Đáp Án Đề Thi HSG Toán 12 An Giang 2010-2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12
AN GIANG Khóa ngày: 27/11/2010
MÔN TOÁN
A. HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài
1
Cho hàm s : ố
2
3
1
x mx
y
x
+ +
=
+
(
m
là tham s ). Tìm ố
m
để
hàm s có c c đ i và c c ti u đ ng th i hai đi m c cố ự ạ ự ể ồ ờ ể ự
đ i, c c ti u c a đ th hàm s n m v hai phía c aạ ự ể ủ ồ ị ố ằ ề ủ
đ ng th ng ườ ẳ
: 2 1 0d x y+ - =
.
·
2
3
1
x mx

y
x
+ +
=
+
·
TX : Đ
{ }
\ 1D = -¡
·
( )
2
/
2
2 3
1
x x m
y
x
+ + -
=
+
·
Hàm s có c c đ i và c c ti u ố ự ạ ự ể
/
0 =
có hai nghi m phânệ
bi t ệ
2
2 3 0x x mÛ + + - =

có hai nghi m phân bi t khác -1ệ ệ
/
4 0
4 (*)
4 0
m
m
m
ì
ï
D = - >
ï
ï
Û Û <
í
ï
- ¹
ï
ï
ỵ
·
Gi s đ th hàm s có đi m c c, c c ti u làả ử ồ ị ố ể ự ự ể
1 1 2 2
( ; ); ( ; )A x y B x y
·
Ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m A, B là:ươ ườ ẳ ể
: 2y x mD = +
·
Do đó:
1 1 2 2

2 ; 2y x m y x m= + = +
·
Hai đi m A, B n m khác phía đ i v i đ ng th ngể ằ ố ớ ườ ẳ
: 2 1 0d x y+ - =

( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 2
2
1 2 1 2
2 1 2 1 0
4 1 4 1 0
16 4( 1)( ) ( 1) 0
x y x y
x m x m
x x m x x m
Û + - + - <
Û + - + - <
Û + - + + - <
·
Theo đ nh lý Viet, ta có:ị

1 2
1 2
2
3
x x
x x m
ì

ï
+ = -
ï
í
ï
= -
ï
ỵ
·
Do đó:
2
6 39 0 3 4 3 3 4 3m m m+ - < Û - - < <- +
(th a (*))ỏ
·
V y: Giá tr c n tìm là: ậ ị ầ
3 4 3 3 4 3m- - < <- +
3,0
điể
m
Bài
2
Câu
1
Gi i ph ng trình:ả ươ
2 2 2
2 3 2 3 9x x x x x+ + + + + =
·
t: Đặ
2
3t x x= + +

·
Ph ng trình tr thành:ươ ở
2,0
điể
m
1

2
3
12 0
4
t
t t
t
é
=
ê
+ - = Û
ê
= -
ê
ë
·
V i ớ

( )
2 2
2
2
2 2

3 3 3 3 3
3
3 3
3
1
3 6 9
t x x x x
x
x x
x
x
x x x
= Þ + + = Û + = -
ì
ï
£
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
ï
î
ì
ï
£
ï
ï

Û Û =
í
ï
+ = - +
ï
ï
î
·
V i ớ

( )
2 2
2
2
2 2
4 3 4 3 4
4
3 4
4
4
(VN)
13
3 8 16
8
t x x x x
x
x x
x
x
x x x

x
= - Þ + + = - Û + = - -
ì
ï
£ -
ï
ï
Û
í
ï
+ = +
ï
ï
î
ì
ï
£ -
ì
ï
ï
£ -
ï
ï
ï
Û Û
í í
ï ï
+ = + +
= -
ï ï

ï
î
ï
î
·
V y nghi m c a ph ng trình đã cho là ậ ệ ủ ươ 1x =
Câu
2
Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
3 3 2 2
5 5
2 2 6
30 32
x y x y xy
x y xy
ì
ï
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
î
3 3
5 5 3 3
3 3
5

2 ( ) 6
5 . 2 ( ) 32
2 ( ) 6
( ) 32
2
. 1
1
1
x y xy x y
x y xy x y xy x y
x y xy x y
x y
x y
xy
x
y
ì
ï
+ + + =
ï
ï
Û
í
é ù
ï
+ + + + + =
ï
ê ú
ë û
ï

î
ì
ï
+ + + =
ï
ï
Û
í
ï
+ =
ï
ï
î
ì
ï
+ =
ï
Û
í
ï
=
ï
î
ì
ï
=
ï
Û
í
ï

=
ï
î
·
V y nghi m c a h ph ng trình đã cho là ậ ệ ủ ệ ươ
1
1
x
y
ì
ï
=
ï
í
ï
=
ï
î
2,0
điể
m
Bài 3
Cho t giác ABCD. G i M, N là trung đi m c aứ ọ ể ủ
AB và CD. Ch ng minh r ng:ứ ằ
max( , )MN AD BC£
.
2,0
điể
m
2

N
M
A
B
C
D
·
Ta có:

MN MA AC CN
MN MB BD DN
= + +
= + +
uuuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur uuur

( ) ( )
2MN MA MB AC BD CN DNÞ = + + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
·
Vì M, N là trung đi m c a AB, CD. Nên:ể ủ
0; 0MA MB CN DN+ = + =
uuur uuur r uuur uuur r
·
Do đó:

2
2
2
MN AC BD

MN AD DC BC CD
MN AD BC
= +
Û = + + +
Û = +
uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
·
t: Đặ
( )
max ,m AD BC=
·
Ta có:

= + £ +
Û £ + £ + =
Û £
uuuur uuur uuur uuur uuur
2
2 2
MN AD BC AD BC
MN AD BC m m m
MN m
·
Suy ra (đpcm)
Bài
4
Câu
1

Cho dãy th c ự
( )
n
u
đ c xác đ nh nh sau:ượ ị ư
2
1 1
1
; ln(1 ) 2010; 1
2
n n
u a u u n
+
= Î = + - ³¡
. Ch ngứ
minh r ng dãy ằ
( )
n
u
h i t .ộ ụ
·
Xét hàm s ố
( )
2
1
( ) ln 1 2010
2
f x x= + -
·
Khi đó:

( )f x
liên t c trên ụ
¡
/
2
1
( ) ;
2
1
x
f x x
x
= £ " Î
+
¡
·
t: Đặ
( )
2
1
( ) 2010 ln 1
2
g x x x= + - +
4,0
điể
m
3
· ( ) ( )g x x f x= -
liên t c trên ụ
¡

2
/
2
1
( ) 0;
1
x x
g x x
x
- +
= > " Î
+
¡
·
Do đó:
( )g x
t ng trên ă
¡
·
Mà:

( )
2
1
(0). ( 2010) 2010. ln 1 2010 0
2
g g - = - + <
·
Ph ng trình ươ
( ) 0g x =

có nghi m duy nh t ệ ấ L.
·
Áp d ng đ nh lý Lagrange thì t n t i s ụ ị ồ ạ ố
c
sao cho

/
1
1
( ) ( ) ( ) .
1
; 1
2
n n n
n n
u L f u f L f c u L
u L u L n
+
+
- = - = -
Þ - £ - " ³
·
Do đó:

1
2
1 1
1
0
2

1 1
... ; 1
2 2
n n
n
n
u L u L
u L u L n
+
-
£ - £ - £
æö æö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
£ - £ £ - " ³
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
·
Chuy n qua gi i h n thì dãy ể ớ ạ
( )
n
u
h i t v ộ ụ ề L

·

Suy ra (đpcm)
Câu
2
V i ớ
, ,a b c
là các s th c th a mãn đi u ki nố ự ỏ ề ệ
1a b³ ³
;
3a £
;
6ab£
;
6ab c£
. Ch ng minhứ
r ng ằ
4a b c+ - £
.
·
B T c n ch ng minh đ c vi t d i d ng:Đ ầ ứ ượ ế ướ ạ
1 3 2a b c+ + £ + +
·
Ta có:
( ) ( )
3 2 3 2 3
3 2 1
1
c
c b a b
a b a b a
æ ö æ ö

÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ + = + + + - + + -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
·
Suy ra:

( ) ( )
( ) ( )
3
6 6 3
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1
3 2 1
c
c b a b
ab ab a
c b a b
c a b
+ + ³ + - + -
Û + + ³ + - + -
Û + + ³ + +
·
D u “=” x y ra ấ ả

3
2
1
a
b
c
ì
ï
=
ï
ï
ï
Û =
í
ï
ï
=
ï
ï
î
3,0
điể
m
Bài
5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
c nh a, ạ
3SA a=
vuông góc v i m t ph ng đáy. ớ ặ ẳ
M t đi m B’ di chuy n trên đo n SB. M t ph ng ộ ể ể ạ ặ ẳ

(AB’D) c t SC t i C’. t x = SB’.ắ ạ Đặ
4,0
điể
m
4
1/ Tớnh th tớch kh i chúp S.ABCD theo a v
x.
2/ Tỡm x t giỏc ABCD cú di n tớch bộ
nh t.
Cõu
1
ã
M t ph ng (ABD) ch a AD//(SBC) nờn nú c t m t
ph ng (SBC) theo giao tuy n BC song song v i AD.
ã
M t khỏc AD SA; ADAB nờn AD(SAB) hay ADAB
ã
V y ADCB l hỡnh thang vuụng.
ã
Ta cú th tớch kh i chúp S.ABCD l
3
3
3
a
V =

/ /
2 2
1
/ / / / 2 2

1
2 3 2 2
/
1 1
2 2
. 4
.
3 3.
. .
6 24
4 4
SABC
SAB C
V
V
SB SC SB a
V
V SB SC SB x
x a x a x
V V
a a
= = = =
= = =

/
2
/ / /
2
2
/

2 2
2
. 3
.
2 12
SACD
SAC D
V V
SC SB a
V x
V SC SB
x a x
V V
a
= = = =
= =
ã
V y
/ /
/ /
1 2
3(2 3 )
12
SAB C D
ax a x
V V V
+
= + =
1,5
i

m
Cõu
2
ã
Do ABCD l hỡnh thang vuụng, nờn

/ /
/ / /
1
( )
2
AB C D
S AD B C AB= +
ã
p d ng nh lớ cosin cho tam giỏc SBA, ta c:
ã
/ 2 / 2 2 / 2 2
/ 2 2 2
3
2 . .cos 3 2 3
2
3 3
a
AB SB SA SB SA ASB x a xa
a
AB a x ax
= + - = + -
= + -
( )
( )

/ /
/ /
/ / / 2 2
2 2
1 1
3 3
2 2 2
1
2 3 3
4
AB C D
AB C D
x
S AD B C AB a a x ax
S x a a x ax
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = + + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
= + + -
ã
Xột hm s :

( )
2 2
1
2 3 3
4
y x a a x ax= + + -
v i
0;2a
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
2,5
i
m
5
S
A
B
C
D
B'
C'