hä vµ tªn hoµng thþ thu a §æt vên ®ò thùc tõ cho thêy khi gæp bµi to¸n chøa tham sè häc sinh th­êng lóng tóng trong qu¸ tr×nh biön luën §æc biöt ®èi víi ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c viöc biön luën ®ó ph­¬

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A/ Đặt vấn đề.</b>

Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thờng lúng túng
trong quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phơng trình lợng giác việc biện luận để
phơng trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phơng trình khơng phải lúc nào
cũng dễ dàng. Có những bài tốn phải vận dụng những phơng pháp đặc biệt mà
việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn.

Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phơng trình lợng
giác tơi đã tổng kết đợc một vài dạng bài cơ bản về phơng trình lợng giác có tham
số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phơng pháp giải đối với
dạng toán này.

Trớc hết để làm đợc yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc giải các
ph-ơng trình lợng giác khơng có tham số. Nắm thật chắc các phép biến đổi phph-ơng trình
đa về dạng đã biết. Ngồi ra học sinh cần nh ni dung hai nh lý:

* Định lý: Nếu f(x) liªn tơc trªn { a;b} cã maxf = M, min f = m . . .

Từ đó thì  phơng trình f(x) = a sẽ có nghiệm

 m  a M
<i>f</i>(<i>b</i>)<i> f</i>(<i>a</i>)

<i>b a</i>

3

4 Định lý Lagrăng: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn {a ; b} và

cú đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c  (a ; b) sao cho

f’_{(c) =}

<b>B/ Nội dung:</b>

Dạy phơng trình lợng giác có tham số

<b>I- Dạng 1</b>: Biện luận để phơng trình có nghiệm

<i><b>Bài tốn 1</b></i>: Tìm điều kiện của m để phơng trình sau có nghiệm
Sin6_{x + cos}6_{x = m}

3

4 Ta cã Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x)
3

4
3

4 Ta cã: Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x )
1

4
3

4 Sin6x + cos6x + cos22x
1

4
1

4 Hãy đánh giá vế trái: 0 ≤ cos22x ≤ 1  ≤ sin6x + cosx ≤ 1
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1

4 f(x) liªn tơc nªn phơng trình f(x) = m có nghiệm m ≤ 1

Vậy với m Є { ; 1 thì phơng trình f(x) = m có nghiệm
<i><b>Bài tốn 2:</b></i> Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm.

Cos2x + cosx = m
<=> 2cos2_{x - 1 + cosx = m}

Đặt cosx = t, điều kiện | t | ≤ 1

1
4

9

8 Xét hàm số f(x) = 2 t2 + t - 1 với 1≤ 1 ≤ 1. Toạ độ đỉnh ( - ; -

)

1

4 Bảng biến thiên

t -  -1 - 1 + 

f(t) +  0

9

8

-1

4 Dựa vào bảng biến thiên: max f(t) = 2 khi t = 1
9

8 min f(x) = - khi t =

9

8 Phơng trình có nghiệm khi - ≤ m ≤ 2

Làm tơng tự: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
Sin2x + sinx cosx = m

2 sin2x + cosx - sinx = m

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>* Tổng quát</b>. Nếu f(x) là hàm liêu tục có max f = M, min f = m thì phơng
trình f(x)= a có nghiệm m  a  M

1
cos<i>x</i> +

1

sin<i>x</i>=<i>a</i> <i><b>Bài toán 3:</b></i><b> Cho phơng trình.</b>
Tìm a để phơng trình có nghiệm.

<b>Bµi lµm:</b>

Ta khơng nên biến đổi trực tiếp phơng trình.

1
cos<i>x</i> +

1
sin<i>x</i>

(

<i>− Π</i>

2 <i>;</i>0

)

H·y xÐt f(x) = víi x 

Trong khoảng này cosx > 0, sin x < 0

Và lim cosx = 1 lim sinx = 0

x 0 - _x_₀

<i>-−Π</i>
+¿

2
¿

<i>−Π</i>
+¿

2
¿

Lim cos x = 0 + _{lim sin x = -1}

x + x +

lim

(

1
cos<i>x</i>+

1

sin<i>x</i>

)

<i>→− ∞</i> lim

(

1
cos<i>x</i>+

1

sin<i>x</i>

)

<i>→</i>+<i>∞</i>

<i>x →</i>0<i>−</i> <i>_{x → Π}</i>+¿ ¿ Do đó ₊

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>0

)

Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên
lim<i>f</i>₍<i>_x</i>₎=<i>−∞ ;</i>lim<i>f</i>₍<i>_x</i>₎=+<i>∞</i>

<i>x →</i>0<i>−</i> <i>−</i>

<i>Π</i>+¿

2

<i>x →</i>¿

+

<i></i>

Với a phơng trình f(x) = a luôn có nghiệm

<i></i> <i><b>Bài toán 4:</b></i><b> Chứng minh rằng a,b,c phơng trình.</b>

a cos3x + b cos2x + sin x = 0 lu«n cã nghiÖm  ( 0; 2)
<i>a</i>

3sin 3<i>x</i>+

<i>b</i>

2sin 2<i>x</i>+<i>c</i>sin<i>x −</i>cos<i>x</i> XÐt f(x) =

f’(x) = acos3x + bcos 2 x + cosx + sin x

f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2)

<i>f</i>₍₂<i>_Π</i>₎=<i>−</i>cos2<i>Π</i>=<i>−</i>1 _f₍₀₎_{= - cos 0 = -1}

<i>x</i>₀<i>∈</i>(0<i>;</i>2<i>Π</i>)<i>; f'</i>(<i>x</i>0)

=<i>f</i>(2<i>Π</i>)<i>− f</i>(0)

2<i>Π −</i>0 Theo định lý Lagrăng 

 Phơng trình f

(x) = 0 có nghiệm ( 0; 2 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>Bài tốn 5:</b></i><b> Tìm a,b để PT: cos 4 x + a cos 2x + b sin 2x = 0 cú nghim.</b>

ở đây ta không trực tiếp xét phơng trình.
<i>f</i>₍<i>_x</i>₎=sin 4<i>x</i>

4 +

<i>a</i>

2sin 2<i>x </i>

<i>b</i>

2cos 2<i>x</i> Xét
<i>f'</i>(0)

=cos 4<i>x</i>+<i>a</i>cos 2<i>x</i>+<i>b</i>sin 2<i>x</i>

<i>f</i>₍₀₎=<i> b</i>

2 <i>; f</i>(<i></i>)=
<i>b</i>

2

Vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ . Kết f(x) trên ( 0; )

f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; )

Theo định lý Lagrăng  x0  ( 0; ) f’(x) = 0  PT f’(x) = 0 có nghiệm  (0;

)

<i>∀</i> Vậy với a,b phơng trình đã cho có nghiệm.<i>I</i>

cos<i>x</i>=<i>a</i>cos3<i>y</i>

sin<i>x</i>0=<i>a</i>sin3<i>y</i>0

¿

{

<i><b>Bài tốn 6:</b></i><b> Tìm a để hệ phơng trình</b>
<b>có nghiệm</b>

¿

<i>x</i>=<i>x</i>0

<i>y</i>=<i>y</i>₀

¿

{

¿

¿

cos<i>x</i>₀=<i>a</i>cos3<i>y</i>

sin<i>x</i>₀=sin3<i>y</i>₀

¿

{

¿

NÕu là nghiệm của (I) thì

cos2<i>x</i>₀=<i>a</i>2cos6<i>y</i>₀

sin2<i>x</i>₀=<i>a</i>2sin6<i>y</i>

{

<i>a</i>2cos6<i>y</i>0+<i>a</i>2sin6<i>y</i>0=1

ỳng

<i>a</i>2cos6<i>y</i>+<i>a</i>2sin6<i>y</i>=1

<i>y</i>=<i>y</i>0<i>a</i>2cos6<i>y</i>0+<i>a</i>2sin6<i>y</i>0=1 Phơng trình cã

nghiƯm (1)

Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm thì là đúng

(

<i>a</i>cos3<i>y</i>₀

₎

2+

₍

<i>a</i>sin3<i>y</i>₀

₎

2=1 <i>a</i>cos3<i>y</i>0<i>, a</i>sin3<i>y</i>0 

 ng trũn

cos<i>x</i>₀=<i>a</i>cos3<i>y</i>₀

sin<i>x</i>₀=<i>a</i>sin3<i>y</i>

{

Đơn vị   x0  (x0, y0) lµ 1 nghiƯm cđa hÖ

VËy hÖ cã nghiÖm  PT (1) cã nghiÖm.

Đến đây bài tốn trở thành tìm a để phơng trình.

<i>a</i>2cos6<i>y</i>0+<i>a</i>2sin6<i>y</i>0=1 cã nghiệm.

Nếu a = 0 phơng trình có dạng 0 =1, phơng trình vô nghiệm.

cos6<i>y</i>0+<i>a</i>
2

sin6<i>y</i>0=

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(

1<i></i>3

4sin

2₂<i>_y</i>

)

=1

<i>a</i>2

3₄sin22<i>y</i>=1<i>_a</i>12

0<i></i>1<i></i> 1
<i>a</i>2<i></i>

3

4<i></i>1<i> a</i>

2

<i></i>4<i></i>1<i></i>|<i>a</i>|<i></i>2
1<i></i>|<i>a</i>|<i></i>2

(1) cã nghiƯm 

Vậy hệ đã cho có nghiệm.

<b>Bµi tËp tù lun:</b>

1. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm.<i>a ,</i>sin4<i>x</i>+(1<i></i>sin)4=<i>m</i>

<i>b ,</i>cos4<i>x</i>+(2<i></i>cos)4=<i>m</i>

<i>c ,</i>1+cos=1

2cos2<i>x</i>+

1

3cos3<i>x</i>=<i>m</i>

3

sin2<i>x</i>+3 tg

2<i>_x</i>

+<i>m</i>(tgx+cot<i>g</i>)<i></i>1=0
<b>2. Cho phơng trình</b>

Tỡm m phng trình có nghiệm.

1
cos 3<i>x−</i>

1

sin 3<i>x</i>=<i>a</i> <b>3. Tìm a để phơng trình</b> có
nghiệm

<b>B/ D¹ng 2. BiƯn ln sè nghiƯm.</b>

cos 3<i>x −</i>cos 2<i>x</i>+<i>m</i>cos<i>x </i>1=0
<b>Bài toán 1: Cho phơng trình.</b>

(

<i> </i>2 <i>;</i>2<i></i>

)

Tỡm m để phơng trình có đúng bảy nghiệm trong khoảng

Có thể thấy ngay rằng việc tìm m để phơng trình có đúng 7 nghiệm 

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>2<i>Π</i>

)

quả là khó khăn.

Trớc hết hãy đại số hố phơng trình đã cho.
Đặt t = cosx đk {t}  1

<i>t</i>=0(1)

¿

4<i>t</i>2<i>−</i>2<i>t</i>+<i>m −</i>3=0(2)

¿
¿
¿
¿
¿

<i>⇔</i>4<i>t</i>3<i>−</i>3<i>t −</i>(2<i>t</i>2<i>−</i>1)+<i>m t −</i>1=0
<i>⇔</i>4<i>t</i>3<i>₋</i>₂<i>_t</i>2

+(<i>m −</i>3)<i>t</i>=0
<i>⇔t</i>(4<i>t</i>2<i>−</i>2<i>t</i>+<i>m−</i>3)=0

<i>⇔</i>

¿

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>2<i>Π</i>

)

Ta ®i xÐt sè nghiệm x của phơng trình cos x = t

<i>t</i> <i>− ∞</i> +<i>∞</i> 0 1 <i>−</i>1 0 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1<i>n</i>0 1<i>n</i>0 cos x = t

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>2<i>Π</i>

)

NhËn thÊy cos x = 0 cã 2 nghiÖm 

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>2<i>Π</i>

) (

<i>− Π</i>

2 <i>;</i>2<i>Π</i>

)

Phơng trình có đúng 7 nghiệm   (2)

cã 5 nghiÖm 

 Tam thøc f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 cã hai nghiÖm t1, t2 sao cho -1 < t1 < t2 < 1.
¿

<i>f</i>₍0)<0
<i>f</i>₍<i>₋</i>₁₎>0

<i>f</i>₍₁₎>0

¿{ {

¿

¿

<i>m−</i>3<0

<i>m</i>+3>0

<i>m−</i>1>0

¿{ {

¿

¿

<i>m</i><3

<i>m</i>><i>−</i>3

<i>m</i>>4

¿{ {

¿

    1< m <3

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>2<i>Π</i>

)

Vậy với 1< m <3 phơng trình đã cho có ỳng by nghim

<b>Bài toán khai triển.</b>

(

<i> </i>2 <i>;</i>2<i></i>

)

- Tìm m để phơng trình có đúng 6 nghiệm 

Tam thøc f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 cã 2 nghiÖm t1, t2 sao cho
0<<i>t</i>₁<<i>t</i>₂=1

¿

<i>t</i>₁=<i>−</i>1<i>;</i>0<<i>t</i>₂<1

¿
¿
¿
¿

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>2<i>Π</i>

)

- Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm 

 f(x) = 4 t2 - 2t + m - 3 cã 1 n0 t = -1 hc t = 1

(

<i>− Π</i>2 <i>;</i>2<i>Π</i>

)

- Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm 

 f(x) = 4t2 - 2t + m - 3 vô nghiệm hoặc có nghiệm t = 0

t1  t2 < -1 hc 1 < t1  t2 ; t1 < -1 < 1 < t2

<b>Bµi toán 2: Cho phơng trình: </b>

sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = 0 (1)

Xác định giá trị của m để phơng trình có đúng 8 nghiệm  ( o; 3)

(1)  3sinx - 4 sin3_{x - m (1 - 2sin}2_{x) - (m+1) sinx + m = 0}

 - 4sin3_{x + 2 m sin}2_{x + (2 - m) sinx = 0}

 -sin {4sin3_{x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0}
sin<i>x</i>=0

¿

4 sin2+2<i>m</i>sin<i>x</i>+2<i>− m</i>=0(2)

¿
¿
¿
¿

sinx = 0  x =  hc x = 2  (0; 3)

Do phơng trình có đúng 8 nghiệm  (0; 3)  (2) có đúng 6 nghiệm 
(0; 3)  ; 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>t</i> <i>− ∞</i> +<i>∞</i> 0 1 <i>−</i>1 0

1<i>n</i>0 2<i>n</i>0 2<i>n</i>0 4<i>n</i>0 2<i>n</i>0 0 0 Sè nghiƯm
(0; 3)

sinx = t

Phơng trình có đúng 8 nghiệm  (2) có nghiệm t1, t2 sao cho 0 < t1 < 1 = t2

hc - 1 < t1 < 0 < t2 < 1

* TH 1: 0 < T1 < 1 = t2  f(1) = 0  m = 2
¿

<i>m</i>><i>−</i>2

3

<i>m</i><2

<i>m</i><2

¿{ {

¿

 t1 = 0 (lo¹i)

* TH 2: -1 < t1 < 0 < t2 < 1

¿
af₍<i>−</i>1)>0

af₍₀₎<0

af₍₁₎>0

¿{ {

¿
¿
3<i>m</i>+2>0

<i>m −</i>2<0

2<i>−m</i>>0

¿{ {

¿

¿

<i>m</i>><i>−</i>2

3

<i>m</i><2

<i>m</i><2

¿{ {

¿

<i>−</i>2

3 <<i>m</i><2    

<i>−</i>2

3 <<i>m</i><2 Vậy để phơng trình có đúng 8 nghim (0; 3) thỡ

(0<i>;</i>5<i></i>

2 ) * Làm tơng tự: Tìm m sao cho phơng trình sin 3x + sin 2x = m sin

x cã

đúng 8 nghiệm 

<b>c) Dạng 3: Phơng trình tơng đơng.</b>

<b>Bài 1: Tìm a và b để hai phơng trình sau tơng đơng.</b>

2=¿2 cos<i>x</i>+<i>a</i>_√2sin<i>x</i>

<i>a</i>sin 2<i>x</i>+√¿ 1)

2 sin2+cos 2<i>x</i>+sin 2<i>x</i>+<i>b</i>=2<i>b</i>sin<i>x</i>+cos<i>x</i>+1 2)

Ta biết rằng hai phơng trình tơng đơng nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau
(có thể là tập )

+ Nếu (1) vơ nghiệm  tìm điều kiện để (2) vơ nghiệm

+ Nếu (1) có nghiệm  tìm điều kiện để nghiệm của (1) cũng là nghiệm của
(2) và ngợc lại.<i>_a</i>_sin<i>_x</i>₍_{2 cos}<i>_{x −}</i>_√₂₎₌_{2 cos}<i>_{x −}</i>_√₂

(2 cos<i>x −</i>√2)(<i>a</i>sin<i>x −</i>1)=0

2 sin2<i>x</i>+1<i>−</i>2 sin2<i>x</i>+2 sin 2<i>x</i>cos<i>x</i>+<i>b</i>=2<i>b</i>sin<i>x</i>+cos<i>x</i>+1
(cos<i>x −b</i>)<i>−</i>(cos<i>x − b</i>)=0

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>





Cần: Giả sử (1) và (2) tơng đơng.
<i>x</i>=<i>Π</i>

4 <i>x</i>=

<i></i>

4 Vì là nghiệm của (1) cịng lµ

nghiƯm cđa (2)

(

2 .√2

2 <i></i>1

)(

2

2 <i>b</i>

)

=0<i>b</i>=
2
2

<i>x</i>=<i></i>

6 <i>x</i>=

<i></i>

6 Vì là nghiệm của (2)  cịng

lµ nghiƯm cđa (1)

(

2 .√3

2 <i>−</i>√2

)

(

<i>a</i>. sin

<i>Π</i>

6 <i>−</i>1

)

=0

  a=2

√2
2

a = 2 b = th×

(2 cos<i>x −</i>√2)(2 sin<i>x −</i>1)=0
(2sin<i>x −</i>1)

(

cos<i>x −</i>√2

2

)

=0

(1) 

Nhận thấy (1) và (2) tơng đơng

√2
2

<i>Π</i>

2

<i>Π</i>

2

<i>m</i>=0

<i>m</i>=1

¿<i>righ</i>
¿
¿[ ]

¿

(1)<i>⇔</i>(2) _{VËy víi a = 2 b =} _{thì 2 phơng}

trỡnh đã cho tơng đơng.

<b>Bài tốn 2: Tìm m để 2 phơng trình sau tơng đơng.</b>

sin x + m cosx = 1 (1)

m sinx + cosx = m2 ₍₂₎

<b>Bµi lµm</b>

Cần: Giả sử (1) và (2) tơng đơng
<i>Π</i>

2 Ta thÊy x = lµ nghiƯm cđa (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Π</i>

2  sin + cos = m2  m = m2

 m2_{- m = 0}



Víi m = 0 (1)  sin x = 0

(2)  cos x = 0  sin x =  1

Hai phơng trình khơng tơng đơng.

Víi m = 1 (1) sin x + cos x = 1

(2) sin x + cos x = 1

Vậy m = 1 thì 2 phơng trình đã cho tơng đơng

<b>Bài tốn 3: Tìm a để phơng trình sau tơng đơng.</b>

(1) 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x

(2) 4cos2_{x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x)}

<b>Bµi lµm</b>

(1)  cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x

cos<i>x</i>=0

¿
cos<i>x</i>=1

2
¿
¿
¿
¿

 2cos2_{x - cos x = 0}
cos<i>x</i>=0

¿
2 cos<i>x −</i>1=0

¿
¿
¿

¿

cos<i>x</i>=0

¿
cos<i>x</i>=1

2
¿
cos<i>x</i>=<i>a −</i>3

2
¿
¿
¿
¿

<i>a−</i>3
2 =0

¿

<i>a −</i>3
2 <1

¿

<i>a −</i>3
2 >1

¿
¿
¿
¿

 cos x ( 2cos x - 1)

= 0 

(2)  4 cos2_{x - 4cos}3_{x + 3 cos x = a cos x + (4 - a) (2cos}2_{x - 1)}
cos<i>x</i>=0

¿
2cos<i>x −</i>1=0

¿

2 cos<i>x − a</i>+3=0

¿
¿
¿
¿

 

<i>a</i>>5
+<i>a</i><1
+<i>a</i>=3

<i>a</i>=4

Hai phơng trình tơng đơng

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Tơng tự: Tìm a để 2 phơng trình tơng đơng
sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin2_x

sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sinx cos 2 x

<b>C/ kÕt luËn</b>

Qua một số năm giảng dạy phơng trình lợng giác giải bằng cách phân dạng
trên tơi thấy đã có những kết quả nhât định. Học sinh biết phân dạng bài tập và sử
dụng phơng pháp thích hợp cho mỗi bài tốn.

Vì thời gian giảng dạy cịn ít, kinh nghiệm cha nhiều tơi mong đợc sự đóng
góp giúp đỡ của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghip v cỏc em hc sinh.

<i>Tôi xin chân thành cảm ơn !</i>

</div>

<!--links-->