MA TRẬN NGHỊCH đảo (TOÁN CAO cấp SLIDE)

Bài 3

−1

AX = B ⇔ X = A B


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑


ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ta xét hệ phương trình:

 2 3   x  8
2 x + 3 y = 8
 5 7   y  = 1 ⇔  5 x + 7 y = 1

   

Hệ phương trình trên có thể viết ở dạng

ma trận: A X=B. Câu hỏi đặt ra là X = ?

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Xét phương trình: a x = b.
b 1
Ta có: x = = b = a −1b . (a ≠ 0)
a a
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
−1

AX = B ⇔ X = A B .

−1

như vậy A là ma trận sẽ được định nghĩa
như thế nào?

í nh


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑
Ta để ý:

ax=b

AX = B

−1

−1

⇔ a ax = a b

−1

⇔ 1x = a b
−1

⇔ x=a b
−1

Phải chăng A A = I ?

−1

−1

⇔ A AX = A B
−1

⇔IX =A B
−1

⇔X=A B

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo

∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§3:

Ma
trận
nghịch
đảo
∑
Nhận xét:

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑
Nhận xét:

ến T
y
u
T
ố

Đại S

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

ến T

y
u
T
ố
Đại S

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch

đảo
∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑


ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:

 1 2 3  A11 = 28 A21 = -29 A31 = -12


A =  −2 4 0  A12 = 14 A22 = -5 A32 = -6
 4 −5 7  A13 = -6 A23 = 13 A33 = 8
 A11

PA =  A12
 A13

A21
A22
A23

A31  


A32  = 
A33  






í nh


∑

§3: Ma trận nghịch đảo

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận
sau:2 0 0

 A11 = -1 A21 = 0 A31 = 0


A =  5 1 0  A12 = 5 A22 = -2 A32 = 0
A13 = 17 A23 = -8 A33 = 2



 3 4 −1

 A11

PA =  A12
 A13

A21
A22
A23

A31  


A32  = 
A33  






í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

∑

§3: Ma trận nghịch đảo

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ:

 1 2 3   28 −29 −12 




APA =  −2 4 0  14 −5 −6 
 4 −5 7   −6 13
8 
38 0 0 


=  0 38 0 
 0 0 38

1 0 0 



= 38 0 1 0 
0 0 1 

í nh


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

Ví dụ:

 28 −29 −12 
1 

−1
A = 14 −5 −6 
38
 −6 13
8 

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ến T
y
u
T

ố
Đại S

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
1 2 3 
det( A) = −1



A = 0 1 4 
0 0 −1

 −1 2 5 
PA =  0 −1 −4 


 0 0 1 

1 −2 −5
−1

A = 0 1
4


0 0 −1

í nh

∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:

2 6
A=

1 4 
A−1 =

det( A) = 2

 4 −6 
PA =
 −1 2 



1  4 −6   2
= 1


2  −1 2   − 2

−3

1

í nh


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:

0 2 3 



A = 1 0 −1
 4 5 0 

det( A) = ? 
1
−1
PA
⇒ A =
PA = ?
det( A)


í nh


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

Đáp số:

 5 15 −2 
1

−1
A =  −4 −12 3 
7
 5

8 −2 

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
2 5
−2 5 


−
1
A=
Đáp số: A = 


1
2


 1 −2 
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2

a b 
 d −b 
A=
⇒ PA = 


c d 
 −c a 


§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
∑

Bài tốn: Tìm ma trận X thỏa mãn
1)
2)
3)
4)

AX = B
XA = B
AXB = C
AX + kB = C

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

Ta có:

1)

AX=B ⇔ A AX=A B
-1

-1

⇔ IX=A B
-1

−1

⇔X=A B
−1

2) XA = B ⇔ XAA = BA
⇔ XI = BA

−1

⇔ X = BA

−1

−1

−1

≠A B

ến T
y

u
T
ố
Đại S

í nh