Cơ sở và dãy cơ sở

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

TẠ THỊ THU HÀ

CƠ SỞ VÀ DÃY CƠ SỞ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chun ngành : Tốn Giải tích

HÀ NỘI, 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

TẠ THỊ THU HÀ

CƠ SỞ VÀ DÃY CƠ SỞ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chun ngành: Tốn Giải tích

Người hướng dẫn Khoa học

TS. Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI, 2019


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, với sự cố gắng của
bản thân cũng như sự hướng dân và giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cơ giáo
và các bạn sinh viên em đã hồn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ cơng tác
tại khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực
tiếp giảng dạy, truyền thụ cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn
cũng như kinh nghiệm nghiên cứu trong thời gian vừa qua.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, tiến sĩ Bùi
Kiên Cường, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cũng như cung cấp cho em
những kiến thức nền tảng để em hồn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Tạ Thị Thu Hà


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Kiên Cường khóa
luận của em được hồn thành khơng trùng với bất kì đề tài nào khác, các
thơng tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc rõ ràng.
Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các thành tựu
của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Tạ Thị Thu Hà


i

Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3. Một số khái niệm và định lí cơ bản . . . . . . . . .

3

1.1.4. Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.5. Sự hội tụ yếu trong không gian Banach . . . . . . .

5

1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Cơ sở và dãy cơ sở
2.1. Một số định nghĩa

9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3. Sự tương đương của cơ sở và dãy cơ sở . . . . . . . . . . .

19

Kết luận

25

Tài liệu tham khảo

25


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:

Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán
học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa
dạng. Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi
sâu nghiên cứu một số vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn
được tìm hiểu sâu hơn về bộ mơn này dưới góc độ một sinh viên sư phạm
toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ
của thầy giáo – TS. Bùi Kiên Cường, em lựa chọn đề tài: “Cơ sở và dãy cơ
sở”.
3. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp giải tích hàm.
4. Cấu trúc khóa luận:
Ngồi phần mục lục, mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục,
khóa luận gồm hai chương
Chương 1. Trình bày các kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính là trình bày
một số khái niệm cơ bản về các không gian định chuẩn, Banach, Hilbert
Chương 2. Trình bày về cơ sở và dãy cơ sở. Nội dung chính của chương
này là trình bày về một số khái niệm vè cơ sở và dãy cơ sở, nêu ra ví dụ
về dãy Fourier, sự tương đương của cơ sở và dãy cơ sở.
Do thời gian thực hiện đề tài khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên
khóa luận khơng thể tránh khỏi những sai sót. Em mong nhận được sự
đóng góp ý kiến phản biện từ quý thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Không gian Banach

1.1.1.

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian véctơ trên trường số K (K là
trường số thực R hoặc trường số phức C). Một ánh xạ . : X → R được
gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn 3 tiên đề:
1. x ≥ 0 với mọi x ∈ X, x = 0 khi và chỉ khi x = 0
3. λx = |λ| x với mọi vô hướng λ, với mọi x ∈ X
4. x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X
Không gian véctơ X cùng với chuẩn . trong nó, được gọi là khơng gian
tuyến tính định chuẩn hay khơng gian định chuẩn. Kí hiệu (X, . ) hay
đơn giản là X.
Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian định chuẩn.
a) Một dãy các véctơ {xn } trong X hội tụ tới x ∈ X nếu lim xn −x =
n→∞

0 nghĩa là, nếu:
∀ε > 0, ∃N, ∀n

N, xn − x < ε.

Trong trường hợp này ta viết lim xn = x hoặc xn → x (n → ∞).
n→∞

b) Một dãy các véc tơ {xn } trong X là dãy Cauchy nếu
xm = 0 nghĩa là, nếu:
∀ε > 0, ∃N, ∀m, n

N, xn − xm < ε.

lim

m,n→∞

xn −


2

Dễ thấy dãy hội tụ trong không gian định chuẩn là dãy Cauchy. Tuy
nhiên điều ngược lại nói chung khơng đúng. Ta nói khơng gian định chuẩn
X là khơng gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.3. Dãy {xn } trong không gian Banach X được gọi là:
a) Bị chặn dưới nếu inf xn > 0.
b) Bị chặn trên nếu sup xn < ∞.
c) Chuẩn hóa nếu xn = 1, ∀n.
Định nghĩa 1.4. Cho khơng gian véctơ X và . 1 , .
X. Hai chuẩn .

1

và .

2

2

là hai chuẩn trên

gọi là tương đương nếu tồn tại số dương α, β sao

cho
α x
1.1.2.

1

≤ x

2

≤ β x 1 ∀x ∈ X.

Một số ví dụ

Ví dụ 1.1. Cho f là hàm giá trị phức xác định trên tập E ⊂ R. Khi đó,
với 1 ≤ p < ∞, đặt:
Lp (E) = {f : E → C :

|f (x) |p dx < ∞}.
E
1/p

Đây là một không gian Banach với chuẩn f

Lp

p

|f (x) | dx

=

.

E

Ví dụ 1.2. Cho khơng gian véctơ k chiều E k , trong đó E k = {x =
(x1 , x2 , ..., xk ) : xj ∈ R} hoặc E k = {x = (x1 , x2 , ..., xk ) : xj ∈ C}. Ta
đặt
n

|xj |2 .

x =
j=1

Khi đó E k là khơng gian Banach.
Ví dụ 1.3. Cho khơng gian véctơ L[a,b] . Đối với hàm số bất kì x (t) ∈ L[a,b]
ta đặt
b

|x (t) |dt

x =
a

3

Khi đó L[a,b] là khơng gian Banach.
Ví dụ 1.4. Với 1 ≤ p < ∞, đặt lp = {c = (cn ) :

|cn |p < ∞. Đây là một
n∈Z

không gian với chuẩn
1/p

c

lp

= cn

lp

|cn |p

=

.

n∈Z

1.1.3.

Một số khái niệm và định lí c bn

nh lý 1.1 (Bt ng thc Hăolder). Vi 1 ≤ p < ∞ và xác định p
thỏa mãn hệ thức

1
p

+

1
p

= 1. Đặt

1
0

= ∞ và

1
∞

= 0. Nếu f ∈ Lp (E) và

g ∈ Lp (E) thì f g ∈ L1 (E) và
fg

L1

≤ f

Lp

g

Lp

.

Với 1 < q < ∞, bất đẳng thức này tương đương với
1/p 



|f (x) |p 

|f (x) g (x) |dx ≤ 
E

1/p
|g (x) |p 



.

E

Định nghĩa 1.5. Khơng gian tuyến tính định chuẩn X gọi là khơng gian
tách đươc nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X.

Ví dụ 1.5. Với 1 ≤ p < ∞ thì các khơng gian lp , Lp (E) là tách được.
Định nghĩa 1.6. Cho {xn } là một dãy tùy ý trong khơng gian định chuẩn
X.
a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy {xn } là tập hợp tất cả các tổ hợp
tuyến tính hữu hạn các phần tử của dãy {xn }. Kí hiệu
N

span{xn } = {

an xn , ∀N > 0, ∀a1 , a2 , ..., an ∈ K}.
n=1

b) Bao đóng tuyến tính của {xn } là bao đóng của bao tuyến tính hữu
hạn và được kí hiệu là span{xn }.
c) {xn } là đầy trong X nếu span{xn } = X hay span{xn } trù mật trong
X.


4

Định nghĩa 1.7 (Tốn tử tuyến tính). Cho hai khơng gian tuyến tính
định chuẩn X và Y trên trường K. Một ánh xạ A : X → Y được gọi là
tốn tử. Nếu Y = K thì tốn tử A : X → K là một phiếm hàm trên X.
Toán tử A được gọi là
Tuyến tính nếu A(ax + by) = aAx + bAy, ∀a, b ∈ K, ∀x, y ∈ X
Đơn ánh hoặc nếu Ax = Ay ⇔ x = y.
Toàn ánh hoặc lên nếu Rang(A) = Y . Trong đó ảnh hay miền giá trị
của A là Rang(A) = A(X) = {Ax : x ∈ X}.
Bị chặn nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho Ax ≤ M x .
Chuẩn của tốn tử tuyến tính bị chặn A là số

A = sup T x .
x =1

Toán tử A được gọi là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Ax
x

X , ∀x

Y

=

∈ X.

Định lý 1.2 (Nguyên lí ánh xạ mở Banach). Nếu A là toán tử tuyến tính
liên tục ánh xạ khơng gian Banach X lên khơng gian Banach Y , thì A là
ánh xạ mở.
Định lý 1.3 (Ngun lí đồ thị đóng Banach). Cho tốn tử tuyến tính A
ánh xạ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y . Toán tử A liên
tục khi và chỉ khi A là tốn tử đóng.
Định lý 1.4 (Ngun lí thác triển Hahn - Banach). Mọi phiếm hàm tuyến
tính liên tục f xác định trên khơng gian tuyến tính con X0 của không gian
định chuẩn X (X0 = X) đều có thể thác triển lên tồn bộ khơng gian X
với chuẩn khơng tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính
liên tục F xác định trên tồn khơng gian X sao cho:
1) F (x) = f (x)
2) F
1.1.4.

X

= f

(∀x ∈ X0 )
X0 .

Không gian liên hợp

Định nghĩa 1.8. Cho X là khơng gian tuyến tính định chuẩn trên trường
K. Ta gọi không gian X ∗ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là


5

không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X.
Định lý 1.5. Không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là
không gian Banach với chuẩn x∗

X∗

= sup | x, x∗ |.
x

X =1

Định lý 1.6. Nếu không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X
tách được thì khơng gian X là tách được.
Định nghĩa 1.9. Không gian liên hợp của không gian X ∗ được gọi là
không gian liên hợp thứ hai của khơng gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗∗ .
Định lý 1.7. Tồn tại một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ khơng gian định

chuẩn X vào khơng gian liên họp thứ hai X ∗∗ của không gian X.
Định nghĩa 1.10. Không gian định chuẩn X ∗ được gọi là không gian phản
xạ nếu X = X ∗∗ .
1.1.5.

Sự hội tụ yếu trong không gian Banach

Định nghĩa 1.11. Giả sử X là không gian Banach.
1. Dãy {xn } các phần tử của X hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim x−xn =
n→∞

0. Khi đó ta gọi sự hội tụ này là hội tụ mạnh hoặc hội tụ theo chuẩn.
2. Dãy {xn } các phần tử của X hội tụ yếu tới điểm x ∈ X nếu:
∀x∗ ∈ X ∗ , lim xn , x∗ = x, x∗ .
n→∞

Khi đó, ta viết xn → x yếu.
3. Dãy {x∗n } các phiếm hàm của X ∗ hội tụ yếu* tới điểm x∗ ∈ X ∗ nếu:
∀x ∈ X, lim x∗n , x = x∗ , x .
n→∞

Trong trường hợp này ta viết x∗n → x∗ yếu*. Chú ý rằng nếu X là khơng
gian phản xạ thì X = X ∗∗ , do đó x∗n → x∗ yếu trong X ∗ khi và chỉ khi
x∗n → x∗ yếu* trong X ∗
Bổ đề 1.1. Cho X là một không gian Banach.
a) Sự hội tụ mạnh trong X thì kéo theo sự hội tụ yếu trong X
b) Sự hội tụ yếu trong X ∗ kéo theo sự hội tụ yếu* trong X ∗ .


6

Bổ đề 1.2. Mọi dãy hội tụ yếu thì đều có chuẩn bị chặn trên, nghĩa là,
nếu {xn } ⊂ X và xn → x ∈ X yếu thì sup xn < ∞.

1.2.

Không gian Hilbert

1.2.1.

Không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.12. Cho H là khơng gian tuyến tính trên trường K (K là
trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vơ hướng trong
khơng gian H mọi ánh xạ từ tích Descartes H × H vào trường K, kí hiệu
., . , thỏa mãn các tiên đề:
1. ∀x, y ∈ H, y, x = x, y .
2. ∀x, y, z ∈ H, x + y, z = x, z + y, z .
3. ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ P, αx, y = α x, y .
4. ∀x ∈ H, x, x > 0 nếu x = θ (kí hiệu θ là phần tử khơng), x, x = 0
nếu x = 0.
Số x, y được gọi là tích vơ hướng của hai véctơ x và y. Cặp (H, ., . )
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu K là thực thì tích vơ hướng ., . chính
là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi
là không gian tiền Hilbert thực.
Định lý 1.8. Cho H là khơng gian tiền Hilbert. Khi đó x =

x, x xác

định một chuẩn trên H.
Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
chuẩn như trên.
1.2.2.

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.13. Ta gọi một tâp H khác rỗng gồm những phần tử
x, y, z, ... nào đó là không gian Hilbert nếu H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là khơng gian tuyến tính trên trường K;
2. H được trang bị tích vơ hướng ., . ;
3. H là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , x ∈ H.


7

Ta gọi mọi khơng gian tuyến tính con đóng cảu không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.
1.2.3.

Các ví dụ

Ví dụ 1.6. Rn là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng x, y =

n

x i yi
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn .
Ví dụ 1.7. Kí hiệu l2 là không gian véc tơ các dãy số phức x = (xn ) sao
∞

|xn |2 hội tụ. ∀x = (xn ) ∈ l2 , ∀y = (yn ) ∈ l2 , đặt

cho chuỗi
n=1

∞

x n yn .

x, y =
n=1

Thì khơng gian l2 cùng với tích vơ hướng trên là một khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.8. Lp (E) là khơng gian Hilbert khi p = 2 và tích vơ hướng được
xác định bởi:
f, g =

f (x) g (x)dx.
E

Khi p = 2 thì Lp (E) khơng là khơng gian Hilbert.
1.2.4.

Một số tính chất cơ bản

Định lý 1.9. Cho H là một không gian Hilbert và x, y ∈ H. Ta có các bất
đẳng thức sau:
1.(Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz): | x, y | ≤ x y
2. x = sup | x, y |.
y =1

3. (Đẳng thức hình bình hành)
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

.

Mệnh đề 1.1. Hai phần tử x và y trong không gian tiền Hilbert H được
gọi là trực giao nếu x, y = 0, kí hiệu x⊥y.
Mệnh đề 1.2. Một tập hợp S = {xi }i∈T trong không gian tiền Hilbert H

được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử thuộc S trực giao với nhau từng


8

đôi một. Nếu mọi phần tử của hệ trực giao S có chuẩn bằng 1 thì S được
gọi là hệ trực chuẩn.
Định lý 1.10. (Đẳng thức Pythagore) Nếu {x1 , x2 , ..., xn } là một hệ trực
giao trong H thì

n

n

xi
i=1

2

=

xi

2

i=1

Định lý 1.11. Giả sử {xn }n∈T là một hệ trực giao trong khơng gian Hilbert
∞

H. Khi đó, chuỗi

∞

xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi
n=1

Chú ý: Nếu {en }∞
n=1 là hệ trực chuẩn ta có

xn

2

∞

=

n=1
∞

αn en
n=1

xn .
n=1

2

∞

=

αn 2 .

n=1

Mệnh đề 1.3. Hệ trực chuẩn {en }∞
n=1 trong không gian Hilbert H được
gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu không gian con sinh bởi hệ này là trù mật
trong H.


9

Chương 2
Cơ sở và dãy cơ sở
2.1.

Một số định nghĩa

Trong không gian Hilbert H, cơ sở trực chuẩn được coi là một công cụ hữu
dụng trong nhiều lĩnh vực của giải tích. Chúng ta cần nhớ rằng nếu (en )∞
n=1
là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H thì với mọi x ∈ H có
duy nhất một dãy vô hướng (an )∞
n=1 cho bởi an = x, en sao cho
∞

x=

an e n .
n=1

Tính hữu dụng của cơ sở trực chuẩn bắt nguồn từ thực tế mà chúng ta
tương đối dễ thấy. Mọi không gian Hilbert tách được đều có một cơ sở trực
chuẩn. Những phương pháp như quá trình Gram - Schmidt cho phép dễ
dàng xây dựng những cơ sở trực chuẩn mới.
Định nghĩa 2.1. Một dãy các phần tử (en )∞
n=1 trong không gian Banach
vô hạn chiều X được gọi là cơ sở của X nếu với mọi x ∈ X có duy nhất
một dãy các vơ hướng (an )∞
n=1 sao cho
∞

x=

an e n .
n=1

Nghĩa là dãy

N
n=1 an en

∞

hội tụ theo tiêu chuẩn topo trên X.
N =1

Rõ ràng từ định nghĩa, một cơ sở bao gồm hệ độc lập tuyến tính và đặc
biệt là hệ gồm các véctơ khác 0. Nếu X có một cơ sở (en )∞
n=1 thì bao đóng
tuyến tính của nó span(en ) là trùng với X, vì vậy X là tách được. Chúng


10

ta lưu ý rằng thứ tự của cơ sở rất quan trọng. Nếu ta hoán đổi các phần
tử của cơ sở thì dãy mới rất có thể khơng phải là một cơ sở.
Chúng ta không nên nhầm lẫn khái niệm về cơ sở trong không gian
Banach vô hạn chiều với khái niệm cơ sở Hamel đại số thuần túy của
không gian véctơ. Một cơ sở Hamel (ei )i∈I của X là tập hợp các véctơ độc
lập tuyến tính trong X sao cho với mỗi x ∈ X là duy nhất có thể biểu diễn
như một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của ei . Từ định lí phạm trù Baire, rất
dễ suy ra rằng nếu (ei )i∈I là một cơ sở Hamel trong khơng gian Banach vơ
hạn chiều X thì (ei )i∈I khơng đếm được. Do đó khi chúng ta đề cập đến
cơ sở trong không gian Banach vô hạn chiều thì chúng ta sẽ sử dụng định
nghĩa 2.1.
Chúng ta lưu ý rằng nếu (en )∞
n=1 là một cơ sở của không gian Banach
X, x → an là hàm tuyến tính trên X. Ta viết en (x) = an . Tuy nhiên nó
khơng có nghĩa là các phiếm hàm tuyến tính en

∞
n=1

đều liên tục.

Định nghĩa 2.2. Cho (en )∞

n=1 là một dãy trong khơng gian Banach X.
∗
Giả sử có một dãy (e∗n )∞
n=1 trong X sao cho

i. e∗k (ej ) = 1 nếu j = k và e∗k (ej ) = 0 nếu j = k, ∀k, j ∈ N
∞

ii. x =

e∗n (x) en với mỗi x ∈ X.

n=1
∗ ∞
Khi đó (en )∞
n=1 được gọi là cơ sở Schauder trong X và hàm (en )n=1 được

gọi là hàm song trực giao liên kết với (en )∞
n=1 .
Nếu (en )∞
n=1 là cơ sở Schauder trong X và x =

∞

e∗n (x) en ∈ X thì giá

n=1

của x là tập con của tập số tự nhiên, chọn n sao cho e∗n (x) = 0. Ta biểu
thị nó bởi sup p (x). Nếu | sup p (x) | < ∞ thì ta nói x là giá trị hữu hạn.

Cái tên Schauder trong định nghĩa là để vinh danh J. Schauder, người
đầu tiên giới thiệu khái niệm về cơ sở năm 1927. Trong thực tế, mọi cơ sở
của không gian Banach đều là một cơ sở Schauder và các khái niệm không
khác biệt ( sự khác biệt là quan trọng, tuy nhiên, nó tổng quát hơn trong
không gian nồi cục bộ).
Bằng chứng về sự tương đương giữa các khái niệm cơ sở và cơ sở
Schauder là một ứng dụng của định lí đồ thị đóng. Mặc dù kết quả này là
một trong những ứng dụng của Nguyên lí giải tích hàm cơ sở nhưng phải


11

thừa nhận rằng nó khơng hữu dụng theo nghĩa là trong mọi tình huống
thực tế, chúng ta chỉ có thể chứng minh rằng (en )∞
n=1 là một cơ sở bằng cách
chỉ ra kết luận về mặt hình thức rằng nó là một cơ sở Schauder. Chúng ta
đi đến định lí sau:
Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach tách được, một dãy (en )∞
n=1
trong X là một cơ sở Schauder trong X nếu và chỉ nếu (en )∞
n=1 là môt cơ
sở của X.
Chứng minh. Giả sử (en )∞
n=1 là một cơ sở trong X và cho dãy tổng riêng
∞
(Sn )∞
n=0 liên kết với (en )n=1 xác định bởi S0 = 0, n ≥ 1.

ek (x) ek

Sn (x) =

Tất nhiên ta chưa biết các toán tử này bị chặn. Ta xét 1 chuẩn mới trên
X xác định bởi công thức
| x | = sup Sn x
n≥1

Vì lim x − Sn x = 0 với mỗi x ∈ X, nên suy ra | . | ≥ . .
n→∞

Ta sẽ chỉ ra rằng (X, | . |) là đầy.
Giả sử (xn )∞
n=1 là một dãy Cauchy trong (X, | . |). Dãy (X, | . |) hội tụ
tới x ∈ X với chuẩn ban đầu. Ta cần chứng minh lim | xn − x | = 0
n→∞

Chú ý rằng với mỗi k cố định dãy (Sk xn )∞
n=1 hội tụ tới yk ∈ X trong
chuẩn ban đầu và (Sk xn )∞
n=1 chứa trong không gian hữu hạn chiều [e1 , ..., ek ].
Chắc chắn các hàm ek liên tục trên bất kì khơng gian con hữu hạn chiều
nào, do đó nếu 1 ≤ j ≤ k ta có
lim e
n→∞ j

(xn ) = ek (yk ) := aj .

∞

aj ej = x với chuẩn ban đầu.

Ta đồng ý rằng
j=1

Cho

> 0 chọn n ∈ N sao cho nếu m ≥ n thì | xm − xn | ≤

sao cho k > k0 thì xn − Sk xn ≤

1
3

1
3

và lấy k0

, do đó với k > k0 ta có

yk − x ≤ lim Sk xm − Sk xn + Sk xn − xn + lim xm − xn ≤ .
m→∞

m→∞


12

Do đó lim yk − x = 0 và do tính chất duy nhất của sự mở rộng x đối
k→∞

với cơ sở thì ta có Sk x = yk .
Ta có
| xn − x | = sup Sk xn − Sk x ≤ lim sup sup Sk xn − Sk xm ,
m→∞

k≥1

k≥1

nên lim | xn − x | = 0 và (X, | . |) là đầy.
n→∞

Theo định lí Đồ thị đóng hoặc đính lí Ánh xạ mở, ánh xạ đồng nhất
ι : (X, . ) → (X, | . |) bị chặn, nói cách khác, tồn tại K để | x | ≤ K x
với x ∈ X, có nghĩa là
Sn x ≤ K x

x ∈ X, n ∈ N.

Đặc biệt,
|en | (x) | en = Sn x − Sn−1 x ≤ 2K x ,
−1

đo đó en ∈ X ∗ và en ≤ 2K en

.

Cho (en )∞
n=1 là một cơ sở của khơng gian véctơ X. Theo định lí trên thì

∗ ∞
(en )∞
n=1 là một cơ sở Schauder, do đó chúng ta sẽ sử dụng (en )n=1 là hàm

song trực giao.
Như trên, ta xét toán tử Sn : X −→ X, cho bởi S0 = 0 và với n ≥ 1,
∞

n

e∗k (x)ek

Sn

e∗k (x)ek .

=

k=1

k=1

Sn là một toán tử tuyến tính liên tục vì mỗi e∗k liên tục. Do đó dãy các
toán tử (Sn )∞
n=1 bị chặn đều (được chứng minh ở định kí 2.1).
Mệnh đề 2.1. Cho (en )∞
n=1 là cơ sở Schauder trong không gian Banach X
và (Sn )∞
n=1 là phép chiếu tự nhiên liên kết với nó. Khi đó
sup Sn < ∞.

n

Chứng minh. Trong cơ sở Schauder, dãy tốn tử (Sn )∞
n=1 bị chặn trên.
Vì Sn (x) → x với mọi x ∈ X, ta có sup Sn x < ∞ với mọi x ∈ X, khi đó
n

theo ngun lí bị chặn đều thì sup Sn < ∞.
n


13

Định nghĩa 2.3. Nếu (en )∞
n=1 là cơ sở trong khơng gian Banach X khi đó
K = sup Sn được gọi là hằng số cơ sở. Trong trường hợp đặc biết K = 1
n

thì cơ sở (en )∞
n=1 được gọi là cơ sở đơn điệu.
Nhận xét 2.1. Chúng ta có thể thay đổi chuẩn của một không gian Banach
X với một cơ sở bởi chuẩn mới mà có hằng số cơ sở đơn điệu. Đặt
| x | = sup Sn x .
n≥1

Khi đó x ≤ | x | ≤ K x , do đó chuẩn mới tương đương với chuẩn cũ
và được xác minh bằng | Sn | = 1 với n ∈ N.
Kết quả tiếp theo xác lập một phương pháp để xây dựng 1 cơ sở trong
không gian Banach X với điều kiện ta có 1 họ các ánh xạ có tính chất của
dãy tổng riêng các tốn tử.

Mệnh đề 2.2. Giả sử Sn : X −→ X, n ∈ N là một dãy ánh xạ tuyến tính
bị chặn trên không gian Banach X sao cho
(i) dim Sn (X) = n với mọi n;
(ii) Sn Sm = Sm Sn = Smin{m,n} với bất kì số tự nhiên m và n;
(iii) Sn (x) → x với mọi x ∈ X.
Khi đó dãy các véctơ khác khơng bất kì trong X được chọn quy nạp sao cho
e1 ∈ S1 (X) và ek ∈ Sk (X)

−1
Sk−1
(0) nếu k ≥ 2 là một dãy cơ sở của X

với dãy tổng riêng (Sn )∞
n=1 .
Chứng minh. Cho 0 = e1 ∈ S1 (X) và xác định e∗1 : X −→ R bởi e∗1 (x) =
S1 (x). Sau đó chọn 0 = e2 ∈ S2 (X)

S1−1 (0) và xác định hàm e∗2 : X −→ R

bởi e∗2 (x)e2 = S2 (x) − S1 (x).Điều này mang đến cho chúng ta phương pháp
quy nạp để rút ra cơ sở và hàm song trực giao của nó. Với mỗi só nguyên
n, ta chọn 0 = en ∈ Sn (X)

−1
Sn−1
(0) và xác định e∗n : X −→ R bởi

e∗n (x)en = Sn (x) − Sn−1 (x). Khi đó
|e∗n (x)| = Sn (x) − Sn−1 (x) en

−1

≤ 2 sup Sn

en

−1

x .

n

do đó e∗n ∈ X ∗ . Trực tiếp kiểm tra thấy e∗k (ej ) = δkj với hai số nguyên k, j
bất kì.


14

Mặt khác, nếu cho S0 (x) = 0 với mọi x, ta có thể viết
∞

∞

e∗k (x)ek

(Sk (x) − Sk−1 (x)) =

Sn (x) =

k=1

k=1

∞
Suy ra Sn (x) hội tụ tới x ∈ X. Do đó (en )∞
n=1 là cơ sơ và (Sn )n=1 là dãy

tổng riêng.
Định nghĩa 2.4. Một dãy (ek )∞
k=1 trong không gian Banach X được gọi là
một dãy cơ sở nếu nó là một cơ sở của [ek ], là khơng gian bao tuyến tính
đóng của (ek )∞
k=1 .
Ta có thể nhận ra dãy cơ sở là một phần quan trọng trong lí thuyết
của khơng gian Banach. Để nhận biết một dãy các phần tử trong không
gian Banach có phải là một dãy cơ sở hay khơng ta sử dụng tiêu chuẩn
Grunblum sau:
Mệnh đề 2.3. Một dãy (ek )∞
k=1 các phần tử khác không của không gian
Banach X là một cơ sở nếu và chỉ nếu có một số dương K sao cho
m

n

ak e k ≤ K
k=1

ak e k

(2.1)

k=1

với bất kì dãy vơ hướng (ak ) và bất kì số nguyên m, n sao cho m ≤ n.
Chứng minh. Giả sử (ek )∞
k=1 là một cơ sở và cho SN : [ek ] −→ [ek ] , N =
1, 2, ..., là các phép chiếu tổng riêng của nó. Khi đó, nếu m ≤ n ta có
m

n

ak ek ) ≤ sup Sm

ak ek = Sm (
k=1

n
m

k=1

ak e k ,
k=1

nên (2.1) cố định với K = sup Sm .
m

Ngược lại, cho E là khơng gian tuyến tính của (ek )∞
k=1 và sm : E −→
[ek ]m

k=1 là toán tử có hạng hữu hạn xác định bởi
min(m,n)

n

sm (

aj e j ) =
k=1

ak e k

m, n ∈ N

k=1

Mỗi sm mở rộng tới Sm : [ek ] −→ [ek ]m
k=1 với Sm = sm ≤ K.


15

Chú ý rằng với mỗi x ∈ E ta có
Sn Sm (x) = Sm Sn (x) = Smin(m,n) (x),

m, n ∈ N

(2.2)

(2.2) cố định mọi x ∈ [en ] .

Sn x → x với mọi x ∈ [en ] khi đó tập {x ∈ [en ] : Sm (x) → x} là đóng
và chứa E. Mệnh đề 2.3 phát biểu rằng (ek ) là một cơ sở của [ek ] với tổng
riêng các phép chiếu (Sm ).

2.2.

Chuỗi Fourier

Một số không gian Banach cổ điểm đi kèm với một cơ sở tự tự nhiên cho
trước, ví dụ trong khơng gian lp cho 1 ≤ p < ∞ và c0 có cơ sở chính tắc
được cho bởi dãy en = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...).
Cho đường tròn đơn vị T = {z ∈ C : |z| = 1}. Kí hiệu phần tử đơn vị
của T là eiθ và ta có thể xác định không gian CC (T ) của hàm phức liên tục
trên T với không gian của hàm tuần hoàn 2π trên R. Lưu ý rằng trong
phạm vi của chuỗi Fourier, không gian phức được xem xét tự nhiên hơn
không gian thực.
Với mọi n ∈ Z cho en ∈ CC (T ) là một hàm sao cho en (θ) = einθ .
Câu hỏi ta muốn giải quyết là liệu chuỗi (e0 , e1 , e−1 , e2 , e−2 , ...) theo thứ
tự này có là một cơ sở của CC (T ) hay không. Trong thực tế, ta sẽ thấy là
không. Đây là một kết quả cổ điển trong phân tích chuỗi Fourier, nghĩa là
có một hàm liên tục f mà chuỗi Fourier của nó khơng hội tụ đều. Cụ thể
hơn là có một hàm liên tục của chuỗi Fourier không hội tụ tại điểm Du
Bois - Reymod. Chúng ta sẽ chứng minh điều đó.
Trước hết ta chứng minh [en ]n∈Z = CC (T )
Hệ số Fourier của f ∈ CC (T ) được xác định bằng công thức
π

f (t)e−int

f (n) =

dt
,
2π

n∈Z

−π

Hàm tuyến tính e∗n : CC (T ) −→ C,
giao của dãy (en )n∈Z .

f → e∗n (f ) = f (n) là hàm song trực


16
∞

f (n)e−inθ .

Chuỗi Fourier của hàm f có dạng
−∞

Với mỗi số nguyên n cho Tn : CC (T ) −→ CC (T ) là toán tử
n

f (k)ek ,

Tn (f ) =
k=−n

là tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier. Khi đó,
n

θ+π

f (t)eik(θ−t)

Tn (f )(θ) =
k=−nθ−π
π

n

eikt

f (θ − t)

=
−π
π

=
−π

dt
2π

k=−n

dt
2π

sin(n + 12 )t dt
f (θ − t)
.
2π
sin 2t

sin(n + 21 )t
Hàm Dn (t) =
được biết đến như là hạt nhân Dirichlet.
sin 2t
Ta xét toán tử
An =

1
(T0 + ... + Tn−1 ),
n

n = 2, 3, ...

Khi đó
π

1
An f (θ) =
n

f (θ − t)

−π
π

1
=
n
−π

Hàm

n−1

k=0

sin(k + 21 )t dt
2π
sin 2t

sin( nt
2 ) 2 dt
f (θ − t)(
)
.
2π
sin 2t

1 sin( nt
2) 2
Fn (t) = (
)

n sin 2t


17

được gọi là hạt nhân Fejer. Chú ý rằng
π

π

Dn (t)

dt
=
2π

Fn (t)

dt
= 1.
2π

−π

−π

Tuy nhiên một điều quan trọng là hàm Fn dương cịn hàm Dn thì khơng.
Bây giờ chúng ta cần chỉ ra rằng nếu f ∈ CC (T ) thì An f − f → 0.
Khi f là hàm liên tục đều, cho trước

> 0 ta chọn 0 < δ < π sao cho

|θ − θ | < δ thỏa mãn |f (θ) − f (θ )| ≤ . Khi đó, với bất kì θ ta có
π

An f (θ) − f (θ) =

Fn (t)(f (θ − t) − f (θ))

dt
.
2π

−π

Do đó

δ

dt
Fn (t) +
2π

An f − f ≤ f

Fn (t)

dt
2π

δ

δ<|t|≤π

. Ta có

Fn (t)

dt
1
≤ sin−2 (δ/2)
2π
n

−δ<|t|≤π

Suy ra
lim sup An f − f ≤ .
Điều đó chỉ ra rằng [en ]n∈Z = CC (T ).
Vì các hàm song trực giao được cho bởi hệ số Fourier nên nếu (e0 , e1 , e−1 , ...)
là một cơ sở thì các tốn tử tổng riêng (Sn ) thỏa mãn S2n+1 = Tn vớ mọi
n. Để chỉ ra rằng nó khơng là một cơ sở thì phải chỉ ra rằng các tốn tử
(Tn )∞
n=1 khơng bị chặn đều.
Cho ϕ ∈ CC (T )∗ xác định bởi
ϕ(f ) = f (0)
. Khi đó

π

ϕ(Tn f ) =

Dn (t)f (−t)
−π

dt
2π


18

. Do đo

π

Tn∗ ϕ =

|Dn (t)|

dt
.
2π

−π

Vậy nên, khi | sin x| ≤ |x| với mọi số thực x,
π

Tn ≥

dt
2π

|Dn (t)|
−π
π

1
=
π

sin(n + 21 )t dt
|
|
2π
sin 2t

0
(n+1/2)π

≥

2
π

|
0
(n+1/2)π

≥

sin t
dt
t |
sin 2n+1 2n + 1

| sin t|
dt.
t

2
π
0

Từ bổ đề Fatou’s
∞

lim inf Tn
n→∞

sin x
dx = ∞
x

2
≥
π
0

Chúng ta đã chứng minh được rằng sup Tn∗ ϕ = ∞, vì thế từ ngun

n

lí bị chặn đều, phải tồn tại f ∈ CC (T ) sao cho (Tn f (0))∞
n=1 khơng bị chặn.
Nếu ta muốn nói về khơng gian các hàm liên tục có giá trị thực C(T ), các
phép toán tương tự cho thấy hệ lượng giác {1, cos θ, sin θ, cos 2θ, sin 2θ, ...}
không là một cơ sở. Thật vậy, các toán tử (Tn ) không bị chặn trong không
gian C(T ) và tương ứng với các toán tử tổng riêng S2n+1 như trên.
Tuy nhiên, C(T ) và CC (T ) đều có một cơ sở, điều này có thể dễ dàng
được chỉ ra giống như cách xây dựng cơ sở Schauder ban đầu trong không
gian C[0, 1], mà bây giờ chúng ta cùng mô tả. Cho (qn )∞
n=1 là một dãy đầy
trong [0, 1] sao cho q1 = 0 và q2 = 1. Ta xây dựng một dãy các toán tử
(Sn )∞
n=1 xác định trên C[0, 1], S1 f (t) = f (q1 ) với 0 ≤ t ≤ 1 và dãy con Sn f
là hàm tuyến tính từng phần xác định bởi Sn f (qk ) = f (qk ) với 1 ≤ k ≤ n
và tuyến tính trên khoảng thuộc [0, 1]\{q1 , ..., qk }. Dễ thấy Sn = 1 với


19

mọi n và điều giả sử ở mệnh đề 2.3 được chứng minh. Bằng cách này ta
có được một cơ sở đơn điệu cho C[0, 1]. Các phần tử cơ sở được cho bởi
e1 (t) = 1 với mọi t và en được xác định đệ quy bởi en (qn ) = 1, en (qk ) = 0
với 1 ≤ k ≤ n − 1 và en là tuyến tính trên khoảng thuộc [0, 1]\{q1 , ..., qk }.
Để thay đổi điều này cho hợp với đường tròn, ta xác định C(T )[tương
ứng CC (T )] với các hàm trong C[0, 2π][ tương ứng CC [0, 2π]] sao cho q1 = 0
và giả sử (qn )∞
n=1 đầy trong [0, 2π). Khi đó Sn f với n > 1 được xác định bởi
Sn f (qk ) = f (qk ) với 1 ≤ k ≤ n và Sn f (2π) = f (q1 ) và quan hệ với nhau

trên mỗi khoảng thuộc [0, 2π)\{q1 , ..., qn }.
Tóm lại ta có
Định lý 2.2. Các không gian C[0, 1] và CC (T ) đều có một cơ sở đơn điệu.
Hệ hàm mũ (1, eiθ , e−iθ , ...) không phải là cơ sở của CC (T ).

2.3.

Sự tương đương của cơ sở và dãy cơ sở

Nếu ta chọn một cơ sở trong khơng gian véctơ hữu hạn chiều thì cũng như
ta chọn một hệ tọa độ. Cơ sở trong không gian Banach vơ hạn chiều cũng
vậy. Do đó nếu ta có một cơ sở (en )∞
n=1 của X thì ta có thể chỉ rõ x ∈ X
bởi hệ tọa độ của nó (e∗n (x))∞
n=1 . Tất nhiên, sẽ không đúng với sự kiện mỗi
dãy vô hướng (an )∞
n=1 xác định một phần tử của X. Do đó X được tạo
bởi 1 khơng gian dãy nhất định, ví dụ như khơng gian tuyến tính con của
khơng gian véctơ. Điều này dẫn ta đến định nghĩa sau
∞
Định nghĩa 2.5. Ta nói hai cơ sở (hoặc dãy cơ sở) (xn )∞
n=1 và (yn )n=1

tương ứng của không gian Banach X và Y là tương đương và ta viết
∞
∞
(xn )∞
n=1 ∼ (yn )n=1 nếu khi ta chọn một dãy vơ hướng (an )n=1 thì

∞

an x n
n=1

∞

an yn hội tụ.

hội tụ nếu và chỉ nếu
n=1

∞
Do đó, nếu các cơ sở (xn )∞
n=1 và (yn )n=1 tương đương thì khơng gian dãy
∞
liên kết với X bởi (xn )∞
n=1 và Y bởi (yn )n=1 trùng nhau. Một hệ quả của
∞
định lí Đồ thị đóng rằng nếu (xn )∞
n=1 và (yn )n=1 tương đương thì khơng

gian X và Y đẳng cấu. Chính xác hơn ta có
∞
Định lý 2.3. Hai cơ sở (hoặc dãy cơ sở) (xn )∞
n=1 và (yn )n=1 tương đương