Bo xung vao chuyen de BDDT cua Thay Nguyen Van Thanh K1 TC

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phương pháp đánh giá một hạng tử ở vế trái:</b>

<b>+ Bắt đầu từ bài tập 396 b, c trang 53 sách Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2 của</b>
Vũ Hữu Bình:

Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì:
2 2 2

2 2 2

a b c

b) a b c

b c a

a b c a b c

c)

b c c a a b 2

    

 

  

  

Giải: (Cách giải của Tác giả):

b) Ta có:

2 2 2

a a b 2ab

b 2a (do a,b 0)

b b b



    

Tương tự

2 2

b c

c 2b, a 2c.

c   a  

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

2 2 2

a b c

a b c
b  c  a   

c) Ta có:





















2 2

2 _2a _{b c} _{4a b c}

a b c

a (do b,c 0).

b c 4 4 b c 4 b c

  



    

  

Tương tự:

2 2

b a c c a b

b, c.

a c 4 a b 4

 

   

 

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b 2

 

  

   _.

+ Bài tốn có một lời giải hay mà khơng ít các Thầy, Cơ giáo và các em học sinh tự
hỏi vì sao Tác giả lại có thể tìm thấy các bất đẳng thức phụ dễ dàng đến vậy? Làm thế nào
để tìm ra bất đẳng thức phụ đó? Qua các ví dụ sau đây tơi xin đưa ra cách tìm các bất đẳng
thức phụ đó như thế nào:

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

<b>Ví dụ 1: ( Toán học và tuổi trẻ). Chứng minh rằng với các số dương a, b, c thì:</b>

3 3 3 3 3 3

2 2 2

5b a 5c b 5a c

a b c

ab 3b bc 3c ca 3a

  

    

  

Dạng bất đẳng thức trong bài toán gợi ý cho ta đánh giá một hạng tử ở vế trái, để
tìm được bất đẳng thức phụ như bài 396b, c ở trên ta dự đốn, có các bất đẳng thức dạng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

5b a 5c b 5a c

xa yb ; xb yc và xc ya

ab 3b bc 3c ca 3a

  

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Từ đó cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta có vế phải là (x + y)(a + b +c). Nếu
chọn được x, y sao cho x + y = 1 và các bất đẳng thức trên đúng là bài toán giải quyết

xong. Ta thế y = 1 - x thì

3 3
2

5b a

xa yb
ab 3b



 

 _{trở thành:}

3 3
2

5b a

xa (1 y)b
ab 3b



  

 ₍₁₎

Thử các giá trị đặc biệt của a, b ta thấy có thể chọn x = -1 thì (1) đúng và dự đoán
3 3

2

5b a

2b a
ab 3b



 

 _{(2) với mọi số dương a, b. Việc chứng minh (2) là vô cùng đơn giản:}















 



3 3 2

3 3 3 3 2 3 2 2

2 2 2

2
3 3 2 2

2 2

5b a 2b a ab 3b

5b a 5b a 2ab 6b a b 3ab

2b a

ab 3b ab 3b ab 3b

a b a b

b a ab a b

0; a,b 0

ab 3b ab 3b

   

     

   

  

  

   

    

 

Vậy bài tốn khi giải được bắt đầu bằng:
Ta có:

3 3
2

5b a

2b a
ab 3b



 

 _{. Tương tự:}

3 3 3 3

2 2

5c b 5a c

2c b và 2a c

bc 3c ca 3a

 

   

 

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.

<b>Ví dụ 2: + Trở lại với bài tốn 396b) của Tác giả Vũ Hữu Bình: Cho a, b, c là các</b>

số dương, chứng minh rằng:

2 2 2

a b c

a b c
b  c  a   

Dự đoán các bất đẳng thức phụ có dạng:
2

a

ax by

b   _;

2

b

bx cy

c   _;

2

c

cx ay

a   _,

cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được vế phải là: (x + y)(a + b +c).

Nếu chọn được x, y sao cho x + y = 1 và các bất đẳng thức trên đúng là bài toán giải

quyết xong. Ta thế y = 1 - x thì
2

a

ax by

b   _{trở thành}

2

a

ax b(1 x)

b    _{(*) chọn x = 2 thì}

(*) đúng và dự đoán:
2

a

2a -b

b  _{, việc chứng minh bất đẳng thức này đã có ở trên.}

<b>Ví dụ 3: (</b><i>Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa lớp 9 năm học 2008 - 2009):</i>

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

19b a 19c b 19a c

3

ba 5b cb 5c ac 5a

  

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Cách giải: Sử dụng phương pháp trên ta đánh giá một hạng tử ở vế trái và dự đoán:</b>

3 3 3 3 3 3

2 2 2

19b a 19c b 19a c

xa yb (1) ; xb yc; xc ya

ba 5b cb 5c ac 5a

  

     

  

Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta có vế phải là: (x + y)(a + b + c).
Vì a + b + c = 1 nên nếu chọn được x + y = 3 và các bất đẳng thức trên đúng là bài toán
được giải quyết xong.

Thế y = 3 - x vào (1) ta có

3 3
2

19b a

xa yb
ba 5b



 

 _{trở thành}





3 3
2

19b a

xa 3 x b

ba 5b



  



Thử một số các giá trị đặc biệt của a, b ta chọn x = -1 => y = 4. Khi đó (1) đúng và có dự

đốn:

3 3
2

19b a

4b a
ba 5b



 

 _(*)

Chứng minh (*): Xét













3 3 2

3 3 3 3 2 3 2 2

2 2 2

19b a 4b a ba 5b

19b a 19b a 4b a 20b a b 5b a

4b a

ba 5b ba 5b ba 5b

   

     

   

  



 

2



3 3 2 2

2 2

a b a b

b a b a a b

0 a,b 0

ba 5b ba 5b

  

   

    

  _{suy ra (*) đúng.}

- Với cách suy luận tìm ra bất đẳng thức phụ ở trên, ta có thể giải quyết bài tốn một cách
nhẹ nhàng:

+ Bài toán được chứng minh bắt đầu bằng:
Xét:













3 3 2

3 3 3 3 2 3 2 2

2 2 2

19b a 4b a ba 5b

19b a 19b a 4b a 20b a b 5b a

4b a

ba 5b ba 5b ba 5b

   

     

   

  



 

2



3 3 2 2

2 2

a b a b

b a b a a b

0 a,b 0

ba 5b ba 5b

  

   

    

 

3 3
2

19b a

4b a
ba 5b



  

 _{(1). Tương tự:}

3 3 3 3

2 2

19c b 19a c

4c b (2); 4a b (3)

cb 5c ac 5a

 

   

 

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

19b a 19c b 19a c

(4b a) (4c b) (4a b) 3(a b c)

ba 5b cb 5c ac 5a

  

          

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Ví dụ 4: (</b><i>Đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2000 </i>
<i>-2001)</i> Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1

Chứng minh rằng:

2 2 2 2

a b c d 1

b a  b c c d a d     2

<b>Giải: Vận dụng cách suy luận trên ta có cách giải sau:</b>
Ta chứng minh với mọi a, b dương ta có bất đẳng thức:

2

a 3a b

a b 4




 _(*)

Thật vậy: (*) tương đương với:



 



2 2 2 2 2 2

4a  a b 3a b   4a 3a 3ab ab b   a b 2ab_{đúng => đpcm.}

Áp dụng bất đẳng thức (*) cho các số hạng ở vế trái ta có:



 

 

 



2 2 2 2 _{3a b} _{3b c} _{3c d} _{3d a}

a b c d

b a b c c d a d 4

a b c d 1

2 2

      

 

 

   

   

  

 

Dấu "=" khi a = b = c = d =

1

4_(đpcm).

+ Với cách suy luận tìm ra bất đẳng thức phụ ở trên, ta có thể giải quyết các bài toán sau
một cách nhẹ nhàng:

Bài 1: Cho các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

2 2 2

a b c a b c

a b b c c a 2

 

  

  

Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:
2

a 3a b

a b 4




Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

  

    

3 3 3 3 3 3

a b b c c a

a b c

2ab 2bc 2ca

Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:

 



3 3

a b a b

2ab 2 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

  

    

  

3 3 3 3 3 3

2 2 2

41a b 41b c 41c a

5(a b c)

ab 7a bc 7b ca 7c

Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:



 



3 3

2

41a b

6a b

ab 7a

<b>Bài 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:</b>

  

    

  

3 3 3 3 3 3

2 2 2

29a b 29b c 29c a

4(a b c)

6a ab 6b bc 6c ca

Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:



 


3 3

2

29a b

5a b

</div>

<!--links-->