Khóa luận tốt nghiệp toán học: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (944.49 KB, 48 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TRẦN THỊ MƠ
SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC
TRONG LƯỢNG GIÁC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Sơn La, tháng 5 năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TRẦN THỊ MƠ
SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC
TRONG LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh
Sơn La, tháng 5 năm 2013
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: TS.GVC Hoàng
Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên cứu khóa
luận. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán – Lí –
Tin, phòng Nghiên cứu khoa học và Hợp tác Quốc tế, thư viện trường Đại học Tây
Bắc đã tạo điều kiên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên
trong tập thể lớp K50 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi
thực hiên và hoàn thành khóa luận.
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện khóa luận
Trần Thị Mơ
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Giả thiết khoa học 1
5. Đối tượng nghiên cứu 1
6. Phương pháp nghiên cứu 2
7. Đóng góp của khóa luận 2
8. Cấu trúc của khía luận 2
PHẦN NỘI DUNG 3
Chương 1: SỐ PHỨC 3
1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 3
1.2. Các dạng biểu diễn số phức 4
1.2.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp 4
1.2.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số 7
1.2.3. Biểu diễn hình học của số phức 7
1.2.4. Biểu diễn số phức nhờ ma trận 8
1.2.5. Số phức dưới dạng lượng giác 10
1.2.5.1. Argument của số phức 10
1.2.5.2. Dạng lượng giác của số phức 10
1.2.5.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 11
1.2.5.4. Công thức Moivre 11
1.2.5.5. Phép khai căn một số phức 11
1.2.6. Dạng mũ của số phức 12
1.2.7. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann 12
1.2.8. Khoảng cách trên 14
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC 17
2.1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức 17
2.1.1. Kiến thức sử dụng 17
2.1.2. Ví dụ 20
2.1.3. Bài tập đề nghị 25
2.2. Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác 26
2.2.1. Kiến thức sử dụng 26
2.2.2. Ví dụ 26
2.2.3. Bài tập đề nghị 29
2.3. Tổng và tích của một dãy các biểu thức lượng giác 29
2.3.1. Kiến thức sử dụng 29
2.3.2. Ví dụ 30
2.3.3. Bài tập đề nghị 36
2.4. Sử dụng số phức để giải phương trình lượng giác 37
2.4.1. Kiến thức sử dụng 37
2.4.2. Ví dụ 37
2.4.3. Bài tập đề nghị 39
2.5. Bất đẳng thức lượng giác 39
2.5.1. Ví dụ 40
2.5.2. Bài tập đề nghị 41
KẾT LUẬN 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương
trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và
giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậc
Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng
không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số
phức. Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử
dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán lượng giác là một vấn đề
khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến
thức đa dạng của Toán học. Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài
liệu ứng dụng nó trong lượng giác thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một
vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát.Với mong
muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và tìm hiểu sâu hơn các
ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong lượng giác. Do vậy tôi chọn
khóa luận: “Số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức
để giải một số dạng bài toán trong lượng giác.
- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác cụ thể
là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số
bài toán lượng giác, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho
từng dạng cụ thể.
4. Giả thiết khoa học
Nếu biết cách phân loại các bài toán trong lượng giác và sử dụng số
phức hợp lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán lượng giác một cách đơn giản và
dễ dàng hơn.
5. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu lịch sử hình thành khái niệm số phức, các dạng biểu diễn số
phức.
- Nghiên cứu các bài toán lượng giác có thể sử dụng số phức để giải được.
2
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
7. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo hữu ích cho Giáo
viên phổ thông và các bạn học sinh, sinh viên.
8. Cấu trúc của khía luận
Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết
luận. Phần nội dung bao gồm các chương sau:
Chương 1: Số phức.
Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác.
3
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: SỐ PHỨC
1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI. Đó là thời kì Phục Hưng của toán
học châu Âu sau đêm dài trung cổ. Các đại lượng ảo:
1,b 1,a b 1
xuất hiện đầu tiên từ thế kỷ XVI trong các công trình của các nhà toán học Italy
như: công trình: “ Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của
G.Cacrdano (1501-1576) và công trình: “Đại số” (1572) của R.Bombelli(1530-
1572).
Khi giải phương trình bậc hai của G.Cacrdano và R.Bombelli đã đưa vào
xét kí hiệu
1
là lời giải hình thức của phương trình
2
x 1 0
, xét biểu thức
b1
là nghiệm hình thức của phương trình
22
x b 0
. Khi đó biểu thức tổng
quát hơn dạng
a b 1
có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình
22
(x a) b 0
. Về sau biểu thức có dạng
a b 1
,
b0
xuất hiện trong quá
trình giải phương trình bậc hai và bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại
lượng “ảo” và sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là
a bi
, trong đó kí hiệu:
i: 1
được L.Euler đưa vào năm 1777 gọi là đơn vị
“ảo”.
Ta có hệ thức
2
i1
là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số
phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh nó là một quy
ước.
Lịch sử toán học cũng đã ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các
nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ phương
trình:
x y 10
xy 30
Cardano đã tìm được nghiệm
55
và
55
và ông đã gọi nghiệm
này là “âm thuần túy” hay gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại
chính là nhà toán học Italy R Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã
định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo
nên lý thuyết các số “ảo”.
4
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gaus (năm 1831). Vào thế
kỉ XVII- XVIII nhiều nhà toán học khác cũng nghiên cứu các tính chất của đại
lượng ảo (số phức!) và khảo sát ứng dụng của chúng. Chẳng hạn, L.Euler mở
rộng khái niệm logarit cho số phức bất kỳ (năm 1738), còn A.Moivre nghiên
cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số
thực có thứ tự
(a;b); a ; b
được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là
W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ
tự - cặp
(0;1)
. Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận
chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn
liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với Định lý cơ bản của Đại số
khẳng định rằng trong trường số phức mọi phương trình đa thức đều có
nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của
trường mở rộng (đại số) của trường số thực thu được bằng phép ghép đại số
cho nghiệm i của phương trình
2
x 1 0
.
Với định lý cơ bản của đại số, Gauss đã chứng minh được trường trở
thành trường đóng đại số hay các nghiệm của phương trình đại số trong trường
này ta không thu thêm được số mới. Hơn 2500 năm từ thời Pythagor đến giờ con
đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi
với
các bao hàm thức
.
K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức không thể mở rộng
thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng
hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã
đúng trong tập hợp số phức. Như vậy các tập hợp số mới chứa tập số phức chỉ
có thể thu được bằng việc từ bỏ một số tính chất thông thường nào đó của các số
phức.
1.2. Các dạng biểu diễn số phức
1.2.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp
Mỗi số phức
a bi
hoàn toàn được xác định
a;b
gọi là các thành
phần của chúng. Người đầu tiên cố gắng nêu rõ đặc trưng của các phép toán
bằng ngôn ngữ các thành phần không cần nhắc đến kí hiệu “nghi vấn” i là
Hamilton. Cụ thể ông đã diễn tả mỗi số phức bởi một cặp số thực (có thứ tự)
thông thường.
5
Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a;b), a
, b
được gọi là một
số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép
nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:
i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức:
ac
(a;b) (c;d)
bd
Chú ý: Hai số phức bằng nhau
(a;b)
và
(c;d)
ta có thể viết:
(a;b)
(c;d)
(nếu muốn nhấn mạnh đây là quan hệ đồng nhất giữa hai
cặp số thực sắp thứ tự).
(a;b)
=
(c;d)
(nếu muốn nói rằng đây là quan hệ bằng nhau giữa hai số
phức).
ii) Phép cộng trong tập số phức:
(a;b)
+
(c;d)
:=
(a c;b d)
và cặp
(a c;b d)
được gọi là tổng của các cặp
(a;b)
và
(c;d)
.
iii) Phép nhân trong tập số phức:
(a;b)
(c;d)
:=
(ac bd;ad bc)
và cặp
(ac bd;ad bc)
được gọi là tích của các cặp
(a;b)
và
(c;d)
.
iv) Số thực trong tập số phức: Cặp
(a;0)
được đồng nhất với số thực a,
nghĩa là:
(a;0): a
hay là
(a;0) a
.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
Như vậy, mọi phần của định nghĩa số phức đều được phát biểu bằng ngôn
ngữ số thực và các phép toán trên chúng.
Trong định nghĩa này ba tiên đề đầu thực chất là định nghĩa khái niệm
bằng nhau, khái niệm tổng và khái niệm tích của các số phức. Tiên đề iv) tương
thích với tiên đề i),ii) ,iii). Thật vậy:
i)-iv): Giả sử hai số thực a và b bằng nhau như những cặp dạng đặc biệt
đồng nhất với chúng:
(a;0) (b;0)
. Khi đó theo tiên đề i) ta có:
(a;0) (b;0) a b
tức là chúng bằng nhau theo nghĩa thông thường.
ii)-iv): Theo tiên đề ii), tổng hai số thực a và c được xét như những cặp
(a;0)
và
(c;0)
là bằng cặp
(a c;0 0)
=
(a c;0)
. Nhưng theo tiên đề iv) thì
(a c;0)
ac
. Như vậy:
(a;0)
+
(c;0)
=
(a c;0 0)
=
(a c;0)
ac
,
6
tức là đồng nhất bằng tổng a+c theo nghĩa thông thường.
iii)-iv): Theo tiên đề iii), tích các số thực
a
và
b
được xét như những cặp
(a;0)
và
(c;0)
là bằng cặp:
(ac 0.0;a.0 0.c) (ac;0)
và theo tiên đề iv) ta có
(ac;0) ac
. Như vậy
(a;0)
(c;0)
=
(ac;0) ac
tức là đồng nhất bằng tích a với c theo nghĩa thông thường.
Như vậy tiên đề iv) tương thích với các tiên đề i), ii), iii).
Lưu ý: Các công thức sau đây được suy ra trực tiếp từ iii) và iv):
(a;b) ( a; b), .
Vai trò đơn vị trong tập hợp số phức là cặp
(1;0)
vì:
(a;b)(1;0) (a;b)
.
Cho số phức
z (a;b);
số phức
z (a; b)
được gọi là số phức liên hợp
của số phức
z
. Ta có:
zz (a;b)(a; b)
=
22
a b 0
.
Từ tính chất này suy ra rằng với mọi
(a;b)
(0; 0) tồn tại cặp nghịch đảo
1
(a;b)
, cụ thể là cặp:
2 2 2 2 2 2
1 a b
(a; b) ; .
a b a b a b
Như vậy tập hợp các số phức lập thành một trường. Trường đó có tính
chất:
(a)
.
(b) Phương trình
2
x 1 0
có nghiệm trong . Đó là cặp
(0;1)
và
(0; 1)
.
Dưới dạng cặp các phép toán trên được thực hiện theo các quy tắc:
(i)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
(a ;b ) (a ;b ) (a a ;b b ); (a ;b ) (a ;b ) (a a ;b b ).
(ii)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
(a ;b )(a ;b ) (a a b b ;a b a b ).
(iii)
1 1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(a ;b ) a a b b a b a b
;
(a ;b ) a b a b
; trong đó
22
(a ;b ) (0;0)
.
7
1.2.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số
Mọi số phức
(a;b)
đều được biểu diễn dưới dạng:
(a;b) (a;0) (b;0) (a;0) (b;0)(0;1) a bi
,
trong đó cặp
(0;1)
được ký hiệu bởi chữ i.
Từ tiên đề iii) ta có:
2
i (0;1)(0;1) (0.0 1.1;0.1 1.0) ( 1;0) 1
.
Biểu thức
a;b a bi
được gọi là dạng đại số của số phức.
Số phức
z a bi
a;b
: a được gọi là phần thực của số phức đó
và kí hiệu Rez; b được gọi là phần ảo của số phức đó và kí hiệu là Imz.
Các phép toán (i)-(iii) đối với các số phức viết dưới dạng đại số
1 1 1 2 2 2
z : (a b i); z : (a b i)
được định nghĩa như sau:
*
(i )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z (a b i) (a b i) (a a ) (b b )i,
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z (a b i) (a b i) (a a ) (b b )i,
*
(ii )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
z z (a b i)(a b i) (a a b b ) (a b a b )i
,
*
(iii )
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
z a b i a a b b a b a b
i
z a b i a b a b
; trong đó
22
22
ab
0.
Số phức liên hợp của số phức
z a bi
là
z a bi
. Do đó:
z z 2
Rez
,
z z 2
i
Imz
,
2
zz z
, trong đó
22
z r z.z a b
Số
22
z r z.z a b
được gọi là module của số phức
z
. Đối với
số phức
12
z ;z
, ta luôn có:
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
.
1.2.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm
M(a;b)
. Mỗi số phức
(a;b) a bi
có thể đặt tương ứng với điểm
M(a;b)
và ngược lại, mỗi điểm
M(a;b)
của mặt
phẳng sẽ tương ứng với số phức
(a;b) a bi
.
8
Nhờ phép tương ứng:
(a;b) a bi
.
Ta xem các số phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với
điểm đầu tại gốc tọa độ
O(0;0)
và điểm mút tại
M(a;b)
.
Định nghĩa 1.2. Mặt phẳng tọa độ với phép tương ứng đơn trị một-một
(a; b) a+ bi
được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss và cũng được kí hiệu là và
z a bi
là một điểm thuộc mặt phẳng đó.
Như vậy mặt phẳng
2
mà các điểm của nó được đồng nhất với các phần
tử của trường được gọi là mặt phẳng phức.
Trục hoành của mặt phẳng tọa độ gọi là trục thực (do các điểm của nó
tương ứng với các số
(a;0) a
) còn trục tung gọi là trục ảo (do các điểm
của nó tương ứng với các số thuần ảo (0; b) = bi).
Số phức
z a bi
cũng có thể biểu diễn bởi một vectơ đi từ gốc tọa độ
với các hình chiếu a và b trên các trục tọa độ. Như vậy, vectơ
z a bi
bằng
bán kính vectơ của điểm z.
Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép
cộng và trừ các số phức được thực hiện theo phép cộng và trừ các vectơ. Nhưng
phép nhân và phép chia cần thực hiện theo quy tắc
*
(ii )
và
*
(iii )
vì trong đại số
vectơ không có các quy tắc tương tự trực tiếp như vậy.
1.2.4. Biểu diễn số phức nhờ ma trận
Xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường số thực
ab
M: a;b
ba
mà trên đó các phép toán cộng và nhân được thực hiện theo các quy tắc thông
thường của đại số ma trận.
Mỗi số phức
z a bi
ta đặt tương ứng với ma trận:
ab
ba
(1.1)
Đó là ánh xạ đơn trị một-một. Qua ánh xạ này toàn bộ trường số phức
được ánh xạ lên tập hợp M các ma trận dạng (1.1). Ta có:
9
ab
ba
cd
dc
=
a c b d
(b d) a c
(1.2)
ab
ba
.
cd
dc
=
ac bd ad bc
(ad bc) ac bd
(1.3)
Từ (1.2) và (1.3) suy ra rằng ánh xạ đã xây dựng là đẳng cấu giữa và
M vì ma trận ở vế phải của (1.2) là tương ứng với các số phức:
(a c) (b d)i (a bi) (c di)
và ma trận ở vế phải của (1.3) là tương ứng với các số phức:
(ac bd) (ad bc)i (a bi)(c di)
.
Từ đó suy ra rằng tổng và tích hai số phức trong tương ứng với tổng
và tích các ảnh của chúng trong M.
Đồng thời ta cũng thu được tập hợp
0
M
các ma trận cấp 2 dạng
0
M
:=
a0
a
0a
là đẳng cấu với tập hợp các số thực trong . Trong phép đẳng cấu này mỗi số
thực a tương ứng với ma trận
a0
0a
.
Từ đó có thể đồng nhất ma trận
a0
0a
với số thực a.
Nếu ta xét một ma trận tùy ý của M thì
a b a 0 0 1
z b a bj,
b a 0 a 1 0
trong đó:
01
j
10
.
Ta có:
2
0 1 0 1 1 0
j1
1 0 1 0 0 1
.
Từ đó, ma trận
01
j
10
có vai trò như đơn vị ảo.
10
1.2.5. Số phức dưới dạng lượng giác
1.2.5.1. Argument của số phức
Cho số phức
z a bi 0
. Với
22
r : z a b
ta có:
22
ab
1
rr
.
Vì vậy tồn tại duy nhất một số thực
0
0
02
sao cho:
0
0
0
0
a
cos
a rcos
r
b b rsin
sin
r
và
0
được gọi là argument chính của số phức z. Kí hiệu: argz.
Ta nói mọi số thực
sao cho:
z r cos isin
được gọi là argument
của số phức z.
Nếu
là một argument của z thì mọi argument của z có dạng
k2
,
k
.
Tập hợp tất cả các argument của z được kí hiệu và xác định:
Argz= argz k2 :k
.
Argz có các tính chất sau:
Arg
12
z .z
= Arg
1
z
+ Arg
2
z
,
Arg
1
2
z
z
=
12
Argz Argz
.
1.2.5.2. Dạng lượng giác của số phức
Trên mặt phẳng phức ta có hệ thức:
z a bi r cos isin
(1.4)
Rez = a =
rcos
, Imz = b =
rsin
.
Trong đó: (a) độ dài bán kính véctơ r :=
22
z zz a b
,
(b) góc cực
Arg
được gọi argument của z.
Biểu thức (1.4) được gọi là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức
z a bi
.
11
1.2.5.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Ta đã biết công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là
định lí nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng cho
các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức.
Định lí 1.1. Nếu
z r cos isin
,
' ' ' '
z r cos isin
'
r 0,r 0
,
thì
' ' ' '
zz rr cos isin
,
''
''
zr
cos isin
zr
(khi
r0
).
Chứng minh
' ' ' '
zz r cos isin r cos isin
' ' ' ' '
rr cos cos sin sin i sin cos cos sin
' ' '
rr cos isin
.
Mặt khác, ta có:
11
cos isin
zr
.
Theo công thức nhân số phức ta có:
''
' ' '
z 1 r
z cos isin
z z r
. (ĐPCM).
1.2.5.4. Công thức Moivre
Với mọi số nguyên dương n ta có:
n
n
r(cos isin ) r (cos n isin n )
.
được gọi là công thức Moivre. Nếu
r1
thì công thức Moivre có dạng đặc biệt:
n
(cos isin ) cos n isin n
.
1.2.5.5. Phép khai căn một số phức
Cho n là các số tự nhiên và
z
. Ta nói w là căn bậc n của z nếu:
n
wz
.
Với
z0
, đặt
z r cos isin
và
w cos +isin
. Khi đó:
12
n
cosn isinn r cos isin
.
Từ đó ta có:
n
r
2k
n
,
k
Khi đó
z0
có n căn bậc n khác nhau, đó là:
n
k
2k 2k
w r cos isin
nn
, k = 0, 1, , n – 1.
Ta có:
nn
k2 2k
z r cos isin :k 0,1, ,n 1
nn
.
1.2.6. Dạng mũ của số phức
Với mọi số thực
:
i
cos isin e
(1.5)
Dạng lượng giác (1.4) được biến đổi thành dạng mũ
i
z re
đó là dạng số mũ của số phức
z0
.
Dễ thấy: nếu
1
i
11
z re
và
2
i
22
z r e
thì:
1.
12
i( )
1 2 1 2
z z rr e
2.
11
22
zr
zr
12
i( )
e
,
2
r0
Từ (1.5) ta có:
ii
ii
1
cos (e ie )
2
1
sin (e e )
2i
(1.6)
Các công thức (1.6) được gọi là công thức Euler.
1.2.7. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann
Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Đềcác vuông góc
( ; ; )
ta xét mặt cầu với tâm tại điểm (0; 0;
1
2
) với bán kính bằng
1
2
.
13
2
22
11
S ( ; ; ):
24
sao cho nó tiếp xúc với mặt phẳng z = 0 tại gốc tọa độ và trục thực của mặt
phẳng
z
trùng với trục
0; 0
còn trục ảo thì trùng với trục
0; 0
.
Ta xét phép chiếu
với cực bắc tại điểm P(0; 0; 1). Giả sử
z
là điểm tùy ý.
Nối điểm
z
với cực bắc P bằng đoạn thẳng, đoạn thẳng này cắt mặt cầu S tại
điểm A(z). Và ngược lại, giả sử A
S là một điểm tùy ý của mặt cầu. Khi đó PA
sẽ cắt mặt phẳng phức tại điểm z. Hiển nhiên đó là một phép đơn trị một-một.
Định nghĩa 1.3. Phép tương ứng
: z A(z) S
như đã mô tả ở trên được gọi là phép chiếu nổi với cực tại điểm P. Điểm A(z)
S được gọi là ảnh nổi hay là ảnh cầu của điểm z.
Định lý 1.2. Trong phép chiếu nổi
: z A(z) S
điểm
z x iy
sẽ tương ứng với điểm A(z)
S có tọa độ là
2
2 2 2
z
xy
,,
1 z 1 z 1 z
(1.7)
Công thức (1.7) được gọi là công thức của phép chiếu nổi.
Chứng minh
Vì ba điểm
P(0;0;1)
; A(z) =
( ; ; )
và
z (x;y;0)
cùng nằm trên một
đường thẳng nên các tọa độ của chúng phải thỏa mãn hệ thức:
0 0 0
x 0 y 0 0 1
Hay là:
i
x ,y
1 1 1
(1.8)
Nếu
22
2
2
z
(1 )
và
2
22
11
24
thì
2
z
1
,
và do đó
2
2
z
1z
. Thế giá trị
vào (1.8) ta tìm được:
22
xy
,
1 z 1 z
.
14
Ta thấy, trong phép biến đổi
, điểm P(0; 0; 1) không tương ứng với
điểm z nào của mặt phẳng . Ta xét số phức “lý tưởng”
z
và “bổ sung”
cho mặt phẳng phức bằng cách thêm cho nó điểm xa vô cùng duy nhất (gọi
tắt là điểm vô cùng) tương ứng với số phức
z
.
Định nghĩa 1.4. Tập hợp lập nên từ mặt phẳng phức và điểm vô cùng ( kí
hiệu là
) được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và kí hiệu là .
1.2.8. Khoảng cách trên
Ta đưa vào trong hai mêtric, trong mêtric thứ nhất khoảng cách giữa
hai điểm
12
z ,z
được giả thiết bằng:
22
1 2 1 2 1 2 1 2
d d (z ;z ): z z (x x ) (y y ) .
Mêtric này là mêtric Euclide thông thường trong mặt phẳng
2
. Trong
mêtric thứ hai (gọi là mêtric cầu) khoảng cách giữa hai điểm
12
z ;z
được
hiểu là khoảng cách (trong không gian
;;
) giữa các ảnh cầu của chúng.
Khoảng cách này được gọi là khoảng cách cầu hay khoảng cách Jordan giữa hai
điểm
12
z ;z
:
12
d def d (z ;z )
.
Định lý 1.3. Giả sử
12
d d (z ;z )
là khoảng cách cầu giữa các điểm
1 1 1
z x iy
và
2 2 2
z x iy
. Khi đó:
12
12
11
22
22
12
zz
d (z ;z )
(1 z ) .(1 z )
(1.9)
nếu
2
z
thì:
1
2
1
1
d (z ; )
1z
(1.10)
và khoảng cách cầu thỏa mãn các tiên đề thông thường của một mêtric.
Chứng minh
Thật vậy, từ công thức (1.7) ta có:
1
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
d (z ;z ) [( - ) +( - ) +( - ) ]
=
1
2 2 2 2 2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
[ 2 2 2 ]
1
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
=[( ) ( ) 2( )]
15
1
2
1 2 1 2 1 2 1 2
[ + -2( + + )]
22
12
12
2 2 2 2
1 2 1 2
zz
xx
2
1 z 1 z (1 z )(1 z )
22
12
12
2 2 2 2
1 2 1 2
zz
yy
(1 z )(1 z ) (1 z )(1 z )
1
2 2 2 2 2 2
2
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
22
12
z (1 z ) z (1 z ) 2(x x y y ) 2 z z
1 z 1 z
1
22
2
1 2 1 2 1 2
22
12
z z 2x x 2y y
1 z 1 z
1
22
2
1 2 1 2
22
12
(x x ) (y y )
1 z 1 z
12
22
12
zz
1 z 1 z
Vậy
12
12
11
22
22
12
zz
d (z ;z )
(1 z ) .(1 z )
.
Ta được điều phải chứng minh.
Trường hợp:
2
z
, ta có:
2
1 1 1 1 1
1
2
2
1
d (z ; ) (1 ) 1
(1 z 1 )
vì
2
z
nên
2
1
.
Ta luôn có
12
d (z ;z ) 0
và
1 2 1 2
d (z ;z ) 0 z z
.
Ta thấy:
1 2 2 1
d (z ;z ) d (z ;z )
.Ta phải chứng minh:
1 3 1 2 2 3
d (z ;z ) d (z ;z ) d (z ;z )
.
Đối với
1 2 3
z ;z ;z
ta có:
1 2 3 3
(z z )(1 z z )
1 3 2 3 3 2 1 3
(z z )(1 z z ) (z z )(1 z z )
.
16
Từ đó:
2
1 2 3 1 3 2 3 3 2 1 3
z z (1 z ) z z 1 z z z z (1 z z )
(1.11)
Vì
22
(1 uv)(1 uv) (1 u )(1 v )
cho nên:
2
2
2 3 2 3 2 3 2 3
1 z z (1 z z )(1 z z ) (1 z )(1 z )
(1.12)
và
2
2
2
1 3 1 3
1 z z (1 z )(1 z )
(1.13)
Từ các hệ thức (1.9) và (1.11)- (1.13) ta thu được:
1 3 1 2 2 3
d (z ;z ) d (z ;z ) d (z ;z )
.
Ta được điều phải chứng minh.
17
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
2.1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức
Trong phần này, ta xét một số tính toán trên các số phức cụ thể.
2.1.1. Kiến thức sử dụng
+) Số phức
z a bi
a;b
: a được gọi là phần thực của số phức đó và kí
hiệu Rez; b được gọi là phần ảo của số phức đó và kí hiệu là Imz.
+) Dạng
z r cos sin
với r > 0 là dạng lượng giác của số phức
z a bi 0
a;b
.Trong đó: r là môđun của z,
22
r a b
và
là
argument của z,
là số thực sao cho
os
sin
a
c
r
b
r
+) Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho hai số phức:
z r cos isin
,
' ' ' '
z r cos isin
'
r 0,r 0
,
ta có:
' ' ' '
zz rr cos isin
,
''
''
zr
cos isin
zr
(khi
r0
).
+) Số phức
z a bi 0
a;b
có n căn bậc n khác nhau, đó là:
n
k
2k 2k
w r cos isin
nn
, k = 0, 1, , n – 1.
+) Công thức Moivre:
n
n
r(cos isin ) r (cos n isin n )
,
*
n
.
+) Khai triển
cosnx
,
sinnx
,
tannx
Theo công thức Moivre ta có:
n
cosnx isinnx cosx isinx
.
Mặt khác theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
n
nk
k n k
n
k0
cosx isinx C cos x isinx
.
Ta có:
4m
i1
,
4m 1
ii
,
4m 2
i1
,
4m 3
ii
và so sánh phần thực, phần ảo ở
hai vế ta được:
18
n 2 n 2 2 4 n 4 4
nn
cosnx cos x C cos xsin x C cos xsin x A
,
với A =
n
n
2
1 sin x
nếu n chẵn, A =
n1
n 1 n 1
2
n
1 C cosxsin x
nếu n lẻ.
1 n 1 3 n 3 3
nn
sinnx C cos xsinx C cos xsin x B
,
với
n2
n 1 n 1
2
n
B 1 C cosxsin x
nếu n chẵn,
n1
n
2
B 1 sin x
nếu n lẻ.
Giả sử điều kiện tồn tại được được thỏa mãn thì:
1 3 3
n
nn
2 2 4 4
nn
n
sinnx
sinnx C tannθ C tan θ
cos x
tannx .
cosnx
cosnx 1 C tan θ C tan θ
cos x
+) Tuyến tính hóa
n
sin
và
n
cos
Giả sử
z cos isin
. Khi đó:
1
1
z cos isin
z
.
Do đó:
1
2cos z
z
1
2isin z
z
Vậy
n
nn
1
2 cos z
z
và
n
nn
1
(2i) sin z
z
.
Ta khai triển bằng cách sử dụng công thức nhị thức Newton, sau đó nhóm
các phần tử bắt đầu từ phần tử ở ngoài cùng. Ta phân biệt hai trường hợp tùy
theo n chẵn hay n lẻ.
Trường hợp 1: n chẵn, n = 2m,
m
.
2m 2m 2m 1 2m 2
2m
2m 2m 2
11
2 cos z C z
zz
m 1 2 m
2m 2m
2
1
C z C
z
.
1 m 1 m
2m 2m 2m
2cos2m 2C cos 2 m 1 2C cos2 + C
.
m1
mk
2m 2m
k0
1
2 C C cos 2 m k
2
.
m1
2m 1
2m m k
2m 2m
k0
1
cos 2 C C cos 2 m k
2
.
19
Vậy
n
1
n
2
n1
nk
2
nn
k0
1n
cos 2 C C cos 2 k
22
.
m
2m 2m 2m 1 2m 2
2m
2m 2m 2
11
2 1 sin z C z
zz
m 1 m
m 1 2 m
2m 2m
2
1
1 C z 1 C
z
.
1
2m
2cos2m 2C cos 2 m 1
m 1 m
m 1 m
2m 2m
2 1 C cos2 + 1 C
.
m
m1
m k k
2m 2m
k0
( 1)
2 C ( 1) C cos 2 m k
2
.
m
m1
2m 1
2m m m k k
2m 2m
k0
( 1)
sin 2 ( 1) C ( 1) C cos 2 m k
2
.
Vậy
n
n
1
nn
2
2
n1
n k k
22
nn
k0
( 1) n
sin 2 ( 1) C ( 1) C cos 2 k
22
.
Trường hợp 2: n lẻ, n = 2m + 1,
m
.
2m 1 2m 1 2m 1 1 2m 1
2m 1
2m 1 2m 1
11
2 cos z C z
zz
m
2m 1
1
C z
z
.
1
2m 1
2cos((2m 1) ) 2C cos 2m 1
m
2m 1
2C cos
.
m
2m 1 2m k
2m 1
k0
cos 2 C cos 2m 1 2k
.
Vậy
n1
2
n (n 1) k
n
k0
cos 2 C cos n 2k
.
m
2m 1 2m 1 2m 1 1 2m 1
2m 1
2m 1 2m 1
11
2 i 1 sin z C z
zz
m
m
2m 1
1
1 C z
z
.
20
1
2m 1
2isin(2m 1) 2iC sin(2m 1)
mm
2m 1
2i( 1) C sin
.
1
2m 1
2i sin(2m+1) C sin(2m 1)
mm
2m 1
( 1) C sin
.
m
mk
2m 1 2m k
2m 1
k0
sin 2 1 1 C sin 2m 1 2k
.
Vậy
n1
n1
2
k
n (n 1) k
2
n
k0
sin 2 1 1 C sin n 2k
.
2.1.2. Ví dụ
Ví dụ 2.1.2.1. Biểu diễn số phức sau dưới dạng lượng giác
cos isin 3 1
33
z
i1
.
Lời giải
Ta có:
1
z cos isin cos +isin
3 3 3 3
,
2
z 3 i 2 cos sin
66
,
3
33
z i 1 2 cos isin
44
.
Từ đó suy ra:
cos isin 2 cos isin
3 3 6 6
z
33
2 cos isin
44
2 cos isin
66
33
2 cos isin
44
