TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (185.29 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Cung liên kết

a) Cung đối: cos



 x



cos ; sinx



 x



 sin ; x
 b) Cung bù: cos



  x



 cos ; sinx



  x



sin ; x
 c) Cung phụ:

cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan

2 x x 2 x x 2 x x 2 x x

   

     

       

     

     

d) Cung hơn kém  : cos



 x



 cos ; sinx



 x



 sin ; x
 e) Cung hơn kém 2


:

cos sin ; sin cos ;

2 x x 2 x x

 

   

   

   

   

2. Công thức lượng giác

a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi





cos cos cos sin sin

sin( ) sin cos cos sin
tan tan

tan( )

1 tan tan
cot a cot 1
cot( )

cot a cot

a b a b a b

a b
a b
a b
b
a b
b
  
  

 


 
 
2 2
2
2
2
sin 2 2sin .cos

cos2 cos sin

2cos 1

1 2sin

2 tan
tan 2

1 tan

a a a

a
a
a
a
a

 
 
 



c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

 

 

2 2

3 3

1 cos2 1 cos 2

sin ; cos

2 2

3sin sin 3 3cos cos3

sin ; cos

4 4

a a

a a a a

a a

 

 

 

 

e) Cơng thức tích thành tổng f) Cơng thức tổng thành tích













cos cos cos( ) cos( )

sin sin cos( ) cos( )

2
1

sin cos sin( ) sin( )

a b a b a b

   



   

   

cos cos 2cos cos

2 2

cos cos 2sin sin

2 2

sin sin 2sin cos

2 2

sin sin 2cos sin

2 2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b
 
 

 
 
 
 
 
 

3. Hằng đẳng thức thường dùng





2 2 4 4 2 6 6 2

2 2

1 3

sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2

2 4

1 1

1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos

cos sin

a a a a a a a

a a a a a

a a

       

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

4. Phương trình lượng giác cơ bản

khi 1

sin ( ) ( ) arcsin 2 ; sin sin

2
khi 1

( ) arcsin 2

VN m

x k

f x m f x m k x

x k

m

f x m k

 




  

 




 




          

 

   





khi 1

cos ( ) ( ) arccos 2 ; cos cos

2
khi 1

( ) arccos 2

VN m

x k

f x m f x m k x

x k

m

f x m k

 





 






 




         

 

  




tan ( )f x  m f x( ) arctan m k ; tanxtan  x  k
 cot ( )f x  m f x( ) arccot m k ; cotxcot  x  k

5. Phương trình thường gặp
a. Phương trình bậc 2

2 2 2

.sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( )

.cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( )

cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1

cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( )

a f x b f x c Thay f x f x

a

     

cos

an ( ) cot ( ) 0 cot ( )

tan ( )

f x b f x c Thay f x

f x

    

b. Phương trình dạng asin ( )f x bcos ( )f x c
 Điều kiện có nghiệm: a2 b2 c2

 Chia 2 vế cho a2 b2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp

 Dạng a.sin2 x b .sin cosx x c .cos2x d

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.

 Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos2x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

 Dạng a.sin3x b .sin2 xcosx c .sin .cosx 2x d .cos3x0
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay khơng.

 Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos3x để được phương trình bậc 3 theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

d. Phương trình đối xứng loại 1: a(sinxcos )x b.sin cosx x c
 Đặt t = sinx cosx, điều kiện t  2

 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.
e. Phương trình đối xứng loại 2 :



tan cot ) (tan cot



n n

a x x b x x 

 Đặt t = tanx - cotx thì t R ; Đặt t = tanx + cotx thì t 2.
 Chuyển về phương trình theo ẩn t.

f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Phương pháp đặt ẩn phụ.
 Phương pháp đối lập.

 Phương pháp tổng bình phương.

B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1.

cos sin 2 0

x  x

 

  

 

  2. cos x 3 cos x 3 1

 

   

   

   

    3. tan 2 .tanx x1

4. sin2 xsin .tan2 x 2x3 5. 5cos2xsin2x4 3.

1
3sin cos

cos

x x

x

 

7. cos 24 xsin3x sin 24 x 8.

tan 1 tan

x  x

 

  

 

  9.

3 1 3

sin cos cos sin

x x  x x

10. sin4xcos4xcos 4x 11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12. sin + cos =

13. sin 52 xcos 32 x1 14.

2
cos cos 2 cos4

x x x

15. sin



sinx



1
16.

2 2

cos sin

1 sin 1 cos

x x

x  x

  17.

1 1 2

cosx sin 2x sin 4x 18. 4sin 23 x 6sin2x 3

 

Bài 2 : Cho phương trình tan



cosx



cot



sinx



1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn



3 ; 



của phương trình.

Bài 3 : Cho phương trình sin6x + cos6x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.

2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng



0;



Bài 4: Giải và biện luận phương trình



2m 1 cos2



x2 sinm 2x3m 2 0
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1.

2cos 5sin 4 0

3 3

x  x 

   

    

   

    2.

cos2 4cos 0

x x 

3. sin4xcos4xcos 2x 4.

4 4 1

cos sin sin 2

x x x

5.





2 2 cos 3x 2 2 cos3x 1 0

6.

4 4

cos sin 2sin 1

2 2

x x

x

  

7.





6 6

4 sin cos cos 2 0

x x    x

  8. 2 tanx3cotx4

9.

4 2 1

cos sin

x x

10.

2 2

6 6

cos sin

4cot 2

sin cos

x x

x

x x






11.

1
2 tan cot 2sin 2

sin 2

x x x

x

  

12.

8 8 17 2

sin cos cos 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

13. 4cosx cos4x 1 2cos2x 14. 4sin5xcosx 4cos sin5x xcos 42 x1

15. cos 4xcos 32 x cos2x1 16. sin 3xcos 2x  1 2sin cos 2x x

Bài 2 : Cho phương trình sin 3x m cos2x (m1)sinx m 0

1. Giải phương trình khi m = 2.

2. Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng



0;2



Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1. 3 sinx cosx 2 0 2. 3sinx 1 4sin 3x 3 cos3x
3.

4 4

sin cos 1

x x  

  4.





4 4

2 cos xsin x  3sin 4x2

5. 2sin 2x 2 sin 4x0 6. 3sin 2x2cos2x3

7.

9
3cos 2 3sin

x x

8. 4cos3x 3sin 3x 5 0

9. sin cosx x sin2xcos 2x 10. tanx 3cotx4 sin



x 3 cosx



11. 2sin 3x 3 cos7xsin 7x0 12. cos5x sin 3x 3 cos3



x sin 5x



13.



2sinx cosx

 

1 cos x



sin2 x 14. 1 cos xsin 3xcos3x sin 2x sinx

15. 3sinx 1 4sin 3x 3 cos3x 16.

3sin cos 2cos 2

x x x  

 

Bài 2 : Cho phương trình 3 sinm x



2m 1 cos



x 3m1

1. Giải phương trình khi m = 1.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm.

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1.

cos sin 1

sin 2cos 4

x x

y

x x

 



  2.

cos3 sin 3 1
cos3 2

x x

y

x

 





3.

1 3sin 2cos

2 sin cos

x x

y

x x

 



  4.

2
sin cos cos

sin cos 1

x x x

y

x x






Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1. 2sin2 xsin cosx x 3cos2x0 2. 2sin 2x 3cos2x5sin cosx x 2 0

3. sin2xsin 2x 2cos2 x0,5 4. sin 2x 2sin2x2cos2x

5. 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6.

2 1 2

4 3 3

2 2 2

os x sin sin x

c  x 

7.





2 2

3sin x4sin 2x 8 3 9 cos x0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

9.

3 3 8

3 cos 5sin 7sin cos 0

x x x x

10.

3 5sin 4 cos
6sin 2cos

2cos2

x x

x

 

11.

sin 2 sin

x  x

 

 

 

  12. 3 2 cosx sinx cos3x3 2 sin sin 2x x

13. 3sin2x 2sin 2xcos2x 0 14.

12 sin 2 sin

x  x

 

 

 

 

Bài 2 : Cho phương trình msin2x



m 3 sin 2



x



m 2 cos



2x0

1. Xác định m để phương trình có nghiệm.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng 
0,

4


 

 

 .

Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 1
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1. 2 sin



xcosx



sin 2x 1 0 2. sin cosx x6 sin



x cosx 1



3.

sin 2 2 sin 1

x x  

  4. tanx 2 2 sinx1

5. sin3xcos3x 1 6.



1 sin x

 

1 cos x



2

7.

2sin tan cot
4

 

  

 

x  x x

p

8.





sinxcosx sin cosx x 1 0

9.





sinxcosx  3sin 2x 1 0 10. cos3x sin3x cos 2x

 

11. sin3xcos3x2 sin



xcosx



 3sin 2x0 12.





sinx cosx  1 sin cosx x

13.

1 1

sin cos 2 tan cot 0

sin cos

x x x x

x x

      

14.



1 sin 2 x

 

sinxcosx



cos 2x
Bài 2 : Cho phương trình cos3x sin3x m . Xác định m để phương trình có nghiệm.

Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 2
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1.









2 2

3 tanxcotx  2 tan xcot x  2 0

2. tan7xcot7xtanxcotx

3. tanxtan2 xtan3xcotxcot2xcot3x 6 4.









4 2 2

9 tanxcotx 48 tan xcot x 96

5. 3 tan



x cotx



tan2xcot2 x6 6.









4 2 2

3 tanxcotx  8 tan xcot x 21

Bài 2 : Cho phương trình



 



2 2 2

tan xcot x2 m2 tanxcotx  m m . Xác định m để phương 
trình có nghiệm.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1.

3 3 3

sin cos sin cos

x x x x

2. cos2 xcos 22 xcos 32 xcos 42 x2

3.





3 3 5 5

sin xcos x2 ins xcos x

4.





8 8 10 10 5

sin cos 2 sin cos cos2

x x x x  x

5.

sin cot 5
1
cot

x x

x  6. 6 tanx5cot 3xtan 2x

Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích bằng 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/

2 sin2x+ 2cos2x+ 6cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/

sin 3 sin 5

3 5

x x



9/ 2cos2x-8cosx+7=

cosx 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+

4cos2x

11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/

2sin3x-1

sinx=2cos3x+

cosx

15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos3x+sinx=0

17/

tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-1

cosx)=0 18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x

Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2. sin2x + sin22x = sin23x + sin24x

3. sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 4.

2 2 2 3

cos cos 2 cos 3

x x x

5. sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x 6.

sin sin

3 x 3 x 2

 

   

  

   

    7.

sin cos

4 x 12 x 2

 

   

  

   

    8. cosx. cos4x - cos5x=0

9. sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10. 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x

Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin2(

4 2

x




)-2cos2

9
2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x 6/sin24x-cos26x=sin(10,5 10x)

7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3cos3x

9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải các phương trình lượng giác sau :

1. tan 2x 2tanxsin 2x0 2.

2 2

cosx 2 cos x cosx 2 cos x 3 3.

3sin cos 3

x x

  

  4.

cos x2 2 cos x2

Dạng 9 : Phương pháp đối lập
Giải các phương trình lượng giác sau :

1. sin3xcos4x1 2. sin2010 xcos2010 x1

3. 3cos2x 1 sin 72 x 4. sin3 .cos4x x1

5. sin3xcos3x 2 sin 22 x 6. cos2 .cos5x x1

Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương
Giải các phương trình lượng giác sau :

1.





cos2x cos6x4 3sinx 4sin x1 0

2. 3 sin 2x 2sin2x 4cosx 6 0

3. 2sin 2xcos2x2 2 sinx 4 0 4. cos2x 3sin 2x4sin2x 2sinx 4 2 3cosx

C. BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 cos2 x 3 sin 2x 1 sin2x

Bài 2 cos3x 4sin3x 3cos .sinx 2 xsinx0
Bài 3 Giải phương trình: sin 2x2 tanx3

3
sin .sin 2x xsin 3x6cos x

Bài 4

cos 2 1

cot 1 sin sin 2

1 tan 2

x

x x x

x

   



Bài 5 sin 3xcos3x2cosx0

Bài 6 sinx 4sin3xcosx0

Bài 7tan .sinx 2x 2sin2x3(cos 2xsin cos )x x
Bài 8 cos3x 4cos 2x3cosx 4 0

Bài 9 (2cosx1)(2sinxcos ) sin 2x  x sinx
Bài 10 cosxcos 2xcos3xcos 4x0

Bài 11 sin2xsin 32 xcos 22 xcos 42 x
Bài 12 sin3xcos3xcos3xsin 3xsin 43 x
Bài 13 4sin3x3cos3x 3sinx sin2xcosx0
Bài 14 Giải phương trình:

2
(2sinx1)(3cos 4x2sinx 4) 4cos x3

Bài 15 sin6xcos6 x2(sin8xcos )8 x

Bài 16

1
cos .cos 2 .cos 4 .cos8

x x x x

Bài 17 
3

8cos cos3

x  x

 

 

 

 

Bài 18 Giải phương trình:
2
(2sinx1)(2sin 2x1) 3 4cos  x

Bài 19 Giải phương trình:

cos 2x cos8xcos 6x1

Bài 20 Giải phương trình:

sin 4x 4sinx4cosx cos 4x1

Bài 21 Giải phương trình:

3sinx2cosx 2 3tanx

Bài 22 Giải phương trình:
3

2cos xcos 2xsinx0

Bài 23 Giải phương trình:

2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 5 0x  
Bài 24 Giải phương trình:

4cosx 2cos 2x cos 4x1

Bài 25 Giải phương trình:

sin sin 2 sin 3

cos cos 2 cos3

x x x

 



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 26 Giải phương trình:

sin .sin 4 2 cos 3 cos .sin 4

x x   x x x

 

Bài 27 Giải phương trình:
2 2

1 sin sin cos sin 2 os

2 2 4 2

x x x

x x c  

     

 

Bài 28 Giải phương trình:

2cos 2x sin 2x2(sinxcos )x

Bài 29 Giải phương trình:

cos cos 2 cos3

x x x

Bài 30 Giải phương trình: 
3

sin 2 sin

x  x

 

 

 

 

Bài 31 Giải phương trình:

1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

Bài 32 Giải phương trình:

2 3 2 3

tanxtan xtan x cotx cot x cot x   6

Bài 33 Giải phương trình: 1 sin 3 xsinxcos 2x
Bài 34 Giải phương trình:

4 4 7

sin cos cot .cot

8 3 6

x x x    x

   

Bài 35 Giải phương trình:

2 3

cos 2x2(sinxcos )x  3sin 2x 3 0
Bài 36 Giải phương trình:

4(sin 3x cos 2 ) 5(sinx  x1)

Bài 37 Giải phương trình: sinx 4sin3xcosx0
Bài 38 Giải phương trình:

cos10x 1 cos8x6cos3 .cosx xcosx8cos .cos 3x x

Bài 39 Giải phương trình:

4 4 1

sin cos

4 4
x x

 

Bài 40 Giải phương trình:

3 3 2

cos .cos3 sin .sin 3

x x x x

Bài 41 Giải phương trình:

3 3 3 3
(sinxsin 2xsin 3 )x sin xsin 2xsin 3x

Bài 42 Giải phương trình:

3 1

8sin

cos sin

x

x x

 

D. GIỚI THIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH CÁC NĂM

A02:T×m no thc (0;2 ) cđa PT:

5 3

 

 

 



  



cosx sin3x

sinx cos2x

1 2sin2x

B02: GPT: sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.2  2  2  2
D02: T×m no thc [0;14] cđa PT:

cos3 4cos 2 3cosx x x 4 0.
A03: Giải phơng trình:

cos 2x 2 1

cot x 1 sin x sin 2x.
1 tan x 2

   



B03: Gi¶i phơng trình:

cot x tan x 4 sin 2x .

sin 2x

  

D03: Gi¶i phơng trình

x
x

2 2 2

sin tan x cos 0.

2
2 4



 

  

 



B04: Giải phơng trình





2
5 sin x 2 3 1 sin x tan x.

D04: Giải phơng trình



2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x.







 
A-05: GPT: cos23x.cos2x-cos2x = 0

A-06: GPT:



6 6



2 sin cos sin cos
0
2 2sin

x x x x

x

 




B-06: GPT:

cot sin 1 tan tan 4

2
x

x x  x 

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2 2

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2
2

B07: GPT: 2sin 2 sin 7 1 sin
2

D07: GPT: sin cos 3 cos 2

2 2

x x x x x

x x x

x x

x

    

  

 

  

 

 

A08: GPT

1 1 7

4sin .
3

sin 4

sin

x
x

x




  



 

 

   

 

 

B08: GPT

3 3 2 2

sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin xcos .x

D08: GPT

2sin (1 cos 2 ) sin 2

x



x



x

 

1 2 cos .

x

A09: GPT

(1 2sin ) cos

3
(1 2sin )(1 s inx)

x x

x





  .

B09: GPT

3
sinx cos sin 2 x x 3 os3c x2( os4c xsin ).x

D09: GPT

3 os5

c

x



2sin 3 cos 2

x



sinx 0.



A10: GPT

(1 sinx os2 )sin

1
4

cos .

1 t anx 2

c x x

x



 

    

 




B10: GPT

(sin 2x c os2 )cosx x2cos 2x sinx 0.

D10: GPT

</div>

TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

<i><b>Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b></i>



































































































 





























 





















 



