HÀM số (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
TỐN 1 HK1

BÀI 2: HÀM SỐ


NỘI DUNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1-

KHÁI

NIỆM

HÀM
SỐ
2- CÁC
CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
3- NHẮC LẠI: HÀM CƠ BẢN
(PHỔ THÔNG)
4- HÀM SỐ
NGƯC
5- HÀM LƯNG GIÁC
NGƯC
6-

HÀM

HYPERBOLIC
7- ÁP DỤNG KỸ

THUẬT


KHÁI NIỆM HÀM SỐ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đại

lượng

A

biến

thiên

phụ

thuộc
lượng
B: điện theo số
 Đời đại
sống:
Tiền
kwh tiêu thụ, giá vàng trong
nước
thế
giới
… chất điểm
 Kỹ theo

thuật:
Tọa
độ
theo thời gian …
VD: Đồ thị VNINDEX
(chứng

khoán)



Hàm số: giá chứng
khoán theo ??? (Thời
gian?

Giá

vàng?

Biến động chính trị?

Tương
quan
hàm
số


LỊCH SỬ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1786,
Scotland: The
Commercial
an

Political

Atlas,
Playfair.

Đồ

thị so sánh
xuất

&

nhập khẩu
Giữa
18,
từ
AnhTK
sang

Hàm
:f

Euler:

BiểuMạch

diễn+hàm số
Đan

Vào
:x

Máy
tính Ra : y


ĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm số y = f(x): X  R  Y

X R

Y R

 R: Quy luật tương ứng x
 X  y  Y. Biến số x, giá
trị y. Tương quan hàm số:
1 giá trị x cho ra 1 giá trị
Một x  Nhiều y:
y
K0
phải
hàm
nghóa

thông

thường

(Nhưng

MXĐ Dđa
{x| f(x) có
hàm
f =trị?)
nghóa}
MGTrị Imf: y =f(x),
xD 

y = sinx  D= R, Imf =


CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bốn cách cơ bản xác định hàm số: Mô
tả (đơn giản) - Biểu thức (thông dụng) –
Bảng giá trị (thực tế) – Đồ thị (kỹ
 Mô tả: Đơn giản, dễ phát hiện
thuật)
tương
quan
số điện đi nước ngoài phụ
VD:
Phí

gửihàm
thư bưu
thuộc
trọng
 Bảng
giálượng
trị: Thực tế, rõ ràng, thích
hợpBảng
các hàm
giágửi
trị thư bằng bưu
VD:
cướcít phí
điện đi châu u
Trọng
 20

20 – 40

lượng
Giá

gr
gr
18.000 30.000

tiền

đ

đ

40 – 60
gr
42.000
đ


XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA BIỂU THỨC (HAY
GẶP NHẤT)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Quen

thuộc

(dạng

hiện):
y=
VD: y =
x2f(x)
, y = ex, hàm sơ
cấp cơ bản …
 x  x t  : 1 t  1 (x,

 y  y  t  y)
tham soá
VD: x = 1 + t, y = 1 – t 
Dạng

Biểu
thức:

Đường
VD: x =thẳng
acost, y = asint 
Đường tròn
Dạng ẩn F(x, y) = 0  y = f(x)
2
2
(implicit)
VD:
Đtròn x2 + y2 – x  y  1 0
16 9
4 = 0,


MAPLE: KHAI BÁO HÀM SỐ, VẼ ĐỒ THỊ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 (Khai báo hàm số) p :=
x^3
+ x^2
+ 1;
 (Tính
giá
trị hàm số)
subs(x=1,


(Tính p);
giới

hạn

hàm

số)

limit(
sin(2*x)/x,
x = 0)diff(p,
;
 (Tính
đạo hàm)
x) ; (Tính đhàm
cấp
2) đồ
diff(p,x$2)
 (Vẽ
thị) plot(sin(x), x = 0..Pi); (Nhiều
đồ thị) plot( [sin(x),cos(x)],x = 0..2*Pi, color
= (Đồ
[red,blue]);

thị tham số lý thú) plot( [31*cos(t)7*cos(31*t/7),

31*sin(t)-7*sin(31*t/7),

t

=

0..14*Pi]
);
 plot( [17*cos(t)+7*cos(17*t/7),
17*sin(t)- …, t
= 0..14*Pi] );


HÀM QUEN THUỘC (PHỔ THÔNG)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Hàm hằng, tuyến tính (bậc 1): y = ax +
b
Đường

Hàm
luỹthẳng
thừa: y = x  Đa thức: y = a0xn
n
+ a1xn–1 + … , hàm phân thức: y = 1/x,
x ... y =

P(x)/Q(x), hàm căn y =
Tính chất hàm y = x : MXĐ, đơn điệu … tuỳ
thuộc  > 0 & < 0!
 Hàm y = x :  tự nhiên  MXĐ: R, 
nguyên âm: MXĐ x  0,   R: nói chung x >
0

hàm
căn:
tuỳ
tính
chẵn
 (Nếu
Tính đơn
điệu
y =
x , x
> 0:
 > 0lẻ)
 Tăng,
 <
0  Giảm

Giới
hạn x  +:  > 0  lim x = +,  < 0
 lim x = 0


ĐỒ THỊ HÀM LUỸ THỪA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


y x :  tựnhiên,
lẻ

y  x : 0    1 &   1

y x :  tựnhiên,
chẵn

y  x :   0


HÀM MŨ, LOG
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Hàm đa thức: có cực trị,
không
tiệmthức:
cận
Hàm có
phân

tcận

xiên
(ngang)
bậc

Hàm
căn:tuỳ
miền

xác

Sviê

đứng,

n

tự

xem
định, tiệm cận …
Hàm mũ: y = ex  y = ax (a > 1 & 0 < a < R *
1).
= R; MGT:
ĐơnDđiệu
y = ax: a > 1  Hàm tăng & 0 < a



< 1: Hàm
giảm
a  1 : lim a x  & lim a x 0 ; 0  a  1 : lim a x 0 & lim a x 
x 

x  

x 

x  

Hàm logarit: y = lnx  Tổng quát: y = logax (a
>MXĐ
1 &: x0<0 a < 1)

MGTrị: R

a  1 : lim log a x  & lim log a x 
x  

x  0

0  a  1 : lim log a x 0 & lim log a x 
x  

x 0


ĐỒ THỊ HÀM MŨ, LOGARIT: SO SÁNH VỚI
LUỸ THỪA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x

y a : a  1 & 0  a  1

Điểm

y  x ,   0

bieät:
 1nhau
Khi
a >
&  > 0:
Cùng

đặc

,

+,



nhưng mũ nhanh
hơn luỹ thừa
Điểm

đặc

biệt:
 1nhau
Khi
a >
&  > 0:
Cùng

,



+,

y log a x : a  1 & 0  a  1

nhưng luỹ thừa

y  x ,   0

nhanh hôn log


HÀM LƯNG GIÁC: sinx, cosx
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = sinx, y = cosx  MXĐ R, MGTrị [–1, 1],
Tuần hoàn …
y sin x
y cos x


HÀM LƯNG GIÁC: tgx, cotgx
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = tgx (x  /2 + k ), y = cotgx (x  k):
MGT R, TC đứng
y tgx
y cotgx


HÀM HP. HÀM SƠ CẤP
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 hàm y = f(x), y = g(x)  Hàm hợp: f o g =
f(g): y(x) = f(g(x))

Vào
:x

Hàm
:g

Ra : g  x 

Hàm
:f

Giá
trị: f  g  x  

VD: Phân biệt f(g) & g(f): f = x2 & g = cosx 
f(g) = …  g(f) = …
Hàm sơ cấp: Tổng, hiệu, tích, thương, hợp
(ngược) … của những hàm cơ bản  Hàm
sơ cấp: Diễn tả qua 1 công thức
VD: y = (sin2(x) – ln(tgx+2))/(ecosx – 1): sơ cấp 
Ltục, đhàm
…0
x
,
x
VD y  x 
: 2 công
thức
 Không
sơcấp

: không
đhàm!

  x, x  0
:


HÀM NGƯC
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm số y = f(x): X  Y
thoả

tchất:

 y  Y, ! x  X sao cho y =
f(x)  f: song ánh (tương
f–song ánh  Phương trình f(x) = y (*) có
ứng một–một)
nghiệm x duy nhất
y  f ( x)  x  f  1  y   y  Y : biểu
thức
hàm
ngược
: f 1 :Y  X
Tìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x)  Biểu thức
1
hàm
ngược
x

=
f
(y)
VD: y = f(x) = 2x +
1 

Chú

ý:

Cẩn

thận

–1
chọn
X&Y
fVD:
= Tìm
?
miền xác định và
miền
giá trị để

trên đó hàm số sau có hàm ngược và
2


HÀM LƯNG GIÁC NGƯC
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  ,  
y = sinx: song ánh:
 2 2 


Hàm ngược y = arcsinx:
  1,1


  1,1
  ,  
 2 2 

 

x    ,  , y    1,1 : Giải
ptrsin x  y  Nghiệm
x arcsin y
 2 2
y = arcsinx: D = [–1, 1],    ,   & sin  1     sin 
 2 2 
MGT
VD:  = arcsin(1/2) = sin- Dùng phím sin-1 trên
(1/2) :
 arcsin x  ' 

1

MTBTuùi

1
u'
dx
&  arcsin u  ' 
&
arcsin x  C
2
2
2
1 x
1 u
1 x


Hàm arccos, arctg, arccotg: Toán 1, ĐCK, trang
21 – 23
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = cosx song aùnh: [0, ]  [–1, 1]  y =
arccosx: [–1, 1] …

 x    1,1 , y   0,  
y arccos x cos x  
&  arccos x  ' 
 x cos y
1

 
y tgx : songaùnh
:   ,   R  y arctgx : R 

 2 2

1
1 x2

  ,  
 2 2 

y cotgx : songaùnh
:  0,    R  y arccotgx : R   0,  
1
u'
dx
 arctgx  '  2 &  arctgu  '  2 &  2 arctgx  C
1 x
1 u
1 x
 arccotgx  '  1 1  x 2 


HÀM HYPERBOLIC (Toán 1, ĐCK, trang 23 –
24)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------x
x
x
x
-----------------

e e
sinh x shx 

2

e e
, cosh x chx 
. D R
2

MTBTúi: Bấm hyp + sin, hyp + cos. VD:
Tính Chứng
sh(0), ch(0)
VD:
minh: a/ ch(x) > 0  x (Thật ra
ch(x)

1





x)

b/ shGiải
x < chx
 x
c/ ch(x): hàm
chẵn, sh(x):
VD:
phương
trình:

x
x
 e  e 2  x ln1  2 
hàm
sh(x)
=lẻ)
1
VD: Chứng
minh ch2x – sh2x = 1  x (So sánh:
cos2x + sin2x = 1)
Công thức hàm hyperbolic: Như công thức
lượng giác & đổi dấu riêng với thừa số
tích chứa 2 sin (hoặc thay cosx  chx, sinx 
2


BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Công thức lượng giác

Công thức Hyperbolic

sin 2 x  cos 2 x 1
cos x y  cos x cos y sin x sin y

ch 2 x  sh 2 x 1
ch  x  y  chxchy shxshy

sin  x  y  sin x cos y sin y cos x

sh  x  y  shxchy shychx

cos 2 x  2 cos 2 x  1 1  2 sin 2 x

ch  2 x  2ch 2 x  1 1  2sh 2 x
sh  2 x  2shxchx

sin  2 x  2 sin x cos x
x y
x y
cos x  cos y 2 cos
cos
2
2

x y x y
chx  chy 2ch
ch
2
2

x y
x y
sin
2
2

x y x y
chx  chy 2sh

sh
2
2

cos x  cos y  2 sin

Đhàm: (shx)’ = chx, (chx)’= shx. ĐN: thx =
shx/chx; cthx = 1/thx


ÁP DỤNG HÀM MŨ, LOG: PHÂN RÃ
PHÓNG XẠ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tốc độ phân rã của vật liệu phóng xạ
tỷ lệ thuận với khối lượng hiện có.
Hãy tìm quy luật phân rã của vật liệu
Giải: Gọi R(t) – khối lượng vật thời điểm t
này?
 tốc độ phân rã: R’(t) = dR/dt < 0 (vì R
giảm). Theo quan sát:
dR
 kR  k : hằng
số
tỷ
lệ 0 
dt

dR
 kt



kdt

R

t


R
e
0
R 

Carbon C – 14: Chu kỳ bán phân rã: 5730
năm  Tìm R(t)?
Giải: T – chu kỳ bán phân rã  Khối lượng:
R
th/điểm T:
R00 /2 tại
ln 2
 kT
R0 e  kT ln 2  k 
2
T

T 5730  R t  R0 e  0.000121t


TẤM VẢI LIỆM THÀNH TURIN

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Năm 1356, các nhà khảo cổ phát hiện
tại thành Turin (Ý) tấm vải có ảnh âm
bản hiện hình người được xem là Chúa
Jesus



Truyền

thuyết:

Tấm

vải

liệm

thành Turin. Năm 1988, Toà thánh Vatican
cho phép Viện Bảo tàng Anh xác định
niên đại tấm vải bằng phương pháp
 R t  
1 chứa
R t  C – 0.000121
t  Sợi vải
Giải:
công xạ
đồng Từ
vị phóng

14

 t 
ln
e
0.000121  R0 
R0
thức
trước:
92% - 93% lượng C – 14 ban đầu. Kết luận?
R/R0:
0.92
 t  ln  0.92  689 & t  ln 0.93 600
1

2

0.93
Thựcnghiệm: 1988  Tuổi tấm vải khi đó:
600 – 688  Kluaän?