VCBÉ – VCLỚN LIÊN tục (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
------------------------------------------------------------------------------------

TỐN 1 HK1
BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC


VÔ CÙNG BÉ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đại lượng α(x) – vô cùng bé lim α ( x ) = 0
(VCB) khi x → x0:
VCB cơ bản

x → x0

(x → 0): α ( x ) = sin x , 1 − cos x , tgx

x
Lượng
− 1, ln(1 + x ) Lũy
Mũ, egiác

(1 + x ) α − 1. VD : 1 + 3x − 1

ln:
thừa:
1
x0: Không quan trọng. VCB VCB x → 1: sin(x–
x
1) …

x → ∞:
α(x), β(x) – VCB khi x
α(x) VCB, C(x) bò
→
0
⇒ xα(x)
± β(x) , α(x)β(x):
π
π
VCB
b / lim x sin
VD a / lim sin
x →0
x →0
x
x
:
BT: lim ( sin x + 1 − sin x )
x →∞

chaën
⇒
C(x)α(x):
π
VCB
c / lim x sin
x →∞
x

SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

α ( x)
= c ⇒ So saùnh
α(x), β(x) – VCB, x → x0 lim
x → x0 β ( x )
được
và ∃
1/ c = 0 : α(x) – VCB cấp cao so với β(x):
α(x)
= o(β(x))
Cách
nói khác: β(x) – VCB
cấp
hơn lại trường hợp c = 0 ⇒
2/ c =thấp
∞ : Ngược
β(x)
3/ c =
≠ o(α(x))
0, c ≠ ∞ : vô cùng
bé cùng cấp
VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0”
2
3
hơn.
VD: sinSo
x, x
p dụng:

sánh 2 vô cùng bé xm , xn

(m, n > 0) khi x sin
→0
x, 1 − cos x, tgx
VD: So saùnh
VCB:


VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN
TRỌNG)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

α ( x)
=1
α(x), β(x) – VCB tương đương khi x lim
x → x0 β ( x )
→ x0 ⇔
x2
VCB
lượng sin x ~ x , tgx ~ x, 1 − cos x ~ , x → 0
2
x
giác:
e
VCB mũ, − 1 ~ x, ln (1 + x ) ~ x, x → 0
2x
α
3
ln:

VCB lũy thừa (1 + x ) − 1 ~ αx, x → 0 VD: 1 + 2 x ~
3
(căn):
VCB tương đương: Được phép thay thừa số
tương đương vào tích & thương (nhưng không

thay vào tổng & hiệu!)
α
VD: Tìm hằng số Ctgx − sin x ~ Cx , x → 0


DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

p dụng: Dùng vô cùng bé tương
đương tính giới hạn
α ( x ) ~ α1 ( x ) , β ~ β1 ⇒
x → x0

x→ x0

α ( x)
α ( x)
= lim 1
x→ x0 β ( x )
x → x0 β1 ( x )
lim

Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH
(THƯƠNG)

Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương
vào TỔNG (HIỆU)
ln (1 + 2 tg 2 x )
ln ( cos 3 x )
1/ lim
2 / lim 2 x
VD:
x →0
x →0 ( e
x sin x
− 1) sin x
Tìm
x
2
 x + 2x − 3 
 2

x có thể → x0 bất lim
x →∞
 x − x +1 
kỳ. VD: Tìm
sin x − tgx
α ~β & α 1 ~ β 1 khi x → x0 ⇒ α ± α 1 VD : lim
x →0
x3


QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

α, β – VCB khác cấp ⇒ α + β tương đương VCB
cấp thấp hơn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: α(x), β(x)

–

tổng VCB khác cấp ⇒ lim α/β = lim (tỷ số
hai VCB cấp thấp
1 của tử & mẫu)
3
sin ( x + 2 − 2 ) + x 2 + 3tg 2 x
ln ( cosx ) + 2 x
lim
VD: lim
2
x →0
x →0
ln (1 + x )
sin 3 x + 2 x
Thay VCB tương đương vào tổng:

VCB dạng

luỹ thừa
&Σ ≡ 0
α

α ≠ β
 f ~ λx , x → a
α

β
⇒ f + g ~ λx + µx iff 

β

α = β & λ + µ ≠ 0
 g ~ µx , x → a

(

sin x ± x
1 / lim
2 / lim x + x + x − x
x →0
x → +∞
x

)

ln (1 + x ) 
 1
lim 
−
x →0 x ( 1 + x )
x 2 



VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT
BỎ VCL

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL)lim f ( x ) = ∞
x→ x0

khi x → x0 :
So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x → x0 và ∃
giới haïn f/g c ≠ 0, ∞ : f(x), g(x) – VCL
f ( x)
cùng
lim
=c
c
= 1:cấp
f, g
– VCL tương
x → x0 g ( x )
đương
c
= ∞ :: ff ~
– g
VCL cấp cao hơn g.
Viết:
f >> gx
2
a >> xα >> log β x ( a > 1, α > 0 )
VD: 3 x − 4 x + 1 ~ 3 x
2

x →∞

x →∞

x →∞

 Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương
VCL
cấp
cao
nhất
 Thay
VCL
tương
đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi


KẾT LUẬN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Với

giới

hạn

chứa

Vô

Cùng

Bé

(chẳng hạn dạng 0/0 …):
 Dạng tích (thương) ⇒ Thay các THỪA
SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn
f ( x )hôn
g( x)
f1 ( x ) g1 ( x )
giản
lim
= lim
với f(x) ~ f1(x), g(x)
x → x0
x → x0
h( x )
h1 ( x )
~ g1(x) …
 Dạng tổng VCB khác cấp ⇒ Thay bằng
VCB
cấptổng
thấpVCB
1
 Dạng
tổng quát Σfi(x) ⇒ Thay
αi
αi
f
(
x

)
~
C
x
&
C
x
≡0
∑ i luỹ
i
i
mỗi fi(x) bằng VCB tương
đương
dạng

thừa:
Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng ∞ /∞ …): 1/
Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim


HÀM LIÊN TỤC
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm

f(x)

liên Hàm liên tục/[a, b] ⇔ (C):

tục

tại
x0: định
 f(x)
xác

đường liền

limx0f ( x ) = f ( x0 )

tại
x→ x

Giá
n

0

đoạ
Hàm sơ cấp (định nghóa qua 1 biểu thức)
n!
liên tục ⇔ xác định
VD: Khảo sát tính liên tục
:
của các
tgx + hàm
x 2 − 1 số: sin x
 x, x < 1
a/ y =
b/ y =
c / f ( x) = 

2
x +1
x
1 − x, x ≥ 1 Khôn
g
sơ
sin
x

, x≠0

x
VD: Tìm a để hàm liên y = 
cấp!

a , x = 0
tục tại x = 0:


LIÊN TỤC MỘT PHÍA
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị
tuyệt … ⇒ Khảo sát
f ( x ) = f ( x0 )
f(x) liên tục trái tại x0 khi xácxlim
→x0− 
f ( x0 − )
định tại x0 và
f ( x ) = f ( x0 )

f(x) liên tục phải tại x0 khi xácxlim
→ x0 +
   
f ( x0 + )
định tại x0 và
Hàm f(x) liên tục tại x0 ⇔ Liên tục trái &
liên tục phải tại x0

 1 , x ≠1
1

x
VD: Khảo sát tính f ( x) = 1 + e x −1
Chuù lim a = ?
x →∞

liên tục:
ý:
1, x = 1


PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm f xác định & gián ñoaïn taïi lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0

x
⇔ Không
Hoặc

∃ lim fcó
≠ f(x0), hoặc lim– ≠ lim+, hoặc ∃
0
lim f: 3 trường hợp!
Loại
1:Điểm khử ∃ lim f ( x ) ≠ f ( x0 )
x→ x
0

được:

Điểm lim f ( x ) ≠ lim f ( x )
f(x)
gián
đoạn
tại x0

x → x0 −

nhảy:
Bước

x → x0 +

lim f ( x ) − lim f ( x )

x → x0 +

nhảy:

x → x0 −

f ( x ) hoặc
∃ lim f ( x )
Loại ∃ xlim
→x −
x→ x +
0

0

2:
(Hoặc không tồn tại cả


VÍ DỤ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm

x0 = 0 có phải điểm gián

đoạn?
Hãy
x
phân loại
sin
, x≠0

f ( x) =  x


, x=0
a


VÍ DỤ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm

x0 = 0 có phải điểm gián

x
đoạn?
Hãy
phân loại
sin
,
x
≠0
 x
f ( x) = 
1
, x=0



VÍ DỤ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biện luận tính chất điểm gián đoạn
của hàm
sau theo a
sin 1 , soá
x≠0

f ( x) =  x

, x=0
a

f ( 0) = a

f ( 0) = a


TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT
ĐOẠN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f bị chặn trên [a,

f đạt GTLN, BN trên

b]:m∃ ≤m,f(x)
M ≤ M∀ x∈
&

[a,
∃ xb]:

0, x1 ∈ [a, b]: f(x0)

[a, b]

= m, …
Haøm y = f(x)
liên tục trên
đoạn [a, b]

Chú

ý:

Không
thể

thay

đoạn

&

bằngĐịnh
(Hay sử dụng)
lý giá trịkhoảng!
hai đầu

GTBN ≤ k ≤ GTLN ⇒ ∃

trái dấu: f(a).f(b) <

f nhận mọi giá trị
trung

gian:

∀

k


VÍ DỤ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( x − 1) 2 , x ≤ 0
1/ Tìm a, b để

f ( x ) = ax + b , 0 < x < 1
hàm
số
sau
 x
, x ≥1

liên tục trên R

f liên
tục

tại 0 &

2/ Chứng minh phương trình sau có ít
1
nhất 1 nghiệm âm
x5 = 1 − x
f(x) liên tục trên (0, 3). Để pt f(x) = 0 có
nghiệm
(a, b)
b):= (2, 3)
a/ f(2)f(3)trên
< 0, (a,

b/ f(1)f(2) <

0, (a, b) = (1, 2)
a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên
R:

f2(x)

=

1

∀

x

∈

R