Bài soạn Đề thi HSG Tỉnh Toán 8

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 6
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Tính
a/ A =
123...9899100101
123...9899100101
++++
+++++++
b/ B =
423134846267.423133
423133846267.423134
+

Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng: 10
28
+ 8 chia hết cho 72
b/ Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
2001
+ 2
2002
B = 2
2003
So sánh A và B

c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3 (2 điểm)
Ngời ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1
em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em.
Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ?
Câu 4 (3 điểm)
Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho
CM = 3 cm.
a/ Tính độ dài BM
b/ Biết BAM = 80
0
; BAC = 60
0
. Tính CAM
c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng:
1
2
100
1
...
2
4
1
2
3
1
2
2

1
<++++

Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 6
Câu 1:
Tính
a/ =
101
51
51.101
=
(1 điểm)
b/ B =
1
423134846267.423133
423133846267846267.423133
=
+
+
(1 điểm)
Câu 2:
a/ Vì 10
28
+ 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9
Lại có 10
28
+ 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8
Vậy 10

28
+ 8 chia hết cho 72 (1/2 điểm)
b/ Có 2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
2002
+ 2
2003
=> 2A A = 2
2003
1
=> A = B 1. Vậy A < B. (1/2 điểm)
c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau:
p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k

N; k > 0)
+ Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5
+ Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
Thử lại với p = 5 thoả mãn (1 điểm)
Câu 3:
Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn
thừa 1 em nh khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trớc 4 học
sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh)
(1 điểm)
Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ) (1/2 điểm)
Số học sinh là: 4 . 10 3 = 37 (học sinh) (1/2 điểm)
Câu 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm)
a/ C nằm giữa B và M
=> BC + CM = BM(1/2 điểm)
=> BM = 3 + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm)
b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia
nằm giữa 2 tia AB và AM (1/2 điểm)
=> BAC + CAM = BAM
=> CAM = BAM BAC
=> CAM = 80
0
60
0
= 20
0
(1/2 điểm)
B
C
A
MKK'
c/ XÐt 2 trêng hîp:

+ NÕu K n»m gi÷a C vµ M tÝnh ®îc BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)
+ NÕu K n»m gi÷a C vµ B tÝnh ®îc BK = 4,5 (cm) (1/2 ®iÓm)
C©u 5:
Ta cã:

1
100
99
100
1
1
2
100
1
...
2
4
1
2
3
1
2
2
1
100
1
99
1
2
100

1
................
4
1
3
1
2
4
1
3
1
2
1
2
3
1
2
1
1
1
2
2
1
<=−<++++⇒
−<
−<
−<
−<


















(1/2 ®iÓm)
(1/2 ®iÓm)
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Thực hiện các phép tính:
a/
8
5
6
5
4
5

4
1
3
1
2
1
13
5
11
5
7
5
13
3
11
3
7
3
+
+
+
+
+
b/ ( 1 + 2 + 3 + ... + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) :

+++
6
1
5
1
4
1
3
1
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng 36
36
- 9
10
chia hết cho 45
b/ Tính x, y, z biết rằng:
=
+
=
++
=
++
211 yx
z
zx
y
zy
x
x + y + z
c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a

2
b
3
)
10
+ ( 3b
2
c
4
)
15
= 0
Câu 3 (2 điểm)
Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ
45 phút. Sau khi đi đợc
5
4
quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3 km/h nên
đến B lúc 12 giờ tra. Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ?
Câu 4 (3 điểm)
ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 90
0
).
Đờng cao Ah của tam giác ABC và đờng cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở
N. Chứng minh AN = BC.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dơng. Chứng
minh rằng tổng 25 số ấy là một số dơng
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005

Môn: Toán 7
Câu 1:
5
2
5
3
8
1
6
1
4
1
5
8
1
6
1
4
1
2
13
1
11
1
7
1
5
13
1
11

1
7
1
3
/
+=
+
+
+
+
+

a
= 1 (1 điểm)
b/ Ta có: 12.34 - 6 . 68 = 0
Do đó giá trị của biểu thức bằng 0.
Câu 2:
a/ Ta có 36
36
có tận cùng bằng 6
9
10
có tận cùng bằng 1 (1/4 điểm)
Do đó 36
36
- 9
10
chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9, vậy chia hết cho
45 (1/4 điểm)

b/ Ta có:
zyx
zy
x
zx
y
zy
x
++=
+
=
++
=
++
211
(1)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta đợc:
( )
zyx
zyx
zyx
++=
++
++
2
(2)
Nếu x + y + z = 0 thì từ (1) suy ra x = 0; y = 0; z = 0.
Nếu x + y + z

0 thì từ (2) suy ra: x + y + z =

2
1
(1/2 điểm)
Khi đó (1) trở thành:
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
=

=
+
=
+
z
z
y
y
x
x