Chuyen de he thuc Viet

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề: hệ Thức vi ét</b>
<b> Các kin thc cn nh</b>

<i><b>1) Định lí Vi ét:</b></i>

Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0). NÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x

1; x2 th×:

1 2

1 2

b

x x

a
c
x .x

a



 





 _



L

u ý : Khi đó ta cũng có: x1 x2 a


 

<i><b>2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai:</b></i>

- NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2

c

x 1; x

a

 

- NÕu a – b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2

c

x 1; x

a

<i><b>3) Tìm hai số khi biết tổng và tích:</b></i>

Hai số x; y cã: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phơng trình:
X2_{SX + P = 0}

Điều kiện S2_4P.
<b>Bài tập</b>

Dạng thứ nhất: Lập phơng trình khi biết hai nghiƯm:
Bµi 1:

a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9
d) x1=0,1; x2=0,2 e)

1 2

1

x 3; x

4

 

f) 1 2

3

x 5; x

2

 

g) 1 2

1 3

x ; x

4 2

 

h) 1 2

1 1

x 2 ; x 3

4 3

 

i) 1 2

1

x 1 ; x 0,9

3

 

j) x1  1 2; x2  1 2 k)

1 2

1

x 3 2; x

3 2

  



l) x1  5 2 6; x2  5 2 6 _m)x1  3 2 2; x2  3 2 2

n)

1 2

1 1

x ; x

2 3 2 3

 

  _o) 1 2

1 1

x ; x

10 72 10 72

 

 

p) x1 4 3 5; x2  4 3 5 q) x1  3 11; x2  3 11

r) x1  3 5; x2  3 5 s) x14; x2  1 2

t) 1 2

1

x ; x 2 3

3

 

u) x1 1,9; x2 5,1
Bài 2: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình:

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) 3x1 vµ 3x2 b) -2x1 vµ -2x2 c) 1

1

x _vµ ₂
1
x
d)
2
1
1

x _vµ ₂2
1

x _e)

2
1

x
x _vµ

1

2
x
x _f)
1
1
x 1
x

vµ
2
2
x 1
x

g)
1
2
x 1
x

vµ
2
1
x 1
x

h)
1
2
x

x 1_vµ

2
1

x

x 1 _i) 1 ₂

1
x
x

vµ
2
1
1
x
x


j) 2

1

x 2_vµ ₁
1

x 2

B i 3à : Gi¶ sư x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình:
2

x px 50_{. Không giải phơng trình,}

hÃy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:

a) -x1 và -x2 b) 4x1 và 4x2 c)
1

1
x

3 _vµ 2

1
x
3

d) 1

1

x _vµ ₂

1

x _e)

2
1

x
x _vµ

1
2
x
x _f)
1
1
x 2
x

vµ
2
2
x 2
x

g)
1
2
x 3
x
 
vµ
2
1

x 3
x
 
h)
1
2
x

x  1_vµ

2
1

x

x  1 _i) 1 ₂

1
x
x

vµ
2
1
1
x
x

j)
2

1

x _vµx₂2 _k) 1 ₂

1
x
x

vµ
2
1
1
x
x


l) x12x2 vµ x1x22

Bµi 4: Gäi p; q là hai nghiệm của phơng trình 3x2 7x 4 0. Không giải phơng trình. HÃy
lập một phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:

p
q 1 _và

q
p 1
Bài 5: Tơng tự:

a) x2 4x 2 0 b) x2  5x 30 c) 2x2 6x 70
Bµi 6:

a) Chøng minh r»ng nÕu a1; a2 lµ hai nghiệm của phơng trình:
2

x px 1 0_{, b}

1; b2 là hai
nghiệm của phơng trình:

2

x qx 1 0_th×:



 

 

 



2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

a  b a  b a b a b q  p

b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt: x2 ax 1 0với mộ nghiệm nào đó của pt
2

x bx 1 0_{là nghiệm pt thì:}

2 2 2 2

4 1 1

2

a b  a  b 

c) Cho pt
2

x pxq0

Chøng minh r»ng nÕu
2

2p  9q0_{thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đơi nghiệm kia.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài 1: Cho phơng trình: x2 5x 3 0. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình không giải
phơng trình hÃy tính:

a)

2 2

1 2

x x _b)x₁3 x₂3 _c)x1 x2 _d)

2 2

1 2

x  x

e)

3 3

1 2

x  x _f) ₁ ₂

1 1

x x _g) ₁2 ₂2

1 1

x x _h)

1 2

1 2

x 3 x 3

x x

 



i) 1 2

1 1

x  2 x  2 _j)

1 2

2 1

x 5 x 5

x x

 



k)

1 2

1 2

1 1

x x

x x

  

l)

1 2

1 2

1 x 1 x

2x 2x

 



m)

2 2

1 2 1 2

x x x x _n)

1 2

2 1

x x

x x

Bài 2: Tơng tự: 2x2  5x 1 0; 3x2 4x 30; 3x2 2x 5 0

Bài 3: Cho phơng trình: x2  4x 1 0. Khơng giải phơng trình hãy tính:
a) Tổng bình phơng các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm

c) Tæng lập phơng các nghiệm d) Bình phơng tổng các nghiệm
e) Hiệu các nghiệm f) Hiệu bình phơng các nghiệm
Bài 4: Cho pt: x2 4 3x 8 0 cã hai nghiÖm x1; x2. Không giải pt hÃy tính:

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6x 10x x 6x

A

5x x 5x x

Dạng thứ ba: Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Bài 1:

a) Tìm hai số khi biết tổng của chóng b»ng 27, tÝch cđa chóng b»ng 180.
b) T×m hai sè khi biÕt tỉng cđa chóng b»ng 1, tÝch cđa chóng b»ng 5.
c) T×m hai sè khi biÕt tỉng cđa chóng b»ng 33 , tÝch cđa chóng b»ng 270.
d) T×m hai sè khi biÕt tỉng cđa chóng b»ng 4, tÝch cđa chóng b»ng 50.
e) T×m hai sè khi biÕt tỉng cđa chóng b»ng 6 , tÝch cđa chóng b»ng -315.
Bµi 2 T×m hai sè u, v biÕt:

a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105
c) u + v = 2; uv = 9 d) u + v = 42; uv = 441
e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40
g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24
i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24
k) u2_{+ v}2_{= 85; uv = 18} _{l) u - v = 3; uv = 180}
m) u2_{+ v}2_{= 5; uv = -2} _{n) u}2_{+ v}2_{= 25; uv = -12}
Dạng thứ bốn: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm:

Bài 1: Cho pt x2 6xm0. Tính giá trÞ cđa m biÕt pt cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶:

a)

2 2

1 2

x x 36 _b) ₁ ₂

1 1

3

x x  _c) ₁2 ₂2

1 1 4

x  x 3 _d)x₁ x₂ 4

Bài 2: Cho pt x2  8xm0. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một
trong các hệ thức sau:

a)

2 2

1 2

x x 50 _b)x₁ 7x₂ _c)2x₁3x₂ 26 _d)x₁ x₂ 2

Bài 3: Cho pt x2  (m3)x2(m2)0. Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x2.
Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) Tìm k để pt: x2 (k 2)xk 50 có hai nghiệm x1; x2 thoả

2 2

1 2

x x 10

b) Tìm m để pt: x2  2(m 2)x 50 có hai nghiệm x1; x2 thoả

2 2

1 2

x x 18

c) Tìm k để pt: (k1)x2  2(k2)xk 30 có hai nghiệm x1; x2 thoả

1 2

(4x 1)(4x 1) 18

d) Tìm m để pt: 5x2 mx 280 có hai nghiệm x1; x2 thoả5x1 2x2 1
Bài 5 Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt:

2

mx (m 1)x 3(m 1) 0_{. Chøng minh:}

1 2

1 1 1

x x 3

Dạng thứ năm: Các bài toán tổng hợp.

Bài 1: Cho pt: x2  (2m3)xm2 3m 2 0
a) Gi¶i pt trªn khi m = 1

b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt cịn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
c) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để

2 2

1 2

x x 1

e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho pt x2  2(m 1)x  m0

a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 víi mäi m.
b) Víi m ≠ 0. H·y lËp pt Èn y cã 2 nghiƯm lµ: 1 1 2

1

y x

x

 

vµ

2 2

1

1

y x

x

 

c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x2 3
Bài 3: Cho pt x2  2(k3)x2k 1 0

a) Gi¶i pt khi

1
k

2



b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt cịn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy?
c) Chứng minh rằng pt ln có 2 nghiệm x1; x2 vi mi k.

d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?

e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 2 1 2

1 1 3

2

x x  x x 

f) Tìm k để tổng bình phơng các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho pt (m 1)x 2  2mxm 1 0

a) CMR pt lu«n cã 2 nghiƯm ph©n biƯt khi m ≠ 1.

b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?

d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

1 2

2 1

x x 5

0

x  x 2 

Bµi 5: Cho pt x2  2(m 1)x 2m 10 0
a) Giải và biện luận pt trên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

c) T×m m sao cho hai nghiƯm x1; x2 cđa pt tho¶

2 2

1 2 1 2

10x x x x _{đạt giá trị nhỏ nhất.}

Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 6: Cho pt x2  2mx2m 1 0

a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã 2 nghiƯm x1; x2 víi mọi m.
b) Đặt

2 2

1 2 1 2

A2(x x ) 5x x

+) Chøng minh A8m2 18m9
+) T×m m sao cho A = 27.

c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?
Bài 7: Cho pt x2  2(m 1)x m 40

a) Gi¶i pt khi m = -5

b) CMR pt ln có nghiệm x1; x2 với mọi m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng.

e) CMR biĨu thøc Ax (1 x )1  2 x (1 x )2  1 _{không phụ thuộc m.}

f) Tính giá trị của biểu thức x1 x2

Bµi 8: Cho pt x2  2(m2)xm 1 0
a) Giải pt trên khi

3
m

2

b) Tỡm m pt cú hai nghiệm trái dấu?
c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?

d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để

2

1 2 2 1

x (1 2x ) x (1 2x ) m

Bµi 9: Cho pt x2  2(m 1)x m2  4m 90 (x lµ Èn)
a) Giải và biện luận pt.

b) Tỡm m pt nhn 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm đợc hãy tìm nghiệm cịn
lại của pt.

c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.

Bài 10: Cho pt (m 4)x2  2mxm 2 0

a) Tìm m để pt có nghiệm x 2. Tìm nghiệm kia
b) Tìm m để pt có nghiệm

c) TÝnh

2 2

1 2

x x _{theo m.}

d) TÝnh

3 3

1 2

x x _{theo m.}

e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo các nghiệm.
Bài 11:

a) Pt
2

x  2px 5 0_{cã nghiệm}x₁ 2_{. Tìm p và tính nghiệm kia.}

b) Pt

2

x 5xq 0_{cã mét nghiƯm b»ng 5. T×m q vµ tÝnh nghiƯm kia.}

c) BiÕt hiƯu hai nghiƯm cđa pt
2

x 7xq0_{bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của}

d) Tìm q và hai nghiệm của pt
2

x qx500_{, biÕt pt cã hai nghiƯm vµ nghiƯm nµy}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

e) Tìm giá trị của m để pt x2 2(m2)x2m2 7 0 có nghiệm x1 = 5. khi đó hãy
tìm nghiệm còn lại.

f) Định giá trị của k để pt x2 k(k1)x5k200 có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm
kia.

g) Cho pt: 5x2 mx 280. Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x12x2 1

h) Tìm tất cả các giá trị của a để pt x2 ax  a 7 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn

2 2

1 2

x x 10

Bài 12: Cho pt (m 1)x 2  2(m 1)x m 20
a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

1 2

1 1 7

x x 4_; ₁ ₂

1 1

1

x x  _;x₁2 x₂2 2

d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1x )2 5x x1 2
Bài 13: Cho pt x2  2(m 1)x 2m 10 0

a) Tìm m để pt có nghiệm
b) Cho

2 2

1 2 1 2

P6x x x x _{( x}

1; x2 là hai nghiệm của pt). Tìm m sao cho P đạt giá trị
nhỏ nhất, tìm GTNN ấy.

Bài 14: Tìm các giá trị của m; n để pt x2  2(m 1)x   n 2 0 có hai nghiệm

1 2

x 1; x 2_?

Bài 15: Tìm các giá rị của m để pt x2  mxm 1 0 có nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong
hai điều:

a) x x1 2 2(x1x ) 192  0
b) x1; x2 đều âm.

Bµi 16: Cho pt x2  2(m 1)x m 30
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi m.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.

c) Xỏc nh m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 17: Cho pt x2 mx 3 0

a) Giải và biện luận pt. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm?
b) Xác định các giá trị của m để pt có hai nghiệm dơng.

c) Víi gi¸ trị nào của m thì pt nhạn 1 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 18: Cho pt x2 8xm 5 0

a) Xác định m để pt có nghiệm

b) Víi giá trị nào của m thì pt có nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia?. Tính các nghiệm
trong trờng hợp nµy.

Bµi 19: Cho pt x2  mxm 1 0

a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của pt và
giá trị tơng ứng của m.

b) Đặt

2 2

1 2 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

+) Chứng minh Am2  8m8
+) Tính giá trị của m để A = 8
+) Tìm min của A

Bµi 20: Cho pt (m 1)x 2 2(m 1)x  m0

a) Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Định m để pt có hai nghiệm đều âm? đều dơng? trái dấu?
Bài 21: Cho pt x2  (2m 3)xm2 3m0

a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm víi mäi m.

b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong các điều:
+)

2 2

1 2

x x 9 ₊₎x x₁2 ₂ x x₁ ₂2 4

Bµi 22: Cho pt kx2  18x 3 0

a) Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó?
b) Với giá trị nào của k thì pt có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

2 2

1 2 1 2

x x x x 6

Bµi 23: Cho pt x2  10x m200
a) Gi¶i pt khi m = 4?

b) Xác định giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dơng.
Bài 24: Cho pt x2  2(m2)xm 1 0

a) Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để:

2

1 2 2 1

x (1 2x ) x (1 2x ) m

Bµi 25: Cho pt 2x2 6xm 0

a) Với giá trị nào của m th× pt cã nghiƯm.

b) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm đều dơng

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để

1 2

2 1

x x

3

x  x 

Bµi 26: Cho pt x2  2(a 1)x 2(a5)0
a) Gi¶i pt khi a = -2

b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoảx12x2 3
d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng.

Bài 27: Cho pt (m 1)x 2  2(m 1)x m 20
a) Xác định m để pt có nghiệm

b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 1 2

1 1 7

x x 4

c) Xác định m để pt có một nghiệm bằng hai nghiệm kia

Bài 28: Xác định m để pt x2  (5m)x m 6 0 có hai nghiệm thoả mãn một trong các
điều kiện sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài 29: Tìm giá trị của m để

2 2

1 2

x x _{đạt giá trị nhỏ nhất:}

a) x2  (2m 1)x m 20 b) x2 2(m 2)x (2m 7)0
Bµi 30: Cho pt x2  2(m 1)x m 40

a) Gi¶i pt khi m = 1

b) Víi giá trị nào của m thì pt nhận x = 3 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
c) Chứng minh rằng pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m.

d) Tìm m để pt có nghiệm thoả

2 2

1 2

x x 5

e) Tìm giá trị của m để pt có hai nghiện dơng? hai nghiệm âm?
Bài 31: Cho pt

2

x  2(m 1)x 2m 40

a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt víi mäi m.
b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa pt. T×m GTLN cđa

2 2

1 2

Yx x

c) Tìm m để Y = 4; Y = 2.
Bài 32: Cho pt 5x2 mx 280

a) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng
c) Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả:

+) 1 2

1 1 7

x x 4 ₊₎

2 2

1 2

142

x x

25

 

d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x12x2 1
Bài 33: Cho pt 2x2 (2m 1)x m 1 0

a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tỡm m pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x2 11
c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dơng

</div>

<!--links-->