(0.6) 



+ (0.1 + 0.7) u(0.7) + (0.1 + 0.8) u(0.8) + (0.1 + 0.9) u(0.9)
1
1
3
1
1
3
⇔ u1 = −4.9811 +
u0 + u1 +
u2 + u3 + u4 + u5
100
50
100
25
20
50
7
2
9
1
11
+
u6 + u7 +
u8 + u9 +
u10
(2.7)
100
25
100

10
200

13


+) i = 2, khi đó (2.5) trở thành
0.2

u2 ≈ u (0.2) = −4.7296 +

1

(0.2 − t)u(t)dt +
0

(0.2 + t)u(t)dt
0

1
1
1
3
7
1
u5
⇔ u2 = −4.7296 + u0 + u1 + u2 + u3 + u4 +
50
25
25

20
50
100
2
9
1
11
3
+ u6 +
u7 + u8 +
u9 + u10
25
100
10
100
50

(2.8)

Tương tự ta áp dụng công thức cầu phương theo cơng thức hình thang để
tính tích phân vế phải khi i = 3, 10
+) i = 0.3, khi đó (2.5) trở thành
0.3

u3 ≈ u (0.3) = −4.2551 +

1

(0.3 − t)u(t)dt +
0

(0.3 + t)u(t)dt
0

3
3
3
3
7
2
u0 + u1 + u2 + u3 +
u4 + u5
100
50
50
50
100
25
9
1
11
3
11
+
u6 + u7 +
u8 + u9 +
u10
(2.9)
100
10

100
25
200

⇔ u3 = −4.2551 +

+) i = 4, khi đó (2.5) trở thành
1

0.4

(0.4 − t)u(t)dt +

u4 ≈ u(0.4) = −3.5696 +

(0.4 + t)u(t)dt
0

0

1
2
2
2
2
9
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 +
u5
25
25

25
25
25
100
21
11
3
13
7
+
u6 +
u7 + u8 +
u9 +
u10
(2.10)
100
100
25
100
100

⇔ u4 = −3.5696 +

+) i = 5, khi đó (2.5) trở thành
0.5

u5 ≈ u(0.5) = −2.6875 +

1

(0.5 − t)u(t)dt +
0

(0.5 + t)u(t)dt
0

1
1
1
1
1
1
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5
20
10
10
10
10
10
11
3
13
7
3
+
u6 + u7 +
u8 + u9 + u10
100
25
100

50
40

⇔ u5 = −2.6875 +

14

(2.11)


+) i = 6, khi đó (2.5) trở thành
0.6

u6 ≈ u (0.6) = −1.6256 +

1

(0.6 − t)u(t)dt +
0

(0.6 + t)u(t)dt
0

3
3
3
3
3
3
⇔ u6 = −1.6256 + u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5

50
25
25
25
25
25
3
13
7
3
2
+ u6 +
u7 + u8 + u9 + u10
25
100
50
20
25

(2.12)

+) i = 7, khi đó (2.5) trở thành
1

0.7

(0.7 − t)u(t)dt +

u7 ≈ u(0.7) = −0.4031 +

(0.7 + t)u(t)dt
0

0

7
7
7
7
7
7
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5
100
50
50
50
50
50
7
7
3
4
17
+ u6 + u7 + u8 + u9 +
u10
(2.13)
50
50
20
25

200

⇔ u7 = −0.4031 +

+) i = 8, khi đó (2.5) trở thành
1

0.8

(0.8 − t)u(t)dt +

u8 ≈ u(0.8) = 0.9584 +

(0.8 + t)u(t)dt
0

0

2
4
4
4
4
4
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5
25
25
25
25
25

25
4
4
4
17
9
+ u6 + u7 + u8 +
u9 +
u10
25
25
25
100
100

⇔ u8 = 0.9584 +

(2.14)

+) i = 9, khi đó (2.5) trở thành
0.9

u9 ≈ u(0.9) = 2.4349 +

1

(0.9 − t)u(t)dt +
0

(0.9 + t)u(t)dt

0

9
9
9
9
9
9
⇔ u9 = 2.4349 +
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5
100
50
50
50
50
50
9
9
9
9
9
+ u6 + u7 + u8 + u9 +
u10
50
50
50
50
100
+) i = 10, khi đó (2.5) trở thành
1

u10 ≈ u(1) = 4 +

1

(1 − t)u(t)dt +
0

(1 + t)u(t)dt
0

15

(2.15)


1
1
1
1
1
1
1
1
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 +
10
5
5
5
5

5
5
5
1
1
+ u9 + u10
5
10

⇔ u10 = 4 +

1
u8
5
(2.16)

Từ (2.6) đến (2.16), ta có hệ phương trình tuyến tính với ẩn là (u0 , u1 , ..., u10 )

16




1
1
3
1
1
3
7

2

u1 + 50
u2 + 100
u3 + 25
u1 + 20
u5 + 50
u6 + 100
u7 + 25
u8
−u0 + 100






9
1

+ 100
u9 + 20
u10 = 5








1
49
3
1
1
3
7
2
9


100 u0 − 50 u1 + 100 u2 + 25 u3 + 20 u4 + 50 u5 + 100 u6 + 25 u7 + 100 u8





1
11

+ 10
u9 + 200
u10 = 4.9811






1

1
24
1
3
7
2
9
1



50 u0 + 25 u1 − 25 u2 + 20 u3 + 50 u4 + 100 u5 + 25 u6 + 100 u7 + 10 u8





11
3

+ 100
u9 + 50
u10 = 4.7296






3

3
7
2
9
1
11
3


u0 + 50
u1 + 50
u2 − 47
u3 + 100
u4 + 25
u5 + 100
u6 + 10
u7 + 100
u8

100
50





3
11

+ 25

u9 + 200
u10 = 4.2551






1
2
2
2
23
23
9
1
11



25 u0 + 25 u1 + 25 u2 + 25 u3 − 25 u4 + 25 u5 + 100 u6 + 10 u7 + 100 u8





3
13

+ 25

u9 + 200
u10 = 3.5696






 1 u0 + 1 u1 + 1 u2 + 1 u3 + 1 u4 − 9 u5 + 11 u6 + 3 u7 + 13 u8
20
10
10
10
10
10
100
25
100

7
3


+ 50
u9 + 40
u10 = 2.6875







3
3
3
3
3
3
22
13
7


50 u0 + 25 u1 + 25 u2 + 25 u3 + 25 u4 + 25 u5 − 25 u6 + 100 u7 + 50 u8





3
2


+ 20
u9 + 25
u10 = 1.6256







7
7
7
7
7
7
7
43
3


100 u0 + 50 u1 + 50 u2 + 50 u3 + 50 u4 + 50 u5 + 50 u6 − 50 u7 + 20 u8





4
17

+ 25
u9 + 200
u10 = 0.4031








4
4
4
4
4
4
4
21
2


25 u0 + 25 u1 + 25 u2 + 25 u3 + 25 u4 + 25 u5 + 25 u6 + 25 u7 − 25 u8





17
9

+ 100
u9 + 100
u10 = −0.9584







9
9
9
9
9
9
9
9
9


u0 + 50
u1 + 50
u2 + 50
u3 + 50
u4 + 50
u5 + 50
u6 + 50
u7 + 50
u8

100





41
9


− 50
u9 + 100
u10 = −2.4349






1
1
1
1
1
1
1
1
1



10 u0 + 5 u1 + 5 u2 + 5 u3 + 5 u4 + 5 u5 + 5 u6 + 5 u7 + 5 u8





9


+ 51 u9 − 10
u10 = −4
Ta sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình tuyến tính trên theo các
17


bước sau
Bước 1: Nhập các phương trình trên vào phần mềm Maple
[> eqn1 = −u0 + (1/100) ∗ u1 + (1/50) ∗ u2 + (3/100) ∗ u3 + (1/25) ∗ u4
+ (1/20) ∗ u5 + (3/50) ∗ u6 + (7/100) ∗ u7 + (2/25) ∗ u8 + (9/100) ∗ u9
+ (1/20) ∗ u10 = 5;
1
1
3
1
1
3
7
9
− u0 +
u1 + u2 +
u3 + u4 + u5 + u6 +
u7 + u8
100
50
100
25
20
50
100

25
9
1
+
u9 + u10 = 5
100
20

[> eqn2 = (1/100) ∗ u− 0 + (−49/50) ∗ u− 1 + (3/100) ∗ u− 2 + (1/25) ∗ u− 3
+ (1/20) ∗ u− 4 + (3/50) ∗ u− 5 + (7/100) ∗ u− 6 + (2/25) ∗ u− 7
+ (9/100) ∗ u− 8 + (1/20) ∗ u− 9 + (11/200) ∗ u− 10 = 4.9811;
49
3
1
1
3
7
9
9
1
u0 − u1 +
u2 + u3 + u4 + u5 +
u6 + u7 +
u8
100
50
100
25
20
50

100
25
100
1
11
+ u9 +
u10 = −4.9811
10
200

[> eqn3 = (1/50) ∗ u− 0 + (1/25) ∗ u− 1 + (−24/25) ∗ u− 2 + (1/20) ∗ u− 3
+ (3/50) ∗ u− 4 + (7/100) ∗ u− 5 + (2/25) ∗ u− 6 + (9/100) ∗ u− 7
+ (1/10) ∗ u− 8 + (11/200) ∗ u− 9 + (3/50) ∗ u− 10 = 4.7296;
1
1
24
1
3
7
2
9
1
u0 + u1 − u2 + u3 + u4 +
u5 + u6 +
u7 + u8
50
25
25
20
50

100
25
100
10
11
3
+
u9 + u10 = −4.7296
100
50

[> eqn4 := (3/100) ∗ u− 0 + (3/50) ∗ u− 1 + (3/50) ∗ u− 2 + (−47/50) ∗ u− 3

18


+ (7/100) ∗ u− 4 + (2/25) ∗ u− 5 + (9/100) ∗ u− 6 + (1/10) ∗ u− 7
+ (11/100) ∗ u− 8 + (3/25) ∗ u− 9 + (13/200) ∗ u− 10 = 4.2551;
3
3
47
7
2
9
1
11
3
u0 + u1 + u2 − u3 +
u4 + u5 +
u6 + u7 +

u8
100
50
50
50
100
25
100
10
100
3
13
+ u9 +
u10 = 4.2551
25
200

[> eqn5 := (1/25) ∗ u− 0 + (2/25) ∗ u− 1 + (2/25) ∗ u− 2 + (2/25) ∗ u− 3
+ (−23/25) ∗ u− 4 + (9/100) ∗ u− 5 + (1/10) ∗ u− 6 + (11/100) ∗ u− 7
+ (3/25) ∗ u− 8 + (13/100) ∗ u− 9 + (7/100)∗ u− 10 = 3.5696;
2
2
2
23
9
1
11
3
1
u0 + u1 + u2 + u3 − u4 +

u5 + u6 +
u7 + u8
25
25
25
25
25
100
10
100
25
13
7
+
u9 +
u10 = 3.5696
100
100

[> eqn6 := (1/20) ∗ u− 0 + (1/10) ∗ u− 1 + (1/10) ∗ u− 2 + (1/10) ∗ u− 3
+ (1/10) ∗ u− 4 + (−9/10) ∗ u− 5 + (11/100) ∗ u− 6 + (3/25) ∗ u− 7
+ (13/100) ∗ u− 8 + (7/50) ∗ u− 9 + (3/40) ∗ u− 10 = 2.6875;
1
1
1
1
1
9
11
3

13
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 − u5 +
u6 + u7 +
u8
20
10
10
10
10
10
100
25
100
7
3
+ u9 + u10 = 2.6875
50
40

[> eqn7 = (3/50) ∗ u− 0 + (3/25) ∗ u− 1 + (3/25) ∗ u− 2 + (3/25) ∗ u_3
+ (3/25) ∗ u− 4 + (3/25)∗u− 5 + (−22/25) ∗ u− 6 + (13/100) ∗ u− 7
+ (7/50) ∗ u− 8 + (3/20) ∗ u− 9 + (2/25) ∗ u− 10 = 1.6256;
3
3
3
3
3
3
22
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 − u6

50
25
25
25
25
25
25
19


+

13
7
3
2
u7 + u8 + u9 + u10 = 1.6256
100
50
20
25

[> eqn8 := (7/100) ∗ u− 0 + (7/50) ∗ u− 1 + (7/50) ∗ u− 2 + (7/50) ∗ u− 3
+ (7/50) ∗ u− 4 + (7/50) ∗ u− 5 + (7/50) ∗ u− 6 + (−43/50) ∗ u− 7
+ (3/20) ∗ u− 8 + (4/25) ∗ u− 9 + (17/200) ∗ u− 10 = 0.4031;
7
7
7
7
7

7
43
3
7
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 − u7 + u8
100
50
50
50
50
50
50
50
20
4
17
+ u9 +
u10 = 0.4031
25
200

[> eqn9 := (2/25) ∗ u− 0 + (4/25) ∗ u− 1 + (4/25) ∗ u− 2 + (4/25) ∗ u− 3
+ (4/25) ∗ u− 4 + (4/25) ∗ u− 5 + (4/25) ∗ u− 6 + (4/25) ∗ u− 7
+ (−21/25) ∗ u− 8 + (17/100) ∗ u− 9 + (9/100) ∗ u− 10 = −0.9584;
2
4
4
4
4
4

4
4
21
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 − u8
25
25
25
25
25
25
25
25
25
9
17
u9 +
u10 = −0.9584
+
100
100

[> eqn10 := (9/100) ∗ u− 0 + (9/50)∗u− 1 + (9/50) ∗ u− 2 + (9/50) ∗ u_3
+ (9/50) ∗ u− 4 + (9/50) ∗ u− 5 + (9/50) ∗ u− 6 + (9/50) ∗ u− 7 + (9/50) ∗ u− 8
+ (−41/50) ∗ u− 9 + (9/100) ∗ u− 10 = −2.4349;
9
9
9
9
9
9

9
9
9
u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + u8
100
50
50
50
50
50
50
50
50
41
9
− u9 +
u10 = −2.4349
50
100

[> eqn11 := (1/10) ∗ u− 0 + (1/5) ∗ u− 1 + (1/5) ∗ u− 2 + (1/5) ∗ u− 3
20