Bài giảng Hàm số và hệ phương trình

Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn
CHUYÊN ĐỀ:
HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.Lý Thuyết.
1.Lý thuyết cơ bản:
*ĐN: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức : y=ax+b
Trong đó a,b là các số thực xác định và a ≠0.
*Tính chất:
- Hàm số bậc nhất y=ax+b xác định với mọi giá trị x thuộc R và có tính chất
sau:
a)Đồng biến trên R, khi a>0.
b)Nghịch biến tren R, khi a<0.
*Đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠0)
Đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung
độ là b, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -b/a, song song với đường thẳng y=ax
nếu b≠0 và tỷùng với đường thẳng y=ax nếu b=0.
Chú ý : Đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠0) cũng được gọi là đường thẳng y=ax+b , b
được gọi là tung độ gốc củ đường thẳng.
2.Kiến thức nâng cao:
a.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(x
A
; y
A
) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y
A
= f(x
A
).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax
2

biết đồ thị hàm số của nó đi qua
điểm A(2;4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2
2
a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương
trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
b.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
(II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x)
để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
c.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d
1
) : y

= a
1
x + b
1
.
(d
2
) : y

= a
2
x + b
2
.
a) (d
1
) cắt (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn
c) d
1
) (d
2
)
d) (d
1
) (d
2
) a

1
a
2
= -1
d.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để
tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
e.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx
2
(c 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx
2
= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx
2
để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm .
f.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.
1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x
0
;y
0
)

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x
0
;y
0
vào công thức y = ax + b để tìm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
0
;y
0
) và tiếp xúc với (P): y = cx

2
(c 0).
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x
0
;y
0
) nên có phương trình :
y
0
= ax
0
+ b (3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx
2
(c 0) nên:
Pt: cx
2
= ax + b có nghiệm kép
(3.2)
+) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b.
g.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+) Giả sử A(x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m,
thay x
0
;y
0

vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x
0
;y
0
nghiệm đúng với mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x
0
;y
0
.
Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn
3.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số.
1.Ứng dụng vào phương trình.
2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.
3.Bài tập minh hoạ:
Bài tập 1: Cho đường thảng d: y = (a-1)x – 2a + 3 và đường thảng d’: y = (2a +
1)x + a +4. Định a để.
a/ (d) và (d’) cắt nhau
b/ (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c/ (d) và (d’) song song
d/( d) và (d’) vuông góc
e/ (d) và (d’) trùng nhau
Giải
a/ (d) và (d’) cắt nhau khi a - 1 ≠ 2a + 1 hay a ≠ -2
b/ d cắt Oy tại điểm (0; -2a +3)
(d’) cắt Oy tại điểm (0; a + 4)
Để (d) và (d’) căt nhau tại một điểm trên trục tung thì -2a + 3 = a + 4 hay a =
-1/3
c/ (d) và (d’) song song khi và chỉ khi
1 2 1

2 3 4
a a
a a
− = +


− + = +

hay a = -2
d/ (d) vuông góc (d’) khi và chỉ khi (a-1)(2a+1) = -1 hay a = ½
e/ Không có a để (d) trùng (d’)

Bài 2 : Cho hàm số
y = (m - 3)x + m + 2 (*)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = -2x + 1
c) Tìm m để đồ thị hàm số (*) vuông góc với đường thẳng y = 2x -3
Giải:
a) Để đồ thị hàm số
y = (m - 3)x + m + 2 (*)
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –
3.

⇒
x = 0; y = - 3
Ta có: -3 = (m-3).0 + m + 2

⇔
m + 2 = 3

⇔
m = 1
Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 3
b) Để đồ thị hàm số
y = (m - 3)x + m + 2 (*)
song song với đường thẳng
y = - 2x + 1

⇔

3 2
2 1
m
m
− = −


+ ≠


⇔

2 3
1 2
m
m
= − +


≠ −



⇔
1
1
m
m
=


≠ −

( t/m)
Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số
y = (m - 3)x + m + 2 (*)
song song với đường thẳng
y = - 2x + 1
c) Để đồ thị hàm số
y = (m - 3)x + m + 2 (*)
vuông góc với đường thẳng
y= 2x - 3

⇔
a.a’ = -1
⇔
(m – 3) .2 = -1
Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn

⇔
2m – 6 = -1

⇔
2m = 5
⇔

5
m =
2
Vậy với
5
m =
2
đồ thị hàm số
y = (m - 3)x + m + 2
vuông góc với đường thẳng
y = 2x - 3

Bài 3 : Cho hàm số
( )
y = (2k +1)x + k - 2 *
a) Tìm k để đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Tìm k để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng
y= 2x + 3
c) Tìm k để đồ thị hàm số (*) vuông góc với đường thẳng y =
1
3
x – 3
Giải:
a) Để đồ thị hàm số
y = (2k +1)x + k - 2
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3.

⇒
x = 0; y = - 3
Ta có: 0 = ( 2k + 1 ).2 + k - 2

⇔
4k + 2 +k - 2 = 0

⇔
5k = 0
⇒
k = 0
Vậy với k = 0 thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
b) Để đồ thị hàm số
y = (2k +1)x + k - 2
song song với đường thẳng
y= 2x + 3

⇔

2 1 2
2 3
k
k
+ =


− ≠


⇔

2 2 1
3 2
k
k
= −


≠ +


⇔

2 1
5
k
k
=


≠


⇔

1
2
5
k

k

=



≠

t/m)
Vậy với
1
2
k =
thì đồ thị hàm số
y = (2k +1)x + k - 2
song song với đường thẳng
y= 2x + 3
c) Để đồ thị hàm số
y = (2k +1)x + k - 2
vuông góc với đường thẳng y =
1
3
x – 3

⇔
a.a’ = -1
⇔
(2k + 1) .
1
3

= -1

⇔
2k + 1 = - 3
⇔
2k = -4
⇔
k = -2
Vậy với m =
5
2
đồ thị hàm số
y = (2k +1)x + k - 2
vuông góc với đường thẳng
y =
1
3
x - 3
Bài 4: Cho hàm số y = (a -1)x + a (1)
a/ Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
b/ Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
-3
c/ Vẽ đồ thị hai hàm số với giá trị của a vừa tìm được ở câu a/ và b/ trên cùng mọt hệ
trục tạo độ và tìm giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ.

Giải
a/ Đồ thị hàm số cắt trục tung có tung độ bằng 2 nghĩa là đường thẳng đi qua điểm
có tọa độ bằng (0;2)
Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn
Thay tọa độ trên vào (1) ta có 2 = (a+1).0 + a suy ra a = 2

Vậy đồ thị cần tìm là y = 3x + 2 (d1)
b/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành có hoành độ bằng -3 nghĩa là đường thẳng đi qua
điểm có tọa độ bằng (-3;0)
Thay tọa độ trên vào (1) ta có 0 = (a+1).(-3) + a suy ra a = -1,5
Vậy hàm số cần tìm là y = -0,5x – 1,5 (d2)
c/ GV: Hướng dẫn vẽ ĐTHS như bài 1, yêu cầu 2 em lên vẽ. Hai em khác tìm tọa độ
giao điểm theo 2 cách.
y
-1
1 2 3 4
-2
-3-4
-2/3
d2
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
5
-1,5
O
d1
A (-1;-1)
x
Cách 1 : Giao điểm của (d1) và (d2) trên đồ thị là A (-1;-1)
Cách 2 : Giải phương trình tương giao 3x + 2 = 0,5x + 1,5 suy ra x = -1, thay x = -1

vào (d2) ta được y = -1
Vậy toa độ giao điểm của (d1) và d2 là A (-1;-1)
Bài 5: Cho hai hàm số
y = (k + 1)x + k (k
1−≠
) (1)
y = (2k - 1)x - k (k
2
1
≠
) (2)
Với giá trị nào của k thì
a. Đồ thị các hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song.
b. Đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại gốc toạ độ.
Giải:
a. Để đồ thị hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song khi

2
0
2121
=⇒



≠
=
⇔




−≠
−=+
k
x
k
kk
kk
(thoả mãn đk)
b. Đồ thị hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt nhau tại gốc toạ độ khi và chỉ khi.
Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn

0
0
2
01
121
=⇒



=
−≠
⇔



=−=
−≠+
k
k

k
k
kk
(thoả mãn đk)
Vậy * k = 2 thì đồ thị hàm số (1) song song với đồ thị hàm số (2)
* k = 0 thì đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số (2) tại gốc toạ độ.
Bài 6: Cho hai hàm số bậc nhất
y =
1
3
2
+






− xm
(1)
y = (2 - m)x - 3 (2)
Với giá trị nào của m thì
a. Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt.
b. Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song.
c. Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 4.
Giải:
a. Đồ thị hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt nhau khi









≠
≠
≠
⇔







−≠−
≠−
≠−
3
4
2
2
3
2
3
2
02
0
3

2
m
m
m
mm
m
m
Vậy
3
4
;2;
3
2
≠≠≠ mmm
thì đồ thị (1) cắt đồ thị (2)
b. Đồ thị của hàm số (1) và (2) l hai đường thẳng có tung độ gốc khác nhau (1
3−≠
)
do đó chúng song song với nhau khi và chỉ khi








−=−
≠−
=−

mm
m
m
2
3
2
02
0
3
2







≠
≠
≠
⇔
3
4
2
3
2
m
m
m
Vậy m =

3
4
thì đồ thị (1) song song với đồ thị (2)
II.BÀI TẬP (TỰ LUYỆN)
1.Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?
d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn
e, Tính f(- 4); f(0); f(5)
Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k
2
-3)
(d)

a, Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng có phương trình
y=-2x+10
Bài 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình : y=k
2
x+(m+3),và đường thẳng (d’) có
phương trình : y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đường thẳng trùng nhau
Bài 4:Cho 2 hàm số : y=(k-1) x+3 và y= (2k+1)x -4
a,Xác định k để 2 đường thẳng cắt nhau
b, Xác định k để 2 đường thẳng song song với nhau
c, Hai đường thẳng có trùng nhau được không? Vì sao?
Bài 5: Cho 3 đường thẳng: y=kx-2 (d
1

) ; y=4x +3 (d
2
) ; y=(k-1)x+4 (d
3
)
Tìm k để : a, (d
1
) song song với (d
2
) d, (d
1
) vuông góc với (d
3
)
b, (d
1
) song song với (d
3
) e, (d
2
) cắt (d
3
)
c, (d
1
) vuông góc với (d
2
)
Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số
?

Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết
a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2
b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có
tung độ là 1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và trục tung
Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho 3 đường thẳng: y=2x-7 (d
1
) ; y=x +5 (d
2
) ; y=k x+5
(d
3
)
a,Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
)
b, Tìm k để 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5
(1)
; y=4x
(2)
; y=
4
1

x
(3)
b, Gọi giao điểm của đường thẳng có phương trình (1) với các đường thẳng
có phương
trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B
c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao?
d, Tính S

∆
ABO
=?
2.Bài tập nâng cao.
BàI T ập 1 .
cho parabol y= 2x
2
. (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đường thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đường thẳng y=6x-9/2.