Tài liệu KTchuyen toan 9

KIỂM TRA CHON ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (năm học 2009-2010)
Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức A=
2
: 1
1
1 1
x y x y
x y xy
xy
xy xy
 
+ −
 
+ +
+ +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 
a) Tìm điều kiện xác đònh của A và rút gọn A.
b) Tính giá trò của A với x=
2 10 30 2 2 6 2
:
2 10 2 2 3 1
+ − −
− −
.
c) Tìm giá trò lớn nhất của A.

Câu 2. (1,5 điểm) a) Tìm x để 2x
3
+ x
2
+2x +1 không âm.
b) Giải phương trình sau:
( )
x x x x x x
− + + + = + + +
2 2 3 2
1 1 1
2 2 1
4 4 2
.
Câu 3(2 điểm).a) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức M = a
2
+ b
2
+ ab -3a – 3b +2006.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k , ta có :








+
−<

+
1
11
2
)1(
1
kkkk
.
p dụng Chứng minh:
2
)1(
1
.......
34
1
23
1
2
1
<
+
++++
nn
, với mọi số nguyên dương n.
Câu 4.(3 điểm)Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường
tròn (O) (M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với
đường tròn tâm M lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
b) Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
c) Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh OA

2
= OB
2
= OH.OK.
Câu 5. (1 điểm)Gọi AC là đường chéo của hình bình hành ABCD (Â < 90
0
). Từ C vẽ đường vuông góc với đường
thẳng AB tại E và vuông góc với đường thẳng AD tại F. Chứng minh : AB.AE + AD.AF = AC
2


KIỂM TRA CHON ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (năm học 2009-2010)
Câu 1. (2,5 điểm)Cho biểu thức A=
2
: 1
1
1 1
x y x y
x y xy
xy
xy xy
 
+ −
 
+ +
+ +
 ÷
 ÷
 ÷
−

− +
 
 
d) Tìm điều kiện xác đònh của A và rút gọn A.
e) Tính giá trò của A với x=
2 10 30 2 2 6 2
:
2 10 2 2 3 1
+ − −
− −
.
f) Tìm giá trò lớn nhất của A.
Câu 2. (1,5 điểm) a) Tìm x để 2x
3
+ x
2
+2x +1 không âm.
b) Giải phương trình sau:
( )
x x x x x x
− + + + = + + +
2 2 3 2
1 1 1
2 2 1
4 4 2
.
Câu 3. (2 điểm) a) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức M = a
2
+ b
2

+ ab -3a – 3b +2006.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k , ta có :








+
−<
+
1
11
2
)1(
1
kkkk
.
p dụng Chứng minh rằng :
2
)1(
1
.......
34
1
23
1
2

1
<
+
++++
nn
, với mọi số nguyên dương n .
Câu 4.(3 điểm)Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường
tròn (O) (M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với
đường tròn tâm M lần lượt tại C và D.
a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
b)Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
c)Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh OA
2
= OB
2
= OH.OK.
Câu 5 (1 điểm). Gọi AC là đường chéo của hình bình hành ABCD (Â < 90
0
). Từ C vẽ đường vuông góc với đường
thẳng AB tại E và vuông góc với đường thẳng AD tại F. Chứng minh : AB.AE + AD.AF = AC
2
.