KHAI TRIỂN TAYLOR (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------

TỐN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR


CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cực trị tại x0: ∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x0 – ε, x0 + ε)
⇒ f(x) ≤ f(x0)
Fermat: f đạt cực trị tại x0 ∈ (a,b) & khả vi
tại x0 ⇒ f’(x0) = 0
Minh hoạ hình
học:


ĐỊNH LÝ ROLL
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong
(a,

b),

f(a)

⇒ ∃ x0∈(a, b): f’(x0) = 0
Minh hoạ hình

học:
VD:

Chứng

minh

phương

trình 4ax3 + 3bx2
+ 2cx – (a + b +
c)

=

0

nhất
nghiệm
Giải:

có

ít
1

thực
Xét

=

f(b)


ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khaû vi trong
(a,b)
⇒ ∃ c ∈ (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
p
dụng:
Khảo sát tính
đơn điệu của
hàm y = f(x)
bằng
đạo
VD:
CMinh
hàm
BĐThức
arctgx − arctgy ≤ x − y


KHAI TRIỂN TAYLOR
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x0 ⇒ f(x) ≈
f(x
– x0)

Công
thức
f có đạo hàm cấp n+1
0) + f’(x
0)(x Taylor:
treân (a,b); x0 , x∈(a, b)
( n)
f ' ' ( x0 )
f
( x0 )
2
f = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) +
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 ) n + ?
2!
n!
n

⇒ f ( x) = ∑
k =0

( n +1)
f ( k ) ( x0 )
f
(
c)
k
( x − x0 ) +
( x − x0 ) n+1 , c ∈ ( x0 , x )
k!

(n + 1)!
      
Rn ( x ) :
Phần
dư

Lagrange
CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến
cấp n trên
(k) ( x )
n f (a,b)
0 ( x − x )k + o ( x − x )n , x → x
f ( x) = ∑
0
0
0
k
!
k =0

(

)


KHAI TRIỂN MAC – LAURINT
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x0 = 0: Khai triển Mac – Laurint
(phổ biến)

n
f ( n ) ( 0) n
f ( k ) ( 0) k
f ( x) = f ( 0) + f ' ( 0) x +  +
x + Rn ( x ) = ∑
x + Rn ( x)
n!
k!
k =0
Phaàn

f ( n+1) ( c ) n+1
x , c = c( x ) ∈ ( 0, x )
dö Rn ( x) =
(n + 1)!

(

)

Lagrange:
n +1
, x→0
Phần
dư Rn ( x) = o x

Peano:
VD: Khai triển Mac – Laurint của hàm
2

n

x
x
b/ cosx
e x = 1 + x + +  + + o( x n +1 ) , x → 0
2!
n!
Keát
2n
x2 x4
x
n
cos x = 1 − + −  + ( − 1)
+ o( x 2 n +1 ) , x → 0
quaû:
2! 4!
( 2 n )!
a/ ex


MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint
hàm
p1 ( x) =f(x)
x = sinx
x3
p2 ( x ) = x −

6
x3 x5
p3 ( x) = x − +
6 120
Chú ý: Đồ
thị đa thức
xấp xỉ tiến
dần về đồ
thị

hàm


KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ
BẢN
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm lượng giác: sinx, cosx. Hàm tgx
(chỉ đến 3cấp
ba)
5
x
x
(
− 1) n−1 x 2 n−1
sin x = x − + +  +
+ o x 2n , x → 0
3! 5!
(2n − 1)!

( )

x2 x4
( − 1) n x 2n
cos x = 1 − + +  +
+ o x 2 n+1 , x → 0
2! 4!
(2n)!

(

)

( )

x3
tgx = x + + o x 4 , x → 0
3
Khai triển ex: tách mũ chẵn, lẻ & đan
dấu. cos chẵn → mũ chẵn; sin lẻ → mũ
lẻ; tg lẻ → mũ lẻ. K0 đan dấu → shx, chx