chöông i haøm soá löôïng giaùcchöông i haøm soá löôïng giaùcchöông i haøm soá löôïng giaùcchöông i haøm soá löôïng giaùc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC

• _{Bài 1 : Góc và cung lượng giác}
• _{Bài 2 : Các hàm số lượng giác}

• _{Bài 3 : Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác}
• _{Bài 4 : Cơng thức lượng giác}

Kiến thức

• _{Đơn vị đo góc Radian , độ dài một cung trịn}
• _{Mở rộng khái niệm góc , Góc và cung lượng giác}

• _{Định nghĩa các hàm số lượng giác , các trục Sin , Cosin , Tang , Cotang}
• _{Các hệ thức lượng giác cơ bản , cung liên kết}

• _{Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác}
• _{Các công thức lượng giác : cộng , nhân , biến đổi}

Kỹ năng

• _{Biểu diễn điểm cuối của cung lượng giác trên đường trịn lượng giác}
• _{Giá trị các hàm số lượng giác của các goc đặc biệt}

• _{Xác định dấu các hàm số lượng giác , khi biết điểm cuối của cung lượng}

giác

• _{Vận dụng các hệ thức cơ bản , cung liên kết trong các bài tốn có liên}

quan

• _{Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số lượng giác}

• _{Vận dụng các cơng thức lương giác trong các bài toán : Chứng minh một}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 1 : GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

Mục đích u cầu

• Đơn vị đo góc Radian _ Độ dài một cung
trịn

• Mở rộng khái niệm góc _ Góc , cung lượng
giác

• Biểu diễn điểm cuối của cung lượng giác
• Đổi đơn vị đo góc .

Giáo viên hướng dẫn :
- Nhắc lại đơn vị phút , giây
- 1 độ = 60/_{(phút ) ; 1 phút = 60}//
- Số đo một cung tròn ?

- Tìm cơng thức đổi đơn vị độ
sang đơn vị radian ?

- Đổi một số góc đặc biệt : 0o_;
30o_{; 45}o_{; 60}o_{... sang đơn vị}
radian

- Tìm cơng thức tính độ dài một
cung trịn ( Cho ví dụ tính , chú ý
đơn vị góc)

- Một điểm M trên vành bánh xe ,
bánh xe quay 2 vòng , 4/3 vịng ...
điểm M ở vị trí nào , có duy nhất
không ? Sự cần thiết phải định
hướng quay ?

O _R A
M l=Rα

O x

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

I. Đơn vị đo góc và cung :
1.Độ :

Nhắc lại đơn vị độ , đơn vị nhỏ
hơn : phút , giây .

Số đo một cung trịn là số đo của
góc ở tâm chắn cung trịn đó
Như vậy : Cung một phần tư

đường trịn có số đo 90o_{, cung}
nửa đường trịn có số đo 180o
2. Radian :

Ta định nghóa đơn vị Radian như
sau :

Góc bẹt ( 180o_{) có số đo}

làπRadian
Ta viết : 180o₌_π_{(rad) .}

Như vậy : Nếu góc (cung) có số
đo bằng độ là a , số đo bằng
radian là α thì ta có :

α
π

0
a ₌

0
180

Quy ước : Khi viết số đo của một
góc (hay) cung theo đơn vị
Radian thì ta khơng cần viết
đơn vị .

Bảng tương ứng giữa số đo bằng
độ và số đo bằng radian
3. Độ dài một cung tròn :

Định lý : Trên đường trịn bán
kính R , cung có số đo αradian
có độ dài là : l = Rα

Hệ quả :

1/ Nếu α= 1 (rad) thì l = R . Như
vậy : Cung có số đo 1 radian là
cung có độ dài bằng bán kính
của đường trịn mang cung đó .
2/ Nếu R = 1 thì l =α . Như vậy :
Trên đường trịn có bán kính R
= 1, độ dài một cung tròn và số
đo của nó bằng radian đều
được biểu thị bằng một số
thực.

II. Góc lượng giác :

1. Mở rộng khái niệm góc :
Ở lớp dưới , ta đã xét những góc

và miền góc có số đo ao_{từ 0}o
đến 360o _{. Tuy nhiên, trong}
thực tế cịn có những góc lớn

hơn 360o_{. Chẳng hạn : bán kính OM của của một bánh xe có thể}
quay 4/3 vịng (ta nói nó quay được 360o_{.4/3 = 480}o_{), 2 vịng (ta nói}
nó quay 720o_{).... Mặt khác bán kính OM có thể quay theo hai chiều}
khác nhau

Ta quy ước : Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương,
chiều quay ngược lại là chiều âm

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

- Oz quay từ Ox đến Oy theo
chiều quay ? Quay tiếp được
không ?

- Có bao nhiêu góc lượng giác
nhân Ox là tia đầu và Oy là tia
cuối ?

- Mối quan hệ giữa các góc nhận
Ox là tia đầu và Oy là tia cuối ?
- Công thức tổng qt của góc

lượng giác ? Tính theo đơn vị đơ
? Tính theo đơn vị radian ?

- Định hướng trên đường tròn ,
quy ước hướng dương

- Số đo cung lượng giác ?

- Cách biểu diễn điểm cuối của
cung lượng giác trên đường tròn
lượng giác .Quy tắc ?

- Cho công thức, xác định điểm
cuối

- Cho các điểm cuối, xác định
công thức ?

Cho hai tia Ox , Oy trong một mặt phẳng . Xét tia Oz củng nằm trong
mặt phẳng này. Nếu tia Oz quay quanh điểm O theo một chiều nhất
định từ Ox đến Oy , ta nói nó quét một góc lượng giác , ký hiệu là
(Ox,Oy). Ox là tia ngọn, Oy là tia gốc

Tia Oz có thể quay từ Ox, đến Oy theo chiều dương hoặc chiều âm.
Ngồi ra Oz có thể quay đến Oy lần thứ nhất rồi dừng lại hay quay
tiếp một vòng, hai vòng...

Như vậy : Với 2 tia Ox, Oy cho trước, ta có vơ số góc lượng giác
(Ox,Oy).

3. Số đo góc lượng giác :

Số đo của góc lượng giác (Ox,Oy) ký hiệu là sđ(Ox,Oy).

Gọi ao_{là số đo của góc quét bởi Oz khi nó quay từ Ox đến Oy lần thứ}
nhất (theo chiều dương) . Thế thì ₀o ≤_ao <₃₆₀o_{. Nếu Oz tiếp tục}
quay (theo chiều dương hay âm) thì số đo các góc (Ox,Oy) có dạng :
ao_{+ k.360}o_{với k là số nguyên}

Tóm lại : sđ(Ox,Oy) = ao_{+ k.360}o_{, k là số nguyên}

Nếu dùng đơn vị radian ta có : sđ(Ox, Oy)= α +k2π, k là số nguyên
III.Cung lượng giác :

1. Đường tròn định hướng : Đường trịn định hướng là đường trịn
trên đó ta đã chọn một chiều di động là chiều dương , chiều ngược
lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ là
chiều dương . Trên đường tròn định hướng ta thường chọn một điểm
làm điểm gốc.

2. Cung lương giác :

Cho góc lượng giác (Ox,Oy) và đường tròn định hướng tâm O cắt Ox
tại A và Oy tại B. Xét tia Oz cắt đường tròn tại M. Khi quay Oz từ
Ox đến Oy tạo thành góc lượng giác (Ox,Oy) thì điểm M di động từ
A đến B tạo thành một cung gọi là cung lượng giác . Ký hiệu là AB
. A gọi là điểm ngọn, B gọi là điểm gốc.

Góc lượng giác (Ox,Oy) cịn viết là (OA,OB), được gọi là góc tương
ứng với cung AB hay chắn cung AB

3. Số đo cung lượng giác :

Ta quy ước số đo cung lượng giác là số đo góc lượng giác tương ứng
Chú ý : Với 2 điểm A, B trên đường trịn định hướng thì có vơ số cung

lượng giác nhận A là điểm gốc, B là điểm ngọn . Nếu trên đường
trịn định hướng có 3 điểm A, , C thì ta có hệ thức Salơ : ...

IV. Đường tròn lượng giác :

1. Định nghĩa : Đường trịn lượng giác là đường trịn định hướng có
bán kính bằng 1 đơn vị

2. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác :

Trong mp(Oxy) đường tròn lượng giác tâm O cắt Ox tại A(1,0). Để biểu
diễn một cung lượng giác, Ta quy ước chọn điểm A làm gốc cho cung .
Cung lượng giác có số đo αđược xác định bởi hệ thức sđ AM = x
Như vậy : muốn biểu diễn cung α trên đường tròn lượng giác, ta chỉ

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Phần bổ sung của giáo viên

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài tập (Tiết 3 – Tuần 1 ; Tiết 4 – Tuần 2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7></div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài 2 : CÁC HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC

Mục đích u cầu

• Các giá trị lượng giác của một cung , các hệ quả

• Các hàm số lượng giác của biến số thực , trục sin, cosin, tang, cotang
• Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

• Dấu các giá trị lượng giác
• Cung liên kết .

Giáo viên hướng dẫn

_ Cosx = 0 khi điểm cuối của
cung x là điểm nào ?

_ Sinx = 0 khi điểm cuối của
cung x là điểm nào ?

_ Điều kiện xác định của tgx ;
cotgx

_ Các tính chất của cosx, sinx ,
tgx , cotgx .

I. Các giá trị lượng giác của cung x :
1. Định nghĩa :

Xét đường tròn lượng giác tâm O và hệ trục Oxy với các điểm A(1,0) ;
A/_{(-1,0) ; B(0,1) ; B}/_(0,-1).

Với mỗi số thực α, cung lượng giác có số đo α được biểu diễn bởi một
điểm M sao cho sđ AM = α

• Tung độ y của điểm M gọi là sin của αvà ký hiệu sinα
• Hồnh độ x của điểm M gọi là cosin của αvà ký hiệu cosα

• Nếu cosx khác 0 thì tỷ số sinx/cosx gọi là tang củaαvà ký hiệu là
tgα

• Nếu sinx khác 0 thì tỷ số cosx/sinx gọi là cotang củaα và ký hiệu là
cotgα

• Vậy : sin = y ; cos = x ; tg =α α α sinx ; cotg =α cosx

cosx sinx

• Các giá trị : sinα cosα, tgα, cotgαđược gọi là các giá trị lượng
giác của cung α

• Trục tung cịn gọi là trục sin và trục hồnh cịn gọi là trục cosin
Chú ý : Các giá trị lượng giác cũng được định nghĩa cho các góc lượng

giác . Khi x từ 0o_{đến 180}o_{thì các giá trị lượng giác của x cũng chính}
là các tỷ số lượng giác của góc x ở lớp 10.

2. Các hệ quả của định nghóa :

1/ Với mọi αthuộc R , sinα và cosα đều được xác định . Ta cịn có :

α

α α

α α

sin( + k2 ) = sin
;
cos( + k2 ) = cos ∀∀∀∀

ππππ

∈
∈
∈
∈

ππππ R

2/ Vì -1≤OK 1 nên ta có - 1≤ ≤sinα ≤1
Tương tự : -1≤cosα ≤1

3/ Tgα xác định khi :α ≠ π+ πk ; k∈Z
2

4/ Cotgα xác định khi : α ≠ πk ; k∈Z

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

_ Miền xác định các hàm số
sinx, cosx, tgx, cotgx

_ Chứng minh giá trị của tgx,
tính tương tự cho cotgx

_ Nhận xét về giá trị tang của 2
cung có 2 điểm cuối đối xứng
nhau qua O .Tương tự cho
cotang ... Nhận xét ?

_ Nhắc lại các hệ thức cơ bản ở
lớp 10 ?

_ Các điều kiện trong các công
thức ?

_ Ví dụ : Cho sin x = 3/5 và x là
góc tù . Tính cosx, tgx, cotgx
_ Cho các góc x khác ...

_ Cho các điểm cuối của cung x
trên đường tròn lượng giác,
xét dấu các hàm số lượng
giác

II. Các hàm số lượng giác của biến số thực :

Các định nghĩa về các giá trị lượng giác ở trên xác định các hàm số
lượng giác sau :

•Hàm số sin : Sin : R R
x y = sinx

•Hàm số cosin : Cos : R R

x y = cosx

•Hàm số tang: tg : D1 R = ∈ ≠ π+ π ∈ 

 

1

D x R / x k , k Z

2

x y = tgx

•Hàm số cotang : cotg : D2 R D2 ={x∈R / x≠ πk , k∈Z}

x y = cotgx

III.Ý nghóa hình học của tgx và cotgx :
1/ Ý nghóa hình học của tgx :

Từ A vẽ tiếp tuyến t/_{At với đường tròn lượng giác. Ta xác định trên tiếp}
tuyến này một trục bằng cách chọn gốc tại A và véc tơ đơn vị là
OBuuur. Cho cung lượng giác OM. Gọi T là giao điểm của OM với trục
t/_{At . Ta có :}

tgx= AT

Vậy : tgx được biểu diễn bằng độ dài đại số của ATuuur trên trục t/At .
Trục này được gọi là trục tang

2/ Ý nghóa hình học của cotgx :

Vẽ tiếp tuyến s/_{Bs với đường tròn lượng giác ...}
3/ Ghi chú : Từ ý nghĩa hình học của tgx và cotgx . Ta có :

∀ ∈

tg(x + k ) = tgx

; k Z
cotg(x + k ) = cotgx

ππππ
ππππ

IV. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :

Giữa các giá trị lượng giác , ta có các hệ thức cơ bản sau :
1/ sin2_{x + cos}2_{x = 1 2/ tgx =} sinx

cosx 3/ cotgx =
cosx

sinx
4/ tgx.cotgx = 1 5/ 1 + tg2_{x =}

2

1

cos x 6/ 1+cotg
2_{x =}

2

1
sin x
V. Dấu của các hàm số lượng giác :

Bảng tóm tắt dấu khi điểm ngọn của cung x thuộc các góc phần tư
tương ứng ...

Góc phần tư

Hàm số lượng giác I II III IV

Cosx + - - +

Sinx + + - -

Tgx + - + -

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

_ Định nghĩa các cung liên kết
_ Dùng đường tròn lượng giác

cho biệt các mối liên quan
giữa các hàm số lượng giác

_ Cho các ví dụ ...

VI. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt :
1/ Cung đối nhau :...

2/ Cung bù nhau :...
3/ Cung phụ nhau :...
4/ Cung hơn kém :...

Phần bổ sung của giáo viên

...
...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11></div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12></div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bài 3 : SỰ BIẾN THIÊN VAØ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Mục đích yêu cầu

• Tính tuần hoàn và chu kỳ các hàm số lượng giác .
• Khảo sát các hàm số lượng giác .

Giáo viên hướng dẫn

_ Tính tuần hồn của hàm số sinx
_ Chứng minh chu kỳ hàm số sinx

_ Nếu có một số T sao cho sin(x +
T ) = sinx với mọi số thực x khi
đó , với x =90o_{. Ta có sin(}
90o_{+T) = sin90}o_{= 1}

Vaäy : 90o_{+ T = 90}o_{+ k360}o_...

_ Chứng minh tương tự cho các
hàm số lượng giác khác

_ M1(x1, f(x1)) thuộc (C1) , chứng
minh M2(x2, f(x2)) thuộc (C2)
với x2 = x1 + T và f(x2) = f(x1) .
Suy ra cách tịnh tiến đồ thị

I. Tính tuần hồn của các hàm số lượng giác :
1/ Định nghĩa :

_ Một hàm số f(x) xác định trên tập D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một
số dương T sao cho với mọi x thuộc D ta có :

x – T , x + T thuoäc D vaø f(x + T) = f(x)

_ Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có tính chất trên gọi là chu kỳ
của hàm số tuần hoàn f(x)

2/ Tính tuần hồn và chu kỳ của hàm số sinx và cosx :

_ Xét hàm số y = sinx có tập xác định R và với mọi x thuộc R. Ta có :
x - 2π ∈R và x + 2π ∈R (1)

sin(x+2π) = sinx (2)

Vậy hàm số sinx là hàm số tuần hoàn và có chu kỳ là T = 2π

_ Tương tự ta chứng minh được hàm số y = cosx là hàm số tuần hồn có
chu kỳ T = 2π

3/ Tính tuần hoàn của hàm số tgx và cotgx :

_ Xét hàm số y = tgx có miền xác định D = x R / x k , k Z
2

π

 _∈ _≠ _{+ π} _∈ 

 

 

Với mọi x thuộc D , ta có x -π ∈R và x + π ∈R và tg(x+π) = tgx
Vậy hàm số tgx là hàm số tuần hoàn và có chu kỳ T = π

_ Tương tự ta chứng minh được hàm số y = cotgx là hàm số tuần hồn
có chu kỳ T = π

4/ Đồ thị hàm số tuần hoàn :

_ Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định D và là hàm số tuần hồn có
chu kỳ T

Xét 2 đoạn X1 = [a, a+T] và X2 = [a+T, a+2T] với a thuộc D

Gọi (C1) và (C2) lần lượt là phần đồ thị của hàm số ứng với x

thuộc X1 và x thuộc X2 thì ta có (C2) là ảnh của (C1) qua phép tịnh
tiến theo véc tơ→v= (T, 0) .

_ Vậy muốn vẽ đồ thị của hàm số tuần hồn có chu kỳ T, ta chỉ cần vẽ
đồ thị của hàm số trên đoạn [a, a+T] rồi thực hiện các phép tịnh tiến
theo các véc tơ →v , 2→v, ... , -→v, - 2→v, ... ta được tồn bộ đồ thị
của hàm số f(x)

II.Hàm số y = sinx :
1/ Tập xác định : D = R
Tiết 9 _ Tuần 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

_ Miền xác định của hàm số sinx

_ Tính tuần hồn , chu kỳ ?
_ Nhắc lại hàm số lẻ ? Tính chất

đồ thị của hàm số lẻ ?

_ Tính đơn điệu của hàm số sinx ?
Chứng minh dựa vào định
nghĩa hàm sin ( đường tròn
lượng giác)

_ Bảng giá trị của hàm số ?
_ Vẽ đồ thị của hàm số

_ Tương tự cho các hàm số

lượng giác khác ...

2/ Tính đơn điệu : Vì hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
T = 2π và vì hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên ta chỉ cần Khảo sát
hàm số trên đoạn [0,π]

Hàm số đồng biến trên khoảng (0, π/2) và nghịch biến trên (π/2, π)
3/ Bảng biến thiên

4/ Đồ thị :

III.Hàm số y = cosx :
1/ Tập xác định : D = R

2/ Tính đơn điệu : Vì hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
T = 2π và vì hàm số y = cosx là hàm số chẵn nên ta chỉ cần
Khảo sát hàm số trên đoạn [0,π]

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, π)
3/ Bảng biến thiên

4/ Đồ thị :

III. Hàm số y = tgx và y = cotgx :

_ Xét tương tự ...

Phaàn bổ sung của giao viên

O

2

π

-2

π
π

π
-π

O

2

π

-2

π

π

-π x

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16></div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17></div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Bài 4 : CÔNG THỨC LƯỢNG GÍAC

Mục đích u cầu

• Cơng thức cộng _ Cơng thức nhân đơi

• Các cơng thức hạ bậc _ Cơng thức tính : sinx, cosx, tgx theo t = tg(x/2)
• Cơng thức biến đổi : tổng thành tích và tích thành tổng

• Các dạng bài tập : Chứng minh đẳng thức , Rút gọn ...

Giáo viên hướng dẫn

Chứng minh :Ta chứng minh (1)
Gọi M , N là điểm cuối của các
cung a và b trên đường tròn lượng
giác

Ta coù : OM (cos a, sin a)
ON (cos b, sin b)

→
→

=


 ₌

vaø

OM .ON→ → =OM.ON. cos x=cos x
với x là số đo bằng rad của cung
hình học MN

Theo cơng thức tích vơ hướng , ta
có :

OM .ON→ → = cosa.cosb + sina.sinb
Ta chứng minh : cosx = cos(a-b)

Theo hệ thức Salơ , ta có :
sđ MN = sđ AN – sđ AN

+m2 ; mπ ∈Z= a – b
+m2 ; mπ ∈Z

Từ đó suy ra đpcm .

I. Cơng thức cộng :

Với mọi số thực a và b , ta có các cộng thức sau gọi là công thức cộng :

• cos( a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb (1)

• cos( a + b ) = cosa.cosb – sina.sinb (2)

• sin( a + b ) = sina.cosb + sinb.cosa (3)

• sin( a – b ) = sina.cosb – sinb.cosa (4)

• tg( a – b ) = − − ≠ π+ π ∈

+
tga tgb

; với : a, b, a b k ; k Z

1 tga.tgb 2 (5)

• tg( a + b ) = + + ≠π+ π ∈

−
tga tgb

; với : a, b, a b k ; k Z

1 tga.tgb 2 (6)

II > . Công thức nhân đơi :

1. Ta có các cơng thức sau gọi là cơng thức nhân đơi

• Sin2a = 2sina.cosa (7)

• Cos2a = cos2_{a – sin}2_a ₍₈₎

• Cos2a = 2cos2_{a – 1 = 1 – 2sin}2_a _(8a)

• tg2a = ≠ π+ π ≠ π+ π ∈

− 2

2tga

; a k vaø a k ; k Z

2 4

1 tg a (9)

2. Công thức hạ bậc :

Từ các cơng thức (8, 8a) ta có các công thức hạ bậc sau :

+ −
= =
− π
= ≠ + π
+
2 2
2

1 cos 2a 1 cos 2a

cos a ; sin a ;

2 2

1 cos 2a

tg a ; (a k )

1 cos 2a 2

3. Cơng thức tính Sina , Cosa , tga theo t = tg(a/2) :
Cho a ≠ π +k2 ; kπ ∈Z. Đặt t = tga

2, ta có các cơng thức sau :

• Sina =

+ 2

2t

1 t ; cosa =

− π

= ≠ + π

+ −

2

2 2

1 t 2t

; tga ; (a k )

2

1 t 1 t

Chứng minh : ...
Cos

O A

Sin

M
N
B
A/
B/

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

_ Chứng minh từ các công thức
cộng suy ra các công thức biến
đổi tích thành tổng

_ Từ các cơng thức đó suy ra các
cơng thức biến đổi tổng thành
tích và tích thành tổng

_ Các ví dụ :

a.Chứng minh các đẳng thức :

4 4 1 2

1 / sin a cos a 1 sin 2a
2

cos2a cos a sin a
2 /

1 sin 2a cos a sin a

+ = −

−
=

+ +

b. Tính sin ; cos ; tg

8 8 8

π π π

c. Chotga 2; Tính2 3 cos a
2 3 4 5 sin a

+
= −

−

III. Công thức biến đổi tích thành tổng :

Từ cơng thức cộng, ta có các cơng thức sau gọi là cơng thức biến đổi
tích thành tổng :

• Cosa.cosb = 1

2[cos(a – b) + cos(a + b)] (13)

• Sina.sinb = 1

2 [cos(a – b) – cos(a + b)] (14)

• Sina.cosb = 1

2 [sin(a – b) + sin(a + b)] (15)
Chứng minh : ...

IV. Cơng thức biến đổi tổng thành tích :

Từ các cơng thức biến đổi tích thành tổng , ta có các cơng thức sau
gọi là các cơng thức biến đổi tổng thành tích

• Cosx + Cosy = 2Cosx+y
2 .Cos

−

x y

2 (16)

• Cosx – Cosy = - 2Sinx+y
2 .Sin

−

x y

2 (17)

• Sinx + Siny = 2Sinx+y
2 .Cos

−

x y

2 (18)

• Sinx – Siny = 2Cosx+y
2 .Sin

−

x y

2 (19)

_ Mặt khác vớix , y≠ π+ πk ; k∈Z

2 , ta coù :

• tgx + tgy = sin(x+y)

cos x. cos y (20)

• tgx – tgy = sin(x−y)

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

_ Các ví dụ :

a. Tính các biểu thức sau :

5 7

A cos .sin
12 12
5

B sin .sin
24 24

π π
=

π π
=

b. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau :
C = cos5x.sin3x

D = 4sinx.sin2x.sin3x

c. Biến đổi các biểu thức sau thành tích :
Cosa + sina và Cosa – sina

d. Biến đổi biểu thức sau thành một tích
E = sinx + sin2x + sin3x

e. Cho tam giác ABC . Chứng minh các đẳng thức :

Sin2A + sin2B +sin2C=4sinA.sinB.sinC

tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

Phaàn bổ sung của giáo viên

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bài tập ( Tieát 16 , 17 , 18 – Tuần 6)

( Tiết 19 , 20 , 21 – Tuần 7 : Bài tập ôn chương I )
( Tiết 22 _ Tuần 8 : Kiểm tra chương I )

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22></div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23></div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24></div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG

Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG

Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG

Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

•

Bài 1 : Phương trình lượng giác cơ bản

•

Bài 2 : Một số phương trình lượng giác thường gặp

•

Bài 3 : Những phương trình lượng giác khác

•

Bài 4 : Sơ lược về hệ phương trình lượng giác

Kiến thức

•

Phương trình lượng giác cơ bản

•

Các dạng phương trình lượng giác

•

Một số dạng phương trình lượng giác khác

•

Hệ phương trình lượng giác

Kỹ năng

•

Giải được các phương trình lượng giác cơ bản

•

Các phương trình lượng giác : bậc nhất _ bậc hai đối với một hàm

số lượng giác _ Phương trình bậc nhất theo sin và cosin _

Phương trình thuần nhất bậc hai _ Phương trình đối xứng đối với

sin và cos

•

Các phương trình đưa về dạng tích

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Bài 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Mục đích u cầu

• Giải được các phương trình lượng giác cơ bản .
• Điều kiện của sinx và cosx .

• Điều kiện của phương trình có tgx và cotgx .
Giáo viên hướng dẫn

_ Hoïc sinh cho ví dụ
2sin3x – 1 = 0

tgx + 3sin2x + 1 = 0

_ Xét các trường hợp riêng :
sinx = 1 ; sinx = -1 ; sinx = 0 ?
_Tương tự các trường hợp riêng

với cosx, tgx, cotgx.

Ví dụ : Giải các phương trình :

o o

2
1 / sin x sin ; 2 / sin x

6 2

2

3 / sin(x 2) ; 4 / sin(x 20 ) sin 60
3
π
= = −
− = + =
o
1
5 / cos x cos ; 6 / cos 2x

4 2

2

7 / sin(2x 15 ) ; 8 / cos(x 1) m
3

π

= = −

+ = − + =

I. Định nghóa :

_ Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số
lượng giác của ẩn

_ Trong các phương trình lượng giác, trước hết ta chú ý đến các phương
trình lượng giác cơ bản là những phương trình có dạng sinx = a ; cosx
= a ; tgx = a ; cotgx = a trong đó a là một hằng số thực đã cho . Việc
giải một phương trình lượng giác đều đưa về việc giải một phương
trình lượng giác cơ bản

II. Phương trình sinx = a :

_ Xét phương trình sinx = a (1) xác định với mọi x thuộc R
a. Nếu a > 1 thì phương trình (1) vơ nghiệm

b. Nếu a ≤1, ta lấy điểm I trên trục sin sao cho OI=a. Từ I kẻ
đường vuông góc với trục sin , cắt đường trịn lượng giác tại M và M/
...

Ta được nghiệm của phương trình sinx = a là

= α + π = π − α + π ∈

x k2 vaø x k2 ; k Z

_ Lưu ý : Nếu phương trình có dạng sin x=sinα thì ta cũng được các
họ nghiệm như trên

II. Phương trình cosx = a :

_ Làm tương tự...

_ Ta được nghiệm của phương trình cosx = a là :
= α + π = − α + π ∈
x k2 và x k2 ; k Z
III. Phương trình tgx = a :

_ Phương trình tgx = a xác định với mọi x k ; k Z
2

π

≠ + π ∈
_ Làm tương tự ta được nghiệm của phương trình tgx = a là :

= α + π ∈
x k ; k Z
IV. Phương trình cotgx = a :

_ Phương trình cotgx = a xác định với mọi x≠ πk ; k∈Z
_ Làm tương tự ta được nghiệm phương trình cotgx = a là :

= α + π ∈
x k ; k Z

O A

Sin
M
N
B
A/
B/
Cos

O A
tang
M
B
A/
B/
Cotang

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Phần bổ sung của giáo viên

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Bài tập ( Tiết 25 , 26 – Tuần 9 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29></div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Bài 2 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Mục đích yêu cầu

• Các phương trình bậc nhất _ bậc hai đối với một hàm số lượng giác .
• Phương trình bậc nhất theo sin và cos .

• Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos .
• Phương trình đối xứng đối với sin và cos .

Hướng dẫn của giáo viên

_ Cách giải ?

_ Điều kiện đối với sinx và cosx
_ Ví dụ : Giải các phương trình
1/ 3tgx + 3= 0

2/ 2cos2_{x +} ₂_{cosx – 2 = 0}

_ Cách rút gọn vế trái

_ Đặt cos và sin (có thể đặt
ngược lại khơng )

_ Điều kiện có nghiệm của
phương trình

_ Ví dụ : Giải các phương trình
1> 3cosx + sinx = 3

2>sin(
2
π

+2x) + 3sin(π-2x) = 1
_ Định m để phương trình sau có

nghieäm :

(2m – 1).cosx + m.sinx = 3m – 1

_ Dùng công thức hạ bậc , dạng
phương trình ?

_ Cơ sở để chia trường hợp (
xem cosx = 0 có là nghiệm
khơng ?)

I.Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm
số lượng giác :

_ Đây là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với chỉ một hàm
số lượng giác sinx hay cosx hay tgx hay cotgx

_ Cách giải là đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho
ẩn phụ ( nếu có ) , rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Từ đó tìm
được x

_ Lưu ý : Nếu đặt t = sinx ( hay cosx ) ta phải có đk : -1≤t≤1
II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx :

_ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có
dạng : a.sinx + b.cosx = c (với a,b,c≠0)

_ Cách giải :

_ Chia 2 vế của phương trình cho : _a2₊_b2 _{, ta được phương trình :}

a b c

sin x cos x

2 2 2 2 2 2

a b a b a b

+ =

+ + +

_ Ñaët cos a ; sin b

2 2 2 2

a b a b

α = α =

+ +

_Ta đưa được phương trình về dạng cơ bản : + α =
+

c

sin(x )

2 2

a b

_ Lưu ý : Điều kiện phương trình có nghiệm là : a2_{+ b}2

≥c2

III. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :
_ Là phương trình dạng : a.sin2_{x + b.sinx.cosx + c.cos}2_{x = d}

Caùch giải 1 :

_ Dùng cơng thức hạ bậc ,biến đổi phương trình về dạng :
1 cos2x sin 2x 1 cos2x

a b c d

2 2 2

− ₊ ₊ + ₌

_ Phương trình được đưa về dạng 2

Cách giải 2:

_ Biến đổi phương trình về dạng :

a.sin2_{u+b.sinu.cosu+c.cos}2_{u = d(sin}2_u+cos2_u)
hay : (a-d).sin2_{u+b.sinu.cosu+(c-d).cos}2_{u = 0}

</div>

<!--links-->