10 đề thi thử môn toán 2019 có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (699.56 KB, 29 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lovebook.vn
(Đề thi có 05 trang)

ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2019

CHUẨN CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC – ĐỀ 9
Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh:...

Số báo danh:...

Câu 1. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác có chiều cao bằng 5 và diện tích đáy bằng 6.

A. V 30. B. V 10. C. V 15. D. V 5.

Câu 2. Cho hàm số

1
.
2
x
y

x



 Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình:

A. x1. B. x2. C. y1. D. y2.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A



2;3;1



và B



2;1;3 .



Điểm nào dưới đây là trung điểm
của đoạn thẳng AB?

A. M



2; 1; 1 . 



B. N



2;1; 1 .



C. P



0; 2; 2 .



D. Q



0; 2; 2 . 



Câu 4. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?

A.

1
.
1
x
y

x



 B.

2 1
.
3
x
y

x




 C.

2
.
2 1

x
y

x



 D.

3
.
2
x
y

x




Câu 5. Hàm số ylog 35



x1



có tập xác định là:

A.

; .

3
D  

  B.

; .

3
D  

  C.

; .

3
D 

  D. D



0;



.
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 x cosx là

A. 1 sin x C . B. x2sinx C . C.

sin .

2x  x C D.

sin .
2x  x C
Câu 7. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4.

A. S 12 . B. S 48 . C. S 36 . D. S 24 .
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình log0,2xlog 50,2 là

A. S 



5;



. B. S   



;5 .



C. S 



0;5 .



D. S 



1;5 .



Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm M



1;2;5 .



Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của M trên mặt
phẳng tọa độ (Oyz).

A. A



1;0;0 .



B. B



0; 2;5 .



C. C



1;0;5 .



D. D



1; 2;0 .



Câu 10. Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

ex. Biết F

 

0 2, tính F

 

1 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 11. Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M



3; 2;1 .



Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua

trục Oy.

A. N



3;0;1 .



B. N



3; 2;1 .



C. N



3;2; 1 .



D. N



0; 2;0 .



Câu 12. Cho các số nguyên dương n và k



n k



. Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Ank n C! nk. B.





! !

k
n

n
C

k n k




C. Cnk Cnn k.


 D. Ank k C! nk.
Câu 13. Phần ảo của số phức z 3 2i bằng

A. 3. B. 2 .i C. 2 D. 2.

Câu 14.

1
lim

2 3
n

n


 bằng:
A.

1
.

2 B. 0. C. . D.

1
.
3
Câu 15. Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên như sau:

x   2 0 

y’ + 0  0 +

y 0 

  4

Hàm số yf x

 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



1;0 .



B.



1;



C.



  ; 2 .



D.



2;1 .



Câu 16. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2

2 3 5

y x  x  x

là đường thẳng:

A. Có hệ số góc dương. B. Có hệ số góc âm.

C. Song song với trục hồnh. D. Song song với đường thẳng y5.
Câu 17. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

2 16

f x x

x
 

trên đoạn



4; 1 .



Tính T M m .

A. T 32. B. T 16. C. T 37. D. T 25.

Câu 18. Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 5z2 8z 5 0. Tính Sz1  z2 z z1 2.

A. S 3. B.

13
.
5
S 

C. 
18

.
5
S 

D.

3
.

5
S 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

C. x2y2z2 1. D. x2y2z22x2y 4z11 0.
Câu 20. Cho các số thực a, b. Giá trị của biểu thức 3 3

1 1

log log
3a 3b

A 

bằng giá trị của biểu thức nào
trong các biểu thức sau?

A. a b . B. ab. C. a b . D. ab.

Câu 21. Cho hai số phức z



a 2b

 

 a b i



và w 1 2 .i Biết z wi . Tính S a b  .

A. S 3. B. S 4. C. S 7. D. S 7.

Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng





: 1 .

2
x t

d y t t

z t





  


  




Đường thẳng d đi qua điểm nào
sau đây?

A. M



1; 1;1 .



B. N



1; 2;0 .



C. P



1;1; 2 .



D. Q



0;1; 2 .



Câu 23. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2



x1



log 32



 x



A. S   



;1 .



B. S 



1;



. C. S 



1;3 .



D. S  



1;1 .



Câu 24. Biết

 

2 2 .

f x dxx  x C



Tính



f



 x dx



A. x22x C . B. x22x C . C. x2 2x C . D. x2 2x C .
Câu 25. Mặt cầu bán kính r có diện tích bằng 36 . Tìm thể tích V của khối cầu bán kính r.

A. V 72 2 . B. V 288 . C. V 36 . D. V 18 .

Câu 26. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 
A. yx3 3x2 4.

B. y x 3 3x4.
C. y x 3 3x2 4.
D. yx33x2 4.

Câu 27. Cho logab2 với a, b là các số thực dương và a1. Tính giá trị biểu thức:

2
6

loga loga .

P b  b

A. P5. B. P25. C. P7. D. P5.

Câu 28. Thể tích V của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABC), SA5, ABC là
tam giác đều cạnh bằng 6 là:

A. V 90 3. B. V 30 3. C. V 45 3. D. V 15 3.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

A.

tan .

2
 

B. tan 1. C. tan 2. D. tan  3.

Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD.

A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy
và SA a 2. Tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng



ABCD



là:

A. 1. B.

1
.

5 C.

1
.

2 D. 2.

Câu 32. Cho a và b lần lượt là số hạng thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có cơng sai d 0. Tìm

giá trị của biểu thức 2

log b a .
d


 

 

 

A. 8. B. 3. C. log 10. 2 D. log 7. 2

Câu 33. Cho 1

3 ln 3

3
e

x a b

dx
x

 





với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a 2b12. B. ab24. C. a b 10. D. a b 10.

Câu 34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, SA tạo với đáy một góc 30 . Tính theo
a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD.

A. 
3 14
.
5
a
d 
B. 
2 10
.
5
a
d 
C. 
2 15
.
5
a
d 
D. 
4 5

.
5
a
d 

Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A



1;1; 3



và có vectơ chỉ phương



1; 2;1 .



u 

Trong các phương trình sau, phương trình nào khơng phải phương trình của d?

A. 
1
1 2 .

3
x t
y t
z t
 


 

  
 B.

3 2 .
2

x t
y t
z t



 

  
 C. 
2
1 2 .
4
x t
y t
z t
 


 

  
 D. 
3
3 2 .
3
x t
y t
z t
 



 

  


Câu 36. Hàm số





2 1

y x x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 37. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z i  z z2i là

A. Một đường thẳng B. Một đường tròn C. Một parabol D. Một điểm

Câu 38. Biết

 

f x dx






và f x

 

liên tục trên .Tính





2
0

2 3 1

I 



x f x  dx
.

A. I 5. B. I 7. C. I 8. D. I 10.

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 1
2
x
m
x



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A.

5
1; .

2
m  

  B.

1
2; .

2
m  

  C. m



0;3 .



D.

1
; 2 .
2
m  

 

Câu 40. Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, AD lần lượt lấy 3, 4, 5, 6 điểm phân biệt khác
các điểm A, B, C, D. Hỏi có thể tạo thành bao nhiêu tam giác phân biệt từ các điểm vừa lấy?

A. 342. B. 781. C. 624. D. 816.

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A



3; 3;1



và B



4;4;1 .



Xét điểm M thay đổi thuộc
mặt phẳng

 

P z: 2. Giá trị nhỏ nhất của 3MA24MB2 bằng

A. 245. B. 189. C. 231. D. 267.

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 3i 3 2 và





2
z i

là số thuần ảo?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 43. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên , f

 

1 2;





3
f  

Đặt

 

6 .

g x f x  f x

Biết đồ thị của hàm số yf x

 

được cho như trong hình bên đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. min g x

 

8. B.

 

maxg x 8.



C.

 

min .

9
g x 

 D.

 

max .

9
g x 


Câu 44. Biết phương trình 2



2 3



log 1980 22





x x

x+1=2log 

  

có 2 nghiệm x x1, .2 Tính x1x2.

A. log 10. 2 B. log 11.2 C. log 12.2 D. log 13.2

Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A



3;0;1 ,



B



1; 1;3



và mặt phẳng

 

P x:  2y2z 5 0.

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt
phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.

A.

3 1

: .

26 11 2

x y z

d    

 B.

3 1

: .

16 5 3

x y z

d    

 C.

3 1

: .

20 6 4

x y z

d    

  D.

3 1

: .

10 3 2

x y z

d    

 

Câu 46. Mặt phẳng chứa trục của một hình trụ cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 12 cm. Tìm
giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ tương ứng.

A.





8 cm .

B.





32 cm .

C.





16 cm .

D.





64 cm .

Câu 47. Cho bất phương trình 3x 1 x m 1 x2 2 .x Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để bất phương trình có nghiệm thực.

A.

25
.
4
m

B. m4. C. m6. D. m7.

Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
 60

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

của C qua B và N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (MND) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa
diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1, khối đa diện cịn lại có thể tích V2 (tham khảo hình

vẽ bên đây). Tính tỉ số

1
2

.
V
V

A.

1
2

12
.
7
V

V  B.

1
2

5
.
3
V

V  C.

1
2

1
.
5
V

V  D.

1
2

7
.
5
V
V 

Câu 49. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên , thỏa mãn

 





f f  

Biết đồ thị hàm số yf x

 

được cho như hình bên
đây. Hàm số

 

yf x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 
3
1; .

 



 

  B.



2; 1 .



C.



1;1 .



D.



1; 2 .



Câu 50. Cho hàm số

 

3 2

f x x  x ax b

đồng biến trên , thỏa mãn f f f



 



3 và

 













f f f f 

Tìm f

 

7 .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

ĐÁP ÁN

1. A 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. D 8. C 9. B 10. C

11. C 12. A 13. C 14. A 15. A 16. C 17. A 18. A 19. D 20. A

21. C 22. D 23. D 24. A 25. C 26. D 27. C 28. D 29. C 30. D

31. C 32. B 33. C 34. B 35. D 36. D 37. C 38. B 39. D 40. B

41. C 42. C 43. A 44. B 45. A 46. A 47. C 48. D 49. D 50. A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn đáp án A

. 6.5 30.
V B h 

CHÚ Ý

Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là V B h. .

Câu 2. Chọn đáp án B
Ta có 2 2

lim lim .

x x

x
y

x

 

 



 



Do đó x2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

FOR REVIEW
+ Nếu x alim  f x

 



(hoặc xlima f x

 

 ; x alim  f x

 

; x alim  f x

 

 

) thì đường thẳng x a là
một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số yf x

 

+ Nếu xlim  f x

 

b (hoặc xlim   f x

 

b) thì đường thẳng y b là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số yf x

 

MEMORIZE

Hàm số



0, 0



ax b

y ac ad bc

cx d


   

 có:

+ Tiệm cận đứng .
d
x

c



+ Tiệm cận ngang .
a
y

c


Bài tập tương tự

Câu 1. Đồ thị hàm số

2018 2017
3
x
y

x



 có đường tiệm cận đứng là:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 2. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 
1
1
x
y
x



 là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 3. Đồ thị hàm số

3 2
4
x
y
x



 có đường tiệm cận ngang là:

A. x4. B.

2
.
3
x

C. y3. D.

1
.
2
y

Câu 4. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

3
2

1
y
x
 

 là:

A. y1. B. y2. C. y3. D. y2.

Đáp án: 1B; 2C; 3C; 4B.
Câu 3. Chọn đáp án C

Trung điểm của đoạn thẳng AB là P



0; 2; 2 .



CHÚ Ý
Cho hai điểm phân biệt A x y z



1; ;1 1



và B x



2; y ;2 z2



Trung điểm của AB là điểm

1 2 ; 1 2; 1 2

2 2 2

x x y y z z
I    

 .

(Tọa độ của I là trung bình cộng tọa độ của A và B)
Câu 4. Chọn đáp án B

+ Xét hàm số

1
1
x
y
x



 có





2
2
0 1.
1
y x
x
    


Do đó hàm số

1
1
x
y
x




 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

+ Xét hàm số

2 1
3
x
y
x



 có





2
7
0 3.
3
y x
x

    


Do đó hàm số

2 1
3

x
y
x



 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Ta chọn đáp án B. (Độc giả tự kiểm tra hai hàm số còn lại).

Bài tập tương tự

Câu 1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 
2 3
.
1
x
y
x


 B. 
3 2
.
3 1
x
y
x



 C. 
3
.
1
x
y
x


 D. 
2 1
.
3 1
x
y
x




Đáp án A.
Câu 5. Chọn đáp án A

Hàm số ylog 35



x1



xác định khi

3 1 0 .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vậy

1
;
3
D  

  .

FOR REVIEW

Hàm số yloga



u x

 



xác định khi và chỉ khi u x

 

0. Tập xác định của hàm số chính là tập nghiệm
của bất phương trình u x

 

0.

Bài tập tương tự

Câu 1. Hàm số ylog 2 53



 x



có tập xác định là:

A.

; .

2
D 

  B.

; .

2
D 

  C.

2
; .

5
D   

  D.

2
; .

5
D   

 

Đáp án C.
Câu 6. Chọn đáp án D

Ta có:





cos cos sin .

x x dx xdx xdx x  x C



FOR REVIEW
*



 f x

 

g x dx

 

 



f x dx

 





g x dx

 

.
1

x dx x C

 

 





 1 .





sinxdx cosx C .
*



cosxdxsinx C .
Câu 7. Chọn đáp án D

2 2 .3.4 24 .
S rh   

CHÚ Ý
Cho hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h:

+ Diện tích xung quanh: Sxq  2 rh;

+ Diện tích tồn phần: Stp 2Sday Sxq  2 r r h







;
+ Thể tích khối trụ tương ứng: V r h2 .

Câu 8. Chọn đáp án C

0,2 0,2

log xlog 5 0x5

(do 0a0, 2 1 ).

FOR REVIEW

Nếu 0a1 thì hàm số ylogax là hàm số nghịch biến. Do đó ta có loga xlogab 0x b (với

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 9. Chọn đáp án B

Hình chiếu vng góc của M



1; 2;5



trên mặt phẳng tọa độ



Oyz



có tọa độ là



0;2;5 .



CHÚ Ý
Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M x y z



0; 0; 0



+ Hình chiếu vng góc của M trên (Oxy) là M x y1



0; 0;0



+ Hình chiếu vng góc của M trên (Oyz) là M2



0;y z0; 0



+ Hình chiếu vng góc của M trên (Ozx) là M x3



0;0;z0



(Chiếu trên mặt phẳng tọa độ nào thì giữ nguyên hai thành phần tương ứng, thành phần còn lại bằng 0)
Câu 10. Chọn đáp án C

Cách 1: Ta có .

x x

e dx e C



Do đó

 

x
F x e C

với C0 là hằng số nào đó.

 

0 2 1 0 2 0 1.

F   C   C 

Vậy

 

. 1
x
F x e 

. Do đó F

 

1  e 1.

Cách 2: Ta có

1 1

0
0

x x

e dx e  e



Mà

 

1 0 .

x

e dx F  F



Do đó F

 

1  F

 

0   e 1 F

 

1   e 1 F

 

0  e 1.
STUDY TIP

Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn



a b; .



Ta có:

 

b

a

F b F a 



f x dx

, với F x

 

là 1 nguyên hàm
của f x

 

trên đoạn



a b; .



Câu 11. Chọn đáp án C

Gọi I là hình chiếu của M trên Oy  I



0; 2;0 .



N đối xứng với M qua Oy  MN nhận I làm trung điểm  N



3; 2; 1 .



CHÚ Ý

Trong không gian Oxyz, cho điểm M x y z



0; 0; 0



+ Điểm đối xứng với M qua trục Ox là M x1



0; y0; z0



;

+ Điểm đối xứng với M qua trục Oy là M2



x y0; 0; z0



;

+ Điểm đối xứng với M qua trục Oz là M3



x0; y z0; 0



;

(lấy đối xứng qua trục nào thì giữ nguyên thành phần tương ứng và đổi dấu hai thành phần còn lại).
Câu 12. Chọn đáp án A

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có:









! !

!. !

! ! !

k k

n n

A k k C

n k k n k

  

 

Vậy A là khẳng định sai.

MEMORIZE
!

k k

n n

A k C

Câu 13. Chọn đáp án C
Câu 14. Chọn đáp án A

Cách 1:

1
1

1 1

lim lim .

2 3 2 2

n n

n

n



 

 

Cách 2: Sử dụng MTCT

+ Nhập vào màn hình biểu thức
1

2 3

X
X




+ Nhấn phím CACL. Máy hỏi X? Nhập 10 . 10
Nhấn phím =. Máy hiển thị kết quả

1
.
2
+ Vậy

1 1

lim .

2 3 2

n
n





FOR REVIEW
Đọc lại chủ đề Giới hạn dãy số, sách Cơng phá Tốn 2.

STUDY TIP

Xét giới hạn

1 1 0

...
lim

...

i i

j j

a n a n a n a
L

b n b n b n b






   



    (tử và mẫu là các đa thức của n, a bi, j 0).
+ Nếu i j L: 0;

+ Nếu i j:

L nếu a bi j 0 (a bi, j cùng dấu);
L  nếu a bi j 0 (a bi, j trái dấu);

+ Nếu

: i

j
a
i j L

b

 

Bài tập tương tự
Câu 1.

2 1

lim

1
n n

n
 

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A. 0. B.  C. 1. D. 
1

.
4

Câu 2. 2

2 5
lim

3 1

n
n n



  bằng:

A. . B.  . C. 0. D. 2.

Đáp án: 1B; 2C.
Câu 15. Chọn đáp án A

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số yf x

 

nghịch biến trên khoảng



2;0 .



Suy ra hàm số yf x

 

nghịch biến trên khoảng



1;0 .



Chọn đáp án A.

Câu 16. Chọn đáp án C
Tập xác định: D

2 4 3 0 1.

3
x

y x x

x


      




Xét dấu y’:

x   1 3 

y’ + 0  0 +

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 3 yCT 5

 Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là y5.
Vậy tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số song song với trục hồnh.

MEMORIZE

Tiếp tuyến (nếu có) tại các điểm cực trị của đồ thị hàm số bất kì là các đường thẳng song song hoặc trùng
với trục hoành.

Bài tập tương tự

Câu 1. Tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 33x2 4 là đường thẳng:

A. Có hệ số góc dương. B. Có hệ số góc âm.

C. Song song với trục hồnh. D. Song song với đường thẳng y4.

Đáp án D
Câu 17. Chọn đáp án A

 





2 0 2 4; 1 .

f x x x

x


        





20;





12;





17.

f f f

      

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Cách 1: Phương trình 5z2 8z 5 0 có hai nghiệm 1,2

4 3
.
5

i
z  

Do đó z1 z2 1.

Mặt khác theo định lí Vi-ét thì z z1 21. Vậy Sz1  z2 z z1 23.

Cách 2: Sử dụng MTCT

+ Sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai, tìm được hai nghiệm của phương trình 5z2 8z 5 0,
lưu lần lượt vào hai biến A, B.

+ Chọn chế độ “số phức” (Menu 2).

+ Tính giá trị của biểu thức A  B A B. được kết quả bằng 3.
(Đọc thêm trong cuốn “Công phá kĩ thuật Casio” của Lovebook)

FOR REVIEW

+ Cho số phức z a bi a b 



,  



. Khi đó mô-đun của z, kí hiệu bởi z , được tính như sau:

2 2.

z  a b

+ Hai số phức liên hợp thì có cùng mơ-đun.
Câu 19. Chọn đáp án D

Xét phương trình trong đáp án D có:





2 2 2 12 12 2 11 5 0

A B C  D      

 Phương trình trong đáp án D khơng phải là phương trình mặt cầu.

FOR REVIEW

Phương trình x2y2z22Ax2By2Cz D 0 là phương trình mặt cầu  A2B2C2 D0.
Khi đó mặt cầu có tâm I



A; B C;



và bán kính R A2B2C2 D .

Bài tập tương tự

Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu?

A. x2y2 z24x 2y6z 5 0. B. x2y2z24x 2y6z15 0.
C. x2y2z24x 2y z 1 0. D. x2y2z22x 2xy 6z 5 0.

Đáp án C
STUDY TIP

Nếu D0 thì phương trình x2y2z22Ax2By2Cz D 0 là phương trình mặt cầu.
Câu 20. Chọn đáp án A

Ta có: log 33 log 33 .

a b

A   a b

   

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>









2 2 4

2 2 .

1 3

a b a

z wi a b a b i i

a b b

 

  



          

   

 


Vậy S a b  7.

Bài tập tương tự

Câu 1. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a



b i i



 1 2i với i là đơn vị ảo.
A. a0,b2. B.

, 1.
2

a b

C. a0,b1. D. a1,b2.
Câu 2. Tìm các số thực x và y thỏa mãn x 1 yi y



2x 5



i với i là đơn vị ảo.

A. x3, y2. B. x2, y1. C. x2, y1. D. x2, y9.

Đáp án: 1D, 2B.
Câu 22. Chọn đáp án D

Cách 1: Thay tọa độ điểm M vào phương trình của d

1 1

1 1 2 .

1 2 1

t t

t t M d

t t

 

 

 

      

 

    

 

Thay tọa độ điểm N vào phương trình của d.

1 1

2 1 1 .

0 2 2

t t

t t N d

t t

 

 

 

     

 

    

 

Thay tọa độ điểm P vào phương trình của d.

1 1

1 1 0 .

2 2 0

t t

t t P d

t t

 

 

 

     

 

    

 

Vậy Q d . Thật vậy, thay tọa độ điểm Q vào phương trình d

0 0

1 1 0 0 .

2 2 0

t t

t t t Q d

t t

 

 

 

       

 

    

 

Cách 2: Quan sát thấy ba điểm M, N, P đều có hồnh độ bằng 1.

Với

1 1 .

3
y

x t

z


    




Suy ra M, N, P đều khơng thuộc d. Do đó đáp án đúng là D.
Câu 23. Chọn đáp án D









2 2

log x1 log 3 x  0   x 1 3 x  1 x1.

Vậy S  



1;1 .



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 

loga f x loga g x  0 f x

 

g x

 

(với a1).

Bài tập tương tự

Câu 1. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 12 35



 x



log .5x

A. S



0;6 .



B. S



3;



. C. S  



;3 .



D. S 



0;3 .



Câu 2. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình log 23



x5



log3



x1 .



Hỏi trong tập S có bao nhiêu

phần tử là số nguyên dương bé hơn 10?

A. 8. B. 9. C. 10. D. 15.

Đáp án: 1D; 2A.
Câu 24. Chọn đáp án A

Cách 1: Ta có

 





2 2 2 2.

f x  x  x C  x





2 2







2 2



2 2 .

f x x f x dx x dx x x C

    



 



   

Cách 2:



f



x dx









x d

 

x







f t dt

 



tx





t2 2t C



x2 2x C.

      

DISCOVERY
Biết



f x dx F x

 



 

C.

Khi đó:



f



x dx



F



x



C
Câu 25. Chọn đáp án C

Ta có S 4 r2 36  r3.
Do đó

3 3

4 4

.3 36 .

3 3

V  r    

CHÚ Ý
+ Mặt cầu bán kính r có diện tích S 4 r2.

+ Khối cầu bán kính r có thể tích

4
.
3
V  r

Câu 26. Chọn đáp án D

Đồ thị hàm số có dạng “dấu đồng dạng”

 

∽ . Do đó loại đáp án B, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2 )  Loại đáp án A.

Vậy đáp án đúng là D.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

+ Nếu a0: Đồ thị hàm số có dạng “dấu ngã” (∾)

+ Nếu a0 : Đồ thị hàm số có dạng “ dấu đồng dạng”

 

∽
STUDY TIP

Khi muốn kiểm tra các điểm có thuộc đồ thị một hàm số hay không, ta nên thử trước với các điểm có
“hồnh độ đẹp”. Chẳng hạn trong câu này, ta chọn điểm (1; 2 ) để kiểm tra trước vì việc thay x1 vào
hàm số là việc dễ nhất.

Câu 27. Chọn đáp án C
Ta có: 2

6 1 1 7 7

log log .6.log log log .2 7

2 2 2 2

a a a a

a b  b  b b b 

FOR REVIEW
+

m

n m

n

x  x



x0; ,m n*,n2



+ loga x loga x

 







x0, 0,0a1



.
Bài tập tương tự

Câu 1. Cho logab3,logac2 với a, b ,c là các số dương và a1. Tính giá trị biểu thức



3 2



loga .

P a b c

A. 8. B. 5. C. 4. D. 8.

Đáp án D
Câu 28. Chọn đáp án D

Diện tích đáy:

6 3

9 3.
4

B 

Thể tích của khối chóp:
1

.5.9 3 15 3.
3

V  

STUDY TIP
Diện tích tam giác đều cạnh a:

3
.
4
a
B

Câu 29. Chọn đáp án C

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Từ (1) và (2) ta có:



SHK



CD. Do đó góc giữa hai mặt phẳng



SCD



và



ABCD



là SKH.
Ta có tan tan .

SH
SKH

HK

  

Theo bài ra:

2 2

2 1. . 2 2 2 2 .

SAB

a a

S a SH AB a SH a

AB a

      



Vậy

2
tan a 2.

a
  

CHÚ Ý

+ Cho

 

 và

 

 là hai mặt phẳng vng góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến . Nếu đường thẳng
d nằm trong

 

 và vng góc với  thì d vng góc với

 

 .

+ Nếu đường thẳng  vng góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

 

 thì  vng góc
với

 

 .

STUDY TIP

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

 

 và

 

 ta thường làm như sau:
+ Xác định giao tuyến  của

 

 và

 

 .

+ Xác định mặt phẳng

 

 vng góc với .

+ Xác định giao tuyến d d1, 2 của

 

 lần lượt với

 

 và

 

 .

+ Góc giữa

 

 và

 

 là góc giữa d1 và d2.

Bài tập tương tự

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng

vng góc với mặt đáy, diện tích tam giác SAB bằng

3
.
2

a

Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và (ABCD)?

A. 
3

2 B. 3 C. 1. D. 2.

Đáp án A
DISCOVERY

Trong bài tập tương tự, nếu giữ nguyên các giả thiết và chỉ thay đổi diện tích tam giác SAB thì tan của góc

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

LƯU Ý

Trong bài tập trên, ta thấy có ba đại lượng: chiều dài cạnh a của hình vng ABCD¸chiều cao h hạ từ S
của tam giác cân SAB và góc  giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Giữa ba đại lượng này có quan hệ
với nhau: tan .

h
a
 

Do đó cho biết trước hai trong ba đại lượng ta có thể tìm được đại lượng cịn lại. Từ
đó ta có thể tạo ra được các bài tập tương tự như bài tập đã cho.

Câu 30. Chọn đáp án D

Gọi I là trung điểm của SA. Khi đó I cũng là trung điểm của ED. Do đó MI
là đường trung bình của EAD MI // AD và

 

1 .
2

MI  AD

Mặt khác ta có NC //AD và

 

2
2

NC AD

(do N là trung điểm của BC).
Từ (1) và (2) suy ra MI // NC và MI NC .

Suy ra MNCI là hình bình hành  MN // IC.

Mặt khác, gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO



ABCD



(do S.ABCD là hình chóp đều)

SO BD

 

Lại có BDAC (do ABCD là hình vng).
Do đó BD



SAC



 BDIC BDMN.
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng 90 .
Câu 31. Chọn đáp án C

Vì SA



ABCD



nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA.

Ta có: tan

SA
SCA

AC


mà AC2a 2 nên

2 1

tan .

2
2 2

a
SCA

a

 

FOR REVIEW

Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( ) là góc giữa  và hình chiếu của nó trên ( ).
Câu 32. Chọn đáp án B

Theo bài ra: 8 8 8 log2 3.

b a b a

b a d b a d

d d

 

        

CHÚ Ý
Cho cấp số cộng có cơng sai d 0. Khi đó:





1 1 ;

n

u u n d

   

+ un1un12 ;un





2 1





2 2

n n

S u u u n d

       

STUDY TIP

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Khi đó b a 



n m d



.
Bài tập tương tự

Câu 1. Cho a và b lần lượt là số hạng thứ tư và thứ mười của một cấp số cộng có cơng sai d 0. Khi

đó giá trị của biểu thức 2
log b a

d

 
 

  thuộc khoảng nào trong các khoảng sau:

A.



2; 2, 2 .



B.



2, 2; 2,5 .



C.



2,5; 2,9 .



D.



2,9; 3, 4 .



Đáp án C
Câu 33. Chọn đáp án C













1 3

2 2

1 1

3 ln 2 16 6 3

3 ln 3 ln 3 ln .

3 3

e e e

x

dx x d x x

x

 

     



Vậy a16,b 6 a b 10.

FOR REVIEW
+





1
lnx

x

  d



3 lnx



1dx
x

  

1
1

x dx x C




 





với  1.

Câu 34. Chọn đáp án B

Gọi O là trung điểm của AC và BD. Ta có SO



ABCD



(do S.ABCD là hình
chóp tứ giác đều). Suy ra góc giữa SA và



ABCD



là góc SAO SAO 30. 
Vì CD // AB nên CD // SAB





Do đó dd CD AB





d CD SAB





d C SAB





2d O SAB





Gọi I là trung điểm của AB. Ta có





.
AB OI

AB SOI
AB SO




 





Dựng OH vng góc với SI tại H thì ABOH.

Ta có









OH SI

OH SAB d O SAB OH

OH AB



   





Ta có

2 2 1 2

.tan 30 . .

2 3 3

a a

SO OA   

Ta có 2 2 2 2 2 2

1 1 1 3 1 5 10 2 10

2 2 5 5

a a

OH d

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài tốn: Tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB).

- Tìm điểm nào đó mà dễ tính khoảng cách đến (SAB) nhất. Điểm này
thường là chân đường cao của hình chóp, hình lăng trụ  Điểm O.

- Đường thẳng đi qua C và O cắt (SAB) tại A.

Ta có:

















2.
,

d C SAB CA
OA
d O SAB  

(do O là trung điểm của AC)













d C SAB d O SAB

 

- Tìm một mặt phẳng chứa O và cắt (SAB) theo một giao tuyến  Mặt phẳng (ABCD) cắt (SAB) theo
giao tuyến AB.

- Tìm một đường thẳng đi qua O và vng góc với (ABCD), cắt (SAB) tại một điểm  Đường thẳng SO
vuông góc với (ABCD), cắt (SAB) tại S.

- Qua O kẻ đường thẳng vng góc với giao tuyến AB của (SAB) và (ABCD)  Đường thẳng OI với I là
trung điểm của AB.

- Nối I với S. Ta có AB



SIO



- Kẻ OH SI tại H





OH SI

OH SAB
OH AB




   
















2 .

OH d O SAB d C SAB OH

   

- Sử dụng các kiến thức của hình học phẳng (định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vng…) để
tìm OH.

FOR REVIEW
- Nếu //

 

 và  

 

 thì d



  , 



d



,

 





- Nếu //

 

 thì d



,

 





d



M,

 





với M là điểm bất kì thuộc .

- Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại I, A và B là hai điểm bất kì
thuộc d. Khi đó tỉ số khoảng cách từ A và B đến (P) bằng tỉ số độ dài hai đoạn
thẳng IA và IB.

- Bằng các kết quả trên ta có thể chuyển bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài
tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng một cách thuận lợi nhất.

Câu 35. Chọn đáp án D

Ta thấy điểm M(3;-3;-6) không thuộc d.

Thật vậy, với giả thiết đề bài cho thì đường thẳng d có phương trình tham số là
1
1 2

x t

y t

z t

 



 



  

 (phương trình
trong đáp án A).

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vậy điểm M



3; 3; 6 



d.

Do đó phương trình ở đáp án D khơng phải là phương trình của d.
Câu 36. Chọn đáp án D

Ta có:

















    






   




x x nª u x

y

x x nª u x

2 1 2

Suy ra





x x nª u x

y

x x nª u x

3 4 1 2

    


 



  



 và y’ không xác định tại x2.
Ta có bảng xét dấu của y’:

x   1

 1 2 

y’ ‒ 0 + 0 ‒ +

Ta thấy y’ đổi dấu 3 lần  Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Lưu ý: Có thể giải thích đạo hàm của hàm số đã cho khơng xác định tại x2 theo 2 cách như sau:

Cách 1: Ta có y



x





x



2 2

2 1

  

Do đó













x

y x x x

x

2
2

' 1 2 .2 .



   



Vậy y’ khơng xác định tại x2.

Cách 2: Ta có y' 2

 

5; ' 2y

 

5 y' 2

 

y' 2

 

y' 2

 

   

    

không xác định.
(Đọc bài đọc thêm “Đạo hàm một bên”, SGK Đại số và Giải tích 11, NXB GDVN).

Lưu ý: Ta có thể giải nhanh bài tốn trên dựa vào nhận xét sau: “Số điểm cực trị của hàm số y f x

 

bằng tổng số điểm cực trị của hàm số yf x

 

và số nghiệm (không trùng với các điểm cực trị) của
phương trình f x

 

0.

Ta có: y x



x



y



x





x



2 2

2 1 2 1

      

(do x2  1 0x).
Xét hàm số f x

  

x





x



2 1

  

có f

 

x x x
2

3 4 1

   

.
Vậy f x

 

có 2 điểm cực trị x

1
3



và x1.

Mặt khác phương trình f x

 

0 có nghiệm duy nhất x2 (khơng trùng với các điểm cực trị nêu trên).

Do đó hàm số y



x





x



2 1

  

có 3 điểm cực trị.

STUDY TIP

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Câu 37. Chọn đáp án C
Đặt z a bi a b



,  











z i  a b 1 i z i 2 a2 b1 .2



 











z z2i a bi  a bi 2i2 b1 i z z2i2 4 b1 .2

Vậy z z z i a



b





b



b a

2 2

2 1 2

2 1 2 4 1 4 1 .

 

          

 

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1 parabol.
Câu 38. Chọn đáp án B

Đặt t3x2 1 dt6xdx.

 

I f t dt t f t dt

11 11 11

1 1 1

1 1 1 1

2 2 4 .18 7.

6   6  6 6





    



  

Bài tập tương tự

Câu 1. Biết

 

f x dx





và f x

 

liên tục trên . Tính

x

I f dx

12
4
.
4
 
  
 



A. I2. B. I3. C. I12. D. I32.

Câu 2. Cho f x

 

là hàm liên tục trên  và

 

f x dx

1
0

7.




Tính





2
0

cos . sin x.

I x f x d







A. I2. B. I3. C. I7. D. I7.

Câu 3. Cho f x

 

là hàm liên tục trên  và





f x dx

2 8.



Tính

 

I xf x dx

2
2





A. I4. B. I8. C. I16. D. I32.

Câu 4. Cho f x

 

là hàm liên tục trên  và





e
e
f x
dx
x
4
ln
4.




Tính

 

I f x dx





A. I2. B. I4. C. I8. D. I16.

Đáp án: 1D, 2C, 3B, 4B.
Câu 39. Chọn đáp án D

Cách 1: Tập xác định: D.

Ta có





 

x

m x m x m m x m

x

2 1

2 1 2 2 2 1 *



        



+ Nếu 2 m 0 m2: (*) vô nghiệm.

+ Nếu 2 m 0 m2 : (8)

m
x
m
2 1
.
2

 


 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

m

m
m

2 1 1

0 2.

2 2



     

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Cách 2: Ta có:
+ Với x0 thì

x
y

x

2 1

;
2






+ Hàm số

x
y

x

2 1




 là một hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy (đường thẳng x0)

+ Xét hàm số

x
y

x

2 1




 có





y x

x 2

' 0 2

   

 nên là hàm đồng biến trên từng khoảng xác định.

Bảng biến thiên của hàm số

x
y

x

2 1

:
2







x   2 0 

y’ + +

y

 2

2  

1
2



Suy ra bảng biến thiên của hàm số

x
y

x

2 1

:
2






x   0 

y
2

1
2



Vậy phương trình

x

m
x

2 1





 có 2 nghiệm phân biệt m

2.
2

   
MEMORIZE

- Hàm số yf x

 

là một hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy.
- Các bước vẽ đồ thị hàm số yf x

 

Bước 1: Vẽ đồ thị (C) của hàm số yf x

 

Bước 2: Giữ nguyên phần nằm bên phải Oy của (C), xóa phần nằm bên trái Oy của (C).

Bước 3: Lấy đối xứng phần đồ thị có được ở bước 2 qua Oy, ta được đồ thị hàm số yf x

 

.
Câu 40. Chọn đáp án B

Có C183 cách lấy ra 3 điểm từ 18 điểm.

Để tạo thành tam giác thì 3 điểm lấy ra phải là 3 điểm khơng thẳng hàng.
Do đó ta trừ đi số các bộ 3 điểm thẳng hàng (lấy trên các cạnh AB, BC,
CD, DA).

Vậy số tam giác được tạo thành là





3 3 3 3 3

18 3  4  5  6 781.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài tập tương tự

Câu 1. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt khác các điểm
A, B, C. Hỏi có thể tạo thành bao nhiêu tam giác phân biệt từ 15 điểm có trên hình?

A. 455. B. 390. C. 495. D. 435.

Đáp án B
Câu 41. Chọn đáp án C

Ta tìm điểm I thỏa mãn 3IA 4 IB0.
Cách 1:





























1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

3 3 4 4 0 7 7 1

3 4 0 3 3 4 4 0 7 7 1 1;1;1 .

7 7 1

3 1 4 1 0

x x x x

IA IB y y y y I

z z
z z
   
    
  
               
    
     

  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
Cách 2:



 











3 4 0 3 4 0 3 4 1;1;1 .

IA IB  OA OI  OB OI   OI  OA OB  I 

          
          
          
          
          
          
          
          
          
          
          
          

          
          

Ta có













2 2

2 2 2 2 2

3MA 4MB 3 MI IA   4 MI IB  7MI 2 3IA4IB 3IA 4IB

2 2 2

7MI 3IA 4IB

  

Vậy 3MA2 4MB2 nhỏ nhất  MI2 nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)



1;1; 2 .



M

  

Khi đó MA2 41,MB2 27 3MA24MB2 231.
Chú ý: Nếu I là điểm thỏa mãn aIA bIB 0



a b 0



  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
thì:

















1
1
1
1
1 1
1
A B
A B
A B

x ax bx

a b

OI aOA bOB y ay by

a b a b

z az bz

a b

 
 


     
  

 
 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
STUDY TIP

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P). Các bước tìm điểm M trên (P) sao cho

2 2

aMA bMB nhỏ nhất (với a b 0):
+ Tìm điểm I thỏa mãn aIA bIB  0;
+ Tìm M là hình chiếu của I trên (P).

DISCOVERY

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA2MB2MC2 nhỏ nhất”

A. M



1; 2;0 .



B. M



0;0; 1 .



C. M



1;3; 1 .



D. M



1;3;0 .



Nếu thay giả thiết với a b 0 thì ta có bài tốn: “Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A, B và mặt
phẳng (P). Tìm điểm M trên (P) sao cho aMA2bMB2 lớn nhất (với a b 0).”

Bài tập tương tự

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;4) và B(-3;3;-l) và mặt phẳng

 

P : 2x y 2z 8 0

. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của 2MA23MB2 bằng

A. 135. B. 105. C. 108. D. 145.

Đáp án A
CHÚ Ý

Trong không gian Oxyz cho điểm M a b c



; ;



+ Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng x x 0 là M x b c1



0; ;



;

+ Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng yy0 là M a y c2



; 0;



;

+ Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng z z 0 là M a b z3



; ; 0



;

Câu 42. Chọn đáp án C
Đặt z a bi a b 



,  











 

2 2

1 3 3 2 1 3 18 1

z  i   a  b 

















2 2 2

2 2 2 2 2 .

z i  a b i a  b  a b i



z2i



là số thuần ảo





 

2 2 0 2

a b

   

Kết hợp (1) và (2) ta có









 





 

2 2

2
2

1 3 18 1

2 0 2

a b

    




  




 

2  a



b2 .



Với a b 2 thay vào (1) ta được









2 2 2

3 3 18 0 0.

b  b   b   b

Với a b 2, thay vào (1) ta được









2 2 2

1 3 18 2 4 0 1 5.

b b b b b

           

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn u cầu bài tốn.

Bài tập tương tự

Câu 1. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

2 4

z  z z 

và z 1 i  z 3 3 i ?

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Đáp án B
Câu 43. Chọn đáp án A

Từ đồ thị của hàm số yf x

 

ta có bảng biến thiên của hàm số yf x

 

x   1 1 

f’(x) + 0 + 0 ‒

f(x) 2

Suy ra f x

 

   2, x

Ta có g x

 

2f x f x

 

. 

 

 6f x

 

2f x

 

 f x

 

 3 .
Vì f x

 

   2, x nên f x

 

 3 0   x .

Từ đó ta có bảng biến thiên của y g x

 

x   1 1 

g’(x) + 0 + 0 ‒

g(x)


Vậy min g x

 

8.

Bài tập tương tự

Câu 1. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên , f

 

1 1;





1 .

3
f  

Đặt

 

g x f x  f x

Biết đồ thị của hàm số yf x

 

được cho như trong hình bên? Khẳng định
nào dưới đây đúng?

A. min g x

 

3. B.

 

maxg x 3.

 C.

 

min .

9
g x 

 D.

 

max .

9
g x 


Đáp án A
Câu 44. Chọn đáp án B

Đặt 2x t t, 0. Suy ra xlog .2t

Ta có:









 

2 2

2
2

2 3 2

1 log 2 3954 11 0 *

1
1980 2 1980

x

x
t

x t t t

t


 

       

 

Vì phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 nên phương trình (*) có hai nghiệm t t1, .2 Theo Vi-ét:





1 2 11 1 2 log2 1 log2 2 log2 1 2 log 11.2

t t   x x  t  t  t t 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P). Khi đó phương trình của mặt phẳng (Q)
là 1



x3



 2



y 0



2



z1



 0 x 2y2z 1 0.

Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng (Q), khi đó đường thẳng BH đi qua B



1; 1;3



và nhận

 Q



1; 2; 2



n  

làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
1

1 2
3 2

x t

y t

z t

 



 


  

 .

Vì H BH

 

Q  HBH  H



1 ; 1 2 ;3 2  t t  t



và H

 

Q nên ta có





2 1 2





2 3 2





1 0 10 1 11 7; ; .

9 9 9 9

t t t t H 

            

 





26 11 2 1

; ; 26;11; 2 .

9 9 9 9

AH   

   

 



Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d, khi đó ta có d B d



;



BK BH nên khoảng cách từ B đến
d nhỏ nhất khi BK BH, do đó đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u



26;11; 2





có
phương trình chính tắc:

3 1

26 11 2

x y z

d    

Câu 46. Chọn đáp án A

Gọi r (cm) là bán kính đáy, h (cm) là đường cao của hình trụ.

Thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 2r và h.

Ta có: 4r12h12 2r h  6 h 6 2r.

Thể tích của khối trụ:





2 2 6 2 6 2 8 .

r r r

V r hr  r       

 

Dấu bằng xảy ra khi r 6 2r r2.

Vậy giá trị lớn nhất của của thể tích khối trụ là 8 .

STUDY TIP
Có thể khảo sát hàm số

 





2 6 2

f r r  r

với r



0;3



để tìm giá trị lớn nhất của f r

 

. Từ đó suy ra

giá trị lớn nhất của V.

Câu 47. Chọn đáp án C
Điều kiện: 3  x 1.

Bình phương cả 2 vế bất phương trình ta được: 4 2 x2 2x 3 x2 2x 3 m 2.
Đặt t  x2 2x3,0 t 2, ta được bất phương trình:

 

2 6 *

mt  t
Đặt

 

2 2 6

f t t  t

có f t

 

2t2
Bảng biến thiên của f t

 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

f’(t) + 0 ‒
f(t)

6 6

  

Bất phương trình đã cho có nghiệm thực tương đương (*) có nghiệm t



0; 2



0;2

 

min 6

m f t m

   

FOR REVIEW

+ Có thể dùng MTCT (chức năng giải phương trình bậc hai) để tìm cực trị của hàm số bậc hai.
+ Bất phương trình có nghiệm thuộc tập D ( f x

 

liên tục trên D) khi và chỉ khi mminD f x

 

.
Bài tập tương tự

Câu 1. Cho bất phương trình 3 sin x 1 sin x cos2x 2sinx m . Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để bất phương trình có nghiệm thực.

A.

25
.
4
m

B. m4. C. m6. D. m7.

Đáp án C

DISCOVERY

Thay x bởi một hàm số của x, ta được một bài tập mới.
Câu 48. Chọn đáp án D

Gọi OACBD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45
 45 .

SOA

  

BAD

 cân tại A có BAD 60 nên là tam giác đều

3 3 3

.tan 45 .1 .

2 2 2

a a a

AO SA AO

      

Thể tích khối chóp S.ABCD :

2 3

1 2 3 3

.2 . . .

3 ABD 3 2 4 4

a a a

V  SA S  

Thể tích khối chóp N.MCD bằng thể tích khối chóp N.ABCD:

2 8

a
V  V 

Dễ thấy K là trọng tâm tam giác SMC. Suy ra

.
3
KB SB

Thể tích khối chóp K.MIB:

2 3

1 1 1 3 3

. . . . .

3 3 MBI 9 2 8 48

a a a

V  SA S  

Khi đó :

3 3 3

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

3 3 3

1 2

5a 7a
.

4 48 48

a

V  V V   

Vậy

1
2

7
.
5
V
V 

FOR REVIEW
Tam giác cân có một góc bằng 60 thì là tam giác đều.
Câu 49. Chọn đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số yf x

 

suy ra bảng biến thiên của hàm số yf x

 

x   2 1 2 

f’(x) + 0 ‒ 0 + 0 ‒

f(x)

0 0

 

f
Suy ra f x

 

   0 x

Xét hàm số

 

yf x

có y2f x f x

 

. 

 

Ta có bảng biến thiên của hàm số

 

yf x
:

x   2 1 2 

y’ ‒ 0 + 0 ‒ 0 +

y

Vậy hàm số

 

yf x

nghịch biến trên các khoảng



  ; 2



và



1;2



.
Câu 50. Chọn đáp án A

* Giả sử f

 

3 3. Vì f x

 

là hàm bậc ba đồng biến trên  nên f f



 



 f

 

3 .
Suy ra f f f



 



 f f



 



 f

 

3 3. Mâu thuẫn với giả thiết.

* Tương tự ta thấy f

 

3 3 cũng không thể xảy ra.
* Vậy f

 

3 3 1 .

 

* Tương tự ta có f

 

4 4 2 .

 

* Từ (1) và (2) ta có

3 84 48

4 132 60

a b a

a b b

  

 



 

  

 

Khi đó

 

3 12 2 48 60

f x x  x  x

có

 

3x 24x 48 0

f x       x
.
Do đó f

 

7 31.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30></div>