TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.88 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

* Kiến thức cần đạt:

a. -Dùng các tính chất và cơng thức và các pp để tìm nguyên hàm
- Học thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm (SGK.
- Dùng phương pháp hệ số bất định

- Dùng phương pháp đổi biến số
- Dùng phương pháp từng phần

- Học thuộc và vận dụng thật tốt bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm
và tích phân.

sin cos

sin( ) cos( )

cos sin

cos( ) sin( )

1
1

mx mx

ax b ax b

mxdx mx C

m

ax b dx ax b C

a

mxdx mx C

m

ax b dx ax b C
a

e dx e C

m

e dx e C

a

 



 



   

 

   

 



- Công thức biến đổi tích thành tổng













cos .cos cos( ) cos( )

2
1

sin .sin cos( ) cos( )

2
1

sin .cos sin( ) sin( )

a b a b a b

   

   

   

- Công thức hạ bậc:
2

1 cos 2
sin

2
1 cos 2
cos

2
x
x

x
x







Bài tập :

Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
1. f(x. = x3 – 3x + 1

x 2. f(x. = 2x + 3x 3. f(x. = (5x + 3.5 4. f(x. = sin4x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b.Tính tích phân:

Dạng 1: Phương pháp tính tích phân bằng cách sử dụng đ/n, tính chất và nguyên hàm
cơ bản.

Phương pháp

Bước 1: Tìm ngun hàm

Bước 2: Dùng cơng thức Newton-Leibuiz:
Bài tập: Tính các tích phân sau.

(2sin

x

3cos

x x dx

)







1 3

(

x

 

x

1)

dx



1 2

(

1)

x

e



x



dx



4.



(

x



1)(

x



x



1)

dx

Dạng 2: Phương pháp đổi biến số( đặt ẩn phụ..

Phương pháp:

Ta sử dụng định lí sau: Nếu hàm số x( )t

có đạo hàm '( )t liên tục trên đoạn



 ;



và :











( )

; ( )

;

t

a

t

b

t

x

a b



 









thì :

'
( ) ( ( )) ( )

b

a f x dx f t t dt











(*.

Chú ý: Trong thực hành , việc áp dụng công thức(*. chỉ là việc thay hàm số f(x. bằng một

hàm số khác theo biến số mới t (t



 ;



), hàm số thay thế là hàm sơ cấp có thể tìm được
nguyên hàm trực tiếp từ bảng nguyên hàm ( hoặc sau một số phép biến đỏi đại số..

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a. Đổi biến dạng 1: 1.
1

2
0

1 x dx



1
2
01

dx
x





3.

2
0

16 x dx



4.
1

2 2

x  x dx



b. Đổi biến dạng 2:

Ví dụ:Tính tích phân sau.
9

4 1

x
dx
x



Phân ích:

Bước 1: Đặt (tùytheo bài toán mà ta đặt sao cho thích hợp.

Bước 2: Đổi cận x thành t (hoặc ngược lại.

Bước 3: Thay vào BT ban đầu và đổi biến số.

Giải:

+ Đặt t x  t2 x

ta códx=2tdt.

+ Đổi biến số :khi x=4 -> t=2, khi x=9 -> t=3

suy ra:

3 3

2 12 2 2 1 7 ln 4

t t

tdt dt
t  t  



Bài tập: Tính các tích phân sau.

1 2

0 x x 1dx



b.

2
1

1

x

dx

x





0 1 4sin cosx xdx







d. 02

sin
1 3cos

x
dx
x






e.

sin
3

cos

x

e xdx






f.
2

1 2

0
x

e



xdx



g.

1 ln

ln

e

x

dx

x





cos
3
4

sin

x

e

xdx





Dạng 3:Phương pháp tính tích phân từng phần.

Cơng thức tích phân từngphần:

.

b

b
b

a a
a

u dv u v





vdu

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tích phân các hàm số dể phát hiện u và dv

( ). x

P x e dx



P x( ).cosxdx



P x( ).sinxdx



P x( ).lnxdx

u P(x. P(x. P(x. lnx

dv exdx cosxdx sinxdx P(x.dx

Bài tập: Tính các tích phân sau
1.

0 xsinxdx





2. 1 2

ln

e

x

dx

x



3. 1

0ln(1x dx)



4.



23(3x2  1) ln(x 1)dx
Bi tập :

Tính các tích phân sau:

3
3
1

(x 1)dx






6/
4
4
2
4

( 3sin )

cos x x dx








7/
2
2
1
x dx





(pt. *



 

2
2
0

2 3dx

x x
8.





2
0

(3 cos2 ).x dx

(pt. 9.





1
0

(ex 2)dx

10.




1
2
0

(6x 4 )x dx

*

 



3
2
2
3 7
4 3
x dx
x x
11.
1
2
0
2 1
1
x
I dx
x x


 



(đđb. 12.

1
2
0

3. .

J 



x  x dx

(đđb.
13.




2
sin
0
.cos .
x

e x dx

14.





0 1

x
x

e dx

e 15.





1
1 ln
e
x dx

x 16.




1

2 5

( 3)

x x dx

17.
2
0

.cos .

x x dx





(tp. 18. 1

.ln .
e

x x dx



(tp. 19.



3
0

. x

x e dx

20.




4
2

0 cos
x dx
x

21.



ln .
e
x dx
22.




5
2

2 .ln(x x 1).dx

23.




2
0
.cos .
x

e x dx

24 .

 



2 3 2

2
1

2 3

x x x dx

x 
25 .
 




4 2
3

2 5 3

x x dx

x 26.*



 

1
2

5 6dx

x x 27 . *



 

5
2
4

1 2
6 x dx9

x x 29.




1

3
0

. 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

28 . *



2 x2  4x8 (PP hệ số bất định. 30. 



2 2

dx

x

BÀI TẬP LÀM THÊM

Dạng 1. Phương pháp đổi biến số và sử dụng định nghĩa, tính chất tính tích phân : 
Bài 1. Tính các tích phân sau :





1
3
0

I 



x x dx

ĐS :

20 2.

2
4

I x dx

x
 
   
 



ĐS :
275
12
3.
1

5 3 6
0

(1 )

I 



x  x dx

ĐS :

168 4.

3 3
2
0 1
x dx
I
x






ĐS :
4
3
5 .
2
0
sinx
1 cos
dx
I
x






ĐS : ln2 6 .
22

3
3
1

3 5

I 



x dx

ĐS :

65
4

7 .
1

3 4 3
0

(1 )

I 



x x dx

ĐS :

16 8.

3 2

I 



x  x dx

ĐS :

8 2 7
15

9.
1
2 2
0
5
( 4)
x
I dx
x





ĐS :
1

8 10. 1

1 ln
e
x
I dx
x





ĐS :

2(2 2 1)
3

11.
2
2
2
2
0 1
x dx
I
x





ĐS :
1
8 4


12.
2
2009
0
sin cos
I xdx





ĐS :
1
2010
13.
2 3
2
5 4
dx
I
x x





ĐS :
1 5
ln

4 3 14.

0 2 1

xdx
I
x





ĐS :

1
3
15.
4
1
1
2 1
I dx
x





ĐS : 2 16.
2

2
0

I 



x  x dx

ĐS : 1

Dạng 2. Phương pháp tích phân từng phần :

b b

b
a

a a

u dv uv





v du



Bài 2. Tính các tích phân sau :

1.
1

( 1) x

I 



x e dx

ĐS : e 2.
1

x

I 



xe dx

ĐS : 1
3.

2
0

( 2) x

I 



x e dx

ĐS :
2
5 3
4
e

4 .
2
1
ln

I 



x xdx

ĐS :
3
2ln 2
4

5.
2
0
( 1)sinx

I x dx









ĐS : 2 6.

2
1

e

I 



x xdx

ĐS :
2 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2
1

e

I 



x xdx

ĐS :
3

2 1

e 

8.
1

2
0

x

I 



x e dx

ĐS : e-2
9.

1
2
0

(2 1) x

I 



x  x e dx

ĐS : 3e-4 10.





2
0

ln 3

I 



x x  dx

ĐS :

3 9

6ln12 ln 3

2 2

 

11.
4
0

sin3 .cos .x x dx





(ñb. 12.

2
2
0

sin xdx





(pt.
13.

2
3
0

cos xdx





(db. 14.
2

3 2

cos sinx xdx





</div>

TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

























(2sin

<i>x</i>

3cos

<i>x x dx</i>

)







(

<i>x</i>

 

<i>x</i>

1)

<i>dx</i>



(

1)

<i>e</i>



<i>x</i>



<i>dx</i>





(

<i>x</i>



1)(

<i>x</i>



<i>x</i>



1)

<i>dx</i>













( )

; ( )

;

;

<i>t</i>

<i>a</i>

<i>t</i>

<i>b</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

<i>a b</i>





 

























