Gián án hsg toan 9 10 -11 hot

Kì thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1 nĂm học 2010-
2011
đề thi môn: toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức
2 1
.
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
M
x
x x x x x

+ +
= +


+

a) Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, rút gọn M.
b) Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó của M?
Câu2 (2,0 điểm)
a) Giải phơng trình
2 2
4 1 2 2 1x x x x x + = + +
b) Giải bất phơng trình
2 3
4 2 2

( 1)
1 ( 1)
x
x x x x x
x
+
+ + + +
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho ABC có diện tích bằng 1(đvdt). Gọi a,b,c và h
a
, h
b
, h
c
tơng ứng là độ dài các
cạnh và đờng cao của ABC. Chứng minh:
(a
2
+ b
2
+ c
2
)( h
a

2
+ h
b

2

+ h
c
2
) 36.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 4 (2,0 điểm)
a) Tìm các số x,y nguyên dơng thoả mãn phơng trình: 6x
2
+ 5xy 25y
2
-221 = 0
b) Tính tổng sau:
1 1 1
.............
2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011
S = + + +
+ + +
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Qua A kẻ hai đ-
ờng thẳng cắt đờng tròn O tại các điểm B,C và D,E tơng ứng (B nằm giữa A và C, D nằm
gữa A và E). Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai F.
Đờng thẳng AF cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai G. Hai đờng thẳng EG và BC cắt nhau tại
M. Chứng minh:
a) AM
2
= MG.ME
b)
1 1 1
AM AB AC
= +

Câu 6 (1,0 điểm)
Với các số a,b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
2 2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
a b c
a b c
ab a bc b ca c
+ +
+ +
+ + + + + +
..Hết..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức
Họ và tên thí sinh:.............................................................SBD:........................
Hớng dẫn chấm thi Chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1
nĂm học 2010-2011
Môn: toán
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức
2 1
.
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
M
x
x x x x x

+ +
= +


+

a, Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, rút gọn M.
b, Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó của M?
Nội dung Điểm
M có nghĩa khi
0
0
1 0 0
1
1 0 0
( 1)(2 1) 0
1
2 1 0
2 1 0
4
2 1 0
x
x
x x x
x
x x
x x
x x
x
x

x















+

+








0,25
2 1
.

( 1)( 1) 1 ( 1)(2 1) 2 1
2 1 2
. ....
1 2 1 2 1 ( 1)(2 1) 1
x x x x x x x
M
x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x

+
= +

+ +

+ +
= + = = =
+ + + + +
0,5
Do x 0 nên
( 1) 0, 1x x x x+ + +
>0 vì vậy
( 1)
0
1 1
x x x x
M
x x x x
+ +
= =

+ + + +
MinM = 0 khi x = 0
0,75
Câu2 (2,0 điểm)
a) Giải phơng trình
2 2
4 1 2 2 1x x x x x + = + +
b) Giải bất phơng trình sau:
2 3
4 2 2
( 1)
1 ( 1)
x
x x x x x
x
+
+ + + +
Nội dung Điểm
a,
2 2
4 1 2 2 1x x x x x + = + +
(1) ĐK: x
1
2
0,25
(1)
2 1( 2 1 1) ( 2 1 1) 0
( 2 1 1)( 2 1 ) 0
2 1 1 1
1

2 1
x x x x
x x x
x x
x
x x
+ =
+ =

= =




=
+ =



0,5
Nhận xét: x=-1 không thuộc tập xác định => loại nghiệm x = -1 0,25
Vậy nghiệm của phơng trình là x=1
b) ĐK: x > 0 chia cả 2 vế cho
2
( 1)x x +
và biến đổi BPT trở thành
1 1 1 1
1
1 1
x x

x x
x x
x x
+ + +
+ +
(1)
0,25
Đặt
1
2x t
x
+ =
khi đó (1) trở thành
1 1 1 1
1 1t t t t
t t t t
+
Do cả 2 vế dơng biến đổi chỉ ra đợc
2
1
1 0t
t




Điều này luôn đúng với t 2
Vậy BPT đã cho có nghiệm x > 0
0,75
Câu 3 (1,0 điểm)

Cho ABC có diện tích bằng 1(đvdt). Gọi a,b,c và h
a
, h
b
, h
c
tơng ứng là độ dài các
cạnh và đờng cao của ABC. Chứng minh:
(a
2
+ b
2
+ c
2
)( h
a

2
+ h
b

2
+ h
c
2
)36.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Nội dung Điểm
áp dụng BĐT Cô-si với bộ ba số dơng a,b,c và h
a

, h
b
, h
c
ta có:
2 2 2 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
3
3
( )( ) 9 (1)
a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
h h h h h h
a b c h h h a b c h h h
+ +
+ +
=> + + + +
Lại có: ah
a
= bh
b
= ch
c
= 2S
ABC
= 2. Thay vào (1) ta có:

2 2 2 2 2 2
3
( )( ) 9 64 36
a b c
a b c h h h+ + + + =
Dấu đẳng thức xảy ra khi
a b c
a b c
h h h
= =


= =

=>ABC đều
0,5
0,5
Câu 4 (2,0 điểm)
a, Tìm các số x,y nguyên dơng thoả mãn: 6x
2
+ 5xy 25y
2
-221 = 0
b, Tính tổng sau:
1 1 1
.............
2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011
S = + + +
+ + +
Nội dung

Điểm
a, 6x
2
+ 5xy 25y
2
-221 = 0 (2x+5y)(3x-5y) = 13.17
0,5
Do x,y Z
+
nên 2x+5y > 0 => 3x-5y > 0, do đó 2x+5y và 3x-5y là các ớc tự nhiên của 221
0,5
Tìm đợc x = 6, y = 1 là nghiệm nguyên dơng duy nhất của phơng trình đã cho
b, Chứng minh đợc với mọi k = 1,2,3..n ta có
1 1 1 1 1 1
( 1) 1 1. ( 1 ) 1. ( 1 ) 1. 1. 1
k k k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k
+ +
= = = =
+ + + + + + + + + + +
0,5
Vậy S =
1 1 1 1
............. ..... 1
2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011 2011
+ + + = =
+ + +
0,5
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Qua A kẻ hai đ-

ờng thẳng cắt đờng tròn O tại các điểm B,C và D,E tơng ứng (B nằm giữa A và C, D nằm
gữa A và E). Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai F.
Đờng thẳng AF cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai G. Hai đờng thẳng EG và BC cắt nhau tại
M. Chứng minh:
a) AM
2
= MG.ME
b)
1 1 1
AM AB AC
= +
Vẽ đúng hình 0,5
C
F
G
E
D
A
O
B
M
a, Từ hình vẽ ta có MAF =AFD (so le trong)
MEA = AFD ( cùng chắn cung DG) =>MAF = MEA
Xét MAG và MEA có M chung
MAF = MEA => MAG
MEA:
(g-g)

nên
2

.
MA MG
MA ME MG
ME MA
= =
(1)
0,5
0,25
b, Xét MBG và MCE có : MBG =MEC (cùng bù với CBG)
M chung
=> MBG MCE (g-g) nên
. .
MB MG
MB MC ME MG
ME MC
= =
(2)
0,5
Từ (1) và (2) => MA
2
= MB.MC hay MA
2
= (AB-AM) (AC-AM)
= AB.AC- AM(AB+AC) + AM
2
=> AB.AC = AM(AB+AC)
D đó
1 1 1
.
AB AC

AM AB AC AC AB
+
= = +
0,5
0,25
Câu 6 (1,0 điểm)
Với các số a,b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
2 2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
a b c
a b c
ab a bc b ca c
+ +
+ +
+ + + + + +
Nội dung
Điểm
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-Côpski, ta có:
2
2 2 2
( )
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)
a b c a b c
a b c
ab a bc b ca c
ab a bc b ca c

+ + + + + +


+ + + + + +
+ + + + + +


0,25
Do abc =1 nên ta có :
2
2 2 2
2 2 2
1
;
1 1 1
1,
1 1 1
( ) 1
( 1) ( 1) ( 1)
1
( )
( 1) ( 1) ( 1)
ab ab c abc
abc ab a a ab ca c a ab
a bc abc ab
a b c
ab a bc b ca c
a b c
a b c

ab b bc b ca c
a b c
dpcm
a b c
ab b bc b ca c
= = =
+ + + + + + + +
+ +
+ + =
+ + + + + +

+ + + +

+ + + + + +

+ +
+ +
+ + + + + +
0,25
0,25
0,25