ôn tập toán 9 toán học 9 trần mỹ hà website của trường thcs lê ngọc giá

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (608.77 KB, 46 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phần I :

Đại sè

 Chuyên đề 1: Căn Thứcrút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức
A. Kiến thức cần nhớ:

- Cách đặt ĐKXĐ của một biểu thức

- Cách quy đồng khử mẫu hai hay nhiều phân thức
B. Bài tập



Rót gọn Các căn thức sau:

Bi 1. Tỡm giỏ tr cỏc biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a,

√

81
16
49

196

9 b,

√

3
1
16. 2

14
25. 2

81 c.

√

640 .

√

34,3

√

567 d,

21,6

810 .

11252

Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai:

a, 8+2

√

15 ; b, 10-2

√

21 ; c, 12-

√

140
d, 5 +

√

24 ; e, 14+6

√

5 ; g, 8-

28

Bài 3. Phân tích thành thừa sè c¸c biĨu thøc sau:

a, 1 +

√

15 b,

√

10+

√

14+

√

15+

√

35−

√

15+

√

14−

√

6 d, 3 +

√

18+

√

√

e, xy +y

√

x+

√

x+1 g, 3+

x +9 -x

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a, (

√

8−3

√

10 )(

√

2−3

√

0,4 )

b, ( 0,2 −10¿
2.3
¿

√¿

+ 2

√

3−

√

5¿

2
¿

√¿

c, (

√

28−2

√

14+

√

7 ).

√

7 + 7

√

8 d, ( 15

√

50+¿ 5

√

200−3

√

450 ) :

√

e, 2

√

2−3¿2
¿
−3¿2

¿
−1¿4

¿
2¿

√¿

g, ( 2

√

3−

√

8−2 −

√

216
3 ¿:

√

h, (

√

14−

√

1−

√

2 +

√

15−

√

5
1−

√

3 ):

√

7−

√

5 i,

√

5+2

√

8−2

√

7+2

√

10
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a, a

√

b+b

√

a

√

ab :
1

√

a −

√

b=a− b ( a, b > 0 vµ a b )

b, ( 1+ a

√

a

√

a+1¿(1−

a −

√

a

√

a −1)=1−a (a > 0 vµ a 1);c, (

1− a

√

a

1−

√

a +

√

a )(

1−

√

a

1− a ) ❑2 =1 (a > 0 vµ a

1)
d, a+b

b2 .

√

a2b4
a2

+2 ab+b2=|a|

(a+b>0, b 0)

Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau:

√

−9a −

√

9+12a+4a2 víi a = -9 ; b, 1 + 3m
m−2

√

m

−4m+4 víi m<2
c,

√

1−10a+25a2−4a víi a=

√

2 ; d, 4x-

√

9x2

+6x+1 víi x=-

√

e, 6x2 -x

√

6 +1 víi x =

√

3
2

B

à

i 7:

Rót gän C¸c biĨu thøc sau:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A=

√

x

2−4x+4

2x −4 B=1−

(

2
1+2x−

5x
4x2−1−

1
1−2x

)

x −1
4x2+4x+1
C=

√

x+

√

y

√

x −2

√

y−

√

x −

√

y
2

√

x+2

√

y−

2y

y − x D=

(

1
1−

√

x+

1
1+

√

x

)

(

1
1−

√

x−

1
1+

√

x

)

1
1−

√

x
E=

(

√

x

√

x −1−
1
x −

√

x

)

(

√

x+1+
2

x −1

)

F=

√

a+x

x −2

√

a+

√

a+x2

x +2

√

a
 Gỵi ý:

Khi làm các bài toán này cần:
- Đặt ĐKXĐ?

- Quy đồng khử mẫu, rồi làm gọn kết quả thu đợc
1
2
2
1
2
2
khix
A
khix




 


 2
1 2
B
x


2 y
C
x y


1
D
x

 E x 1

x



Một số loại tốn thờng kèm theo bài tốn rút gọn
I.Tính tốn một biu thc i s

Ph ơng pháp:

Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần:
+Rút gän biĨu thøc P(x).

+ Thay x=a vµo biĨu thøc võa rút gọn

*Ví dụ:

A=x+

x

26x

2x23x Tính giá trị của A biết |x|=18 .
B= 1

a 2+2
1

a 22 Tính giá trị của B biết(a-6)(a-3)= 0
C=

(

x+2

x 
x
x 2+

3
x22x

)

x24 Tính giá trị của C biết 2x

2+3x =0

D=

(

x 1+
x
x31.

x2+x+1
x+1

)

2x+1

x2+2x+1 Tính giá trị của D biÕt x=
2005
2007

E=(x −1)

√

x
2

+6x+9

x2−9 TÝnh E biÕt |x|=16

F=2a

√

x·
2

−4

x −

√

x2−4 TÝnh F biết x=

a+

a .
 Đáp án:

khi 3

3
3
(2 3)
x
x
A
khi x
x x



 ;
4
2
B
a



 & B=-4/5

( 2) 2

&
5 5
x
C C
x
 
 
1
1
x
D
x



1
x -3
3

1- x

khi x < -3
x - 3

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

II.Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức: 
Ph ơng pháp:

Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần :
+ Rút gọn biểu thức P(x)

+ Giải phơng trình P(x) =a.

Ví dô:

A=

(

√

a
2 −

1
2

√

a

)

(

√

a−1

√

a+1−

√

a+1

√

a −1

)

a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a để A=0

B=

(

√

x −1
3

√

x −1−

1
3

√

x+1+

√

x

9x −1

)

(

1−

√

x −2
3

√

x+1

)

T×m x khi B=6/5

C=

(

√

x
x+1

)

(

√

x −1−

√

x

√

x+

√

x − x −1

)

a) TÝnh C biÕt x= 4+2

√

3 b)T×m x khi C >1.
D=

(

x+1

x −1−
x −1

x+1

)

(

1
x+1−

x
1− x+

2
x2−1

)

a) Tính D khi x=

√

4+2

√

3 b)Tìm x để D=-3

(

x −3+ 1

x −1

)

(

x −1−
1
x −1

)

a) TÝnh E khi x=

√

12+

√

140 b) TÝnh x khi E >5
15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

F

x x x x

  

  

   

a)Rút gọn F b)Tính x để F=1/2



 









 



2
2

2 3 1 4 2 3

1 3

x x x

G

x x

   



 

a)Rót gän G

c)TÝnh G khi x=

√

3+2

√

b)Tìm x để G >1
 Đáp án:

1
; 1
a
A a
a

 
;a=1
1
; 4;
4
3 1
x x

B x x

x


  



1 6 3 3

; ; 1 or x < -2

1 3

x x

C C x

x
  
  

2
;
1
x
D
x



2 1
; 0
2
x
E x
x
 
  
;

7 9 5
2 3
x x
F

x x
 

 

2 3 2 2 1

; 2 x < -1;G = ...

1 2 2 1

x

G x or

x

 

  

 

III. Tìm giá trị của biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện nào đó 
Ph ơng pháp :

Trớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của bài toán
mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:

Tìm điều kiện của x giỏ tr ca biu thc l nguyờn?

Ta cần đa biĨu thøc rót gän vỊ d¹ng : R(x)= f(x)+ ( )

a

g x sau đó lập luận:

R x( )Z  a g x hay ( ) g(x) lµ íc cđa a (a lµ h»ng sè)

 VÝ dô:
1)



 



4 2 3
6 9

x x x

A

x x

  



  a) Rút gọn A b)Tính xZ để AZ?

2) B=x+x+32− 5

x2+x −6+
1
2− x

Rút gọn B, Tính xZ để BZ?
3) C=

(

a

√

a −1

a −

√

a −

a

√

a+1
a+

√

a

)

a+2
a−2

a)Tìm a để biểu thức C khơng xác định

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b)Rút gọn C c) Tính aZ để C Z?

4) D= 1

√

x −1−

√

x+
1

√

x −1+

√

x+

√

x3− x

√

x −1

a)Rút gọn và tính giá trị của D khi x=5
b)Tìm giá trị nguyên dơng của x để DZ ?
5)E=

(

x −3+ 1

x −1

)

(

x −1−
1
x −1

)

x+2
x

Tính xZ để E Z?

 Đáp án:

4
3
3
A
x

;
4 2
1
2 2

x
B
x x

;

2 4 8

2
2 2
a
C
a a

  
  ;





2
1 1
D x 

;
2 4
1
2 2
x
E
x x

  

 

IV. Một số thể loại khác 
Bài 1. Chứng minh rằng:

√

(1−

√

2005)2.

√

2006+2

√

2005=2004 b)

√

35

√

2+7−

√

35

√

2−7=2
c)

(

a

2
−ab
a2b+b3−

2a2

b3−ab2+a2b − a3

)

(

1−
b −1

a −
b
a2

)

a+1
ab

Bµi 2. Cho B= 1:

(

x −2
x

√

x −1+

√

x+1
x+

√

x+1−

√

x+1

x −1

)

a) Rót gän B

b)CMR : B>3 víi mäi x>0 ;x 1 .

Bµi 3. Cho C= 2

√

a+3

√

b

√

ab+2

√

a −3

√

b −6−

6−

√

ab+2

√

a+3

√

b+6

a) Rót gän C b) CMR nÕu C= b+81

b−81 thì
a
b3 .
Bài 4. Cho D=

(

b − x

√

b −

√

x−

b

√

b − x

√

x
b − x

)

(

√

b+

√

x)2

b

√

b+x

√

x

a) Rót gän D b) So s¸nh D víi

√

D .

Bµi 5. Cho E=

(

√

x −4x
1−4x −1

)

(

1+2x
1−4x−

√

x
2

√

x −1−1

)

a) Rút gọn E. b) Tìm x để E>E2 . c) Tìm x để |E|>1

4
Bµi 6. Cho F= a

√

ab+b+
b

√

ab− b−
a+b

√

a) TÝnh F khi a=

√

4+2

√

3;b=

√

4−2

√

b) CMR nÕu a

b=
a+1

b+5 thì F có giá trị khơng đổi.
Bài 7. Cho biểu thức: A1 = (

1
1−

√

x+

√

x ) : (
1
1−

√

x−

√

x ) +
1
1−

√

x

a) Rút gọn A1. b) Tính giá trị của A1khi x=7+4

√

3 .
c) Với giá trị nào của x thì A1 đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bµi 8. Cho biĨu thøc: A2 =

x −1¿2−4
¿
x+2¿2
2x+1¿2−¿

¿
¿

a) Tìm x để A2 xác định. b) Rút gọn A2. c) Tìm x khi A2 =5.

Bµi 9. Cho biĨu thøc: A3 = (
x+1
x −1−

x −1
x+1 ):(

2
x2−1−

x
x −1+

1
x+1 )

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Rót gän A3 b) tìm giá trị của A3 khi x=

√

8 c) T×m x khi A3 =

√

Bµi 10. Cho biĨu : A4 = ( a

√

a−1
a −

√

a −

a

√

a+1
a+

√

a ):

a+2
a−2

a) Với giá trị nào của a thì A4 không xác định. b) Rút gọn A4.
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị tự ngun ?

Bµi 11. Cho biÓu thøc: B1 = x

√

x −1−

2x −

√

x
x −

√

x

a) Rút gọn B1 b) Tính giá trị của B1khi x=3+

√

8
c) Tìm x để B1> 0 ? B1< 0? B1=0

Bµi 12. Cho biĨu thøc: B2 =

√

a+3
2

√

a −6−

3−

√

a
2

√

a+6

a) Rút gọn B2 b) Tìm a để B2< 1? B2> 1?

Bµi 13. Cho biÓu thøc: B3= ( 1+

√

x
x+1 ):(

√

x −1−

√

x

√

x+

√

x − x −1 )

a) Rút gọn B3 b) Tìm x để B3> 3? c) Tìm x để B3=7.
Bài 14. Cho biểu thức: B4 = (

√

x

√

x −1−
1

x −

√

x ):(
1

√

x+1+
2

x −1 )

a) Rót gän B4 b) TÝnh giá trị của B4khi x=3+2

2
c) Giải phơng trình B4 =

√

Bµi 15

. Cho biĨu thøc: B

= (

√

a

√

a+

√

b+
a
b − a

):(

a

√

a+

√

b−

a

√

a
a+b+2

√

)

a) Tìm điều kiện của a để B5 xác định. b) Rút gọn B5.
c) Biết rằng khi a/b = 1/4 thì B5 = 1, tìm giá trị của b.
Bài 16. Cho biểu thức: C1 =

√

x+4

√

x −4+

√

x −4

√

x −4

a) Rút gọn C1 b) Tìm x để C1 = 4

Bµi 17. Cho biĨu thøc: C2 =
a

√

ab+b+
b

√

ab− a
a+b

a) Rút gọn C2

b) Tính giá trị của C2khi a =

√

4+2

√

3 , b =

√

4−2

√

c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C2 có giá trị khơng đổi

Bµi 18. Cho biĨu thøc: C3 = 2

√

a+3

√

b

√

ab+2

√

a −3

√

b −6−

6−

√

ab+2

√

a+3

√

b+6

a) Chøng minh r»ng ∀b ≥0 thì C3 có giá trị không phụ thuộc vào b
b) Giải phơng trình C3= -2.

c) Tỡm a C3 < 0? C3 > 0?

d) Tìm giá trị nguyên của a để C3có giá trị nguyên.
e) Chứng minh rằng nếu C3= b+81/b-81,

khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3.

Bµi 19. Cho biĨu thøc: C4 = (

√

x −2
x −1 −

√

x+2
x+2

√

x+1 ).

x2−2x+1
2

a) Xác định x để C4tồn tại. b) Rút gọn C4
c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C4 > 0.
d) Tìm giá trị của C4khi x = 0,16.

e) Tìm giá trị lớn nhất của C4.
g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z.

Bµi 20. Cho biĨu thøc: C5 = x
3

− x2y −xy2+y3
x3

+x2y −xy2− y3

a) Rót gọn C5.

b)Tính giá trị của C5khi x =

3 , y =

2 .
c) Với giá trị nào của x, y thì C5 = 1.

Bài 21. Cho biểu thøc: D1 = ( x+2
x

√

x −1+

√

x
x+

√

x+1+

1
1−

√

x ):

√

x −1
2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) Rót gän D1.

b) Chøng minh D1> 0 víi ∀x ≥0, x ≠1 .

Bµi 22. Cho biĨu thøc: D2 = ( x − y

√

x −

√

y+

√

x3−

√

y3
y − x ):

√

x −

√

y¿2+❑

√

¿
¿
¿

a) Xác định x, y để D2có nghĩa. b) Rỳt gn D2.

c) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña D2. d) So sánh D2 và

D2 .
e) Tính giá trị cđa D2khi x = 1,8 vµ y = 0,2.

 Chun đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b

KiÕn thøc:

Cho hµm sè y=ax+b (a≠0)

- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0

- Nếu toạ độ (x0;y0) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này.

- Ngợc lại, nếu điểm A(x0;y0) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x0;y0) của A thoả mãn hàm

sè y=f(x).

- Cho hai đờng thẳng (d1): y=ax+b & (d2): y= a1.x+b1 (a ≠ 0 ; a1 ≠ 0)

+ (d1) // (d2)  a=a1 & b≠ b1

+ (d1)  (d2)  a= a1 & b= b1

+ (d1) c¾t (d2)  a≠ a1 & b≠ b1

+ (d1) ┴ (d2)  a.a1=-1



Bµi tËp vËn dông

Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m.

Bài 2: Cho đờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m

Bài 3: Cho các đờng thẳng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) và

(d2): y= (2m-3)x +(m2-1) (m≠ 3/2):
a) CMR: (d1) & (d2) không thể trùng nhau với mọi m.
b) Tìm m để (d1) // (d2); (d1) cắt (d2); (d1) ┴ (d2)

Bài 4: CMR: 3 đờng thẳng sau đây đồng quy: (d1): y=-3x (d2): y=2x+5 (d3): y=x+4
Bài 5: Tìm m để ba đờng thẳng sau đồng quy:(d1):y=x-4; (d2): y= -2x-1;(d3): y= mx+2
Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đờng thẳng :(d1): y=

3x;(d2):y=-3x ;(d3): y=-x+4
Bài 7: Cho đờng thẳng (d1):y=4mx - (m+5) & (d2): y= (3m2+1)x+m2-4

a) CMR: (d1) luôn đi qua điểm A cố định và (d2) luôn đi qua điểm B cố định

b) Tính khoảng cách AB. ; c) Tìm m để (d1) // (d2)

Bµi 8. Cho hai hµm sè : y = (k + 1 )x + 3 vµ y = (3-2k)x +1

Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đ ờng trên có thể trùng
nhau đợc khơng ?

Bài 9. Viết phơng trình đờng thẳng :a. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P( 1

2;
5
2 )

b. Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5)
c. Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 )

d . Song song với đờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm ( 1

3;
4
3 )

Bài 10.Cho 3 đờng thẳng : y=2x+1(d1) ; y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3)

a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d1) & (d2)

b. Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy

Bài 11. a. Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)

b. Gọi các giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (3) với các đờng thẳng (1), (2) thứ tự là A,B: tìm
toạ độ của các điểm A,B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

c.TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c OAB

 Chun đề 3:Phơng trình v h phng trỡnh bc nht
Bt phng trỡnh

I.Ph ơng trình bậc nhất 1 ẩn số

Ph ơng pháp : ax+b=0 ax=-b  x=-b/a

Nếu phơng trình khơng có dạng tổng quát thì cần biến đổi đa 
 về dạng tổng quát rồi tớnh

Ví dụ:

Bài 1:Giải các phơng trình:

a) (x+3)2=(2+x) (x 2) b) (x+1) (x+5)

3 −

(x+2)(x+5)

12 =

(x+2)(x −1)
4

c) 1

2x −2−

2x+1
x2+x+1+

3
2x+2=0

* Ph ơng trình dạng

f(x)=g(x) (1)

S gii:





( ) 0(2)
( ) ( )

( ) ( ) (3)
g x

f x g x

f x g x





  






Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm khơng thích hợp, 
 nghiệm thích hợp là nghiệm của phơng trình ó cho.

Ví dụ

Bài 2:Giải phơng trình: a)

√

3x −8=7 b)

√

x2+x −1=2− x





2 3 x 3x1
* Ph ơng trình dạng

f(x)+

g(x)=h(x)

S đồ giải:- Đặt đk có nghĩa của phơng trình
f(x)≥0

g(x)≥0
h(x)≥0

- B×nh phơng 2 vế , rút gọn đa về dạng(1)

ví dụ:

Bài 3:Giải phơng trình:

5+x=

1 x b)

1+x=1

x

c) 22 x 10 x 2 d) 3x 1 x1 2

Bµi 4:Giải phơng trình

a) 5 x 1x b) 3x 1 10x1 5

* Ph ơng trình dạng f x( ) g x( ) h x( )
 Sơ đồ giải:

- Đặt đk có nghĩa của phơng trình

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

f(x)0
g(x)0
h(x)0

-Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phơng) sau đó cần phải
 đối chiếu nghiệm vừa tìm c vi iu kin!

ví dụ:

Bài 5:Giải phơng trình

a) x 5 x 3 2x7 b) x 1 x 7 12 x

IV. Bất ph ơng trình

*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0
+ Phơng pháp: ax+b>0 ax>-b  x>-b/a nÕu a>0

x<-b/a nÕu a<0

VÝ dơ

Bµi 6: Cho phơng trình: 2x 5x 1
3 <

6x 1
2 +

x
3

a) Giải bất phơng trình

b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất phơng trình.

Dạng 2:BPT phân thức A

B >0 ,BPT tíchA.B>0

*Cỏch gii: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với 2 hệ bpt :

0
0
0
0
A
B
A
B
 







 
 


 


vÝ dơ:

Bµi 6: Giải các phơng trình sau:

1)2x(3x-5) <0 2) x
2 x
x2

+x+1>1 3)(x-1)
2-4 <0
*D¹ng 3:

( )
( )

( )

f x a

f x a



   



Bµi 7: Giải phơng trình: |x 4|=x+1

*Dạng 4:

( )
( )

( )
f x a
f x a

f x a






hoặc

|

f(x)

|

<a a<f(x)<a
Bài 8: Giải phơng trình:

|

x

24x
x2

+x+2

|

1
V.Hệ ph ơng trình

* Phơng pháp:

ví dụ

: Cho hệ phơng trình

3 2

9 6 1
x my

x y

 




 

 (1)

a) Gi¶i (1) khi m= −1

b)Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c) Tìm m để (1) có vơ nghiệm
d) Tìm m để (1) có nghiệm

0
0
x
y

Bài tâp

Bài 1.Giải các phơng trình và bất phơng tr×nh sau:

a) x+5

x −5−
x −5

x+5=
20

x2−25 b)

(2x+1)2

4 −(1− x)

2≤7x

2 +1

√

x2

−36=8 d)

√

x2−2x+2=1 d)

√

(x+3)(x −2)+x=12 f)

x+1+

x 2=1 g) x+

4x24x+1=5

Bài 2. Giải các hệ phơng trình sau

a)

1
x 2+

1
y 1=1
2

x 2
3
y 1=1

b) 
1
x−

1
y=1
3

x+
4
y=5

c) |x −1|+|y −5|=1
y=5+|x −1|

d) |x+2|− x

x ≥2 e)

x+y¿2−3(x+y)−5=0
¿

¿
2¿

f)

x − y¿2+3(x − y)=8
¿

¿
5¿

Bµi 3.Cho hƯ pt:

3
3
mx y
x my
 


 

 a)Tìm m để hệ có nghiệm(x;y)=(-2;5)

b)Tìm m để hệ có vơ số nghiệm; vơ nghiệm? ; c) Tìm m để hệ có nghiệm

0
0
x
y




 
Bµi 4. Cho hệ phơng trình: 2

mx my m

mx y m

 




 

 (m: lµ tham sè)

a)Giải và biện luận hệ phơng trình; b)Tìm điều kiện của m để hệ có nghệm thỏa mãn x>0;y<0.

Bài 5.Tìm m để hệ phơng trình sau :

5
2 3 7

mx y
x my
 


 

 có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x>0; y<0
Bài 6) Tìm a để hệ phơng trình:

3
· 4 6
x ay
a x y

 




 

 cã n0 tháa m·n x>1; y>0.

Bài 7)Tìm a để 3 đờng thẳng sau: (d1) 2x +y =5 (d2) 3x-2y =4 (d3) a x +5y =11 đồng quy?

Bài 8)Giải hệ phơng trình

2 3 8

3 1
x y
x y
 


 

 &

4 3 2
3
x y
x y

Bài 9) Giải hệ phơng trình sau: a)

2 2

5
5

x y xy

x y

  




 

 b)

30
35
x y y x
x x y y

  


 


c)
64
1 1 1

4
xy

x y




 


 d) 2 2
11
30
x xy y
x y xy

  




 

 e)

2 2
2 2

19
7

x y xy

   



  


Bµi 10. Giải hệ phơng trình sau :

2

3

1 x

y

x

y





2

0

3

1 x

y

x

y















{x

√

3y=

√

2√2x−√3y=1

{

√

2x+y=1−

√

10x −2√2y=√5

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

{

¿4x+y=2

8x+3y=5

{

¿2|2x||x|+− yy==35

{

¿x − y=2
1
x+
1
y=
9
4

{

¿x
4=
y
7=1

x − y+3=0

1

3

4

5 x

y

x

y





















{

¿1
x+
1
y=
5
36
5
x+
6
y=
3
4

{

¿ 1
x −2+

1
y −1=1

x 2
3

y1=1

{

x+y+
1
x y=3
2

x+y

x y=1

Bài 11. Giải các hệ phơng trình : a.

x+y23(x+y)5=0

x y2+3(x y)=8

Bài 12. Cho hệ phơng trình :

{

¿2x −axay=b(1)

+by=1(2)

a. Xác định a,b để hệ có nghiệm x=

√

2 ,y=

√

3 ; b. Tìm a,b để hệ vơ số nghiệm

Bµi 13. Cho hệ phơng trình :

ax+y=a

{

(a+1)x y=3

a. Giải hệ phơng trình với a=-

b. Xỏc nh giỏ tr của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn iu kin x+y>0

Bài 14.Cho hệ phơng trình

{

x ay=a

ax+y=1 ; a. Giải hệ phơng trình với a=

2 -1

b. Chứng minh hệ phơng trình có hai nghiƯm víi mäi a

c. T×m a sao cho hƯ cã nghiƯm (x;y) tho¶ m·n x>0; y>0



Chun đề 4: phơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dng

I.Phơng trình bậc hai

1) Ph ơng trình bậc hai khuyết :

* Ph ơng pháp : Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đa về dạng phơng trình tích.
*

Ví dụ

: Giải phơng trình sau:

a) 2x2-50x =0b) 54x2 =27x c) 3x
2

+5
4 =x

−2 d) x
2

−1
2 −

x2−2
3 =

2x2−1
4
2) Ph ơng trỡnh dng y :

* Ph ơng pháp : Giải theo công thức nghiệm của phơng trình bậc hai:

Ví dụ

:Giải phơng trình
a)

x
x+1+

x+1

x +2=0 b)

2x
x21=2+

x+1 c) 2

1 1 7

7 12 2 6 40
x  x  x 
3)Ph ơng trình giải đ ợc bằng cách t n s ph:

* Ví dụ: Giải các phơng trình

a) (x2+2x)2 -2(x2+2x) -3 =0 c) 4x4 +12x3-47x2+12x+4=0

b) x4-5x2-6 =0 d) x2+ 5

2 |x|
-3
2 =0

Bài tập

: Giải các phơng trình sau

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a)(6x2-7x)2- 2(6x2-7x) -3 =0 ; b)(x+ 1

x )2-4,5(x+
1

x ) +5=0

c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d)

2 8

1
x
x

x

 

  


 

II.§iỊu kiƯn nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2+bx+c =0

Ph ơng pháp :

Cho phơng trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (1)

+ ĐK để (1) vô nghiệm: 
0
0
a



 

 + ĐK để (1)Có 2 nghiệm pb: 
0
0
a



 


+ ĐK để (1)Có nghiệm kép: 
0
0
a



 

 + ĐK để (1)Có 2 nghiệm trái dấu: a.c<0

+ ĐK để (1)Có nghiệm: 
0
0
a



 

 + ĐK để (1) có 2n

0 d¬ng:

0
0
0
S
P

 





 


+ ĐK để (1) có 2n0 âm:

0
0
0
S
P
 





 

 + ĐK để (1)có 2n

0 cïng dÊu:

0
0

P
 






(Khi đó nếu Tổng 2n0 dơng thì 2n0 mang dấu dơng và ngợc lại)



Ví dụ:

Bµi 1:Cho phơng trình: (m-1)x2 -2(m+1x + m-2=0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Giải phơng trình khi m= 5

Bài 2: Cho phơng trình :(m+2)x2 + 6mx + (4m +1)=0. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép?
Bài 3: Cho phơng trình :m2x2 + mx +4 =0 . Tìm m để phơng trình vơ nghiệm?

Bµi 4:Cho phơng trình :x2 -2(k-1)x + 2k -5 =0

a)CMR Phơng trình luôn có nghiệm?

b)Tỡm k phng trỡnh cú 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n0 mang dấu gì?
Bài 5: Xác định k để pt :3x2 - (2k+1)x +k2- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu?

Bài 6: Xác định k để pt :x2- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu?
Bài 7:Cho pt : 2x2 +14x +2m-3 =0

a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng -

√

3 .Tìm nghiệm thứ hai?

b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

Bµi 8: Cho pt: x2-2mx+2m-1=0

a) m=? để phơng trình có nghiệm kép

b) m=? để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n0 mang dấu gì?
III.Bài tốn liên quan giữa nghiệm phơng trình và hệ thức Vi-ét

 Ph ơng pháp :

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

NÕu pt bËc 2 :ax2+bx+c = 0

có 2 nghiệm x1, x2 thì tổng và tích các nghiệm đó là:

1 2

1. 2
b
x x

a
c
x x

a


 






 





Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trớc. Nếu đk
cho trớc có chứa biểu thức x12+x22 hoặc x13+x23 thì cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:

x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2

x13+x23=(x1+x)3-3x1x2(x1+x2).

Tất nhiên các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa mÃn đk 0

Ví dụ:

Bài 1:Cho phơng trình bậc hai: x2- 2(m+1)x + m2 +3 =0 (1)

a) Tìm m để (1) có 2 n0 dơng?

b) Tìm m để (1) có 2 n0 x1,x2 tha món
7x1

x2

+7x2
x1

=22
Bài 2:Cho phơng trình : x2 +2kx+2-5k =0 (2) k: tham sè

a) Tìm k để pt(2) có n0 kép?

b) Tìm k để (1) có 2 n0 x1,x2 tha món x12+x22=10

Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 (1)

a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi x.

b) Tìm m để pt có mt nghim gp ụi nghim kia?

Bài 4: Cho phơng trình: x2-2(m+2)x +m+1 =0 (x lµ Èn)

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để: x1(1-2x2)+x2(1-2x2)=m2.
Bài 5:Cho phơng trình mx2-(m-4)x +2m =0.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2(x12+x22)-x1.x2=0.
Bài 6:Cho phơng trình x2-(m-1)x +5m-6=0.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4x1+3x2=1
Bài 7:Cho phơng trình x2-2(m+1)x+m2+3=0.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tho món : 2(x1+x2)-3x1.x2+9=0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?

ơng phápPh : Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đợc biểu thức
không phụ thuộc vào tham số



VÝ dô

Bài 1:Cho phơng trình: x2-(k-3)x +2k+1 =0 có các nghiệm là x

1,x2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các

nghim c lp vi k.

Bài 2:Cho phơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 có các nghiệm là x

1,x2. Tìm một hệ thức liên hÖ

giữa các nghiệm độc lập với k.

Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: (m+1)x2-2(m-1)x+m =0. Tìm một hệ thức liên h gia cỏc nghim c

lập với m?.

Bài 4: Cho phơng trình bậc hai: (m-1)x2-2(m-2)2x +m+3=0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm

c lp vi m?.

Lập phơng trình bậc hai khi biÕt hai nghiƯm cđa chóng

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 Ph ơng pháp:

- Lập tổng x1+x2

- LËp tÝch x1x2

- Phơng trình cần tìm là X2-SX+P =0.

Ví dụ

Bài 1:Lập phơng trình bậc hai có các nghiƯm lµ:a) 1

3 vµ
1

2 ;b)

√

3 vµ

√

5 ; c) 5+

2 và 5

2
Bài 2: Cho phơng trình: x2+px+q =0(1)

a) Không giải phơng trình, hÃy tính biểu thức: A= 1

(

2x1+3

)

2+
1

(

2x2+3

)

2 theo p và q

b)Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc 2 theo y có hai nghiƯm lµ:
y1=x1+1

x1−1

; y2=x2+1
x21

c)Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) và phơng trình x2+mx+n=0

có nghiệm chung thì :(n-q)2+(m-p)(mq-np)=0

Bài

tập:

Bài 1:

C

ho phơng trình x2-mx +m-1 =0(1)

a)CMR: (1) cã nghiƯm víi mäi m.T×m nghiƯm kÐp nÕu cã cđa (1) và giá trị tơng ứng của m.
b)Đặt A= x12+x22-6x1x2. - CMR : A=m2-8m +8.

-Tỡm m A=8

Bài 2:Cho phơng trình : (m-4)x2-2mx+m-2=0
a) Giải phơng trình khi m=18

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tính x13+x23 theo m?

Bài 3: Cho phơng trình : x2-2(m+2)x+m+1=0 (1)
a) Giải phơng trình khi m=-3/2

b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm m để x1(1-2x2)+x2(1-2x1)=m2.
Bài 4: Cho phơng trình : x2- 2mx+2m-1=0

a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Đặt A= 2(x12+x22)-5x1x2

1.CMR: A= 8m2-18m+9
2. Tỡm m A=27

3. Tìm m sao cho phơng trình nghiệm này gÊp hai lÇn nghiƯm kia?

 Chun đề 5: Mối tơng quan giữa đồ thị

hµm sè bËc nhÊt vµ hµm sè bËc hai

Ph ơng pháp:

Cho Parabol (P): y=ax2 và đờng thẳng (d): y=mx+b

- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt phơng trình ax2=mx+b có 2 nghiệm phân biệt 

>0 (nghiệm của phơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm)

- ĐK để (d) Khơng cắt (P)  phơng trình ax2=mx+b vơ nghiệm  <0.

- ĐK để (d) tiếp xúc với (P)  phơng trình ax2=mx+b có nghiệm kép

 =0

(nghiệm kép tìm đợc đó chính là hồnh độ tiếp điểm).



Bµi tËp:

Bài 1: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y=

2
x

2 .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tìm a và b để đờng thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P).

Bài 2: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm số y=

(m-1)x- (m-1).

a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.

b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc trên cùng mặt phẳng toạ độ.

Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x2-3x+2

a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung.

b) Trong trng hp (d) tip xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm.

Bµi 4: Cho hµm sè y=

-1

2 (P)

a) VÏ (P).

b) Tìm m để đờng thẳng y= 2x+m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A & B.
Tìm toạ độ 2 điểm A và B đó.

Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x2. Lập phơng trình đờng thẳng

() song song với đờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P).

Bµi 6: Cho (P): y=
2

2x và hai đờng thẳng (d1): y=2x-2 và (d2): y= ax-1.

a) Vẽ (P) & (d1) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điẻm của chúng

b) BiƯn ln theo a sè giao ®iĨm cđa (P) & (d2)

c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm.

d) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

 Chuyên đề 6: Tìm GTLN &GTNN của một biểu thức
Ph ơng pháp 1:

Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn
 ( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng

(hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nht (hay ln nht).

Chẳng hạn:

A=(ax+b)2+m m thì minA=m khi vµ chØ khi x= − b

a
A=-(ax+b)2+M M thì maxA =M khi và chỉ khi x= − b

a
VÝ dơ1: T×m GTNN cđa biĨu thøc A= m2-6m+11.

Ta cã: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 . Do =(m-3)2 0 nªn A==(m-3)2+22

dÊu “=” x¶y khi m-3=0  m=3.
VËy GTNN cđa A là 2 khi m=3.

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thøc B= -4x2-8x+5

Ta cã: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+66

VËy GTLN cña B là 6 khi 2x+1=0 x=-1/2.

ơng pháp 2Ph :Phơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức: x

2
+1
x2

+x+1

Đặt y= x
2

x2+x+1 , ta cần tìm GTNN&GTLNcủa y?

y(x2+x+1)=x2+1 (y-1)x2+yx+y-1=0 (1) - Đây là phơng trình bậc hai ẩn x

+) y-1=0 y=1: (1) có dạng:x=0 (không có GTLN hay GTNN)

+) y -1 0 y1: Để tồn tại GTNN & GTLN thì (1) ph¶i cã nghiƯm 0.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 = y2-4(y-1)2=(-y+2)(3y-2)0  
2

3 y  GTNN lµ 
2

3 GTLN lµ 2.

Khi đó x= 2( 1) 2(1 )

y y

 

  với y=2/3 thì x=1

với y=2 thì x=-1
Vậy: GTNN là

3 Khi x=1 ; GTLN là 2 Khi x=-1
 Ph ơng pháp 3: Phơng pháp dùng bất đẳng thức Cơsi:

+ víi a ≥0;b ≥0 ta cã a+b

2 ≥

√

ab Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

 HƯ qu¶: + NÕu a+b =S th×

√

ab≤S

2⇔ab≤
S2

4 . Vậy ab đạt GTLN là 
S2

4 ⇔a=b
 + Nếu ab =P thì a+b 2

√

P .Vậy a+b đạt GTNN là 2

√

P⇔a=b
Ví dụ: Cho biểu thức P= 8

√

(x+3)(5− x) với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN đó.
Giải : Từ -3<x<5 P>0. Đặt E=



x3 5

 

 x



P đạt GTNN thì E đạt GTLN 



x3 5

 

 x



đạt GTLN.
Xét (x+3)+(5-x)=8 (hằng số) 



x3 5

 

 x





8
4

2  dÊu‘=’khi (x+3)=(5-x) x=1(TM).





 



8 8

2
4
3 5

P

x x

  

 

. GTLN của P là 2 v t c khi x=1

*

Bài tập

Bài 1: Tìm GTLN&GTNN nÕu cã cđa c¸c biĨu thøc sau:
a) -x2+2x+5 b) 2x2-x+3 c) 1

√

x2− x+1 d)

5
2+

√

x −1
Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN. Tìm GTNN đó

a) M=x2+4y2+z2-2x+8y-6z+15 b) N = 2x2+2xy +y2-2x+2y+2
Bµi 3: Cho biĨu thøc : Q=x

2
+72

3x với x>0. Tìm x để Q đạt GTNN.Tìm GTNN đó.
Bài 4: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức: y= 3

2x x2

Bài 5: Giả sử x1và x2 là hai nghiệm cuả phơng trình x2-2(m-1)x+m2-m -0 (1)

Tìm GTNN của tổng S= x12+x22

Bài 6: Cho phơng trình : x2- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1).

a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biƯt víi mäi m.

b) Gäi x1vµ x2 lµ hai nghiệm cuả phơng trình.Tìm GTNN của tổng S= x12+x22.
Bµi 7: Gäi x1, x2 lµ hai nghiệm của phơng trình 2x2-3mx-2 =0

Tỡm giỏ tr ca m để x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:
A= x2 +3x+4 B=-3x2+4x+1 C= 5

3x22

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: M=3y2+x2+2xy+2x+6y-5
Bài 10:Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

a) y=x
2

−2x+2007

x2 ;b) y=

x2+x+1
x2− x+1 ;c)

y= 1
3−

√

1− x2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 11: Cho 2 biến số dơng x và y . BiÕt x+y=6.T×m GTNN cđa Q=2
x+

2
y
 Chun đề 7: Bất đẳng thức

I. Phơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa:

*§N: AB  A- B  0
Nªn khi chøng minh A B ta:
 - LËp hiÖu A-B

-Chứng tỏ rằng A-B 0 bằng cách biến đổi A-B thành tích của những thừa số
 khơng âm hoặc tổng các bình phơng.v.v.

VÝ dơ

: Chøng minh r»ng 2(a2+b2) (a+b)2 a,b

Gi¶i: XÐt hiƯu 2(a2+b2) -(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)20 a,b.

Theo định nghĩa  2(a2+b2) (a+b)2 (đpcm)

Bµi

tËp vËn dơng

1) CMR: (a+b)24ab 2) CMR: NÕu ab th× a3b3

3) CMR: a2+b2+c2 ab+bc+ca 4) CMR:

2
2

2 x
1

x
x



 


II. Phơng pháp biến đổi tơng đơng

 Để chứng minh A B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng
minh đến một đẳng thức đã biết là đúng

VÝ dô

: CMR :

1 1 4

, 0
x y
x y x y  

Gi¶i:









1 1 4 x + y 4

x + y 4 x - y 0

xy xy

xy x y  x y  

Đúng x y, , 0 nên

1 1 4

, 0
x y

x y x y (đpcm)

Bài

tËp vËn dông

1) CMR:
2

4 5
0
1

x x

x
x

 

 

 2) CMR:

2
4

1
1 2
a

a
a   

3) CMR: NÕu p,q>0 th×:

2 2

p q

pq
p q




 4) CMR: 3x2+y2+z22x(y+z+1) x y z, ,

5) CMR:

2006 2007

2007  2006   6) CMR: NÕu x+4y=1 th× : x2+4y2
1
5

7) CMR: Nếu 2x+4y=1 thì : x2+y2
1
20

8)Cho a0.Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình

4 0

x x

a

.CMR:

4 4

1 2 2 2
x x  

III.Phơng pháp sử dụng giả thiết hoặc một BĐT đã biết

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

- Sử dụng BĐT Côsy:

, 0
2

a b

ab a b

- Sử dụng BĐT Bunhiacôpsci:





 



2 2 2 2 2

x, y

ax by  a b x y 

- Các hệ quả củaBĐT Côsy:
+)

1 1 4

, 0
x y
x y x y  





1 4

x, y
xy  x y 

1 1 1 9

x, y, z
x y z x y z  

Ví dụ

: Cho 3 cạnh của  ABC có độ dài lần lợt là a,b,c và chu vi là 2p=a+b+c
CMR:

1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

Gi¶i: ta cã p-a, p-b, p-c >0 nên áp dụng BĐT

1 1 4

, 0
x y

x y x y   , ta cã:

1 1 4 1 1 4 1 1 4

; ;

1 1 1 1 1 1

2 4 dpcm

p a p b c p b p c a p c p a b

p a p b p c a b c

     

     

   

         

    

 

 Ghi chú: Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc rồi mới vận dụng



Bài

tập vận dng:

Bài 1:Cho 2 số dơng a,b thoả mÃn a+b=1. CMR: 2 2

1 1

ab a b  (cã thÓ hái: T×m GTNN cđa biĨu thøc

A= 2 2

1 1

ab a b )

Bài 2:Cho 2 số dơng a,b. CMR:





2
2 2

1 1 1

4a 4b 8ab a b

Bµi 3: Cho x>y, xy=1. CMR:

2 2

x y

x y





Bµi 4:Cho x>0; y>0 thoả mÃn điều kiện

1 1 1
2

x y  .Tìm GTNN của biểu thức A= x y
 Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phng trỡnh

hoặc hệ phơng trình

.Ph ơng pháp:
B

ớc 1 : Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị và đặt đk cho ẩn số)
B

ớc 2 : - Biểu thị các đại lợng đã biết và cha biết qua ẩn số

- Sử dụng mối liên hệ giữa các dữ kiện cho trớc trong bài để 
 thiết lập phơng trình(hoặc hệ phơng trình)

B

ớc 3 : Giải phơng trình ( hoặc hệ phơng tr×nh)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

B

ớc 4 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời



Bài

tp vn dng:

Bài 1. Tìm hai số biết tổng cuả hai số bằng 59, hai lần của số này hn ba lần của số kia là 8.

Bi 2. Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai ch số của nó thì đợc một số lớn hơn số đã cho là 63.
Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho?

Bµi 3. Phân tích số 270 ra thừa số mà tổng của chúng bằng 33

Bài 4. một sân trờng hình chữ nhật có chu vi là 340m, 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính
chiều dài và chiều rộng của sân trờng

Bài 5. Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5

3 cạnh còn lại dài

8cm. Tính c¹nh hun

Bài 6. Bảy năm trớc, tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi
con. Hỏi năm nay mỗi ngi bao nhiờu tui?

Bài 7. Hôm qua mẹ Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000đ Hôm nay mẹ lan mua 3

quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600đ mà giá trứng thì vẫn nh cũ. Hỏi giá mỗi quả trứng mỗi loại

là bao nhiêu?

Bài 8. Trong một phòng học có một số ghế, nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ,
nếu xếp mỗi ghÕ 4 häc sinh th× thõa mét ghÕ.

Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiªu häc sinh?

Bài 9. Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch đợc tất cả 460 tấn thóc.

Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu. Biết rằng 3ha trồng lúa mới thu hoạch đợc ít hơn 4 ha
trồng lúa cũ là 1 tấn

Bài 10. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng hơm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi
xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Bài 11. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai 12km. Nên đến địa đỉêm B trớc ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗt ơ tơ biết
qng đờng AB di 240km

Bài 12. Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ngợc chiều và gặp nhau
sau 2h. Tìm vân tốc của mỗi ô tô. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h và vận tốc ô tô B
giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô t« B.

Bài 13. Một ơ tơ đi t A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 2

3 vËn tèc cđa

ơ tơ th nhất. Sau 3h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng AB mất bao lâu?

 Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)

Bài 14. Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên AC có một ơ tơ vân tải
cũng đi đến C sau 5h hai ô tô gặp nhau tai C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B hết bao lâu. Biết rằng vân
tốc của ô tô tải bằng 3/5 vân tốc của ô tô du lịch.

Bài 15. Hai ngời thợ cùng xây một bức tờng trong 7h12phút thì xong nếu ngời thứ nhất làm trong 5h và
ngời thứ 2 làm trong 6h thì cả hai xây đơc 3/4 bức tờng. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu song
bức tờng?

Bài 16. Hai công nhân cùng sơn cửa cho một cơng trình trong 4 thì xong việc. Nếu ngời thứ nhất làm
một mình trong 9 ngày, rồi ngời thứ 2 đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi ngời
làm một mình thì bao lâu xong việc.

Bài 17. Trong tháng đầu 2 tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ một sản xuất
vợt mức 15%, tổ hai sản xuất vợt mức 20% do đó cuối tháng cả hai sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi
rằng trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.

Bài 18. Cho một dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nớc thì đợc một dung dịch 6%. Hỏi có
bao nhiêu gam dung dịch đã cho?

Bµi 19. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 4 4

5 giờ bể đầy

mi gi lng nc của vòi một chảy đợc bằng 1 1

2 lợng nớc chảy đợc của vòi hai . Hỏi mỗi vòi chy

riêng thì trong bao lâu đầy bể

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bi 20. Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km sau đó 1h30’ một ngời đi xe máy cũng
đi từ A đến B sớm hơn 1h .Tính vận tốc của mỗi xe .Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5lần vận tốc xe đạp .

Bài 21. Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h khi đến B ngời đó nghỉ 20phút rơì
quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính qng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là
5h50’

Bài 22. Hai ngời thợ cùng làm một cơng việc trong 16h thì song nếu ngời thứ nhất làm trong 3h và ngời

thứ hai làm trong 6h thì họ làm đợc 25% cơng việc .Hỏi mỗi ngời làm một mình thi song cơng việc
trong bao lâu .

Bài 23. Cho một số có hai chữ số .Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho
là 12 .Tìm số đã cho

Bài 24. Trong một phịng họp có 360 ghế đợc xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau
.Có một lần phịng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế để đủ chỗ cho 400 đại
biểu .Hỏi bình thờng trong phịng có bao nhiêu dãy ghế

Bài 25. Qng đơng AB dài 150km một ôtô đi từ A đến B và nghỉ lại ở B 3h15’ rồi trở về A hết tất cả 10h .Tính
vận tốc của ơtơ lúc về .Biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vn tc lỳc v l 10km/h

Bài 26. Một số máy suôi dòng 30km và ngợc dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà số máy đi
59,5km trên mặt hồ yên lặng .Tính vận tốc của xuồng khi đi trong hồ .Biết rằng vận tốc của nớc chảy
trong sông lµ 3km/h.

Bài 27. Một bè nứa trơi trên sơng sau đó 5h20’ một xuồng máy đuổi theo và đi đợc 20km thì gặp bè nứa
.Tính vận tốc bè nứa Biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè nứa 12km/h

 Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)

Bài 28: Ngời ta dự định chia 73 học sinh thành một số tổ nhất định để tham gia hoạt động hè. Sau khi
chia số học sinh cho mỗi tổ thì thấy thừa ra 1 học sinh. Lần thứ hai chia thêm mỗi tổ 1 ngời thì thiếu 7
học sinh. Hỏi số tổ dự định và số học sinh của mỗi tổ lúc chia lần đầu.

Bài 29:Hai cạnh góc vng của một  vng hơn kém nhau 14 cm.Tính các cạnh của  đó biết chu vi
của nó là 60cm.

Bµi 30Cho mét thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng thêm mỗi cạnh 10m thì diện tích mới bằng

2
3 diện

tích cũ.Nếu giảm mỗi cạnh đi 10 m thì diện tích mới b»ng

5 diƯn tÝch cị.

Bài 31: Hai vịi nớc cùng chảy đầy một bể khơng có nớc trong 3h45’. Nếu chảy riêng rẽ, mỗi vòi phải
chảy trong bao nhiêu lâu để bể đầy.Biết rằng vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4giờ.

Bài 32:Quãng đờng Hải Phòng – Hà Nội dài 105 km.Một ơ tơ đi từ Hải Phịng đi Hà nội với vận tốc đã
định.Lúc về, mỗi giờ ôtô đi nhanh hơn lúc đi là 7km nên thời gian về ít hơn lúc đi là nửa giờ. Tính vận
tốc lúc đi của ơtơ?

Bài 33: Một số có hai chữ số mà tổng hai chữ số đó bằng 13.nếu ta thêm 34 vào tích hai chữ só đó, ta sẽ
đợc một số viết theo thứ tự ngợc lại. Tìm số đó?

Bài 34:Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong 1 giờ. Lúc về ngời đó đi đợc

3quãng đờng với vận tơc hơn

lúc đi là 2km/h.Phần đờng cịn lại, ngời đó rút vận tốc xuống thành ít hơn lúc đi 1km/h, lúc về chậm hơn
lúc đi là 40giây. Tính quãng đờng AB?

Bài 35: Hai ngời thợ cùng làm một công việc. Nếu làm riêng rẽ mỗi ngời nửa công việc thì tổng số giờ
làm việc là 12 h30.Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm cả việc đó trong 6giờ. Nh vậy, làm riêng
rẽ cả cơng việc, mỗi ngời phải mất bao nhiêu giờ?

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

PhÇn II:

H×nh häc

 Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình
hệ thức lợng trong tam giác vng.

 Ph ơng pháp ;

- Các phơng pháp nhận biết tam giác cân.

- Cỏc phng phỏp nhn bit tam giỏc u

- Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông

- Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông cân

- Các phơng pháp nhận biết hình thang, hình thanh cân

- Các phơng pháp nhận biết hình bình hành

- Các phơng pháp nhận biết hình chữ nhật

- Các phơng pháp nhận biết hình thoi

- Các phơng pháp nhận biết vuông

Bài

tập vận dụng:

Bài 1

. Tìm x, y,z trong mỗi hình sau :

c)

Bài 2.

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dới đây :

a, Trong (h×nh 1) sinx b»ng :

A, 5/3 B, 3/5 C, 5/4 D, 3/4

b, Trong (h×nh 2) sinQ b»ng :

A,

B,

C,

D,

Bài 3

. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính tỉ số lợng giác của

góc B. Từ đó suy ra các hệ thức tính tỉ số lợng giác của góc C

Bµi 4

. giải tam giác vuông ABC Biết

^A

= 90

AB=5 ,BC=7

Bài 5

. Tính các góc của một tam giác vuông biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông lµ 13:21

Bµi 6

. Dùng gãc x BiÕt sinx = 3/5

Bµi 7

. Dùng gãc x BiÕt cotgx = 1/2

Bài 8

Cho tam giác DEF có ED = 7cm góc D = 40

góc F = 58

kẻ đờng cao EI của tam giác đó

. H·y tÝnh (lÊy 3 chữ số thập phân)

a).Đờng cao EI

b). Cạnh EF

Bi 9:

Gọi O là giao điểm hai đờng chéo hình bình hành ABCD. M và N lần lợt là trung điểm của AD
và BC; BM và DN cắt AC ln lt P v Q.

a) So sánh các đoạn AP, PQ, QC. ; b) Tứ giác MPNQ là hình gì?

y

x

10

8 b)

x

9

25 a)

x

3cm

H.1 5cm

4cm

x

y

z

4

5

Q
R

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

c) TÝnh tØ sè
CA

CD để MPNQ là hình chữ nhật.;d) Tính ACD để MNPQ là hình thoi.
e)  ACD phải có gì đặc biệt để MPNQ là một hình vng?

Bài 10:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB. Gọi K là điểm chính giữa của cung AB.Gọi M là một điểm
nằm trên cung AK, N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN=AM.

Chøng minh r»ng:

a) AMK = BNK; b) MKN là vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của AMN

c)Khi im M chuyển động trên cung AK thì đờng vng góc với BM kẻ từ N luôn luôn đi qua một
điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại B.

Bµi 11:

Cho hinh fvu«ng ABCD.LÊy B làm tâm, bán kính AB, vÏ

4 đờng trịn phía trong hình

vng.lấy AB là đờng kính, vẽ

2 đờng trịn phía trong hình vng. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC

(không trùng với A và C). H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB và AD; PA và PB cắt nửa đờng tròn
tại I và M.

c) Chứng minh I là trung điểm của AP

d) Chng minh PH,BI,AM đồng quy tại một điểm

e) Chøng minh PM=PK=AH

f) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân

g) Tỡm vị trí của điểm P trên cung AC để  APB đều

 Chuyên đề 2: Chứng minh một số điểm nằm trên đờng tròn
tứ giỏc ni tip

Ph ơng pháp ;

- Phng pháp chứng minh 4 điểm nằm trên một đờng tròn

- Phơng pháp chứng minh 5 điểm nằm trên một đờng tròn
1.Chứng minh 4 đỉnh của tứ giỏc cỏch đều một điểm nào đú

2. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc dối bằng 1800

3. Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh cịn lại dưới hai góc bằng nhau
4. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng nhau

5. Sử dụng định lý đảo về hệ thức lượng trong đường tròn

Nếu M là giao điểm của AB và CD và thoả mãn AM.MB = CM.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp
đường trịn

6. Trong trường hợp phải chứng minh từ 5 điểm trở lên cùng nằm trsên một đường tròn ta
chọn 3 điểm nào đó cố định ,rồi kết hợp với một điểm thứ tư để chứng minh 4 điểm nằm trên
đường tròn và cứ tiếp tục như vậy chứng minh tiếp .



Bµi

tËp vËn dơng:

Bµi 1 Từ một điểm M nằm ngồi (o) kẻ các tuyến qua tâm MAB và các tiếp tuyến MC,MD , gọi
K là giao điểm của AC và BD .

C/m 4 điểm B,C,M,K cùng thuộc một đường tròn ,xác định tâm đường trịn đó

Bµi 2.Gọi AB là đường kính của (o) từ A kẻ hai dây bất kì cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn

ở E và F và cắt đường tròn ở C và D . Chứng minh tứ giác DCEF nội tiếp

Bµi 3. Cho hình bình hành ABCD ( ABˆC >900)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

A’ là hình chiếu của DS trên BC, B’ là hình chiếu của D trên AC, C’ là hình chiếu cuả D trên

AB. Chứng minh O nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆A’B’C’.

Bµi 4.Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O) gọi D và E là hai tiếp điểm.Trên AB và AC.Các

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

đường phân giác của góc B và C cắt đường thẳng DE tại N và M.
Chứng minh rằng 4 điểm B,M,N,C cùng nằm trên một đường trịn.

Bµi 5.Cho ∆ABC (AB=AC),M thay đổi trên cạnh BC. Các đường thẳng qua M và song song
với các cạnh bên AB,AC lần lượt cắt AB và AC ở Q và P.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tâm giác ABC.Chứng minh.

a, Tứ giác APOQ nội tiếp.

b, Điểm đối xứng của M qua PQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Bài 6. Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy điểm D sao cho DB=DC
và góc DCB bằng 1/2góc ACB

Chøng minh tø gi¸c ABDC néi tiÕp

Bài 7. S là điểm chính giữa cung AB của đờng tròn tâm 0 Trên dây AB lấy hai điểm E và H các đờng
thẳng SH và SE cắt đờng tròn tại C và D .Chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp

Bài 8. Tứ giác ABDC nội tiếp đờng trịn tâm O .E là điểm chính giữa cung AB hai dây EC,EB cắt AB tại
P và Q các dây AD,EC cắt nhau tại I ,các dây BC và ED cắt nhau tại K .Chứng minh rằng

a. Tø gi¸c CDIK néi tiÕp ; b. Tứ giác CDQP nội tiếp

Bài 9. Cho tam giác ABC các đờng phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S .Các
đờng phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E . Chứng minh BSCE là tứ gi¸c néi tiÕp

Bài 10. Cho tam giác cân ABC đáy BC và góc A =20o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy D

sao cho DA=DB và góc DAB =40o .Gọi E là giao điểm của AB và CD .Chứng minh ABCD là tứ giác nội

tiếp

Bài 11. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E biết AE.EC =BE.ED .Chứng minh 4 điểm A,B,C,D
cùng nằm trên một đờng tròn.

Bài 12. Cho đờng tròn tâm O .SA ,SB là hai tiếp tuyến của đờng tròn tại A và B Kẻ dây BC .Đờng
kính vuông góc với AC cắt BC t¹i I .Chøng minh r»ng :

a. 4 điểm S,A,I,B cùng nằm trên đờng tròn
b. Tứ giác SAOI nội tiếp

Bài 13.Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I và cắt đờng
tròn tai P ,kẻ đường kính PQ các tia phân giác của góc ACB và góc ABC cắt AQ tại E và F .Chứng minh

4 điểm B,C,E,F nằm trên một đường tròn

Bài 14.Cho tam giác ABC có các góc nhọn . Gọi H là Trực tâm .P,M,N là chân các
đờng cao hạ từ A,B,C xuống BC ,AC,AB .Chứng minh rằng

a. C¸c tø giác AM HN và BMNC nội tiếp

b. Gi D,E,F lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AC,AB,BC .
Chứng minh rằng 6 điểm A,E,B,F,C và D cùng nằm trên một đờng trịn

Bài 15. Cho tam giác ABC vng tại C .Gọi D là hình chiếu của C trên AB đờng trịn tâm O

đờng kính CD cắt cạnh AC,BC tại E và F.Gọi M là giao điểm thứ hai của BE với đờng tròn ,K là giao
điểm của AC và MF ,P là giao điểm của EF và BK .

Chứng minh rằng : 4 điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng tròn .

Bài 16:

Cho  ABC, các đờng cao BE và CF cắt nhua tại H. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC.
Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ.

Bài 17:

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng AO

cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại C và C’. Đờng thẳng AO’ cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại D và
D’ Chứng minh rằng:

a) C, B, D thẳng hàng
b) ODCO nội tiếp

c) ng thng CD và đờng thẳng D’C’ cắt nhau tại M. Chứng minh: MCBC’ nội tiếp.

Bài 18:

Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC. lấy điểm A trên đờng trịn sao cho AB>AC. Dựng hình
vng ABED ở miền ngồi  ABC. Gọi F là giao điểm của AE với đờng tròn và K là giao điểm của CF
và ED. Chứng minh:

a) B,K, D, C cùng thuộc một đờng tròn.
b) AC=EK

Bài 19:

Cho hình thang ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O). Các đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E.
Các cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:

a) A,D,E, O cùng thuộc một đờng tròn.
b) Tứ giác AOCF nội tiếp

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

c) MNCP là hình bình hành trong đó M, N lần lợt là trung điểm của BD, AC và P là chân đờng
cao hạ từ B xuống CD.

 Chuyên đề 3: Chứng minh tam giác đồng dạng

và chứng minh đẳng thức hình học

 Ph ơng pháp ;

- S dng cỏc trng hợp của tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam
giác đồng dạng

- Sử dụng định lí Ta Lét và hệ quả; tính chất đờng phân giác của tam
giác; các cách biến đổi tỷ lệ thức để chứng minh các đẳng thức hình
học.

- Muốn chứng minh một đẳng thức mà mỗi vế là tích cảu hai đoạn

thẳng, chẳng hạn: MA.MB=MC.MD ta có thể dùng cỏc phng phỏp
sau õy:

+ Chứng minh mỗi vế cùng bằng mét tÝch thø ba

+ Chøng minh hai tam gi¸c MAC và MDB (hoặc hai tam giác MAD và
MCB)

(Trng hp c biệt: MT2=MA.MB thì chứng minh  MTA  MBT)

+ Sư dụng các hệ thức trong vuông

Bài

tập vận dơng:

Bài 1:

Cho hai đờng trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại M. một đờng thẳng cắt đờng tròn tại A,
B và tiếp xúc với đờng tròn (O) tại C. Các tai AM , MB cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại E và D. Tia CM cắt
đờng tròn (O) tại I.

a) Chøng minh  AIB  ECD

b) Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn kẻ từ M cắt tại P.
 Chứng minh PC2=PA.PB

Bài 2:

Cho nửa đờng trịn tâm O, dờng kính AB=2R và một điểm M trên nửa đờng tròn (M khác A,B).
Tiếp tuyến tại M cắt nửa đờng tròn, cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lợt ở C và E.

c) CMR: CE=AC+BE
d) CMR: AC.BE= R2

e) CM:  AMB  COE

Bài 3:

Cho góc vng xOy. Trên Ox đặt đoạn OA=a.Dựng đờng tròn (I; R) tiếp xúc với Ox tại A và cắt
Oy tại hai điểm B,C. Chứng minh các hệ thức:

a) 2 2 2

1 1 1

AB  AC a
b) AB2+AC2=4R2

Bài 4:

Cho hình vng ABCD. Từ A kẻ một đờng thẳng tạo với AB góc (00<<450). Đờng thẳng này

cắt cạnh BC tại M và cắt đờng thẳng DC tại I.
a) Chứng minh hệ thức: Sin2+Cos2 =1

b) TÝnh biÓu thøc 2 2

1 1

AM AI theo a là cạnh của hình vuông.

Chuyờn 4: Chứng minh một đờng thẳng
là tiếp tuyến với ng trũn-Toỏn tng hp

Ph ơng pháp ;

- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tun

- Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau (thuận, đảo)
- Các định lí về tiếp tuyến



Bµi

tËp vËn dơng:

Bài 1. Cho tam giác ABC cận tại A ( có BC<BA) nội tiếp (O) tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn lần lợt
cắt các tia AC,AB ở D và E .Chứng minh :

a. BD2=AD.CD

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b. Tứ giác BDCE là tứ giác nội tiếp
c. BC// DE

d. Gọi M là giao điểm của BD và EC .Chứng minh rằng A,O,M thẳng hàng và tứ giác OBMC nội
tiếp

Bi 2. Cho tam giác ABC vuông tại A trên AC lấy M dựng đờng trịn đờng kính MC. Nối BM và kéo dài
cắt đờng tròn tại D,DA cắt đờng tròn ti S Chng minh rng :

a. ABCD là tứ giác nội tiếp
b. CA là phân giác của góc SCB

c. Gọi T là giao điểm của đờng tròn đờng kính MC với B và K là giao điểm của BA và CD Kéo
dài .Chứng minh: K,M,T thẳng hàng , AT K^ = OT K^

d. Chøng minh tø giác KBTS là hình thang

Bi 3. Cho tam giỏc ABC có góc C=900 nội tiếp nửa đờng trịn (O,R).Gọi Ax, By lần lợt là tiếp tuyến của

nửa đờng tròn, tiếp rtuyến lại của (O) cắt Ax, Bythứ tự tại E, F.
a. Tính góc EOF.

b. Chøng minh r»ng EF = AE + BF.
c. Chøng minh r»ng AE.BF = R2.

d. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính EF.

e.

Gọi M là giao điểm của OE và AC, N là giao điểm của OF và BC.
Tứ giác OMNC là hình gì ? Vì sao ?

g. BC c¾t Ax tại G, AC cắt By tại H .Chứng minh r»ng: AG.BH = AB2 vµ AG2 = GC. GB.

h. Gäi D là giao điểm của AF và BE. Chứng minh r»ng: CD // AE.
i. Chøng minh r»ng: EF. CD = EC.FB

k. Khi C chuyển động trên nửa đờng trịn thì M, N chuyển động trên đờng nào.
l. Xác định vị trí của C để tam giác EOF có diện tích bé nhất ?

Bài 4. Cho hai đờng tròn ( O; R ) và ( O; G ), cắt nhau tại hai điểm A và B ( O và O, thuộc hai nửa mặt

phẳng bờ AB ) các đờng thẳng AO và AG cắt đờng tròn ( O ) tại điểm thứ hai C ❑1 D và cắt đờng tròn
( G ) ại các điểm thứ hai E và F.

a. Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng. b. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đợc đờng
tròn.

c. Chứng minh AB, CD, EF đồng quy. d. Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
BDE.

e. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến trung của ( O ) và ( G ).

Bài 5. Cho ( O ) và một điểm A nằm ngoài ( O ) các tiếp tuyến với ( O ) kẻ từ A tại B và C. Gọi M là
điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( khác B và C ) từ M kẻ MH vng góc BC, MK vng góc CA, MI vng

góc AB. Chứng minh: a. Tứ giác ABOC nội tiếp.b. Góc BAO = góc BCO.

c. Tam giác MIH đồng dạng tam giác MHK. d. MI.MK = MH ❑2 .

Bài 6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng trịn ( O ). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC;
gọi E là điểm đối xứng của H qua AB, F là điểm đối xứng của H qua trung im I ca BC.

Chứng minh:

a. Tứ giác BHCF là hình bình hành.
b. E, F nằm trên ( O ).

c. BCFE là hình thang cân.

d. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam gi¸c ABC.
e. Gäi BB ❑' , CC

❑' là đờng cao của tam giác ABC. Chứng minh AO vng góc B ❑' C ❑' .

g. Tìm điều kiện ràng buộc góc B và góc C để OH // BC.

Bài 7. Cho (o) đờng kính AB một các tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB

a, Chứng minh khi cát tuyến MN di động trung điểm I của MN ln nằm trên một đờng trịn cố định
b, Từ A kẻ ã vng góc với MN tia By cắt Ax tại C chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành
c, chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN

d, Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đờng nào ?
e, Cho AB = 2R, AM.AN = 3R2 AN =R

3 Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam gi¸c
AMN.

Bài 8:

Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. vẽ về một phía của AB các nửa đ ờng trịn có đờng
kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đờng vng góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn lớn tại D. DA và DB cắt
các nửa đờng trịn có đờng kính AC và CB theo thứ tự tại M, N

a)Tø gi¸c DMCN là hình gì? tại sao
b)Chứng minh hệ thức: DM.DA=DN. DB

c)CMR MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng trịn có đờng kính AC và CB.

d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất

Bài 9:

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn, vẽ N đối xứng với A qua M, BN cắt
đờng tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC với BM.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

a)CMR: NE ┴ AB

b)Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. CMR: FA là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
c)CMR: FN là tiép tuyến của (B,BA)



Chuyên đề 5: Bài tốn về tính tốn số đo
diện tích xung quanh,thể tích của một số hình

 Ph ơng pháp ;

- Sử dụng cc cng thc tính diơn tÝch, thố tÝch cĨc hÈnh: hÈnh trô, hÈnh nãn, hÈnh nãn côt, hÈnh cđô

-Khi tÝnh cđn xĨc ợẺnh xem hÈnh cđn tÝnh bao gạm nhƠng hÈnh nÌo hỵp thÌnh.

- Lu ý đổi cùng đơn vị để tính.



Bài

tập vận dụng:

Bài 1:

Cho dờng thẳng d cố định. Một doạn thẳng AB cắt đờng thẳng d tại diểm O sao cho OA = 4 và
OB=10, đồng thời AB tạo với d một góc 300.Gọi I và J tơng ứng là hình chiếu vng góc của A,B trên d.

a)Khi quay hình IAOBJ một vịng xung quanh d đoạn AB sẽ tạo nên hình gì?
b)Tính diện tích xung quanh của hình tạo đợc; c)Tính thể tích của hình tạo đợc

Bài 2:

Một chiếc hộp có dạng hình trụ,ngời ta đo đợc chiều cao của hộp bằng đờng kính đáy của nó và
bằng 30cm. Hãy tính diện tích tồn phần của hộp đó.

Bài 3:

Một bình đựng nớc có dạng hình trụ với bán kính đáy là R. Một hình cầu nằm khít trong hình
trụ đó. Ngời ta đổ nớc vào trọng bình sao cho mặt nớc phía trên vừa ngập hết quả cầu. Sau đó vớt quả cầu
ra, hỏi mực nớc tụt xuống bao nhiêu so với lỳc u?

Bài 4:HÃy hoàn thành bảng sau với h

ình nón:

Bán kÝnh

đáy (r) Chiều cao(h) Chu vi đáy(C) Diện tíchmột
đáy(Sđ)

DiƯn tÝch
xung

quanh (Sxq)

DiƯn tích
toàn phần
(Stp)

Thể tích
(V)

5 12

5 60

5 100

Bài 5:

HÃy hoàn thành bảng sau với hình trụ:

Bán kính

ỏy (r) Chiều cao(h) Chu vi đáy(C) Diện tíchmột
đáy(Sđ)

DiƯn tÝch
xung

quanh (Sxq)

DiƯn tÝch
toµn phÇn
(Stp)

ThĨ tÝch

(V)

5 12

3 60

2 100

5 120

15 81

17 20

Bài 6:

Một hình nón cụt có các bán kính đáy là R=20 cm; r=12cm và đường cao là h=15cm
a) Tính diện tích xung quanh của nón cụt

b) Tính thể tích của hình nón sinh ra hình nón cụt đó

 Chun đề 6: Các bài tốn quỹ tích

 Ph ơng pháp ;

- nhắc lại các bài toán cơ bản về tập hợp điểm ( quỹ tích).

- Vận dụng phơng pháp tìm tập hợp điểm ( quỹ tích)

Bài

tập vËn dơng

Bài 1:

Cho nửa đơng trịn tâm O, đờng kính AB.Từ A và B kể các tiếp tuyến Ax, By của nửa đờng tròn.
Từ một điểm M di động trên nửa đờng tròn, ta kẻ tiếp tuyến của nửa đờng tròn ấy, cắt Ax, By lần lợt tại

C và D. Tìm Quỹ tích trung điểm I của CD.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 2:

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Một cát tuyến di đông qua A cắt (O) và (O’)
theo thứ tự tại C và D.

a) CMR: Đờng trung trực của đoạn CD đi qua một điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích trung điểm K của đoạn CD

Bài 3:

Từ diểm O nằm trên đờng thẳng xx’, ta kẻ Oy ┴ xx’. Trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A, B sao
cho OA=OB. Gọi C là một điểm di động trên đoạn OB.

Từ B kẻ một đờng thẳng ┴ với tia AC tại E và cắt Ox’ tại D.
a) Tìm quỹ tích điểm E.

b)Tìm quỹ tích tâm I của đờng tròn ngoại tiếp COD.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Phần III:

Một số đề thi

Së GD - §T VÜnh phóc

======*&*======

§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10-thpt
Môn : Toán

(Thi gian 120 phút, không kể thời gian giao đề )

Phần I

:

Trắc nghiệm khách quan

H y khoanh tròn duy nhất một chữ cái đứng trã ớc câu trả lời đúng!
Câu 1: Giải phơng trình

√

x=2 ta đợc kết quả là

A.x=1 B. x=9 C. x=3 D. x=

3
Câu 2: Hàm số y=3(1

2) x

A. Đồng biến B. NghÞch biÕn

C. Có đồ thị đi qua gốc tọa độ D. Có đồ thị đi qua điểm (0;3)

Câu 3: ở hình vẽ . khi đó đoạn AB bằng:
A. 1

2 B.

√

2 C.

√

2 D.

√

4
Câu 4: Giá trị biểu thức

32

2 b»ng

A. 1-

√

2 B. 1+

√

2 C.

√

2 -1 D.2

2 -1
Phần 2: Tự luận

Câu 5: Cho biểu thøc K=

(

x+1

x −1−

x −1
x+1+

x2−4x −1
x2−1

)

x+2006
x

a) Rót gän biĨu thức K.

b) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?

Câu 6: Cho phơng trình x2 - 2mx + (m-1)3 = 0 (1) với x là ẩn số, m là tham số

a) Giải phơng trình (1) khi m = -1

b)Xỏc nh m phơng trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình
phơng của nghiệm còn lại.

Câu 7: Nếu hai vòi cùng chảy vào một cái bể khơng có nớc thì sau 12 giờ bể đầy.Sau khi hai vòi cùng
chảy 8 giờ thì ngời ta khóa vịi I, cịn vịi II tiếp tục chảy.Do tăng cơng suất vịi II lên gấp đơi, nên vịi II
chảy đầy phần cịn lại của bể trong 3 giờ rỡi. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với cơng suất bình thờng
thì phải bao lâu mới đầy bể?

Câu 8: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn ( Góc A= 450). Vẽ đờng cao BD v CE ca tam giỏc

ABC. Gọi H là giao điểm cuả BD và CE.

a) CMR: T giỏc ADHE ni tip trong một đờng tròn.
b) Chứng minh HD = DC

c) TÝnh tû sè DE

BC .

d) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng OA vng góc với DE.

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 -thpt

Môn: toán

(

Thời gian 120 phút, khụng k thi gian giao )

Câu 1 (2 điểm)

Hóy khoanh tròn duy nhất một chữ cái A, B, C hoặc D đứng trớc mỗi câu trả lời đúng.

a) Cho hàm số : y = f(x) = ax

(P). Kết luận nào sau đây là sai?

A. NÕu M(-

√

; 6)

(P) th× a = -2 C. NÕu Q(m;n)

(P) th× Q’(-m;n)

(P)

B. NÕu N(-2;10)

(P) th× a =

D. f(x) = f(-x)

x

b) Cho phơng trình: 3x

- 2

x 3 = 0. Các nghiệm của phơng trình là:

A. x

=

; x

=

√

C. x

= -

√

; x

= -

√

B. x

= -

√

; x

=

√

D. x

=

√

; x

= -

√

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

c) Tam gi¸c ABC (

∠

A = 90

) ; a = 29; b = 21. Độ dài c là:

A. c = 26

B. c = 20

C. c = 19

D. c = 23

d) Một hình vuông có diện tích 16 cm

. Diện tích hình tròn nội tiếp trong hình vuông

có diƯn tÝch lµ:

A. 4

π

cm

B. 16

π

cm

C. 8

cm

D. Kết quả khác

Câu 2(2,5 điểm)

: Cho A =

(

1 - 2

√

a

a+1

)

:

(

√

a+1−

√

a
a

√

a+

√

a+a+1

)

a) Rót gän A

b)TÝnh A nÕu a = 2006 - 2

√

2005

Câu 3 (2 điểm)

: Một ngời chuyển động đều trên một đoạn đờng gồm một đoạn đờng

bằng và một đoạn đờng lên dốc. Vận tốc trên đoạn bằng và đoạn dốc tơng ứng là

40km/h và 20km/h. Biết rằng đoạn đờng lên dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km.

Thời gian để ngời đó đi hết cả quãng đờng là 3h30 phút. Tính chiều dài quãng đờng

ng-ời đó đã đi.

Câu 4 (3,5 điểm)

: Cho tam giác ABC ( AC > BC) nội tiếp trong đờng trịn đờng kính

CK. Lấy M bất kỳ

cung BC nhỏ ( M

B; M

C), kẻ nửa đờng thẳng AM, trên

AM kéo dài phía M lấy D sao cho MB = MD.

a) Chøng minh r»ng: MK//BD

b) Kéo dài CM cắt BD tại I. CMR: BI = ID vµ CA = CB = CD

c) Chøng minh r»ng: MA + MB

CA + CB

---(

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!)

Đề chính thức

****************

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10-thpt

Năm 2006-2007

(Thời gian 120 phót)

Câu 1

: Trong mỗi ý sau đây có 4 phơng án trả lời là A,B,C,D; trong đó chỉ có 1 phơng án

đúng.Em hãy viết vào bài làm phơng án đúng đó(

chỉ cần viết đúng chữ cái đứng trớc

ph-ng ỏn tr li ỳng

).

a) Phơng trình bậc hai x

-5x+4=0 cã hai nghiƯm lµ:

A. x=-1; x=-4

B. x=1; x=4

C. x=1; x=-4

D. x=-1; x=4

b) BiÓu thøc

1
1
P

x




xác định với mọi giá trị của x thỏa mãn:

A.

x1

B. x

0

C.

x0 &x1

D. x<1

c) Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp dờng tròn, biết

P3M

. Số đo các góc

P&M

lµ:

A.

M 45 ;0 P 1350

B.

M 60 ;0 P 1200

C.

M 30 ;0 P900

D.

M 45 ;0 P900

d) Cho hình chữ nhật ABCD (AB=2a; BC=a). Quay hình chữ nhật đó xung quanh

BC thì thu đợc hình trụ có thể tích là V

; quay xung quanh AB thì đợc hình trụ có thể tích

là V

. Khi đó ta có:

A. V

=V

B. V

=2V

C. V

=2V

D. V

=4V

C©u 2

: Cho biÓu thøc

2 1 1

:
2

1 1 1

x x x

A

x x x x x

   

   

     

 

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A xác định

b) Rút gọn biu thc A.

c) Tìm GTLN của A.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Câu 3

: Cho phơng trình bậc hai với ẩn x: x

-2mx+2m-1=0

a)Tỡm m để phơng trình ln có một nghiệm x=-2,Khi đó tìm nghiệm cịn lại.

b)Tìm m sao cho phơng trình ln có hai nghiệm thỏa mãn 2(x

+x

)-5x

x

=27

Câu 4

: Cho tam giác ABC (AC>AB) nội tiếp trong một đờng tròn (O). Phân giác của góc

BAC cắt BC tại D và cắt đờng tròn (O )tại điểm thứ hai là M. Phân giác ngồi của góc

BAC cắt BC tại E và cắt đờng tròn (O tại điểm thứ hai là N. Gọi K là trung điểm của đoạn

DE và L là giao điểm thứ hai của ME với đờng tròn (O).

a) CMR: MN vuông góc với BC tại trung điểm của BC

b) CMR: Ba điểm N,D, L thẳng hàng

c) CMR: AK tip xỳc vi ng trũn (0).

Câu 5

: Giải hệ phơng trình:

2 2

3 1

2
2 3

x y x y xy

x y x y

    



Đề chính thức

****************

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10-thpt hà nội

Năm 2006-2007

(Thời gian 120 phút)

Câu I

: (2,5)

Cho biÓu thøc



 



3 2 1 1

1 1 1

2 1

a a a a

P

a a a

a a

 

    

 

    

        

 

a) Rót gän P

b) Tìm a để :

1 1

1
8
a
P



 

Câu II

: (2,5) Một ca nơ xi dịng trên một khúc sơng từ bến A đến bến B dài 180km,

sau đó lại ngợc dòng đến địa điểm C cách bến B 72km, thời gian ca nơ xi dịng ít hơn

thời gian ngợc dịng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của canơ, biết vận tốc của dòng nớc là

4 km/h.

Câu III

: (1

đ

) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y=2x+3 và y=x

. Gọi D

và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diƯn tÝch tø gi¸c

ABCD.

Câu IV

: (3

đ

) Cho đơng ftrịn (0) đờng kính AB=2R, C là trung điểm của OA và dây MN

vu«ng gãc víi OA tai C. Gäi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK

và MN.

a) CMR: BCHK nội tiÕp.

b) TÝnh tÝch AH.AK theo R

c) Xác định vị trí của K để tổng (KM+KN+KB) đạt giá trụ lớn nhất và tính giái trị

đó.

C©u V

: (1

đ

) Cho hai số dơng thỏa mÃn điều kiên: x+y=2

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Chøng minh: x

y

(x

+y

)



2

S

Ở

gd &

Đ

T V

Ĩ

NH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

==== ***** =====

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC: 2007-2008

Thêi gian lµm bµi: 120 phót.

---I. PH

Ầ

N TR

Ắ

C NGHI

Ệ

M KH

Á

CH QUAN

Trong 4 câu dưới đây , mỗi câu có 4 lựa chọn trong đó có duy nhất một lựa chọn đúng,
em hãy viết vào bài làm chữ cái A,B,C, hặc D đứng trước lựa chọn mà em cho là đúng.

Câu 1: Nếu x thỏa mãn điều kiện 4 x1 2 thì x nhận giá trị bằng:

A. 1 B. -1 C. 17 D. 2

Câu 2: Hàm số y = ( m-1) x+3 là hàm số bậc nhất khi:

A. m  -1 B. m  1 C. m =1 D. m  0

Câu 3: Phương tr ình 3x2 + x -4=0 có mộ

t nghi

ệ

m b

ằ

ng:

A. B. -1

C.

1
6



D. 1

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 2 cm. Người ta quay tam giác

ABC quanh cạnh AB được một hình nón.Khi đó thể tích của hình nón bằng :

A. 6cm3 B. 12cm3 C. 4cm3 D. 18cm3

II.PHẦN TỰ LUẬN:

Câu 5: Cho phương trình bậc hai : x2 -2(m+1).x+m2+ m-1=0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = -2.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x12+x22=18.

Câu 6:Tính chu vi của một tam giác vng.Biết cạnh huyền có độ dài 5 cm và diện tích của

nó bằng 6 cm2

Câu 7: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R).Từ A,B,C lần lượt kẻ các đường

cao tương ứng AD,BE,CF xuống các cạnh BC,CA,AB (D BC,E AC,F AB).

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh: AE.AC = AF.AB.

c) Tính diện tích của tam giác ABC, biết R = 2 cm và chu vi của tam giác DEF
bằng 10 cm.

Câu 8: Cho x,y,z là các số thực dương và tích x.y.z = 1.Chứng minh rằng:

1 1 1

x y   y z  x z   .

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

së gd & ®t vÜnh phóc

đề chính thức

.

==== ***** =====

t

luyn s 1

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức

2
2

1 1 4 1 2005

1 1 1

x x x x x

P

x x x x

      

   

  

 

a) Tìm điều kiện của x để P xác định.

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Víi nh÷ng giá trị nguyên nào của x thì biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 2: 2,5 điểm

Cho hàm số

y x m 

(D).

Tìm các giá trị của tham số m để đờng thẳng (D):

a) Đi qua điểm A(1; 2005).

b) Song song với đờng thẳng x-y+3=0

c) Tiếp xúc với Parabol

1
4
y x

Bài 3: (2 điểm)

a) Mt hỡnh ch nht cú đờng chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính

diện tích hình chữ nhật đó.

b) Chøng minh rằng

2006 2005 2007 2006

Bài 4: (2,5 điểm)

Cho ng trũn tâm O đờng kính BC=2R. Từ điểm A trên đờng kính BC (AB>AC) vẽ

một tiếp tuyến AT. Tiếp tuyến tại B cắt đờng thẳng AT tại D.

a) Chøng minh r»ng :

ATOABD.

Tính độ dài các đoạn thẳng AO, BD, AD khi

4
3

R
AT 

b) Vẽ OM//BD. Tính độ dài TM, MD (M trên AT)

c) Chứng minh rằng OM=MD.

d) TÝnh diÖn tÝch hình thang BOMD và diện tích tam giác MOD theo R.

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng nếu

a b c

b c c a a b     

th×

2 2 2

a b c

b c c a a b     

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chính thức.

==== ***** =====

t luyn s 2

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1: (2,5 điểm)

Xét biểu thức

2 2

1
1

x x x x

y

x x x

 

  

 

a) Rút gọn biểu thức y, tìm x để y=2.

b) Giả sử x>1, chứng minh rằng:

y y 0

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bµi 2: (2,0 ®iĨm)

Cho hµm sè

1
2
y x

có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

b) Trên (P) lấy hai điểm M, N lần lợt có hồnh độ là 2 và -1. Viết phơng trình đờng thẳng

MN.

c) Xác định hàm số y=ax+b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và

chỉ cắt (P) tại mt im.

Bài 3:(2,0 điểm)

Cho phng trỡnh

(m1)x2 2(m2)x m  3 0

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm

x x1; 2

tho món

(4x11)(4x21) 18

Bài 4: (2,5 điểm)

Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. C là

điểm trên nửa đờng tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên cung CB lấy điểm D tuỳ ý

(D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx lần lợt tại E v F

a) Chứng minh rằng tam giác ABE vuông c©n

b) Chøng minh r»ng

ABF BDF

c) Chøng minh r»ng tø gi¸c CEFD néi tiÕp.

d) Cho điểm C di động trên nửa đờng tròn (C khác A và B ) và D di động trên cung CB (D khác C

và B). Chứng minh rằng: AC.AE=AD.AF và có giá trị khơng đổi.

Bµi 5:(1,0 điểm)

Cho a; b >1. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc

2 2

1 1

a b

P

b a

 

 

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chớnh thc.

==== ***** =====

t luyn s 3

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1: (2,5 điểm).

Cho biểu thức

1 1 1

2 2 1 1

x x x

B

x x x

     

      

 

   

a) Rót gän biĨu thøc B.

b) Tìm các giá trị của x để B >0

c) Tìm cỏc giỏ tr ca x B=-2.

Bài 2: (2,0 điểm)

Cho phơng trình

x2 (m5)x m 6 0

(1)

a) Giải phơng tr×nh víi m=1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm x=-2

c) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm

x x1; 2

thoả mãn

S x12x22 13

.

Bài 3: (2,0 điểm).

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Mt phũng hp cú 360 chỗ ngồi và đợc chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng

nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phịng họp

khơng thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp đợc chia thành bao nhiêu dóy.

Bài 4: (2,5 điểm).

Cho hai ng trũn (O) v (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng kính AC của (O)

cắt đờng tròn (O’) tại điểm thứ hai E, đờng kính AD của đờng trịn (O’) cắt đờng tròn (O)

tại điểm thứ hai F.

a) Chøng minh r»ng tø gi¸c CDEF néi tiÕp.

b) Chøng minh r»ng: C, B, D thẳng hàng và tứ giác OOEF nội tiếp.

c) Vi iu kiện và vị trí nào của hai đờng trịn (O) và (O’) thì EF là tiếp tuyến chung của

hai đờng trũn (O) v (O).

Bài 5: (1 điểm).

Cho tam giỏc ABC có ba cạnh với độ dài là a, b, c thoả mãn điều kiện

3 3 3 3

a b c abc

. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chớnh thc.

==== ***** =====

t luyn s 4

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1 (2,5 điểm)

Cho

1 1

2(1 2) 2(1 2)
A

a a

 

   

;

2
3

2
1

a a

B A

a

 



1) Tìm a để A, B có nghĩa

2) Rút gọn các biểu thức A, B

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B.

Bài 2:(2,0 ®iĨm)

Cho phơng trình

(m1)x2 2(m1)x m 0

1) Giải và biện luận phơng trình đã cho theo m.

2) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x x1; 2

a) T×m hƯ thức liên hệ giữa hai nghiệm

x x1; 2

không phụ thuộc vào m.

b) Tìm m sao cho

x1 x2 2

Bài 3: (1,5 điểm)

Giải phơng trình

(x23x 4)(x2 x 6) 24

Bài 4: (2,0 điểm)

1) Cho hai số dơng a, b. Chøng minh r»ng

1 2

a b
ab  

2) So s¸nh tỉng sè

1 1 1 1

...

1.2005 2.2004 3.2003 2005.1

S    

víi sè

2005
1003

Bµi 5: (2,0 ®iĨm)

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng trịn đờng kính BC cắt hai cạnh AC, AB

lần lợt ở D và E. BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chøng minh r»ng AH vu«ng gãc víi BC.

b) Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm B

; C

sao cho

  0

1 1 90

AB CAC B

. Tìm tính chất của

tam giác AB

C

c) Mt ng thng qua H cắt AB, AC lần lợt ở P và Q. Chứng minh rằng nếu H là trung

điểm của PQ thì trung trực của PQ đi qua trung điểm M của cạnh BC .

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chính thức.

==== ***** =====

đề tự luyện s 5

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1: (2,5 ®iĨm).

Cho biĨu thøc

2 2

1 1 4 4( 3)

1 1 1 (1 )

x x x x

Q

x x x x x

    

   

  

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tính giá trị cđa biĨu thøc Q khi

x 2

c) Tìm các giá trị nguyên của x để Q đạt giá trị nguyờn

Bài 2: (2,0 điểm).

Cho phơng trình

2x2 x 2 0

có các nghiệm là

x x1; 2

. Không giải phơng trình hÃy:

a) Tính giá trị của biểu thức

2 2
1 2
2 1 1 1

x x

A

x x

 

 

b) Lập một phơng trình bËc hai Èn y cã hai nghiƯm lµ

1 1 2 2 2 1

2 2

;

y x y x

x x



Bài 3: (2,0 điểm).

a) Giải hệ phơng trình

8
9
5
xy yz
yz zx
zx xy

 




 



  



b) Cho c¸c số x; y khác 0 thoả mÃn x+y=1. Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc

3 3

1
B

x y xy




Bài 4 (2,0 điểm).

Trờn ng trũn (O), cho mt dây AB. Qua trung điểm I của dây AB vẽ hai dây CD

và EF với C thuộc cung nhỏ AB và E thuộc cung nhỏ CB. CF, ED cắt AB lần l ợt tại G và

H. Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của CF, ED.

1) Chứng minh rằng các tứ giác OIGP, OIHQ nội tiếp.

2) So sánh độ di hai on thng IG v IH.

Bài 5: (1,5 điểm).

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và

h h ha; ;b c

là độ dài ba chiều cao tơng

øng. T×m tÝnh chÊt cđa tam gi¸c ABC khi biĨu thøc

2 2 2
2

( )

a b c

h h h

S

a b c
 


 

đạt giá trị lớn nhất.

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chính thức.

==== ***** =====

t luyn s 6

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1: (2,5 điểm)

Cho hàm số

2 2 1

:
1
y

x x x x x x x x

 

  

    

 

a) Rót gän y.

b) Vẽ đồ thị hàm số y.

c) Cho A(2;5), B(-1;-1), C(4;9). Chứng minh rằng: A, B, C thẳng hàng và đờng thẳng AB

song song với đồ thị hàm số y.

d) Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và vng góc với đờng thẳng y=-4x+1

Bµi 2: (2,0 điểm)

a) Giải phơng trình

1 1 1
5
2

x x



    

 

b) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

2 1

( 1) 2
ax y a

x a y

  




  



Bµi 3: (2,0 ®iĨm)

Một ca nơ chạy trên sơng trong 7 giờ, xi dịng 108km và ngợc dịng 63 km. Một

lần khác, ca nơ đó cũng chạy trong 7 giờ, xi dịng 81 km và ngợc dịng 84km. Tính vận

tốc dịng nớc và vận tốc riêng của ca nơ.

Bµi 4: (2,5 ®iĨm)

a) TÝnh sè ®o ba gãc cđa tam gi¸c ABC biÕt

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

  

(Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC)

b) Cho tam giác MNP, gọi H là trực tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: các tam

giác MHN, NHP, PHM có bán kính đờng trịn ngoại tiếp bằng nhau.

Bµi 5: (1 điểm)

Cho x>0; y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc

2 2

1 1

A x y

y x

   

     

 

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc

đề tự luyện số 7

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

đề chính thức.

==== ***** =====

Thời gian làm bài: 120 phút.

Môn: Toán 9

---Bài 1: (2,0 ®iÓm)

Cho biÓu thøc

4 4 4 4

8 16
1

x x x x

A

x x

    



 

a) Rót gän biĨu thøc A

b) Tìm các giá trị ngun của x để biểu thức A có giá trị ngun.

Bµi 2: (2,0 điểm)

Cho phơng trình

x2 2(m1)x m 22m 3 0

a) Xỏc định m để phơng trình có hai nghiệm

x x1; 2

thoả mãn

4x1x2 8

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm

x x1; 2

là độ dài cạnh của một tam giác có cạnh

huyền bằng

2 10

Bµi 3 (1,5 điểm).

Giải các hệ phơng trình sau

a)

2
5

1 1

x y



 

  




  

  



b)

2 2
2
6
10
x y z
x y z
x z
  

Bài 4: (2,5 điểm)

1) Cho tam giỏc ABC vuông ở A. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC,

BC. Lấy điểm D bất kì trên đoạn BC (D khác B và C). Gọi E, F lần lợt là tâm đờng tròn

ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD.

a) Chøng minh r»ng: M, E, P và N, F, P thẳng hàng.

b) Tìm tính chÊt cđa tam gi¸c AEF.

2) Cho nửa đờng trịn đờng kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến tại A, vẽ tiếp tuyến thứ hai

MC với đờng tròn. Vẽ CH vng góc với AB, CH cắt MB tại I. So sỏnh di IH v IC.

Bài 5: (2,0 điểm)

a) Cho x; y>0 vµ

x y 1

. Chøng minh r»ng:

2 2

1 1

4
x xy y xy

b) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc

2 2 7

P

x x


  

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chính thức.

==== ***** =====

t luyn s 8

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phót.

---Bµi 1:

Cho biĨu thøc

3
3

2 1 1

.
1 1
1

a a a

P a

a a a

a

 

   

     



  



   

a) Rót gän biĨu thøc P

b) XÐt dÊu biĨu thøc

P. 1 a

Bµi 2:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Cho phơng trình

(m1)x2 2mx m  1 0

(1) víi m lµ tham số khác 1.

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng

hai nghiệm của phơng trình .

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghịêm

x x1; 2

thoả mãn hệ thức

1 2
2 1

5
0
2

x x

Bài 3:

1) Giải các phơng trình: a)

(1 x x2)(6 x x 2) 10

b)

2x4 4x211 3x2 6x283x26x5

2) Giải hệ phơng trình sau với x, y, z là các số nguyên

2 2 2 9 2 2 6 0

189

x y z xy yz

x y z

     



  


Bµi 4:

Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC. Gọi A là một điểm trên đờng tròn sao cho

AC>AB. Trên dây AC lấy đoạn AD=AB, đờng thẳng qua D và song song với AB cắt đờng

thẳng qua B và song song với AC tại E. Đờng nối AE kéo dài cắt đờng trịn tại F.

1) CMR: a) F lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung BC

b) F là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Đờng tròn ngoại tiếp



BCD đi qua tâm đờng tròn nội tiếp



ABC

2) Kéo dài FO cắt đờng tròn tâm O tại H. Khi A di chuyển trên cung BH thì E di chuyển

trên đờng nào ? Vì sao ?

Bµi 5:

Cho a, b, c, d là các số thực không âm thoả mÃn điều kiện a+b+c+d=1

Chứng minh rằng:

4a 1 4b 1 4c 1 4d 1 4 2

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chính thc.

==== ***** =====

t luyn s 9

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1: (2,0 điểm).

Cho biểu thức

3 2 3 9

1 :

9 3 2 6

a a a a a

P

a a a a a

       

      

        

   

a) Rót gän biĨu thøc P

b) Tìm các số ngun a để biểu thức P có giá trị ngun.

c) Tìm a để

P P0

Bài 2: (2,0 điểm).

a) Cho hm s

y x 2

có đồ thị (P) và

2005
2

y x

có đồ thị (d)

Viết phơng trình đờng thẳng (



) vng góc với đờng thẳng (d) và tiếp xúc với (P)

b) Tìm m, n để các giao điểm của đờng thẳng y=3x-2 và Parabol (P):

y x 2

thuộc đờng

thẳng (



’) cú phng trỡnh y=mx+n.

Bài 3: (2,0 điểm).

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

a) Giải hệ phơng trình sau

( 1) 3
2

m x y m

x my

b) Giải phơng trình

x2  x 1 x2 x 1 2

Bài 4: (2,0 điểm).

Cho tam giỏc ABC vuụng A có đờng cao AH. Gọi D, E, F lần lợt là trung điểm của

các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rng:

a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF đi qua A vµ D.

b) AH.AE = 2AD.AF

c)

2 2 2

4 1 1

AH AD AF

Bài 5: (2,0 điểm).

a) Cho x+y+z=2005. Tính giá trị của biểu thức

3 3 3

2 2 2

3
( ) ( ) ( )

x y z xyz

M

x y y z z x

  


    

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2
3

F x

x




víi x>-2

---

HÕt

sở gd & đt vĩnh phúc
 đề chính thức.

==== ***** =====

đề tự luyện số 10

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút.

---Bài 1:

Cho biểu thøc

2 2

2 3 4 1

3 3 9

x x

A

x x

x x x x x

  



a) Đơn giản biểu thøc A

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị ngun.

Bµi 2:

Trong hệ trục toạ độ vng góc Oxy cho parabol (P):

1
4
y x

và đờng thẳng (D) qua

điểm A(-2;-3) có hệ số góc k.

a) Xác định k để (D) và (P) khơng có điểm chung.

b) Xác định k để (D) tiếp xúc với (P) tại một điểm B, biết k>0. Tìm toạ độ tiếp điểm của B.

c) Viết phơng trình đờng thẳng (D

)qua B và cắt trục Ox tại tại điểm M với x

>0 v ct

trục Oy tại điểm N với y

>0 sao cho

2 2

1 1

OM ON

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi 3:

a) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

2 2

( 1)
( 1)

x y a

y x a

   




  




b) Tìm a để hệ sau vơ nghiệm

2 5 1

x ay

x y a

 




  


</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bµi 4:

Gọi O là tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đờng cao AH. Các

tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J.

a) Chứng minh rằng tam giác MOB đồng dạng với tam giác ACH.

b) CMR: I là trung điểm của AH.

c) Cho BC=2R v OM=x. Tớnh AB và AH theo R và x.

d) Tính giá trị ln nht ca AH khi x thay i.

Bài toán 5:

a) Cho n sè d¬ng

a a1; ;...;2 an

cã tÝch bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 2

(1 )(1 )....(1 n)
B a a a

b) Cho c¸c sè x; y; z thoả mÃn

x2y2z2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất cđa

Cxy yz 2zx

đề số 11

(Thêi gian 120 phót)

Câu 1

(2 điểm) Hãy ghi vào bài thi chỉ một chữ cái in hoa đng trớc kết quả đúng:

a.Phơng trinh

√

√

x=3

có nghiệm là:

A. 0 ; B. 6 ; C .9 ; D . 39

b. Hàm số y = (m + 6)x - 7 đồng biến khi :

A . m =-6 ; B . m

-6 ; C . m < -6 ; D . m > -6

c. Gäi x

, x

là hai nghiệm của phơng trình 3x

- a x - b = 0 tæng x

+ x

b»ng :

A . -

a

; B.

a

; C .

b

; D. -

b
3

d.Trong (H1) cho AC là đờng kính của đờng tròn (o)

BD C^

= 60

số đo của góc x bằng

A. 40

; B . 25

; C. 30

; D. 55

Câu 2

(3 điểm )

Cho phơng trình

x

+ (2m + 1 )x + m

+3m = 0

a. Giải phơng trình với m = -1

b. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm x = 1

c. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm

và tích của hai nghiệm này bng 4

Tỡm hai nghim ú

Câu 3

(2 điểm )

H ai ngời cùng làm một công việc trong 7 giờ

12 phút thì xong .Nếu ngời thứ nhất làm trong

5 giê vµ ngêi thø hai lµm trong 6 giê

thì cả hai làm đợc 3/4 cơng việc

Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì

sau bao lâu xong cụng vic ?

Câu 4

(2,5điểm)

Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng tròn (o), gọi H là trực tâm của tam giác. AH kéo dài cắt

(o) tại E kẻ đờng kính AO F. chứng minh rng :

a, BCFE là hình thang cân

b, Góc BAE = góc CA F

c, Gọi I là trung điểm của BC chứng minh H,I,F thẳng hàng

Câu 5

(0,5 điểm)

Cho a,b > 0 có a.b =216

Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña S = 6a + 4b

H1
x

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

đề số 12

(Thêi gian 120 phót)

Câu 1

(2 điểm) Hãy ghi vào bài thi chỉ một chữ cái in hoa đứng trớc kết quả đúng:

a. Giá trị của biểu thức

√

3−

√

√

5+¿

√

√

3−

√

b»ng :

A. 3 ; B. 6 ; C .

√

; D . -

b. Phơng trình x - 2y = 3 cã mét nghiƯm lµ :

A. (-1;1) ; B. (-1;-1) ; C. (1;-1) ; D. (5;-1)

c. Hệ phơng trình

{

x − y=6

2x+y=3

cã nghiƯm lµ :

A. (3;-3) ; B. (-3;-3) ; C. (3;3) ; D. (-3;3)

d.Trong hình vẽ biết MA,MB là hai tiếp tuyến của (o) BC là đờng kính , BC A=¿^ 700 số

®o

A^M B

b»ng :

A. 110

; B. 60

; C. 50

; D. 40

Câu 2

(2 điểm ) Giải các phơng trình sau :

a. 3x

-19x-22=0

b. x

-x(1+

2=0

Câu 3

(3 ®iĨm )

Một ca nơ chạy trên sơng trong 7 giờ xi dịng 108km ngợc dịng 63km . Một lần khác ca

nơ đó cũng chạy trong 7 giờ xi dịng 81km ngợc dịng 84km .Tính vận tốc của dịng nớc và

vận tốc riêng của ca nơ?

C©u 4

(3 ®iĨm )

Cho (o) và một cát tuyến CAB từ điểm chính giữa E của cung lớn AB kẻ đờng kính

EF cắt AB tại D , CE cắt (o) tại I, các dây AB và FI cắt nhau tại K .Chứng minh rằng :

a. Tø gi¸c EDKI néi tiÕp

b. CI.CE =CK.CD

c. IC là phân giác của góc ngồi tại đỉnh I của tam giácAIB.

§Ị sè 13

(Thêi gian 120 phót)

Câu 1 )

Hãy chọn và viết vào bài thi chỉ một chữ cái đứng trớc đáp số đúng.

1) Rút gọn biểu thức

Q 4 7  4 7  2

đợc kết quả là :

A. 1 B.2 C. -1 D.0

2) Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng d

: y = 2x - 7 và d

: y = - x -1 là :

A. ( -2 ; -3) B. ( 1 ; -3) C. ( -2 ; -6) D. ( 2 ; -3)

3) Cho sin



=

ta cã tg



=

A. 4 B.

C.

D.

15
4

4) Cho dêng trßn có bán kính là 12, một dây cung vuông góc với bán kính tại

M B

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

trung điểm của bán kính ấy có độ dài là :

A.

3 3

B. 27 C.

6 3

D.

12 3

Câu 2 )

Cho phơng trình : mx

+ ( 2m -1)x + (m -2) = 0.

Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x

; x

thoả mãn:

x

+ x

= 2006.

Câu 3 )

Một bè nứa trôI tự do ( với vận tốc bằng vận tốc của dòng nớc )và một ca nô

cùng dời bến A để xI dịng sơng . Ca nơ xI dịng đợc 144 km thì quay trở

về bến A ngay, cả đI lẫn về hết 21 giờ. Trên đờng ca nô trở về bến A khi còn

cách bến A 36 km thì gặp bè nứa. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của

dòng nớc.

Câu 4 )

Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn

thẳng AO, đờng thẳng Cx vng góc với đờng thẳng AB, Cx cắt nửa đờng

tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI ( K khác C và I ) ,

Tia AK cắt nửa đờng tròn đã cho tại M . Tiếp tuyến với nửa đờng tròn tâm

O tại M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D.

a) Chứng minh bốn điểm A, C , M, D cùng nằm trên một đờng tròn.

b)Chứng minh tam giác MNK cân.

c) TÝnh diÖn tích tam giác ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.

d)Chng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đờng

tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đờng thẳng cố định.

Câu 5)

Cho a; b; c là các số bất kì , đều khác 0 và thoả mãn: ac + bc + 3ab



0.

Chøng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm :

(ax

+ bx +c)(bx

+ cx +a)(cx

+ ax + b) = 0.

§Ị sè 14

(Thêi gian 120 phút)

Câu 1:

(2đ)

Hóy ghi vo bi thi ch mt chữ cái in hoa đứng trớc kết quả đúng:

a) Biểu thức

√

x2

−4

cã nghÜa khi:

A. x

4 B. x

2 C. x

2 và x

-2 D. x

2 hoặc x

-2

b) Hai đờng thẳng y = (a -1)x +2 và y = (3 - a)x +1 song song với nhau khi a bằng:

A. 1 B. 2 C. -2 D. 3

c) phơng trình

x

-

3
2

x -

= 0 cã 1 nghiƯm lµ:

A.

B.

C.

-11

D.

11
18

d) Cho đờng tròn (O

;3) và (O

;5) và O

O

= 7. Khi đó 2 đờng trịn (O

) và (O

):

A. TiÕp xóc ngoµi nhau B. Cắt nhau tại 2 điểm phân biƯt

C. N»m ngoµi nhau D. Tiếp xúc trong nhau

Câu 2:

(3đ)

Cho hm s y = x

có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) : y = mx +1

a) Gọi A, B là 2 điểm nằm trên (P) lần lợt có hồnh độ -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng

(D) // AB và tiếp xúc với (P).

b) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

c) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại 2 điểm có hồnh độ x

, x

thoả mãn

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

1
x12

+ 1

x22

= 11

Câu 3

: (1,5đ)

Trong một phòng học có một số ghế:

Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có ghế

Nếu xếp mỗi ghế 4 häc sinh th× thõa 1 ghÕ

Hái líp cã bao nhiêu học sinh và bao nhiêu ghế?

Câu 4

: (3đ)

Cho

Δ

ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) và

ACB❑

= 45

. Các đờng cao AH, BH

của

Δ

cắt (O) lần lợt ở P, Q. 2 đờng thẳng AQ và BP cắt nhau tại S

a) Chứng minh PQ là đờng kính của (O)

b) Chứng minh ACBS là hình bình hành

c) Chứng minh

ASH =

APQ

Câu 5

: (0,5đ) T×m GTLN, GTNN cđa biĨu thøc A =

x

2
+x+1
x2

§Ị sè 15

(Thêi gian 120 phút)

Câu 1:

(2đ)

Hóy ghi vo bi thi ch một chữ cái in hoa đứng trớc kết quả đúng:

a. Rút gọn biểu thức M =

√

4x2−4x+1

4x −2

ta đợc : A. M =

; B. M

=-1
2

C. M =

vµ M

=-1

; D . M =

khi x > 0,5 vµ M

=-1

khi x < 0,5

b. HƯ phơng trình

{

37xx+y2=y6=1

cã nghiƯm lµ :

A. (1;-3) ; B. (1;3) ; C. (-1;3) ; D. (-1;-3)

c. Hai phơng trình 2x

+ mx -1 = 0 vµ mx

- x + 2 = 0 cã nghiÖm chung khi :

A. m = -1 ; B . m

C. m = 1 ; D. m

d. Trên H

số đo của cung FmG bằng :

A. 110

; B. 100

; C. 90

; D. 55

Câu 2

(2 điểm). Cho hệ phơng trình

{

xmx+my+y==m2m+1

a. Giải hệ với m = -1

b. Tìm m để hệ có vơ số nghiệm trong đó có một nghiệm x = 1, y = 1

Câu 3

: (1,5đ) Ngời ta chộn 8g chất lòng này với 6 g chất lỏng khác có khối lợng riêng nhỏ hơn

là 0,2g/cm

để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 0,7 g/cm

Tìm khối lợng riênmg của mỗi

chÊt láng ?

Câu 4

: (3đ) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và CD.là hai điểm nằm trên nửa đờng tròn .AC và

AD cắt tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn lần lợt tại E,F . Chứng minh :

a.

AB D^ =AF B ;^

AB C^ =A^E B

b. Tø gi¸c CDFE néi tiÕp

c. Gọi I là trung điểm của FB chứng minh DI là tiếp tuyn ca na ng trũn

d. Giả sử CD cắt Bx tại G phân giác của góc CGE cắt AE , AF tại N,M chứng minh tam

giác AMN cân

Câu 5

(0,5 điểm ) Tìm các số nguyên x, y thoả mÃn :

10x

+ 20y

+ 24xy + 8x - 24y + 51

0

H1
70

m
I

F
H

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

§Ị sè 16

(Thêi gian 120 phút)

Câu 1:

(2đ)

Hóy ghi vo bi thi ch mt ch cái in hoa đứng trớc kết quả đúng:

a. Hai đờng thẳng (d

) : y = (3 - m)x + 5 và (d

) : y = -2x + n - 3 song song với nhau khi :

A. m = 5 ; B .

m

; C . m = 5 và n =

8 ; D .m =5 và n = 8

b. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 0,1x

là :

A . (-3;-0,9) ; B . (-10; 1) ; C . (3;-0,9) ; D . (3;0,9)

c. Phơng trình 3x

- 2x - 5 = 0 cã biÖt thøc

Δ

b»ng :

A . 16 ; B . 64 ; C . -56 ; D .19

d. Trên (H

) AB là đờng kính ,

DB lµ tiÕp tun cđa (0) t¹i B gãc CBA = 60

sè ®o

Cña cung nhá BC b»ng :

A. 30

; B. 40

; C. 50

; D. 60

Câu 2:

(3đ)

Cho biểu thức: C =

√

x+4

√

x −4+

√

x −4

√

x −4

a) Rút gọn C

b) Tìm x để C = 4

Câu 3:

(1,5đ) Cho một số có hai chữ số .Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ

hơn số đã cho l 12 .Tỡm s ó cho

Câu 4:

(3đ)

Cho tam giác ABC cận tại A ( có BC<BA) nội tiếp (O) tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn lần lợt

cắt các tia AC,AB ở D và E .Chng minh :

a. BD

=AD.CD

b. Tứ giác BDCE là tứ giác nội tiếp

c. BC// DE

d. Gọi M là giao điểm của BD và EC .Chứng minh rằng A,O,M thẳng hàng và tứ giác

OBMC nội tiếp

Câu 5:

(0,5đ) cho x,y > 0, x + y = 1

T×m GTNN cđa P = (1 +

x

)(1 +

1
y

)

Đề số 17

(Thời gian 120 phút)

Câu 1:

(2đ)

Hóy ghi vào bài thi chỉ một chữ cái in hoa đứng trớc kết quả đúng

a) Biểu thức

√

1− x

x+2

cã nghÜa khi:

A. x

B. -2

x ≤1

C. . -2<

x ≤1

D. x

1 hc x<-2

b. Phơng trình 4x + 5y = 20 có một nghiƯm lµ :

A. (-1;16/5) ; B. (-1;24/5) ; C. (-2;12/5) ; D. (2;28/5)

c. Phơng trình 3x

- 6x + 5 = 0 cã biÖt thøc

Δ,

b»ng :

A . 25 ; B . -6 ; C . -24 ; D .96

H1
60

A B

40
A

D B

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

d. Trªn (H

) sè ®o cung DmC b»ng :

A. 30

; B. 60

; C. 70

; D. 80

Câu 2:

(3đ)

Cho hệ phơng trình

{

x ay=a
ax+y=1

a. Giải hệ phơng trình với a=

-1

b. Chứng minh hệ phơng trình có nghiệm với mọi a

c. T×m a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thoả mÃn x>0; y>0

Câu 3

(1,5 đ)

Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ngợc chiều và gặp nhau

sau 2h. Tìm vân tốc của mỗi ô tô. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h và vận tốc ô

tô B giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô tô B.

Cõu 4:

(3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A trên AC lấy M dựng đờng tròn đờng kính MC. Nối

BM và kéo dài cắt đờng trịn tại D,DA cắt đờng tròn tại S Chứng minh rằng :

a. ABCD là tứ giác nội tiếp

b. CA là phân giác của góc SCB

c. Gi T l giao điểm của đờng trịn đờng kính MC với B và K là giao điểm của BA và CD

Kéo dài .Chứng minh: K,M,T thẳng hàng ,

AT K^

=

OT K^

d. Chứng minh tứ giác KBTS là hình thang

Câu 5:

(0,5đ) Tìm GTNN của : E = x

+ 2y

BiÕt x + 2y = 3

Đề số 18

(Thời gian 120 phút)

Câu 1:

(2®)

Hãy ghi vào bài thi chỉ một chữ cái in hoa đứng trớc kết quả đúng

a. Hai biểu thức : A =

√

x+5

và B =

√

3− x

bằng nhau khi :

A. x = -5 ; B . x = 3 ; C . x = -5 và x = 3 ; D . x = -1

b.Gọi x

, x

là hai nghiệm của phơng trình x

+ qx + p = 0 khi đó tích hai nghiệm bằng :

A. -p ; B . p ; C . -p ; D . q

c. Hệ phơng trình.

{

4x+y=2

8x+3y=5

có nghiệm là :

A. (1;1/4) ; B. (1/4;1) ; C. (1;-2) ; D. (1;-1)

d. Trªn H

sè ®o cđa gãc x b»ng :

A. 90

; B. 45

; C. 22,5

; D. 25

Câu 2:

(2đ) Cho 3 đờng thẳng :

y=2x+1(d

) ; y=-x-2 (d

);

y=-2x-m (d

)

a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d

) & (d

)

b. Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy

Câu 3:

(2đ) Một ô tô đi t A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng

vận tốc của ô tô th nhất. Sau 3h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng AB mất

bao l©u?

Câu 4:

(3,5 đ) Cho tam giác ABC có góc C=90

nội tiếp nửa đờng tròn (O,R).Gọi Ax, By lần lợt

là tiếp tuyến của nửa đờng tròn, tiếp rtuyến lại của (O) cắt Ax, By thứ tự tại E, F.

a. Tính góc EOF.

b. Chøng minh r»ng EF = AE + BF.

c. Chøng minh r»ng AE.BF = R

.

d. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính EF.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

C©u 5:

(0,5®) Cho a,b,c > 0 ; a + b + c = 1 th× :

a+
1
b+

1
c≥9

§Ị sè 19

(Thêi gian 120 phót)

Câu 1:

(2đ) Hãy ghi vào bài thi chỉ một chữ cái in hoa đứng trớc kết quả đúng

a) Biểu thức

√

1− x2

có nghĩa khi:

A. x < 1 B. x < -1 C. . -1<

x ≤1

D. x

-1 hoặc x

1 b. Hai đờng thẳng:

y = a.x + b vµ y= a

x + b

cắt nhau tại một điểm trên trục tung khi :

A. b = b

; B . b

b

; C . b = b

vµ . a

a

; D . b = b

và . a = a

c. Phơng trình :

x

- 4x - 12=0 cã mét nghiƯm lµ :

A. 12 ; B . -2 ; C. 2 ; D . -6

d. Trªn H

BiÕtgãc COB = 30

cung BmA

b»ng 70

. Sè ®o cđa gãc ADC b»ng :

A. 70

; B. 30

; C. 50

; D. 35

Câu 2:

(3đ)

Cho phơng trình x

+ qx+p = 0 (1)

a. Giải phơng tr×nh khi p = -(3+

√

) ; q = 3

√

b. Xác định p, q để phơng trình có nghim x

c. Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có nghiệm dơng x1x2 thì phơng trình

qx

+px+1=0 (2) cïng cã hai nghiƯm d¬ng x

x

d. lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 3x

,3x

trong đó x

x

là nghiệm của(1)

Câu 3:

(1,5đ). Một bè nứa trơi trên sơng sau đó 5h20’ một xuồng máy đuổi theo và đi đợc 20km

thì gặp bè nứa .Tính vận tốc bè nứa Biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè nứa 12km/h

Câu 4:

(3,5đ) Cho ( O ) và một điểm A nằm ngoài ( O ) các tiếp tuyến với ( O ) kẻ từ A tại B và

C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( khác B và C ) từ M kẻ MH vng góc BC, MK vng

góc CA, MI vng góc AB. Chứng minh:

a. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp.

b. Gãc BAO = gãc BCO.

c. Tam giác MIH đồng dạng tam giác MHK.

d. MI.MK = MH

❑2

.

H1
O

m
C

A
B

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

§Ị sè 20

Câu 1 :

Hãy chọn và viết vào bài thi chỉ một chữ cái đứng trớc đáp số đúng.

a. Rót gän biÓu thøc

4 2

( )
a a b

a b  ta đợc :

2
a b

a
a b



 B. a2 C. - a2 D. a2

b. Căn bậc 2 sè häc cđa 8 lµ :

A. -2 2 B. 2 2 C. ±2 2 D. 8

c. Tam gi¸c ABC có C = 90o và sinA = 
2

3 thì tgB b»ng :

5 B.

3 C.

5 D.

5
2

d. Độ dài của AC trên hình vẽ bằng :

A. 13 B. 13

C. 2 13 D. 3 13

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

A

x x x x

  

  

   

a) Rót gän A

b) Tìm giá trị của x khi A =

1
2.

c) Tìm giá trị lớn nhất của A .

Cõu 3 : Hai trờng A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ THPT đạt tỉ lệ 84%

Tính riêng thì trờng A đỗ 80% , trờng B đỗ 90%.Tính số học sinh lớp 9 dự
thi của mỗi trờng ?

Câu 4 : Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC ) nội tiếp trong đờng tròn (O) và một

điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AC, tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM t¹i D.
a) Chøng minh AMD ABC

b) Chøng minh tam giác BMD cân.

c) Chng minh rng khi M di ng thì D chạy trên một đờng trịn cố định và độ lớn BDC khơng
đổi.

d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi. Tính AM ở vị trí đó biết BAC và bán
kính (O) l R.

Câu 5 : Cho hai số dơng x,y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

1 1

B

x y

 

    
   

</div>

ôn tập toán 9 toán học 9 trần mỹ hà website của trường thcs lê ngọc giá

Đại sè



√

√

√

√

√

<sub></sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub></sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√