baøi toaùn 4 caùc baøi toaùn cöïc trò trong khoâng gian toaï ñoä baøi toaùn 4 caùc baøi toaùn cöïc trò trong khoâng gian toaï ñoä baøi taäp minh hoaï trong khoâng gian oxyz cho ñöôøng thaúng vieá

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

BÀI TỐN 4 (CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN

TOẠ ĐỘ)

Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

(<i>d):</i>
<i>x=1 −t</i>
<i>y=− 2+ t</i>

<i>z=2 t</i>

¿{ {

. Viết phương trình mặt p
phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.

Lời giải tham khảo.
Cách 1: Phương pháp hình học.

Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình
chiếu của M trên d. ta có : MAK❑ =<i>α=(d , Oy)</i> .Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên
(P) thì _MAH❑ =<i>β=(d ', P)=(Oy , P)</i> . Như thế : <i>sin α=</i>MK_AM<i>; sin β =</i>MH_AM .Trong tam giác
vng MHK thì <i>MH ≤ MK⇒sin β ≤ sin α ⇒ max β=α khi H ≡ K</i> . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm
vng góc với MK tại K.

Giải: A(1;-2;0) thuộc d. Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương ⃗❑<i>_j</i>

=(0 ;1 ; 0) ; nên nếu d’ qua
A

và song song với Oy thì d’ có phương trình là

¿

<i>x=1</i>
<i>y=− 2+t</i>

<i>z=0</i>

¿{ {

¿

. Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình

chiếu vuông góc của M trên d là

6
<i>−</i>1

6<i>;−</i>
5
6<i>;</i>

2

¿

<i>K (</i>5
6<i>;−</i>

11
6 <i>;</i>

1

3)<i>⇒ MK</i>

⃗
❑

=¿

) . Chọn véctơ pháp tuyến
của (P) là <i>_n</i>⃗❑

=(1 ;5 ;− 2)

Phưong trình mặt phaúng (P): <i>1(x −</i>5

6)+5( y +
11

6 )<i>−2(z −</i>
1
3)=0
Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0.
Cách 2: Phương pháp giải tích.

Lấy M(1;-2;0) d ; N(0;-1;2) d. Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0

(

<i>A</i>2+<i>B</i>2+<i>C</i>2<i>≠ 0</i>

)

Do M và N thuộc (P) nên:

¿

<i>D=− A +2 B</i>
<i>C=A − B</i>

2

¿{

¿

<i>⇒(P):Ax+By+A − B</i>

2 <i>z+2 B − A=0</i> .

Ta có VTPT của (P) là <i>n</i>

⃗
❑

=(<i>A ; B ;A − B</i>

2 ) và VTCP của Oy là <i>j</i>

⃗
❑

(0 ;1 ;0) .

Gọi <i>α=(P , Oy)</i>❑ thì <i>sin α=</i>

|

<i>n</i>⃗❑<i>. j</i>❑⃗

|

|

<i>n</i>⃗❑

|

.

|

❑⃗<i>j</i>

|

= |<i>B</i>|

√

<i>A</i>2+<i>B</i>2+

(

<i>A − B</i>
2

)

2=

2|<i>B</i>|

√

<i>5 A</i>2_{+5 B}2<i>_{− 2 AB}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

+Neáu B 0 thì <i>sin α=</i>

2

√

5

(

<i>A</i>

<i>B</i>

)

2

+<i>5− 2</i>

(

<i>A</i>
<i>B</i>

)

= 2

√

<i>5 x</i>2<i>− 2 x +5</i>(<i>x=</i>
<i>A</i>
<i>B</i>)

Xét hàm số <i>f (x)=sin</i>2<i>_α=</i> 4

<i>5 x</i>2<i>−2 x+5</i> .
<i>5 x</i>2<i>− 2 x +5</i>¿2

¿
¿

<i>f ' (x)=4 (− 10 x +2)</i>

¿

. Ta được Maxf(x)= 5₆ khi <i>x=</i>1
5
Vậy <i>α</i> lớn nhất khi <i>A_B</i>=1

5 . Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9.
Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0.

Vónh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009.
GV Nguyễn Ngọc Ấn

****************************************************************************

Chú ý:

1/ Có thể vieát <i>sin α=</i>

2

√

<i>5 (x</i>2<i>−</i>2

5<i>x +</i>
1
25)+

24
5

= 2

√

5

(

<i>x −</i>1

5

)

2

+24
5

<i>≤</i> 2

√

245
Do đó max(sin <i>α</i> ) = 2

√

5

√

24 khi <i>x=</i>

1
5 .

</div>

<!--links-->