tóm tắt lí thuyết và bài tập đạo hàm, giải tích 11

www.VNMATH.com

Mục lục
1 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

2

2 Tổ hợp -xác suất

3

3 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

4

4 Giới hạn

5

5 Đạo hàm
5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm . . . . . . . . .
5.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa . . .
5.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm
5.1.4 ý nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . .
5.1.5 ý nghĩa vật lí của đạo hàm . . . . . . . . . .
5.2 Quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . .
5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Các giới hạn cần nhớ . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . .
5.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

6
6
6
6
6
7
7
12
12
12
12
15
15
15
17
17
18
18
19


www.VNMATH.com

Chương 1
Hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác

2


www.VNMATH.com

Chương 2
Tổ hợp -xác suất

3


www.VNMATH.com

Chương 3
Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

4


www.VNMATH.com

Chương 4
Giới hạn

5

www.VNMATH.com

Chương 5
Đạo hàm
5.1

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

A. Tóm tắt lí thuyết

5.1.1

Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), x0 ∈ (a, b) , x0 + ∆x ∈ (a; b) . Nếu tồn
tại, giới hạn (hữu hạn)
f(x0 + ∆x) − f(x0 )
∆x
∆x→0
lim

được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 , kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 ).
f(x0 + ∆x) − f(x0 )
f(x) − f(x0 )
.
= lim
x→x0
∆x→0
∆x

x − x0

Vậy f (x0 ) = lim

5.1.2

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Với ∆x là một số gia của đối số tại x0 , tính ∆y = f (x0 + ∆x) − f(x0 );
∆y
;
∆x
∆y
Bước 3: Tính lim
.
∆x→0 ∆x

Bước 2: Lập tỉ số

5.1.3

Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm

a) Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì hàm số f(x) liên tục tại x0 ;
b) Hàm số f(x) liên tục tại x0 thì chưa hẳn f(x) có đạo hàm tại x0 .

6


www.VNMATH.com

5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

5.1.4

7

ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu tồn tại, f (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
M0 (x0 ; f(x0 )) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M0 là
y = f (x0 )(x − x0 ) + f(x0 ).

5.1.5

ý nghĩa vật lí của đạo hàm

v(t) = s (t) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

B. Bài tập minh họa
Dạng tốn 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0
Phương pháp
Bước 1: Cho x0 một số gia là ∆x; tính ∆y = f (x0 + ∆x) − f(x0 );
∆y
;
∆x
f(x) − f(x0 )
∆y
.
hoặc tính lim

Bước 3: Tính lim
x→x0
x − x0
∆x→0 ∆x

Bước 2: Lập tỉ số

Bài 5.1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x0 :
a) y = f(x) = x2 − 3x + 3 tại x0 = 1;
x+1
b) y = f(x) =
tại x0 = 0;
c) y = f(x) =

x
√− 1
7 − 2x tại x0 = 3.

Giải
a) Cách 1
Cho x0 = 1 một số gia là ∆x; ∆y = f (1 + ∆x) − f(1) = (∆x)2 − ∆x;

∆y
= ∆x − 1;
∆x
∆y
Tính lim ∆x = −1.

Tỉ số

∆x→0

Cách 2

f(x) − f(1)
= −1
x→1
x−1
f(x) − f(0)
b) lim
= −2;
x→0
x
f(x) − f(3)
c) lim
= −1.
x→3
x−3
lim

Dạng tốn 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại một điểm M0 ∈ (C)
Phương pháp
Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

8

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M0 là
y = f (x0 )(x − x0 ) + f(x0 ).

Bài 5.2. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x0 = 3.
Giải
y = f (x) =

3x2

− 3.

y (3) = f(3) = 19, f (3) = 24.

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 24x − 53.

x2 + x
Bài 5.3. Cho hàm số y =
, (C).
x−2

a) Hãy tính bằng định nghĩa đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1;-2).

Giải
a) Với ∆x là một số gia của đối số tại x = 1, ta có
2

5∆x + ∆2 x
(1 + ∆x) + (1 + ∆x) 1 + 1
−
=
;
∆y =
1 + ∆x − 2
1−2
∆x − 1
5 + ∆x
∆y
=
;
∆x ∆x − 1
∆y
lim
= −5.
∆x→0 ∆x

Vậy y (1) = −5.
b) Phương tình tiếp tuyến y = −5x + 3.
Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k
Phương pháp
Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm. Khi đó f (x0 ) = k ⇒ x0 , tính y (x0 ) = f(x0 ).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = k (x − x0 ) + y (x0 ) .
Bài 5.4. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
Giải
Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm. Khi đó f (x0 ) = 9 ⇔ 3x2 − 3 = 9 ⇔ x0 = ±2.
0

Với x0 = 2 ⇒ y (2) = 3. Phương trình tiếp tuyến là y = 9x − 15.
Với x0 = −2 ⇒ y (−2) = −1. Phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 17.
Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

9

Bài 5.5. Cho hàm số y = x2 − 2x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C):
a) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x − 2y + 5 = 0;
b) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x + 4y + 5 = 0
Giải
a) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó f (x0 ) = 2 ⇔ 2x0 − 2 = 2 ⇔ x0 = 2.
x0 = 2 ⇒ y (2) = 3. Phương trình tiếp tuyến là y = 2x − 1.
b) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó f (x0 ) = 4 ⇔ 2x0 − 2 = 4 ⇔ x0 = 3.
x0 = 3 ⇒ y (3) = 6. Phương trình tiếp tuyến là y = 4x − 6.
Loại 3: Quan hệ giữa hàm số liên tục và đạo hàm
Phương pháp
+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K là điều kiện đủ để hàm số liên tục trên
khoảng K hay nói cách khác là hàm số liên tục điều kiện cần để hàm số có đạo hàm.
Chú ý: Hàm số f(x) liên tục tại x0 thì chưa hẳn f(x) có đạo hàm tại x0 .
Bài 5.6. Chứng minh rằng hàm số f(x) =

(x − 1)2 , x ≥ 0
2

(x + 1) , x < 0

khơng có đạo hàm tại x = 0 nhưng hàm số liên tục tại đó.
Giải
a) Ta có f(0) = 1.
f(x) − f(0)
= lim− (x + 2) = 2;
x−0
x→0
x→0
f(x) − f(0)
lim
= lim+ (x − 2) = −2.
x−0
x→0+
x→0
Điều đó chứng tỏ hàm số y = f(x) khơng có đạo hàm tại x = 0.
lim−

b) lim− f(x) = lim+ f(x) = 1 và f(0) = 1. Vậy hàm số liên tục tại x = 0.
x→0

x→0

Bài 5.7. Chứng minh rằng hàm số f(x) =

cosx, x ≥ 0
sin x, x < 0

không có đạo hàm tại x = 0.

Giải
lim g(x) = lim+ cosx = 1;

x→0+

x→0

x→0

x→0

lim− g(x) = lim− sin x = 0;

f(0) = cos0 = 1

nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0.Vậy hàm số khơng có đạo hàm.
C. Bài tập tự luyện
Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 5.8. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số:
a) y = f(x) = 2x2 − 3x + 1 tại x0 = 1;
4x − 3
tại x0 = −1;
b) y = f(x) =

2
√− 3x
5 − 2x tại x0 = 2;
1 − cosx

,x = 0
x
d) f(x) =
, x0 = 0;
 0, x = 0

 x2 sin 1 , x = 0
x
, x0 = 0;
e) f(x) =
 0, x = 0
π
f) f(x) = sin 2x tại x0 = .
4

c) y = f(x) =


Hướng dẫn
a) 1;
1
b) − ;
25
c) -1;
1

d) ;
2
e) 0;
f) 0.
Bài 5.9. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = f(x) = x2 − 4x + 1;
1
b) f(x) =
.
2x − 3

Hướng dẫn
a) f (x) = 2x − 4;
−2
b) f (x) =

2.

(2x + 3)

Bài 5.10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:
x2 + 4x + 5
tại điểm có hồnh độ x = 0;
x+2
b) y = x3 − 3x2 + 2 tại điểm A(−1; −2);
√
1
c) y = 2x + 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là .
3

a) y =

Hướng dẫn
3

5

3

3

a) y = x + ;
4
2
b) y = 9x + 7;;
1
5
c) y = x + .
Thạc sỹ Trần Văn Khánh

10


www.VNMATH.com

5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

11

Bài 5.11. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:

2x + 1
a) y =
tại điểm có hồnh độ x = 2;
x−1
b) y = x3 + x + 3 tại điểm A(−1; 1);
√
c) y = 3x − 2 tại điểm có hồnh độ x = 2.

Hướng dẫn
a) y = −3x + 11;
b) y = 4x + 5;
1
3
c) y = x + .
4

2

Bài 5.12. Cho parabol (P ) có phương trình
y = x2 .

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P ):
a) Tại điểm A(-2;4);
b) Tại giao điểm của (P ) với đường thảng y = 3x − 2.
Hướng dẫn
a) -4;
b) 2 và 1.
Bài 5.13. Cho hàm số y = x3 có đồ thị (C).
a) Tại những điểm nào của (C) thì tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 1;
b) Liệu có tiếp tuyến nào của (C) mà tiếp tuyến đó có hệ số góc âm?

Hướng dẫn
a)

√
3 3
;
3 9

√

√
√
3
3
, −
;−
;
3
9

b) Khơng có.
x+1
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
x−1
đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −2x + 1;
x+2
b) Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2
biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + 2;

1
c) Cho hàm số y = − x3 + 3x2 − 5x + 1 có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn
3
nhất của đồ thị (C).

Bài 5.14. a) Cho hàm số y =

Thạc sỹ Trần Văn Khánh


5.2 Quy tắc tính đạo hàm

www.VNMATH.com

12

Hướng dẫn
a) Có hai phương trình tiếp tuyến y = −2x − 1, y = −2x + 7;
b) Có hai phương trình tiếp tuyến y = −x − 1, y = −x + 7;
c) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, y (x0 ) ≤ 4. Từ đó suy ra hệ số góc lớn nhất k = 4
ứng với x0 = 3, y(3) = 4. Vậy phương trình tiếp tuyến y = 4x − 8.
Bài 5.15. Chứng minh rằng hàm số y = |x − 2| khơng có đạo hàm tại x = 2 nhưng
liên tục tại điểm đó.

5.2

Quy tắc tính đạo hàm

A. Tóm tắt lí thuyết

5.2.1

Các cơng thức

a) (c) = 0;
b) (xn ) = n.xn−1, n ≥ 1, n ∈ N, x ∈ R;
√
1
c) ( x) = √ , x > 0.
2 x

5.2.2

Phép toán

a) (u ± v ± w) = u ± v ± w ;
b) (u.v) = u v + uv ;
c) (ku) = k.u ;
d)
e)

u
v
1
v

5.2.3

u v − uv
;

v2
v
= − 2.
v

=

Đạo hàm của hàm số hợp

(yx ) = (yu ) (ux ) .

B. Bài tập minh họa
Dạng tốn 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x)
Phương pháp
Vận dụng các công thức và các phép tốn để tính đạo hàm.

Thạc sỹ Trần Văn Khánh


5.2 Quy tắc tính đạo hàm

www.VNMATH.com

13

Bài 5.16. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = f(x) = x4 − 3x3 + 5x2 − 4x + 1;
1
1
b) y = f(x) = 2 − 3 ;

x
x
c) y = f(x) = x3 + 2 (x + 1);
x−4
;
3x + 5
x2 + x + 1
e) y = f(x) =
.
2x − 3

d) y = f(x) =

Giải
= f (x) = 4x3 − 9x2 + 10x − 4;
2
3
= f (x) = 4 − 3 ;
x
x
= f (x) = 4x3 + 3x2 + 2;
17
= f (x) =
;
(3x + 5)2
2x2 − 6x − 5
e) y = f (x) =
.
(2x − 3)2

a) y
b) y
c) y
d) y

Bài 5.17. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = 4x3 − 2x2 − 5x x2 − 7x ;

√
2
+ 3x ( x − 1);
x
−x2 + 2x + 3
;
c) y =
x3 − 2
√
d) y = (x − 2) x2 + 1.

b) y =

Giải
a)
y = 4x3 − 2x2 − 5x

x2 − 7x + 4x3 − 2x2 − 5x

=20x4 − 120x3 + 27x2 + 70x;

b) y = −

c)

x2 − 7x

√
2
1
3
+ 3 ( x − 1) + √ + √ ;
2
x
x x 2 x

y =

−x2 + 2x + 3

x3 − 2 − −x2 + 2x + 3
2

(x3 − 2)
x4 − 4x3 − 9x2 + 4x − 4
=
;
2
(x3 − 2)

Thạc sỹ Trần Văn Khánh

x3 − 2

5.2 Quy tắc tính đạo hàm

d) y =

www.VNMATH.com

2x2 − 2x + 1
√
.
x2 + 1

C. Bài tập tự luyện
Bài 5.18. Tính đạo hàm các hàm số sau:
6
a) y = x2 − 1 ;
b) y = x(x + 2)4 ;
c) y =

(x − 1)2

(x + 1)3

.

Hướng dẫn
5

a) y = 12x x2 − 1 ;

b) y = (5x + 2) (x + 2)3 ;
c) y =

(5 − x) (x − 1)
4

(x + 1)

.

Bài 5.19. Tính đạo hàm các hàm số sau:
√
a) y = x2 + 6x − 7;
√
√
b) y = x + 2 + 4 − x;
√
c) y = x 6 − x.
Hướng dẫn
a) y = √

x+3

;

x2 + 6x − 7
1
1
1
√

−√
b) y =
;
2
x+2
4−x
3 (4 − x)
c) √
.
2 6−x

Bài 5.20. Tính đạo hàm các hàm số sau:
√
2
a) y = x2 + 4 + x2 − 1 ;
√
b) y = (x + 1) x2 + x + 1;
√
c) y =

x2 + x + 3
.
2x + 1

Hướng dẫn
a) y = 4x x2 − 1 + √
4x2 + 5x + 3

b) y = √

x

x2 + 4

;

;

2 x2 + x + 1
−11
√
c) y =
.
2(2x + 1)2 x2 + x + 3
Thạc sỹ Trần Văn Khánh

14


www.VNMATH.com

5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác

15

Bài 5.21. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (9 − 2x) 2x3 − 9x2 + 1 ;
2
3
b) y = x2 + 1 x3 + 1 x4 + 1 ;

c) y = a +

b
c
+ 2
x x

4

.

Hướng dẫn
a) y = −16x3 + 108x2 − 162x − 2;
4
3
b) y = 2x x3 + 1 x4 + 1 + 6x2 x4 + 1
2
2
+12x3 x4 + 1 x2 + 1 x3 + 1 ;
c
b
+ 2
x x

c) y = −4 a +

3

3

x2 + 1

x3 + 1

2c
b
+ 3 .
x2 x

Bài 5.22. a) Cho f(x) = x5 + x3 − 2x − 3. Chứng minh rằng f (1) + f (−1) = −4f(0);
√
√
b) Cho f(x) = 2x3 + x − 2, g(x) = 3x2 + x + 2. Giải bất phương trình f (x) > g (x);
2
x

c) Cho f(x) = , g(x) =

x2 x3
− . Giải bất phương trình f (x) ≤ g (x).
2
3

Hướng dẫn
b) (−∞; 0) ∪ (1; +∞);
c) [−1; 0).

5.3

Đạo hàm của hàm số lượng giác

A. Tóm tắt lí thuyết

5.3.1

Các giới hạn cần nhớ

sin x
= 1;
x→0 x
sin αx
b) lim
= 1, α = 0.
x→0 αx

a) lim

5.3.2

Các công thức

a) (sin x) = cosx;
b) (cosx) = − sin x;
1
c) (tan x) =
;
2

cos x
1

d) (cot x) = − 2 .
sin x

Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác

16

B. Bài tập minh họa
Dạng tốn 1. Tính đạo hàm các hàm số lượng giác
Phương pháp
Dùng giới hạn của hàm số lượng giác và các cơng thức tính đạo hàm của các hàm số
lượng giác.
Bài 5.23. Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
√
x
a) y = sin 3x + cos + tan x;
5

a

b) y = sin x2 − 5x + 1 + tan ;
x
√
c) y = x cot 2x;
d) y = 3sin2 xcosx + cos2 x.

Giải

a) y
b) y
c) y
d) y

1
x
1
√ ;
= 3cos3x − sin + √
5
5 2 xcos2 x
a
= (2x − 5) cos x2 − 5x + 1 −
a;
x2 cos2
x
√
1
2 x
= √ cot 2x −
;
2 x
sin2 2x
= sin x 6cos2 x − 3sin2 x − 2cosx .

Bài 5.24. Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = sin4 x + cos4 x;

b) y = sin(2 sin x);
c) y = sin2 (cos3x);
x
d) y =
.
1 − cosx

Giải
a) y = 4sin3 xcosx + 4cos3 x(− sin x) = − sin 4x
b) y = 2cosxcos(2 sin x);
c) y = −3 sin 3x sin(2cos3x);
d) y =

1 − cosx − x sin x
(1 − cosx)2

.

C. Bài tập tự luyện
Bài 5.25. Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 3sin2 x + sin3 x;
b) y = cosx − cos3 x;
Thạc sỹ Trần Văn Khánh


5.4 Vi phân

www.VNMATH.com

17

c) y = xcosx − sin x;
1 + sin x
;
1 − sin x
sin x − cosx
e) y =
sin x + cosx

d) y =

Hướng dẫn
a) y
b) y
c) y
d) y

= 3 sin xcosx (2 − sin x) ;
= sin x 3cos2 x − 1 ;

= −x sin x;
2cosx
=
2;
(1 − sin x)
2
e) y =
.
(sin x + cosx)2

5.4

Vi phân

A. Tóm tắt lí thuyết

5.4.1

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử
∆x là một số gia của x sao cho x + ∆x ∈ (a; b).
Tích f (x)∆x hay y ∆x được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x, ứng với số gia ∆x,
kí hiệu là df(x) hay dy .
Chú ý
Vì dx = ∆x nên dy = df(x) = f (x)dx.
B. Bài tập minh họa
Dạng tốn 1. Tìm vi phân của hàm số
Phương pháp
+ Tính đạo hàm của hàm số y = f(x);
+ dy = df(x) = f (x)dx.
Bài 5.26. Tìm vi phân của các hàm số:
a) y = sinx − x.cosx;
1
b) y = 3 ;
x
x3 + 1
c) y = 3
.
x −1

Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

18

Giải
a) Ta có y = x sin x, do đó dy = x. sin xdx;
3
3
b) Ta có y = − 4 , do đó dy = − 4 dx;
x

c) Ta có y = −

x

6x2

(x3 − 1)

2 , do đó y = −

6x2

(x3 − 1)

2 dx.

Dạng tốn 2. Tính gần đúng
Phương pháp
ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng

f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) ∆x.

Bài 5.27. Tính số gần đúng sau (lấy 5 chữ số thập phân trong kết quả):
√
a) 0, 99998;
b) sin(−0, 00002)
Giải

√

√

a) Xét hàm số y = x, với x0 = 1, ∆x = −0, 00002. Vậy 0, 99998 ≈ 0, 99999;
b) Xét hàm số y = sin x, với x0 = 0, ∆x = −0, 00002. Vậy sin(−0, 00002) ≈ 0, 00002.
C. Bài tập tự luyện
Bài 5.28. Tìm vi phân của các hàm số:
a) y = 2xsinx + 2 − x2 .cosx;
b) y = sin cos2 x .cos sin2 x ;
c) y =

sin x − xcosx
.
x sin x + cosx

Hướng dẫn
a) dy = x2 . sin xdx;
b) dy = − sin 2xcos (cos2x) dx;
c) dy =

5.5

x2

(cosx + x sin x)

2 dx.

Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

A. Tóm tắt lí thuyết

5.5.1

Định nghĩa

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm f (x). Nếu f (x) cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm
của nó là đạo hàm cấp hai của f(x) và kí hiệu f (x):
Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

19

f (x) = f (x).

Tương tự
f (x) = f (x);
f (n−1) (x)

= f (n) (x), n ∈ N∗

ở đây kí hiệu f (0) (x) = f(x); f (n) (x) là đạo hàm cấp n của hàm số f(x).

5.5.2

ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f (x) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.
B. Bài tập minh họa
Dạng toán 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
Phương pháp
y = f (x) = (f (x))

Bài 5.29. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
√
a) y = x x2 + 1;
b) y = tan x;
c) y = x. sin 2x;
d) y = sin x. sin 2x. sin 3x.
Giải

a) y
b) y
c) y
d) y

x 3 + 2x2
1 + 2x2
√
=√
⇒y =
;
1 + x2
(1 + x2 ) 1 + x2
2 sin x
π
1
=
⇒y =
, x = + kπ, k ∈ Z;
2x
3x
cos
cos
2
= 4 (cos2x − x sin 2x);
1
1
1
= sin 2x + sin 4x − sin 6x ⇒ y = − sin 2x − 4 sin 4x + 9 sin 6x.

4
4
4

C. Bài tập tự luyện

Bài 5.30. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x
;
a) y = 2

x −1
x+1
b) y =
.
x−2

Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

20

Hướng dẫn
a)y =

1

2

1
1
+
x+1 x−1
1

y =

3

⇒y =

1
2

1

+

−

1
2

(x + 1)

−

1
(x − 1)2

;

(x + 1)
(x − 1)3
3
3
b) y = 1 +
⇒y =−
2;
x+2
(x − 2)
6
y =
(x − 2)3

Bài 5.31. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1
a) y =
;

1−x
1
;
b) y =
1+x

Hướng dẫn

a) y =
y (n) =

b)y (n)

1

(1 − x)
n!

2

;y =

n+1 .

2
(1 − x)3

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp;

(1 − x)
(−1)n n!
=
. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
(1 − x)n+1

Bài 5.32. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
π
a)(sin x)(n) = sin x + n ;

b)(cosx)(n) = cos x + n

2
π
.
2

Thạc sỹ Trần Văn Khánh


www.VNMATH.com

5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

Bài tập cuối chương

Bài 5.33. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = tan x tại x0 ∈ Df
Hướng dẫn
lim

x→x0

tan x − tan x0
1
1
sin x − sin x0
= lim
=
.
x→x0

x − x0
x − x0
cosx.cosx0
cos2 x0

Bài 5.34. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f(x) = sin x;
b) f(x) = cosx.
Hướng dẫn
a) f (x) = cosx; b) f (x) = − sin x.
Bài 5.35.
Hướng dẫn
Bài 5.36.
Hướng dẫn
Bài 5.37.
Hướng dẫn
Bài 5.38.
Hướng dẫn
Bài 5.39.
Hướng dẫn
Bài 5.40.
Hướng dẫn

Thạc sỹ Trần Văn Khánh

21


www.VNMATH.com

5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

Bài 5.41.
Hướng dẫn

Bài 5.42.
Hướng dẫn

Bài 5.43.
Hướng dẫn

Bài 5.44.
Hướng dẫn

Bài 5.45.
Hướng dẫn

Bài 5.46.
Hướng dẫn

Thạc sỹ Trần Văn Khánh

22