Gián án Đề thi HSG Toan 8

Phòng Giáo dục và đào tạo Duy xuyấN
Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi
năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút)
..................................................................
Bi 1:(4 điểm) Cho biu thc: M =






+
+

+

2
1
36
6
4
3
2
xxxx
x
:

+

+
2
10
2
2
x
x
x
a. Rỳt gn M
b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.
Bi 2:(3 điểm) Cho biu thc: A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
a. Phõn

tớch biu thc A thnh nhõn t.
b. Chng minh: Nu a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc thỡ A < 0.
Bi 3:(3 điểm)
a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau:
A = x
2
+ 2y
2
2xy - 4y + 2014
b. Cho cỏc s x,y,z tha món ng thi:
x + y + z = 1: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 v x
3
+ y
3
+ z
3
= 1.
Tớnh tng: S = x
2009
+y
2010
+ z
2011
Bài 4:(3 điểm)

a. Giải phơng trình:
209
1
2
++
xx
+
3011
1
2
++
xx
+
4213
1
2
++
xx
=
18
1

b. Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên:
x( x
2
+ x + 1) = 4y( y + 1).
Bi 5:(7 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a. Tính tổng:
HD HE HF

AD BE CF
+ +
b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC
2
c. Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
d. Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN.
Chứng minh đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
.........................Hết......................
Họ và tên thi sinh..........................................................Số báo
danh.......................
Phòng Giáo dục và đào tạo DUY XUYÊN
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài
Nội dung
Điểm
1 a






+
+

+

2
1
36

6
4
3
2
xxxx
x
=






+
+


+
2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
=
2( 2) ( 2)
( 2)( 2)
x x x

x x
+ +
+
=
6
( 2)( 2)x x

+








+

+
2
10
2
2
x
x
x
=
2
( 2)( 2) (10 )
2

x x x
x
+ +
+
=
6
2x +

M =
6
2
.
)2)(2(
6
+
+

x
xx
=
x

2
1
0,5
0,5
0,5
0,5
b
+ Nếu x

2 thì M

0 nên M không đạt GTLN.
+ Vậy x

2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M
muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN,
Mà (2 x) là số nguyên dơng

2 x = 1

x = 1.
Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1.
0,5
0,5
0,5
0,5
2 a
A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c

2
= ( b
2
+ c
2
- a
2
- 2bc)( b
2
+ c
2
- a
2
+ 2bc)
=
2 2
( )b c a



2 2
( )b c a

+

= (b + c a)(b + c + a)(b c a)(b c + a)
0,5
0,5
0,5
b

Ta cú: (b+c a ) >0 ( BT trong tam giỏc)
Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b c a ) <0 ; (b + c a ) >0
Vy A< 0
0,5
0,5
0,5
3 a
A = x
2
- 2xy + y
2
+y
2
- 4y + 4 + 2010 = (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010
Do (x-y)
2


0 ; (y - 2)
2


0
Nờn:(x-y)
2
+ (y - 2)

2
+ 2010

2010
Du ''='' xảy ra

x y = 0 v y 2 = 0

x = y = 2.
Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2
0,5
0,5
0,5
b
Ta cú: (x + y + z)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
+ 3(x + y)(y + z)(z + x)
kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0

Mt trong cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0
Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1

z = 1, lại kt
hp vi /k: x

2
+ y
2
+ z
2
= 1

x = y = 0.
Vy trong 3 s x,y,z phi cú 2 s bng 0 v 1 s bng 1,
Nờn tng S luụn cú giỏ tr bng 1.
0,5
0,5
0,5
4
a
Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ:
{ }
4; 5; 6; 7x
)
1 1 1
( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x
+ +
+ + + + + +
=
1
18


(
1 1

4 5x x

+ +
) + (
1 1
5 6x x

+ +
) + (
1 1
6 7x x

+ +
) =
1
18

1 1
4 7x x

+ +
=
1
18


(x + 4)(x +7) = 54

(x + 13)(x 2) = 0

x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phơng trình là: S =
{ }
13;2
0,5
0,5
0,5
0,5
b
+ Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x
2
+ 1) = (2y + 1)
2
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x
2
+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x
2
+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)



2
1
1
x d
x d
+

+

M
M

2
2
1
1
x x d
x d
x d

+

+


+

M
M
M

1
1
x d
x d
+

M
M

2
dM
mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x
2
+ 1) là số chính phơng
Thì (x+1) và (x
2
+ 1) đều phải là số chính phơng
Đặt:
2 2
2
1
1
x k
x t

+ =


+ =

(k + x)(k x) = 1

1
0
k
x
=


=

hoặc
1
0
k
x
=


=

+ Với x = 0 thì (2y + 1)
2
= 1

y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) =
{ }
(0;0),(0; 1)

0,25
0,25
0,25
0,25
5
O
K
I
N
M
E
H
F
A
D
B
C
0,5
a
Trớc hết chứng minh:
HD
AD
=
( )
( )
S HBC
S ABC
0,5
0,5
Tơng tự có:

( )
( )
HE S HCA
BE S ABC
=
;
( )
( )
HF S HAB
CF S ABC
=
Nên
HD HE HF
AD BE CF
+ +
=
( ) ( ) ( )
( )
S HBC S HCA S HAB
S ABC
+ +



HD HE HF
AD BE CF
+ +
= 1
0,5
0,5

b Trớc hêt chứng minh

BDH
:

BEC


BH.BE = BD.BC
Và

CDH
:

CFB

CH.CF = CD.CB.


BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC
2
(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
c
Trớc hết chứng minh:

AEF

:

ABC

ã
ã
AEF ABC=
Và

CDE
:

CAB


ã
ã
CED CBA=




ã
ã
AEF CED=
mà EB

AC nên EB là phân giác của góc DEF.
Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF

nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
0,5
0,5
0,5
d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và
HC, ta có OMH = ONC (c.c.c)


ã
ã
OHM OCN=
.(1)
Mặt khác ta cũng có

OCH cân tại O nên:
ã
ã
OHC OCH=
.(2)
Từ (1) và (2) ta có:
ã
ã
OHC OHB=

HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc
BHC nên O là điểm cố định.
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.
0,25
0,25

O,25
0,25
Chú ý:
+ Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20.
+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
+ Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm.
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung
của bài đó.