Những điều nên biết khi mua laptop mới

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (247.52 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đề tài: Vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán
I- Đặt vấn đề.

Trong chơng trình hình học lớp 9 việc chứng minh đợc vận dung nhiều đến khái niệm
góc liên quan đến đờng tròn, nên việc sử dụng tứ giác nội tiếp trong chứng minh đóng
vai trị quan trọng . Nhng đối với học sinh lớp 9 khi chứng minh một tứ giác nội tiếp một
đờng tròn còn hạn chế ở tính chất “ Tổng hai góc đối diện bằng hai góc vng “ do đó
đối với học sinh trung bình , khá thờng gặp khó khăn trong việc giải tốn hình học ở lớp
9 . Vì vậy qua đề tài này tơi muốn giúp các em nhìn lại các dấu hiệu nhận biết một tứ
giác nội tiếp và đặc biệt là vận dụng tứ giác nội tiếp một đờng trịn để chứng minh một
số dạng bài tốn khác nhau ở mức độ đơn giản để các em hiểu rõ hơn về việc chứng
minh tứ giác nội tiếp và vai trị của tứ giác nội tiếp trong giải tốn.

II- Nội dung đề tài.
1) Xây dựng kiến thức cơ bản

Bài toán: Cho tứ giác ABCD . Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại N, hai cạnh
AB và CD cắt nhau tại M. Các điều kiện sau đây là tơng đơng.

a) Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn.
b) ACB = ADB

c) ABC + ADC = 1800

d) DAB = MCB

e) MA.MB = MC.MD
f) NA.NC = NB.ND

g) AB.CD + AD.BC = AC.BD
(Định lý Ptô-lê-mê)

2) Tìm hiểu chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua bài tập.

Bi tập 1: Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Qua A kẻ tiếp tuyến AB
và cát tuyến AMN với đờng tròn (O). Lấy I là trung điểm MN . Chứng minh A, B, O, I
cùng thuộc một đờng trịn.

H

íng dÉn:

*) T/h 1. Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về 2 nửa mp bờ là đờng thẳng chứa
đoạn thẳng OA

Ta cã ABO + AIO = 900 + 900 = 1800

 ABOI nội tiếp 1 đờng tròn

*) T/h 2. Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm cùng nửa mp bờ là đờng thẳng chứa
đoạn thẳng OA

+ Lợi dụng định nghĩa đờng tròn.
Lấy C là trung điểm của OA
=> CA = CB = CO = CI

 ABIO nội tiếp 1 đờng trịn

+ Lỵi dơng cung chøa gãc .

Ta cã I vµ B cïng thuéc cung chøa gãc 900 dùng trªn OA

N
A

D

M

C
B

I

N M

O
B

A

// //
C
I

N

M
O

B

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 ABIO nội tiếp 1 đờng tròn

Bài tập 2: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB . Trên nửa đờng trịn đó lấy 2 điểm C
và D sao cho AC = CD = DB, các tiếp tuyến kẻ từ C và B của đờng tròn cắt nhau tại I .
Hai tia AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn
(bằng hai cách)

H íng dÉn:
C¸ch 1:

Ta cã KCI = KBI

 Tứ giác KIBC ni tip mt ng trũn

Cách 2. Gọi giao điểm DK vµ CI lµ M

 KMI = DMC (c- g - c)

Nªn KI // CD
=> KIB = KCB = 900

 Tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn

Nhận xét : Qua hai bài tập nêu trên phần nào đã cho học sinh thấy đợc việc chứng
minh 1 tứ giác nội tiếp 1 đờng tròn bằng nhiều cách. Do đó qua bài tập này đã rèn thêm
học sinh các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 1 đờng trịn. Với đề tài này tơi mục đích
khai thác khai thác tứ giác nội tiếp để chứng minh một số yếu tố thông qua các bài tập

để học sinh thấy đợc vai trò tứ giác nội tiếp trong giải tốn có phần qua trọng nh thế
nào.

3) Vai trß của tứ giác nội tiếp đ ờng tròn trong giải toán.

Dạng 1: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh c¸c gãc b»ng nhau.

Bài tập 1a: Cho đờng tròn tâm (O) và một điểm C ở ngồi đờng trịn. Từ C kẻ
hai tiếp tuyến CE,CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn. Đờng thẳng CO cắt đờng tròn (O)
tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF.

Chøng minh r»ng AIM = BIN
 H íng dÉn:

Ta cã CM. CN = CI. CO (= CE2)

L¹i cã CEM = CNE (cïng ch¾n cung ME)

 CMI CON (c- g - c)

 Tứ giác IONM nội tiếp 1 đờng trịn

Nªn IOM = INM = 1

2 s® MM/

 s® AM = 1

2 s® MM/

 AM = AM/

VËy AIM = BIN (= AIM/)

Bài tập 1b: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. Trên (O) lấy điểm C , gọi H là chân
đờng vuông góc kể từ C xuống AB . M và N lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam
giác ACH và BCH. Gọi giao điểm MN với AC và BC lần lợt là P và Q.

a) Chøng minh CPQ = MHC

M

K I

B
O

A

C D

/
M
N

M
I

B

A

C
O

E

F

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) Khi C chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì đờng trung trực PQ ln đi qua 1 điểm
cố định

H

íng dÉn:

Ta cã NCH MAH (g- g)
V× MHA = NCH = 450 vµ MAH = NCH

=> MHN AHC (c- g - c)
Nên tứ giác APMH nội tiếp 1 đờng tròn

 CPQ = MHC (đpcm)

Tam giác PCQ vuông cân tại C

ng trung trc PQ luụn i qua 1 im c nh

Dạng 2: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.

Bài tập 2a: Cho tam giác ABC (AB < AC) , đờng trung tuyến AD và đờng phân
giác AE. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC lần lợt tại M và N. Chứng
minh BM = CN.

H

íng dÉn:

Vẽ đờng trịn ngoại tiếp ABE cắt AC tại F
Vì BAE = CAE => EB = EF và EM = EN
Do tứ giác ABEF và tứ giác AMEN

 BEF = MEN do đó BEM = FEN

Nên BEM = FEN (c-g-c) => BM = FN (1)
Lại có tứ giác AEDN nội tiếp nên CDN = EBF (= EAN)
Do đó DN // BF

XÐt CBF cã DB = DC, DN // BF => CN = FN (2)
Tõ (1) vµ (2) => BM = CN (®pcm)

Bài tập 2b: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác AD.
Gọi H,K theo thứ tự là tâm các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD . Chứng
minh OH = OK.

H

ớng dẫn:

Ta có OH, OK và HK lần lợt là trung trực

của AB, AC và AD

Nên AIHM và AMNK là các tứ gi¸c néi tiÕp
Do BAD = CAB => OHK = OKH

 OH = OK

Bài tập 2c: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) , vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B và
C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE . Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với OB cắt
BC , BE theo thứ tự tại H và K. Chứng minh rằng DH = HK

H

íng dÉn:

Kẻ OM  DE, các điểm B, C, M cùng thuộc
đờng trịn đờng kính AO => BCM = BAM

L¹i cã BAM = HDM (soletrong) => HDM = BCM

Q
P

N
M

H O B

A

C

S
S

F

N
M

D
E
A

B C

K

H N

M
I

D
O
A

B

C

H

K

E
D

M

A O

B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Do đó tứ giác CDHM nội tiếp 1 đờng tròn

 DCH = HMD

L¹i cã DCH = AEB => HMD = AEB => MH // EB
Nªn DH = HK (đpcm)

Dạng 3: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bài tập 3a: Tứ giác ABCD có ABC = 700, ADC = 1100 . Gäi H, I, K theo thø tù lµ

chân các đờng vng góc kẻ từ D đến các đờng thẳng AB, AC và BC . Chứng minh rằng
3 điểm H, I, K thẳng hàng.

H

íng dÉn:

Ta cã c¸c tứ giác AHDI và DIKC nội tiếp

DIH + DIK = DAH + 1800 – DKC (1)

Do tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn
Nên DCK = DAH (2)
Từ (1) và (2) => DIH + DIK = 1800

Nªn ba điểm H, I, K thẳng hàng

Bi tp 3b: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H . Gọi AM, AN là
các tiếp tuyến của đờng trịn (O) đờng kính BC (M, N là các tiếp điểm). Chứng minh ba
điểm M, H, N thẳng hàng.

H íng dÉn:

Ta cã AN2 = AE. AC

Do tứ giác DHEC nội tiếp 1 đờng tròn
Nên AE . AC = AH. AD

=> AN2 = AH. AD => AHN AND (c- g - c)

=> AHN = AND

Chøng minh t¬ng tù ta cã AHM = AMD
Do tø gi¸c AMDN néi tiÕp (c/m dƠ dµng)

 AHN + AHM = AND + AMD = 1800

Ba điểm M, H, N thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 3c: Đờng tròn tâm O néi tiÕp tam gÝc ABC , tiÕp xóc víi c¸c cạnh AB, AC
lần lợt tại F và E . Gọi H là hình chiếu của B trên CO; K là hình chiếu của C trên BO .
Chứng minh rằng 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng.

H

ớng dẫn:

Ta có tứ giác HFOB và HKCB nội tiếp

 OHF = FBO = KBC vµ CHK = CBK

Do đó OHF = CHK => H, F, K thẳng hàng
Chứng minh tơng tự ta có H, E, K thẳng hàng
Vậy 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng. (đpcm)
Dạng 4: Vai trị tứ giác nội tiếp để tìm quỹ tích.

1100

700

I

K
H

A

B

C
D

M

H

E

C
O

D
B

N
A

F

E K

H

O
A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài tập 4a: Cho đờng tròn (O, R) AB và CD là hai dây của đờng tròn (O) sao
cho AB // CD. M là điểm chuyển động trên (O) MD cắt AB tai Q . Tìm quỹ tích tâm đ
-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ.

H

íng dÉn: PhÇn thuËn:

 Xét M chạy trên cung lớn CD của (O)
Tại C kể tiếp tuyến của (O). Gọi giao điểm
Của tiếp tuyến tại C với AB là E => E cố định
Ta có MCE = MQE = MDC

 MECQ néi tiÕp

Nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ
trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC
=> Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ
thuộc trung trực CE

 Xét M chạy trên cung nhỏ CD của (O)
Tại C kể tiếp tuyến của (O). Gọi giao điểm
Của tiếp tuyến tại C với AB là E => E cố định
Ta có xCM = EQD => EQM + ECM = 1800

 MCEQ néi tiÕp

Nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ
trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC
=> Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ
thuộc trung trực CE

Vậy M chuyển động trên (O) thì tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung
trực EC

Phần đảo:

Lấy I/ thuộc trung trực EC . Vẽ đờng tròn (I/; I/C) cắt AB ntại Q/ và cắt (O;R) tại M/

chøng minh Q/, M/ , D thẳng hàng (chứng minh dễ dàng)

Vy qu tớch tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ là trung trực của CE

Bài tập 4b: Cho hình vuông ABCD tâm O. Một đờng thẳng xy quay quanh O và
cắt hai cạnh AD và BC lần lợt tại M và N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM. Gọi
H là hình chiếu của K trên xy. Tìm quỹ tích điểm H.

H

íng dÉn
PhÇn thuËn:

Ta cã tø gi¸c MHKD, NHKC nội tiếp
Nên DMK = DHK =450

Vì CN = AM vµ DM = DK => CK = CN

 KHC = KNC = 450

Do đó DHC = 90 0

Vậy H nằm trên đờng trịn đờng kính CD
Giới han: Điểm H chỉ nằm trên nửa đờng tròn

Q

B

E

O

C

D
A

M

x

Q
B

E

O

C

D
A

M

//
=

H

K

N
O

B
A

D C

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

đờng kính CD nằm trong hình vng
Phần đảo:

Lấy H bất kì nằm trên nữa đờng trịn đờng kính CD.
Vẽ đờng thẳng HO cắt cạnh AD và BC tại M và N,

lÊy ®iĨm K trªn CD sao cho DK = DM. Chøng minh H là hình chiếu của K trên MN

Ta cã tø gi¸c HOCD néi tiÕp => DHM = DCO = 450

Mặt khác DKM = 450 => DHM = DKM => tø gi¸c HKDM néi tiÕp

=> KHM = 900 => KH  MN => H là hình chiếu cđa K trªn MN

Vậy: Quỹ tích của điểm H là nửa đờng trịn đờng kính CD nằm trong hình vng
Dạng 5: Vai trị tứ giác nội tiếp trong chứng minh điểm cố định.

Bài tập 5a: Cho góc vng xAy, điểm B cố định trên Ay, điểm C di chuyển trên
Ax. Đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự tại M và N.
Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

H

ớng dẫn:

Gọi giao điểm MN với AI là H

Ta có tứ giác CNIM nội tiếp 1 đờng trịn
=> BNH = BIA (cùng bằng 900 +

C

❑
2

)

 Tứ giác BIHN nội tiếp 1 đờng trịn

Nªn BNI = BHI = 900 hay BNI = BHA = 900

 BH  AI

Do tia AI và điểm B cố định

 H cố định (đpcm )

Bài tập 5b: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng . Đờng thẳng D vng góc
với AB tại C , điểm M di động trên d , vẽ BD vng góc với AM tại D , BD cắt d tại N.
Gọi E là giao điểm của AN và BM .

a) Chứng minh rằng đờn trịn đờng kính MN đi qua 2 điểm cố định

b) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua 2 điểm cố định
c) Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN thuộc 1 đờng cố định
d) Chứng minh đờng thẳng DE đi qua 1 điểm cố định

H

íng dÉn:

a) Gọi giao điểm AB với đờng trịn đờng

kính MN là J và L

ta cã CJ . CL = CM . CN = CA . CB = h»ng sè
mµ CJ = CL

 J và L cố định

Vậy: Đờng trịn đờng kính MN luôn đi qua
2 điểm ccố định J, L nm trờn AB

b) Gọi S là giao điểm thø 2 cđa AB víi (AMN)

y

x
H

N

M
I

A

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

ta cã MC . NC = AC . SA = CA . CB = h»ng sè

 điểm S cố định

Vậy : Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 2 điểm cố định A và S nằm trên
AB

b) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN

 OA = OM = ON = OS (c/m trªn)

Do A và S cố định => tâm O năm trên trên trung trực SA (cố định)
c) Gọi giao điểm của DE với AB là K

Ta thấy tứ giác JLNE nội tiếp 1 đờng tròn
=> AJ . AL = AE . AN (1)

Ta chứng minh đợc tứ giác KSNE nội tiếp 1 đờng tròn
=> AK . SA = AE . AN (2)

Tõ (1) vµ (2) => SA . AK = AL . AJ

Do A, S, L, J cố định (c/m trên) => K cố định

Vậy: DE luôn đi qua điểm K cố định nằm trên AB mà AK = AL. AJ
SA
Dạng 6: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh cực trị hình học.

Bài tập 6a: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi M là một điểm
trên cung ABC. Vẽ MD  BC ; ME  AC; MF  AB. Xác định vị trí của M để EF có
độ dài lớn nhất.

H

íng dÉn:

Theo bµi 3a ta có ba điểm D, E, F thẳng hàng
Do bèn ®iĨm F, D, M, B cïng n»m

trên 1 đờng tròn => DFM = DBM
tơng tự ta có DCM = DEM

nªn MFE MBC (g-g)
=> EF

BC=
MF
MB=

MC ≤1 => EF ≤ BC

Do đó EF lớn nhất khi E trùng với C, F trùng với B
Khi và chỉ khi MA là đờng kính của đờng trịn (O)

Bài tập 6b: Cho tam giác ABC nhọn điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P, Q
là hình chiếu của M trên AB , AC . Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ
nhất.

H

íng dÉn:

Do tứ giác APMQ nội tiếp đờng tròn

Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ
Kẻ OH  PQ. Đặt BAC =  => POH = 

Ta cã PQ = 2PH = 2.OP.sin  = AM sin

Do  khơng đổi

Nªn PQ nhá nhÊt khi AM nhá nhÊt

D

F
E

O
C

A

B
M



H
O

P

Q
A

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Do đó AM nhỏ nhất  AM  BC
Vậy PQ nhỏ nhất khi AM  BC
4) Các bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O), điểm D thuộc tia
đối của tia AD, CD cắt đờng tròn (O) tại E. tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B cắt EA tại
F. Chứng minh rằng FD song song với BC .

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại B và
tiếp xúc với AC tại C. Gọi I là một điểm thuộc cạnh BC (IB > IC) đờng vng góc với
OI tại I cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E . Chứng minh OD = OE và BD = CE.

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) , điểm E nằm giữa Cvà D . Vẽ
đờng tròn (O) đi qua E và tiếp xúc với AD tại D. Vẽ đờng tròn (O/) đi qua E và tiếp xúc

với AC tại C . Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đờng trịn đó.
Chứng minh rằng ba điểm K, E, B thẳng hàng.

Bài 4: Cho góc vng xOy , điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B dy chuyển
trên tia Ox. Gọi C là đỉnh góc vng của tam giác vng ABC (C và O khác phía đối với
AB). Tìm quỹ tích các điểm C.

Bài 5: Cho tứ giác ABCD các đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M, các đờng
thẳng AD và BC cắt nhau ở N . Chứng minh rằng cá đờng tròn ngoại tiếp bốn tam giác
MBC, MAD, NAB, NCD cùng đi qua một điểm.

Bài 6: Cho đờng tròn (O;R) BC là dây cung cố định khác đờng kính. Điểm A
di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đờng cao AD, BE, CF của
tam giác ABC . Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
III- Kết luận :

Qua quá trình giảng dạy tơi đã áp dụng đối vói nhiều đối tợng học sinh từ học
sinh yếu kém đến học sinh khá giỏi tôi nhận thấy:

- Học sinh đợc rèn luyện nhiều cho nên việc chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn một
cách thành thạo.

- Học sinh tiếp thu bài một cách chủ động , tích cực và khám phá đợc tốt tính chất về tứ
giác nội tiếp một đờng trịn và giúp cho học sinh tránh đợc nhầm lẫn đáng tiếc khi
chứng minh về tứ giác nội tiếp đờng tròn và nắm đợc tất cả các dấu hiệu nhận biết tứ
giác nội tiếp đờng tròn.

- Học sinh đợc hiểu thêm về bản chất của tứ giác nội tiếp đờng tròn và các mối quan hệ
giữa góc với cung bị chắn.

- Rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng kỹ xảo trong chứng minh và biết cachs vận dụng
hợp lý tứ giác nội tiếp trong chứng minh thơng qua các góc nội tiếp và góc tạo bởi tia
tiếp tuyến và dây cung.Cũng từ đó giúp các em củng cố và khắc sâu đợc bản chất của tứ
giác nội tiếp.

Trên đây là một số suy nghĩ của bản thân về việc chứng minh tứ giác nội tiếp một
đờng tròn và vai trị của nó trong giải tốn. Cũng thấy đợc rằng khơng phải bài tập nào
thuộc dạng tốn nào cũng làm đợc nh vậy . Do đó khi chứng minh một điều gì cần phải
xem xét một cách đầy đủ và toàn diện để chọn phơng án chứng minh hợp lý, có nh vậy
mới giúp cho các em say sa trong giải bài tập và mang lại hiệu quả cao trong học tập

Vậy mong các thầy cô và đồng nghiệp đọc và giúp tơi hồn thiện hơn đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn !!!

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9></div>

Những điều nên biết khi mua laptop mới

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về