Sang Kien Giai Toan Tich Phan Va Dao Ham Bang May Tinh Casio

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TÊN ĐỀ TÀI </b>

<b>DÙNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI CÁC BÀI TOÁN</b>
<b>TRẮC NGHIỆM VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN</b>
Người viết : Trịnh Minh Tuấn

Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị : Trường THPT Thái Phiên
Đăng ký đề tài : Ngày 01/10/2007

Tổ chuyên mơn góp ý : Ngày 12/01/2008
Hồn chỉnh bài viết : Ngày 24/01/2008
Nhận xét đánh giá xếp loại :

<b>TỔ CHUYÊN MÔN</b> <b>HĐKHGD TRƯƠNG</b>

<b>Nhận xét </b>

<b>Xếp loại:</b>

<b>Ngày :</b>

<b>Nội dung đề tài </b>

<b>Chất lượng thực hiện :</b>

<b>Ý kiến đề xuất :</b>

<b>Xếp loại:</b>

<b>Ngày :</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Phần A:</b>

<i><b>ĐẠO HÀM</b></i>

1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.

2. Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho
trước.

3. Xác định giá trị của các tham số để hai đồ thị tiếp xúc nhau tại một
điểm có hồnh độ cho trước.

4. Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một
điểm x0 cho trước.

5. Xác định công thức đạo hàm của một hàm số.

<b>Phần B</b>

:

<i><b>TÍCH PHÂN</b></i>

1. Tính tích phân của hàm số trên một đoạn.

2. Tính diện tích hình phẳng và thể tich của vật thể tròn xoay.
3. Xác định nguyên hàm của một hàm số

<i>Trang</i>

<i>4</i>

<i>6</i>

<i>8</i>

<i>9</i>
<i>11</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Đặt vấn đề</b></i>

Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan là điều
khơng thể phủ nhận. Sắp đến, trong các kì thi quốc gia-hình thức kiểm tra
này-dù từng phần hoặc tồn phần, đối với mơn Tốn là chắc chắn sẽ thực
hiện. Tuy nhiên, làm thế nào để hướng dẫn các em học sinh có kĩ năng làm
tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan?. Tơi đã băn khoăn suy nghĩ nhiều
vì vậy, tìm tịi này là kết quả của sự trăn trở đó.

Vấn đề đặt ra: Trong một khoảng thời gian ngắn nhất với lượng
<b>kiến thức được trang bị theo chương trình, học sinh phải chọn được một</b>
<b>phương án thoả mãn yêu cầu đề bài. </b>

Ngoài việc nắm vững kiến thức, biết suy luận lơgíc, biết các kỹ thuật
làm bài trắc nghiệm khách quan ... đôi khi học sinh phải thực hiện nhiều
phép tốn dài phức tạp. Một cơng cụ hữu hiệu góp phần hỗ trợ học sinh giải
quyết vấn đề này là: Máy tính cầm tay (MTCT).

Mặt khác, khi biết sử dụng thành thạo MTCT để giải tốn, học sinh
cịn tự rèn luyện <i>khả năng tư duy thuật tốn</i>, qua đó giúp các em củng cố
khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao khả năng tư duy lơgíc, giúp các em học tốt

hơn.

Những kĩ thuật tơi trình bày sau đây được dùng với máy tính CASIO
fx- 570ES (được phép sử dụng trong các kì thi ) nhằm giúp học sinh có thể

giải được một số bài tốn trắc nghiệm thường gặp về <i>đạo hàm và tích phân</i>
mà đơi khi các em lúng túng do khả năng vận dụng kiến thức hoặc kĩ năng
tính tốn cịn hạn chế .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Do khuôn khổ bài viết sáng kiến kinh nghiệm, xin khơng trình bày
các chức năng cơ bản của máy, phần này có thể xem ở tài liệu: <b>“Hướng dẫn</b>
<b>sử dụng máy tính CASIO fx- 570ES ”.</b>

Dù đã rất cố gắng nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi, mong q
thầy cơ giáo góp ý, xin chân thành cảm ơn.

<b>Phần A: </b> ĐẠO HÀM

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một
cơng cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số. Phần này sẽ
hướng dẫn cách sử dụng MTCT để giải quyết một số dạng toán trắc
nghiệm thường gặp về đạo hàm và các ứng dụng của nó.

1

<b> / Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm</b>

Bài tốn: Tính đạo hàm hàm số y = f(x) tại x = x0 .

<i>Cú pháp</i>:





x x0

d f(x)

dx  ₍₁₎

- Nếu ta nhập sai hàm số f(x) khơng liên tục tại x0 thì máy báo lỗi “ Math

ERROR”

- Đối với phần lớn hàm số khi ta nhập sai hàm số f(x) liên tục tại x0 mà

khơng có đạo hàm tại x0 thì máy thơng báo “ Time Out ” .

- Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị
radian)

- Nếu giá trị ở các phương án có số vơ tỉ thì cài đặt hiển thị ở chế độ fix- 9

Ví dụ 1: Cho đồ thị (C)

x 1
y

x 1



</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A/ 1 B/
1

2 _C/ 2 D/

1
2


Giải: <i>Cú pháp:</i>





x 1

d x 1
dx x 1 _{ }

Sau đó ấn phím dấu bằng ta có kết quả bằng
1
2


, do vậy chọn D

Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số y = x.sinx tại x =
π
3_là:

A/
1

2 _B/

3
2 6





<b>C/</b>

3
2 6





D/

3
2 6



 

Giải: <i>Cú pháp:</i>





x π3

d x.sin(x)

dx  

A

-Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn
phím dấu bằng nếu được kết quả là khơng thì chọn phương án đó. kết quả
chọn C

Nhận xét:

- <i>Cú pháp:</i>





x x0

d f(x)

dx   A

-Trong đó biến A được gán bởi các giá trị của mỗi phương án ta có thể chọn
đúng giá trị đạo hàm của một hàm số tại một điểm trong trường hợp kết quả
là một số vơ tỉ.

Ví dụ 3: Cho đồ thị (C)

2

x x 2
y

x 1
 


</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

A/ y3x 2 _B/ y3x 2 _C/y 3x 2  _D/
y 3x 2 

Giải: <i>Cú pháp:</i>

2

x 0

d x x 2

dx x 1



   

 _ 

  _.

-Tính được f (0)' 3_{nên loại hai phương án C và D}
-Dễ thấy f (0) 2 _{. Vậy chọn phương án B.}

Ví dụ 4: Tập hợp các điểm tới hạn của hàm số

4 2

y f (x) x  2x  8
là:
A/



2;2



B/



1; 0; 1



C/



0; 1; 2



D/



2; 1;0;1;2



-Để ý: f là một hàm số chẵn nên chỉ cần kiểm tra C rồi chọn phương án thích
hợp

Giải: <i>Cú pháp</i>





4 2

x A

d x 2x 8

dx 

 

. Với A nhập từ bàn phím.
-Ấn phím CALC máy hỏi X? ấn tiếp phím bằng cho qua.

-Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi A? lần lượt nhập cho A các giá trị 0, 1, 2.
-Kết quả tính được f (0) 0'  , f (1) 0'  và khi tính f (2) ?'  thì máy thơng báo
“ Time Out ”ta xác định được hàm số f chỉ liên tục mà khơng có đạo hàm tại
x = 2.

-Vậy chọn phương án D.
Nhận xét:

- <i>Cú pháp</i> dxd f(x)





x A

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

- Khi máy cho kết quả bằng không hoặc thông báo “ Time Out ” thì ta xác

định được điểm tới hạn của hàm số.

Bài tập đề nghị:

1/ Cho đồ thị (C)

x 1
y

x 1



 _{. Hệ số góc tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của}
(C) và trục hoành là:

A/ 1 B/

1

2 _{C/ 2} _D/

1
2


2/ Đạo hàm của hàm số

x

x
y

1 ln 2


 _{tại x = 2 là:}

A/ e B/

1

e _{C/ 2} _D/₄

3.a/ Đạo hàm của hàm số y =

x x

sinx  cosx _{tại x =}π4_là:

A/ 2 B/2 C<b>/ </b>2 2 D/

π 2
2

3.b/ Đạo hàm của hàm số y = x.cosx tại x = 6


là:
A/

1
2 _B/
3
2 12


C<b>/</b>
3
2 12


D/
3
2 12

 

4/ Tập hợp các điểm tới hạn của hàm số

2 2 1

2

y(x  4)(x  )
là:
A/
1 1
2;2; ;
2 2
 

 
 

  _B/





3_{; 0; ;}3
2 2



C/

1 3
0; ; ;2

2
2

 

 

  _D/

3 1 1 3
2; ; ;0; ; ;2

2 ₂ ₂ 2

 

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

5/ Cho đồ thị (C)

2

x x 1
y

x 1
 


 _{. Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm}
của (C) và trục tung là:

A/ y2x 1 B/ y2x 1 C/ y 2x 1  D/ y 2x 1 
6/ Cho bốn hàm số:

2
1

x x 1
f (x)

x 1
 



 _;

2
2

x x 1
f (x)

x 1
 


 _;

2
3

x x 1
f (x)

x 1
 


 _;

2
4

x x 1
f (x)

x 1
 


 _.

Hàm số nào có đạo hàm bằng  _{2 tại x = 0?}

A/ Chỉ f1 B/ Chỉ f1 và f2 C/ Chỉ f1 và f3 D/ Cả f1, f2,

f 3 và f4.

<b>2/ Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho</b>
<b>trước</b><i>.</i><b> </b>

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có chứa một hay nhiều tham số xác định tại
điểm x0. Hãy xác định giá trị của các tham số để hàm số y = f(x) có đạo hàm

tại x0.

-Đây là một dạng toán phức tạp, nếu học sinh giải bằng phương pháp truyền
thống thì

phải sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm từng
bên khi đó

thường gặp khó khăn về thời gian và MTCT sẽ giúp các em giải quyết tốt
vấn đề này.

Ví dụ 5: Cho hàm số

2

2 2

x , khi x 1
f(x)

x (B 5)x B 1, khi x 1

 




    




</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

A/ ₂ _B/₁ _C/ ₁ _D/₁

Giải: <i>Cú pháp</i>





2 2 2 2

x 1
d

2x (B 5)x B 1 : 2x (B 5)x B 1

dx 

       

-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1
-Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi B?

-Lần lượt nhập tất cả các giá trị của các phương án, nếu máy cho cả hai giá
trị của hai biểu thức đều bằng khơng thì phương án đó được chọn. Kết quả
chọn phương án D.

Ví dụ 6: Cho hàm số

2
2

x ,khi x 1
f(x)

x Bx C, khi x 1

 




   




Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 thì cặp số (B, C) là:

A/ ( _{2 , 4)} _{B/ (4 , 2)} _{C/ (} _{4 ,} ₂₎ _D/
(4 , ₂₎

Giải: <i>Cú pháp</i>





2 2

x 1

d

2x

Bx C :

2x

Bx C

dx















-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1

-Tiếp tục dùng phím CALC lần lượt nhập các cặp giá trị tương ứng của mỗi
phương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng khơng thì
phương án đó được chọn. Kết quả chọn D

Nhận xét:

- Nếu biểu thức thứ nhất bằng khơng thì hàm số f đã cho liên tục tại x = 1 và
cả hai biểu thức cùng bằng khơng thì hàm số f có đạo hàm tại x = 1.

- Tổng quát

Cho hàm số

0 0

0 0

f(x;a,b,c...) khi x x (hay x x )
y

g(x;a,b,c...) khi x x (hay x x )

 




 

 _{trong đó a, b, c.. là các}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Muốn chọn được các giá trị a, b, c,.. để cho hàm số có đạo hàm tại x0 ta dùng

cú pháp





x x0

d

f(x;a,b,c..) g(x;a,b,c..) :

f(x;a,b,c..) g(x;a,b,c..)

dx







Nếu các giá trị của hai biểu thức đều bằng khơng thì phương án tương ứng
được chọn.

<b>Bài tập đề nghị:</b>

1/ Cho hàm số

2

x ,khi x 1
f(x)

Bx C, khi x 1

 



 



Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 thì cặp số (B, C) là:

A/ (2 , 1) B/ (1 ,  2) C/ (2 ,  1) D/ (
1, 2)

2/ Cho hàm số

2

Ax Bx 1, khi x 0

f(x)

Asinx Bcosx, khi x 0

   



 



Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì cặp số (A, B) là:

A/ (1 , ₁₎ _B/₍ _{1 , 1)} _{C/ (} _{1 ,} ₁₎ _{D/ (1,}

1)

3/ Cho hàm số

2

Bx

Ax Bx 1, khi x 0

f(x)

(x A)

e

 , khi x 0

   




 




Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì cặp số (A, B) là:

A/ (1 , ₁₎ _{B/ (} _{1 ,}
1

2₎ _{C/ (}12_{, 1)} _D/_(1,

1
2₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài toán: Cho hai đồ thị (C1): y f(x;a,b,c...) , (C2): y g(x;a,b,c...) , với a, b,

c.. là các tham số và các hàm số f, g đều có đạo hàm tại x0. Hãy xác định giá

trị các tham số a,b,c.. để (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ x0.

-Sử dụng cú pháp dãy phím bấm như trên ta giải quyết được bài tốn này.

Ví dụ 7: Nếu parabol (P) y x 2Bx C tiếp xúc với đường thẳng (d)
y x _{tại điểm có hồnh độ bằng 1 thì cặp số (B, C) là:}

A/ ( _{1 , 1)} _{B/ (1 ,} ₁₎ _{C/ (} _{1 ,} ₁₎ _{D/ (1,}
1)

Giải: <i>Cú pháp</i>





2 2

x 1

d

x (B 1)x C : x (B 1)x C

dx 

     

-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1

-Tiếp tục dùng phím CALC lần lượt nhập các cặp giá trị tương ứng của mỗi
phương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng khơng thì
phương án đó được chọn. Kết quả chọn A

<b>Bài tập đề nghị:</b>

1/Hai parabol y x2Bx 1 và y Ax 2  Bx 3 tiếp xúc nhau tại điểm
có hồnh

độ bằng 1 khi cặp số (A, B) là:

A/ (2 , 1) B/ (1 , ₂₎ _{C/ (} _{1 , 2)} _D/_(1,
2)

2/ Đường thẳng y x 1  _{tiếp xúc đồ thị hàm số}y Bcosx Csinx  _{tại điểm}
có hồng độ x0 = 0 khi cặp số (B, C) là:

A/ ( _{1 , 1)} _{B/ (1 ,} ₁₎ _C/_{(1, 1)} _{D/ (3,}
 ₁₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

A/ (
1

2_{, 1)} _{B/ (} _{1 ,}
1

2₎ _{C/ (}12_, ₁₎ _D/₍

1
2_, ₁₎

4/ Các hàm số y x 3 (A 2)x 22Ax A 2 và y 2x 2 2B x 2B2  có đồ thị
tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ bằng 2 khi cặp số (A, B) là:

A/ ( 2 , 2) B/ (2 , 2) C/( 2, 2) D/ (2,

3
2₎

<b>4/ Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại</b>
<b>một điểm x0 cho trước.</b>

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có chứa một hay nhiều tham số đạo hàm cấp
hai liên tục tại x0 . Hãy xác định giá trị của các tham số để hàm số y = f(x) số

đạt cực tiểu (hay cực đại ) tại x0 .Ta giải quyết bài toán bằng dấu hiệu 2.

<i>Cú pháp</i>





x x0
d

f ' (x) : f ' (x)

dx 

-Cần kiểm tra biểu thứ nhất có bằng khơng hay khơng, nếu có thì biểu thức
thứ hai âm hay dương.

-Nếu biểu thức thứ hai dương (hay âm) thì hàm số đạt cực tiểu (hay cực đại )
tại x0

Ví dụ 8: Hàm số

2

x Bx A
y

x B
 


 _{đạt cực tiểu tại x}₀_{= 2 khi cặp số (A ,B)}
bằng:

A/ (1 , 3) B/ (1,  ₃₎ _C/_{(1 ,} ₁₎ _{D/ (}
1,1)

Giải: 2

A
f ' (x) 1

(x B)
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i>Cú pháp</i> 2 2 x 2

A d A

1 : 1

dx

(x B) (x B) _

 

 _  _

 _  _

-Nhập giá trị x = 2 và nhập lần lượt từng giá trị của cặp số (A ,B) ở mỗi
phương án vào máy. Nếu biểu thức thứ nhất bằng không và biểu thức thứ hai
nhận giá trị dương thì phương án đó được chọn. Kết quả chọn C

Ví dụ 9: Hàm số y x 3 2(A 1)x 2(A24A 1)x 2A  22 đạt cực đại tại x0

= 2 khi số A bằng :

A/ ₁ _{B/ 1} _C/ ₃ _D/₃

Giải: f ' (x) 3x 2 4(A 1)x A  24A 1

<i>Cú</i> <i>pháp</i>





2 2 2 2

x 2

d

3x 4(A 1)x A 4A 1 : 3x 4(A 1)x A 4A 1

dx 

         

-Nhập giá trị x = 2 và nhập lần lượt từng giá trị của số A ở mỗi phương án
vào máy.

-Nếu biểu thức thứ nhất bằng không và biểu thức thứ hai nhận giá trị âm thì
phương án đó được chọn. Kết quả chọn D

<b>Bài tập đề nghị:</b>

1/ Hàm số y A.sinx cosx Bx   _{đạt cực đại tại}x0 5π₁₂

khi cặp số (A, B)
là:

A/ ( 1,

2
2



) B/ ( 3, 2) C/ ( 2, 3) D/ (
3_, 2₎

2/ Hàm số y Ax  x22Bx 5 _{đạt cực tiểu tại}x0 1 khi cặp số (A, B)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

A/ (
3
2


,
5

2₎ _{B/ (} 32_, ₅₎ _{C/ (}
5

6_,199 ₎ _D/₍56

,
3
2


)

3/ Hàm số 2
Ax 1

y

x x B



  _{đạt cực đại tại}x0 1 khi cặp số (A, B) là:

A/ ( 4 ,
1

4₎ _{B/ (} 3 ,0) C/ (3 , 2) D/ (

2,

1
2



)

4/Hàm số Bx

Ax
y

e



đạt cực tiểu tại x0 1 khi cặp số (A, B) là:

A/ (1 , 1) B/ ( 1 , 1) C/ ( 1 ,1) D/ (1,
 1)

5/ Hàm số

2

x 3x 3
y

Ax B 


 _{đạt cực đại tại x}₀₌3_{khi cặp số (A ,B) bằng:}
A/ (2 , 1) B/ (1, 2) C/( _1, ₂₎ _{D/ (}
2, ₄₎

6/ Hàm số y 2x 3(4A 3)x 2 (2A2 4A 1)x _{đạt cực tiểu tại x}

0 =

1

2_{khi số}
A bằng :

A/1 B/  1 C/

1

2 _D/

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>5/ Xác định đạo hàm của một hàm số.</b>

Bài toán: Cho hàm số f và các hàm số fi . Hãy xác định hàm số fi là đạo

hàm của hàm số f.

<i>Cú pháp</i> i





x A

d

f (A) f(x)

dx 



- Trong đó f là hàm số cần xác định đạo hàm, f _i_{là các phương án đã cho.}
Biến A được nhập giá trị từ bàn phím để kiểm tra, nếu máy cho ít nhất một
giá trị khác khơng thì loại phương án đó, nếu máy ln cho giá trị bằng
khơng với một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó.

- Để dễ đọc kết quả ta nên cài chế độ hiển thị fix- 9

Ví dụ 10: Đạo hàm của hàm số

x

2
2

2
y

ln 2



là:

A/

x
x 2

y 2 

 _B/ y 2 x+2x  _C/

x
2

4 ln4
y

ln 2



D/
x

2
y

ln2


Giải:

<i>Cú pháp</i>

x

A 2

A 2

2

x A

d 2
2

dx ln 2





 

 _ _

 

- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 1 và ấn phím

=

máy hỏi X? ta tiếp
tục ấn phím

=

máy cho kết quả  _{4 nên loại phương án A.}

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía trước sửa dấu _{thành dấu}

_{ta có biểu thức}

x

A 2

A

2

x A

2 d 2

2

dx ln 2





 

 _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 0,1; 0,2; 0,3... máy ln
cho kết quả bằng khơng, vậy chọn B

Ví dụ 11: Đạo hàm của hàm số y x x với 0 x 1  _là:

A/y x.x x 1 B/y x .lnx x C/y x (1 lnx) x  D/

x

y x (1 lnx)  
Giải:

Để ý hai phương án đầu là sai vì nhầm lẫn với hàm số lũy thừa và hàm số
mũ nên ta chỉ cầ kiểm hai phương án còn lại.

<i>Cú pháp</i>

 

A x

x A

d

A (1 lnA) x

dx 

 

- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 2 và ấn phím

=

máy hỏi X? ta tiếp
tục ấn phím

=

máy cho kết quả  _{6 nên loại phương án C.}

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía trước sửa dấu

_

thành dấu

_{ta có biểu thức}

 

A x

x A

d

A (1 lnA) x

dx 

 

- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 2; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4 ...
máy luôn cho kết quả bằng không, vậy chọn D.

*Lưu ý:

-Nếu không cài đặt chế độ hiển thị fix-9 máy không cho kết quả bằng khơng
mà cho kết quả có giá trị tuyệt đối vơ cùng bé (do hạn chế của vịng lặp của
máy hữu hạn)

- Không nên nhập cho A giá trị lớn, khi đó máy sẽ báo lỗi.

- Ta có thể dùng dãy phím bấm tự động hơn, chỉ cần gán giá trị ban đầu cho
A và tiếp theo A sẽ nhận dãy các giá trị Ak mà tại các giá trị đó hàm số f có

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>





i d _{x A}

f (A) f(x) : A Aα

dx 

  

α_{là một số cụ thể.}

*Các bạn tự khai thác cơng thức này nhé!

Ví dụ 12: Hàm số có đạo hàm bằng

2
2

x

(cosx xsinx) _là:

A/

sinx xcosx
y

cosx xsinx



 _B/

sinx xcosx
y

cosx xsinx



 _C/

sinx xcosx
y

cosx xsinx



 _{D/ Một}

đáp số khác

Giải: Để ý dạng của mẫu thức ta thấy phương án A là sai nên ta chỉ cần kiểm
tra 2 phương án B và C.

<i>Cú pháp</i>





2

2

x A

A d sinx xcosx

dx cosx xsinx

(cosA AsinA) 







- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 0 và ấn phím

=

máy hỏi X? ta tiếp
tục ấn phím

=

máy cho kết quả  _{2 nên loại phương án B.}

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa dấu _{thành dấu}

_

ta có biểu thức





2

2

x A

A d sinx xcosx

dx cosx xsinx

(cosA AsinA) 







- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 0,1; 0,2; 0,3... máy luôn
cho kết quả bằng không, vậy chọn C.

<b>Bài tập đề nghị:</b>

1/ Đạo hàm của hàm số

2
2

1 x x
y

1 x x

 


</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

A/

1 2x
y

1 2x



  _B/ 2

2 4x
y

1 x x




  _C/ 2 2

2 4x
y

(1 x x )




  _D/

2 2

2 4x
y

(1 x x )




 

2/ Đạo hàm của hàm số x

x

y

4



là:

A/ x

1
y

4 ln4


B/ x

1 xln4
y
4


C/ x
1 xln4
y
4


D/

x
xln4 1
y
4



3/ Đạo hàm của hàm số y x 1. x 3 với  1 x 0 _là:

A/ 3

5x 2
y

x 1. x



  _B/ 3

5x 2
y

x 1. x





C/ 3 2

5x 2
y

6 x 1. x



  _D/ 3 2

5x 2
y

6 x 1. x






4/ Đạo hàm của hàm số y (2 x )cosx 2xsinx  2  là:

A/y x cosx 2 B/y x sinx 2 C/y x sinx2 D/
2

yx cosx

5/ Đạo hàm của hàm số

3 5

1 1

y tanx tan x tan x

3 5

  

là:

A/y tan x 1 6  B/y 1 tan x  6 C/y 1 tan x  6 D/Một
đápsố khác

6/ Hàm số có đạo hàm bằng

2

2

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

A/

xsinx cosx
y

xcosx sinx



 _B/

xsinx cosx
y

xcosx sinx




C/

xsinx cosx
y

xcosx sinx


 _{D/ Một đáp số khác}

Hướng dẫn:

Dùng cú pháp



i



x A

d

f(A) f (x)

dx 



Với

2

2

x
f(x)

(xcosx sinx)



 _vàf (x)i là các phương án.

<b>Phần B: </b> TÍCH PHÂN

Tốn trắc nghiệm về tích phân hiện được viết rất nhiều ở các tài liệu
tham khảo với lời giải thông thường là dùng cơng thức Newton-Leibniz hay
khó hơn thì phải dùng phương pháp đổi biến hoặc tích phân từng phần. Đây
là điều khó khăn cho học sinh vì trong một khoảng thời gian ngắn phải thực
hiện nhiều thao tác. Máy tính CASIO fx- 570ES là một công cụ mạnh để giải

quyết tốt các bài toán dạng này đặc biệt đối với một số bài tốn tương đối
dài và khó.

<b>1/Tính tích phân:</b>

Bài tốn: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Hãy xác định tích
phân của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

-Ta dùng cú pháp giống như công thức ở sách giáo khoa 12

<i>Cú pháp</i>:

b

a

f(x)dx



(2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

- Nếu ta nhập sai hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì máy báo lỗi “ Math

ERROR” hoặc bị treo , điều này phù hợp với định nghĩa tích phân trong
SGK 12

- Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị
radian)

- Nếu giá trị ở các phương án có số vơ tỉ thì cài đặt hiển thị ở chế độ fix- 9

Ví dụ 13:
3

0

x (x 1)(x 2) dx 



bằng :

A/ 2 B/

2

5 _C/52 _{D/ Một đáp}

số khác
Giải:

-Bấm vào máy
3

0

x (x 1)(x 2) dx 



rồi ấn phím dấu bằng ta được kết quả

5

2_.

-Vậy chọn D.
Nhận xét:

-Qua bài tập trên ta thấy được ưu điểm của MTCT, nếu giải bằng cách thơng
thường thì rất khó khăn về thời gian.

Ví dụ 14:
π
2

0

sinx _dx

3sinx 4cosx



bằng :

A/

3π 4 _ln4

50 25 3 _B/3π50 25 3 4 ln4 _C/π4 _{D/ Một đáp}
số khác

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<i>Cú pháp</i>:

π
2

0

sinx _{dx A}

3sinx 4cosx 



-Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn
phím dấu bằng nếu được kết quả là khơng thì chọn phương án đó. Kết quả
chọn B

Nhận xét:

- Tích phân trên có dạng tích phân liên kết, việc xác định ngun hàm tương
đối dài dòng, lúc này dùng MTCT thuận lợi hơn

- <i>Cú pháp:</i>

b

a

f(x)dx



A

-Trong đó biến A được gán bởi các giá trị của mỗi phương án giúp ta có thể
chọn đúng giá trị tích phân trong trường hợp kết quả là một số vơ tỉ phức
tạp.

Ví dụ 15: Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằng
4
3

A/

1 ₃

2
0

x dx
x 1



B/

2 ₃

2
0

x dx

x 1



C/

3 ₃

2
0

x dx
x 1



D/

2 ₃

2
0

x dx
x 1



Giải:

- <i>Cú pháp:</i>

A ₃

2
0

x dx 4
3
x 1



-Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị 1,2,3,4 tương ướng với các
phương án rồi ấn phím dấu bằng nếu được kết quả là khơng thì chọn

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Ví dụ 16: Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằng

2 2 1
3

A/

1

2 2

0

x x 1 dx



B/

1
0

x x 1 dx



C/

1
2
0

x x 1 dx



D/

1
2
0

x x 1 dx



Giải:

- <i>Cú pháp:</i>

1

A B

0

2 2 1
x x 1 dx

3

 



-Ấn phím CALC máy hỏi X? ấn phím bằng cho qua.

-Ấn phím CALC nhập vào cho cặp (A, B) từng bộ (2,2); (1, 1); (1,2); (1,2)
tương ứng với các phương án rồi ấn phím dấu bằng nếu được kết quả là
khơng thì chọn phương án đó. Kết quả chọn D.

<b>Bài tập đề nghị:</b>

1/

5₂

9
5 3
0

x

_dx

(1 x )





bằng :

A/
2

9 _B/452 _C/92 _D/

45
2

2/
4

0

x (x 1)(x 2)(x 3) dx  



bằng :

A/ 2 B/

112

15 _C/10 _{D/ Một}

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

3/
π

2 ₁₀

10 10
0

sin x _dx

sin x cos x



bằng :

A/ 0 B/1 C/

π

2 _D/ π4

4/
π

2
0

xsinx dx
1 cos x



bằng :

A/
π

4 _B/π2 _C/

2
π
4 _D/
2
π
2
5/
2
2
0
dx

x 2x 4



bằng :

A/ ln2 B/ln2 3 C/

3 2 3
ln

3


D/

3 2 3
3

6/
1
x 2
1
1 _dx

(e 1)(x 1)





  bằng :

A/

π

4 _B/

2

π

4 _C/π2  _D/

2
π
2
7/
1
0

x x A dx 2 



khi:

A/ A = 2 B/

10
A
3


C/
14
A
3


D/Cả B và C
cùng đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Bài toán: Cho đồ thị (C1): y f(x) , (C2): y g(x) , với f, g đều liên tục trên

đoạn [a;b] Hãy xác định giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2)

và các đường thẳng x a, x b. 

-Một điểm mạnh của máy tính CASIO fx- 570ES là hàm số dưới dấu tích

phân có thể đặt trong dấu giá trị tuyệt đối nên việc tính diện tích hình phẳng
rất thuận lợi.

-Ta dùng cú pháp giống như cơng thức ở sách giáo khoa 12

<i>Cú pháp</i>:

b

a

f (x) g(x) dx



Ví dụ 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) y = (x 1)(x 2)  _{trục hoành}

và hai đường thẳng x =
3

2_{, x = 5 là:}

A/
3

2 _B/5 _C_/116 _{D/ Một đáp}
số khác

Giải:

<i>Cú pháp</i>:

3

0

(x 1)(x 2) dx 



-Ấn phím dấu bằng được kết quả là 1.83333333... nên chọn C.

Ví dụ 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C1):

2

y ln(x 4x 4)

(C2):

2x 3
y

x 2
 


 _{và hai đường thẳng x =} _{1, x = 0 là:}

A/ 2 _ln2 _B_{/ 3ln2} _{C/ 4ln2} ₂ _{D/ Một}
đáp số khác

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<i>Cú pháp</i>:

0
2

1

2x 3

ln(x 4x 4) dx A

x 2





   





-Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn
phím dấu bằng nếu được kết quả là khơng thì chọn phương án đó. Kết quả
chọn B.

Nhận xét:

- <i>Cú pháp:</i>

b

a

f(x) g(x) dx 



A

-Trong đó biến A được gán bởi các giá trị của mỗi phương án ta có thể chọn

đúng khi diện tích là một số vơ tỉ phức tạp.

Ví dụ 19:Thể tích của vật thể trịn xoay được tạo ra khi quay quanh trục

hồnh hình phẳng giới hạn bởi các đường (C):

2

x x 1

y

x 1 


 _{; tiệm cận xiên}

của (C) và hai đường thẳng x =0, x = 1 là:

A/





1

π 2ln2

2 _B/π



32  2ln2



_C_/π



52  2ln2



_{D/ Một}

đáp số khác
Giải:

Dễ thấy rằng tiệm cận xiên của đường cong (C) có phương trình y = x.

<i>Cú pháp</i>:

2
1 ₂

2

0

x x 1

π x dx A

x 1

    _ _

 _ 

 



-Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn
phím dấu bằng nếu được kết quả là khơng thì chọn phương án đó. Kết quả
chọn C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) y =

lnx

x _{, trục hoành và hai đường}

thẳng
1
X

e


, x = e là:

A/e B/

1

e _C_/1  _{D/ Một đáp}
số khác

2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) y = sin6_{x + cos}6_{x , trục hoành và hai}

đường thẳng x = 0, x =
π
2_là:

A/
13π

32 _B_/5π16 _C/3π32 _{D/ Một}

đáp số khác

3/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)

2

x 1

y

x



, trục hoành và hai

đường thẳng x = a, x = e.a (a > 0) bằng e2 khi a bằng

A/1 B/e C/2 D/ 2

4/Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay quanh trục hồnh hình

phẳng giới hạn bởi các đường : y x.e x_{; y = 0 , x = 1 là:}

A/
2

(e 1)

4


B/

2

π(e

1)

4



C/
2

π(e 1)

4


D/ Một
đáp số khác

5/Thể tích của vật thể trịn xoay được tạo ra khi quay quanh trục hồnh hình
phẳng

giới hạn bởi các đường (C):

2

4

2

y

x

1.

π





</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

A/ 2 ln 2 1







B/ 2 ln 2 1







C/ 2 ln 2 1







D/Một
đáp số khác

<b>3/Xác định nguyên hàm của một hàm số :</b>

Bài toán 1: Cho hàm số f(x) và các hàm số Fi(x), hãy xác định một trong các

hàm số Fi(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

<i>Cú pháp:</i>



i



x A

d

f(A) F (x)

dx 



-Trong đó f là hàm số cần xác định nguyên hàm, Fi là các phương án đã cho.

-Biến A được nhập giá trị từ bàn phím để kiểm tra, nếu máy cho ít nhất một
giá trị

khác khơng thì loại phương án đó, nếu máy ln cho giá trị bằng không với
một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó.

- Để dễ đọc kết quả ta nên cài chế độ hiển thị fix- 9

Ví dụ 20: Một nguyên hàm của hàm số 2
2
y

x(1 lnx)



 _{(x > 0) là:}

A/

1 ln x
y

1 ln x


 _B/

1 ln x

y

1 ln x


 _C/

ln x 1
y

1 ln x


 _{D/ Một}
đáp số khác

Giải:

<i>Cú pháp:</i> 2





x A

2 d 1 ln x

dx 1 ln x

A(1 lnA) 

 _ 




</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa dấu  và dấu

_

ta

có biểu thức 2





x A

2 d 1 ln x

dx 1 ln x

A(1 lnA) 

 _ 




- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 1; 1,1; 1,2; 1,3... máy
luôn cho kết quả bằng khơng, vậy chọn B.

Ví dụ 21: Một nguyên hàm của hàm số

2

5(x x)
y

2x 1



 _{(x >}
1
2


) là:
A/y (x 2 x 1) 2x 1 _B/y (x 2 x 1) 2x 1 

C/y (x 2 x 1) 2x 1   _D/y (x 2 x 1) 2x 1 

Giải:

<i>Cú pháp:</i>





2

2

x A

5(A A) _{d (x x 1) 2x 1}
dx

2A 1 



   



- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 0 và ấn phím

=

máy hỏi X? ta tiếp
tục ấn phím

=

máy cho kết quả  _{2 nên loại phương án A.}

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa dấu _{thành dấu}

_

ta có biểu thức





2

2

x A

5(A A) _{d (x x 1) 2x 1}

dx

2A 1 



   



- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 0 và ấn phím

=

máy hỏi X? ta tiếp
tục ấn phím

=

máy cho kết quả 0, tiếp tục nhập A bằng 0,1 thì máy cho kết
quả bằng 0,5477 nên loại phương án B.

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa dấu ta có biểu thức





2

2

x A

5(A A) _{d (x x 1) 2x 1}
dx

2A 1 



   

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 0; 0,1; 0,2; 0,3... máy
luôn cho kết quả bằng khơng, vậy chọn C.

Bài tốn 2: Cho hàm số f(x) và các hàm số Fi(x), hãy xác định một trong các

hàm số Fi(x) là một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) sao cho F(x0) = C cho

trước.

<i>Cú pháp:</i> o

A
i

x

F (A)  C

_

f(x)dx

- Trong đó f là hàm số cần xác định nguyên hàm, Fi là các phương án đã cho,

xo và C là các hằng số cho trước.

-Biến A được nhập giá trị từ bàn phím để kiểm tra, nếu máy cho ít nhất một
giá trị

khác khơng thì loại phương án đó, nếu máy luôn cho giá trị bằng không với
một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó.

- Để dễ đọc kết quả ta nên cài chế độ hiển thị fix- 9

Ví dụ 22: Nguyên hàm F(x) của hàm số

5
f(x)

5sinx 3cos x 3


  _{thoả mãn}

π

F( ) 3ln2

2  _là:

A/

x

F(x) 3ln 5tan 3

2

 

B/

x

F(x) ln 5tan 3

2

 

C/

x

F(x) ln 5tan 3 2ln 2

2

  

D/ Một đáp số
khác.

Giải:

<i>Cú pháp:</i>

A

π
2

A 5dx

3ln 5tan 3 3ln2

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 0 và ấn phím

=

máy hỏi X? ta tiếp
tục ấn phím

=

máy cho bằng 2,19722 nên loại phương án A.

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa thành

A
π

2

x 5dx

ln 5tan 3 3ln2

2   



5sinx 3cos x 3 

- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 0; 0,1; 0,2; 0,3... máy
luôn cho kết quả bằng không, vậy chọn B.

<b>Bài tập đề nghị:</b>

1/ Một nguyên hàm của hàm số

2

x x 1
y

x 1 



 _là:

A/ 2

3
y 1

(x 1)
 

 _B/y x 2 3ln x 1

C/

2

x

y 2x 3ln x 1

2

   

D/ Một đáp số khác

2/ Một nguyên hàm của hàm số x

1
f(x)

e 1



 _là:

A/F(x) x ln(e  x  1) B/F(x) x ln(e  x 1)

C/ F(x) x ln(e  x 1) D/F(x) x ln(e  x  1)

3/ Họ nguyên hàm của hàm số

3
2

x
f(x)

2 x



 _là:

A/

 

2 2

1

F (x 4) 2 x C

3

<i>x</i>    

B/

 

1 2 2

F x 2 x C

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

C/

 

2 2

1

F (x 4) 2 x C

3

<i>x</i>    

D/ Một đáp số khác

4/ Họ nguyên hàm của hàm số

2 2
f(x)

sinx cos<i>x</i>


 _là:

A/

 

π
cos(x ) 1

4

F Ln C

π
cos(x ) 1

4

<i>x</i>    

 

B/

 

π

cos(x ) 1

4

F Ln C

π

cos(x ) 1

4

<i>x</i>    

 

C/

 

π
2cos(x ) 1

4

F Ln C

π
2cos(x ) 1

4

<i>x</i>    

 

D/ Một đáp số khác

5/ Nguyên hàm F(x) của hàm số

2
f(x)

2x 1


 _{thoả mãn}F(1) 2 _là:

A/F(x) 3 2x 1 1   B/F(x) 2x 1 1 
C/F(x) 2 2 x    _D_/F(x) 2 2x 1 

6/ Nguyên hàm F(x) của hàm số

1
f(x)

1 sinx


 _{thoả mãn}
π

F( ) 3

3  _là:

A/

2
F(x)

x

tan ₂ 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

C/

3 3

1
F(x)

x 2

1 tan
2



 



D/

2

F(x) 3 6

x
tan 1

2

  



.

<b>Đáp án của bài tập đề nghị</b>

<b>Phần A</b>

Nội dung 1:

1 2 3a,b 4 5 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<i>Nội dung 2:</i>

1 2 3

C B D

Nội dung 3:

1 2 3 4

D C D B

Nội dung 4:

1 2 3 4 5 6

B D C D B C

Nội dung 5:

1 2 3 4 5 6

D C D B C A

<b>Phần B</b>
Nội dung 1:

1 2 3 4 5 6 7

B C D C C A D

Nội dung 2:

1 2 3 4 5

C B D C A

Nội dung 3:

1 2 3 4 5 6

C B A B D B

<i><b>Kết luận:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

MTCT chỉ là dụng cụ hỗ trợ học tập, nhưng nếu khai thác tốt, học
sinh sẽ có được một cơng cụ mạnh để kiểm tra tính đúng sai của một mệnh
đề. Từ đó, chọn được một phương án thoả mãn yêu cầu bài tốn, góp phần
rèn luyện kỹ năng giải tốn trắc nghiệm cho các em.

Những kỹ thuật vừa trình bày trên, chủ yếu sử dụng ưu điểm tính
nhanh và chính xác của máy (sai số tuyệt đối nhỏ hơn 109) để kiểm tra - rồi
chọn phương án thích hợp. Tuy nhiên, nó khơng tối ưu đối với một số bài
tốn thuộc dạng cơ bản có thể giải đơn giản hơn bằng những phương pháp
giải khác. Hạn chế này là một tồn tại hiển nhiên của mọi phương pháp giải
toán.

Hiện nay phần lớn học sinh phổ thông đều sử dụng tương đối thành
thạo MTCT, do đó việc hướng dẫn các em biết sử dụng cơng cụ này để giải
tốn - đặc biệt là toán trắc nghiệm cần được quan tâm.

Hy vọng rằng bài viết này là tài liệu tham khảo cần thiết đối với các
em học sinh và các thầy cô giáo đồng nghiệp dạy tốn phổ thơng trung học .

<i><b>Ý kiến đề nghị:</b></i>

-Nên đưa thêm vào sách giáo khoa thậm chí sách giáo viên nhiều bài
đọc thêm hướng dẫn sử dụng MTCT để giải toán đối với một số loại máy
mới mạnh hơn mà Bộ đã cho phép học sinh sử dụng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

-Nhà trường nên trang bị MTCT động viên các thầy giáo cơ giáo
nghiên cứu tìm tịi, trang bị cho đội tuyển học sinh giỏi, cho học sinh nghèo
dưới dạng phần thưởng, phần quà ... tạo điều kiện để các em học tốt.

    

<b>TÀI LIỆU THAM KHẢO</b>
<i><b>1/ Bài tập giải tích</b></i> <i><b>_{Sách đại học sư phạm}</b></i>

 <i>_{Triệu Khuê}</i> <i>_{Nguyễn Ngải}</i> <i>_{Cấn Tuất}</i>
<i><b>2/ Chuyên đề luyện thi vào đại học</b></i>

 <i>Trần Văn Hạo (chủ biên)</i>

<i><b>3/ Đại số và giải tích nâng cao 11</b></i>
 <i>_{Nhà xuất bản giáo dục}</i>

<i><b>4/ Giải tích 12</b></i> <i><b>_{Sách chỉnh lí hợp nhất}</b></i>
 <i>Nhà xuất bản giáo dục </i>

<i><b>5/ Giải tốn tích phân</b></i>
 <i>_{Nguyễn Cam}</i>

<i><b>6/ Ơn tập theo câu hỏi trắc nghiệm giải tích 12</b></i>
 <i>_{Trương Công Thành – Vũ Dương Thụy}</i>

<i><b>7/ Tài liệu luyện thi tuyển sinh đại học</b></i>

 <i>_{Lê Quang Ánh}</i> <i>_{Nguyễn Thành Dũng}</i> <i>_{Trần Thái Hùng}</i>
<i><b>8/ Toán bồi dưỡng học sinh 12</b></i>



<i><b>Nguyên hàm và tích phân</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

 <i>_{Nguyễn Đạo Phương}</i> <i>_{Lê Tất Tốn}</i> <i>_{Đặng Quang Viễn}</i>

<i><b>Lời cam đoan:</b></i>

<i>Tôi xin cam đoan ngồi các cú pháp (1) và (2) có sẵn trong tài liệu <b>“</b></i>
<i><b>Hướng</b></i> <i><b>dẫn sử dụng máy tính CASIO f</b><b>x </b><b>- 570ES”</b> còn lại tất cả các cú</i>

</div>

<!--links-->