Su dung phep suy luan suy dien de chung minh hinh hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Phơng pháp suy luận phân tích

Lời cảm ơn

hon thnh ti ny, chỳng tôi đã nhận đợc

sự hớng dẫn, giúp đỡ rất nhiều của các thày cô giáo

trong khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, trờng

Đại học Hoa L, trờng THCS Cồn Thoi - Kim Sơn –

Ninh Bình cùng bạn bè đồng nghiệp. Đặc biệt là

Ths Nguyễn Văn Hà - Ngời đã hớng dẫn chúng tôi

thực hiện đề tài này.

Trong q trình thực hiện đề tài, chúng tơi khơng

tránh khỏi những thiếu sót, chúng tơi rất mong đợc

sự đóng góp ý kiến của các thày cơ giáo và bạn bè

đồng nghiệp để đề tài này đợc hoàn thin hn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.

Ninh Bình, tháng 4 năm 2009

<b>Ngời thực hiện</b>

Nguyễn Đức Hải

<b>Trờng THCS Cồn Thoi</b> 2Ngời thực hiện: Nguyễn §øc H¶i

<b>PHỊNG GIÁO DỤC KIM SƠN</b>

<b>TRƯỜNG THCS CỒN THOI</b>

<b>TỔ TỰ NHIÊN</b>

=================

<b>BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC</b>

<b>PHƯƠNG PHÁP </b>

<b>SUY LUẬN PHÂN TÍCH </b>

<b>ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC</b>

<b>TRƯỜNG THCS</b>

<i><b>Người thực hiện:</b></i><b> Nguyễn Đức Hải</b>

<b>- </b><i>Giáo viên trường THCS Cồn Thoi</i>

<i><b>Giáo viên hướng dẫn:</b></i><b> Thạc sỹ NGUYỄN VĂN HÀ </b>

<i>- Giảng viên trường ĐHSP Hà Nội II</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Mơc lơc</b>

<b>1. PhÇn mở đầu</b>

<b>2. Phần nội dung</b>

<i><b>Chơng I.</b></i>

<b>Cơ sở lí luận</b>

<i><b>Chơng II.</b></i>

<b> Chứng minh iifnh học</b>

<i><b>Chơng III</b></i>

<b>. Bài tập</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>P</b>

hần mở đầu

<b>1) Lớ do chn ti</b>

Trong quỏ trỡnh giảng dạy các mơn nói chung và mơn hình học nói
riêng thì việc tìm ra lời giải một bài tốn đối với học sinh là tơng đối khó
khăn và thờng là khơng có hệ thống và phơng pháp cụ thể, nhất là những
bài tốn chứng minh hình học. Học sinh đọc sách giáo khoa và sách bài
tập thì dễ hiểu nhng để làm đợc bài thì lại gặp khó khăn.

Bởi vì những chứng minh đó đợc lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ
nhàng dẫn đến một hệ quả tất yếu. Nhng làm sao biết đợc cái trật tự lơgic
đó? Làm sao biết đợc phải bắt đầu từ chỗ nào? Phải làm gì trớc, làm gì
sau? ...

Một trong những phơng pháp để tìm đợc lời giải là phơng pháp suy
luận phân tích, là phơng pháp đơn giản, dễ thực hiện và liên kết đợc điều
phải chứng minh với những giả thit v nhng iu ó bit.

<b>2) Đối tợng và phạm vi nghiên cứu</b>

- Đối tợng nghiên cứu: phơng pháp suy luËn ph©n tÝch.

- Phạm vi nghiên cứu: Dùng phơng pháp suy luận phân tích để tìm và giải
bài tốn chứng minh nói chung và bài tập hình học trong chơng trình THCS

<b>3) ý nghÜa </b>

- Về mặt lí luận, đề tài này sẽ góp phần minh hoạ cho phơng pháp
suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lơgic giữa điều cần chứng minh

với điều cần có để chng minh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Phần nội dung

<b>Chơng I</b>

.

<b>C¬ së lÝ ln</b>

<b>I) SUY LUẬN TỐN HỌC</b>

<b>1) Suy luận là gì?</b>

Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho
trước rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của
suy luận. Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả.

Ký hiệu: X1, X2, ..., Xn  Y

Nếu X1, X2, ..., Xn  Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận

logic hay hệ quả logic

Ký hiệu suy luận logic:

1 2 n

X ,X ,....,X
Y

<b>2) Suy diễn</b>

Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho
cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là
việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui
tắc logic.

- Quy tắc kết luận:

X Y,X
Y



- Quy tắc kết luận ngược:

X Y,Y
X



- Quy tắc bắc cầu:

X Y,Y Z
X Z

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Phơng pháp suy luËn ph©n tÝch

- Quy tắc đảo đề:

X Y
Y X



 

- Quy tắc hoán vị tiền đề:









X Y Z
Y X Z

 
 

- Quy tắc ghép tiền đề:





X Y Z
X Y Z

 
 

<b>3) Suy luận quy nạp:</b>

Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận

chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận
quy nạp là khơng có quy tắc chung cho q trình suy luận, mà chỉ ở trên
cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong
q trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đốn.

Vd: 4 = 2 + 2
_{6 = 3 + 3}

10 = 7 + 3
...

Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số
nguyên tố.

<i><b> a) Quy nạp khơng hồn tồn :</b></i>

Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số
trường hợp cụ thể đã được xet đến. Kết luận của phép suy luận khơng
hồn tồn chỉ có tính chất ước đốn, tức là nó có thể đúng, có thể sai và
nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.

Sơ đồ:

A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là B

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là 1 số phần tử của A

Kết luận: Mọi phần tử của A là B

<i><b>b) Phép tương tự:</b></i>

Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối
tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối
tương đó. Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đốn, tức là nó có
thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.

Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d
B có thuộc tính a, b, c

Kết luận : B có thuộc tính d .

<i><b> c) Phép khái quát hóa:</b></i>

Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào
đó có chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất
ước đốn, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả
thuyết.

<i><b>d) Phép đặc biệt hóa:</b></i>

Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ
hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói
chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết
luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dng gi lờn gi thuyt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Phơng pháp suy ln ph©n tÝch

<b>II) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỐN HỌC</b>

1) <b>Phương pháp chứng minh tổng hợp</b>:

<i>Nội dung:</i> Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng
minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm,
điều cần chứng minh.

<i>Cơ sở:</i> Quy tắc lơgíc kết luận

<i>Sơ đồ:</i> A  _B _C _... _Y _X

Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lơgíc
của A; C là hệ quả lơgíc của B; ... ; X là hệ quả lơgíc của Y.

<i> Vai trò và ý nghĩa:</i>

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột
ngột, khơng tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là
mệnh đề đúng nào đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh.

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ
mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó.

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi
trong trình bày chứng minh tốn học, trong việc dạy và học tốn ở trường
phổ thơng.

2) <b>Phương pháp chứng minh phân tích đi lên:</b>

<i>Nội dung: </i>Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp
chứng minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng
minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Cơ sở:</i> Quy tắc lơgíc kết luận.

<i>Sơ đồ:</i> X  _Y _... _B _A

Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lơgíc của
X ; ... ; A là tiền đề lơgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho
trước;

<i>Vai trò và ý nghĩa:</i>

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện
vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần
chứng minh, hay mệnh đề kết luận.

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dịng
vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều
mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó.

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng
rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy
và học tốn ở trường phổ thơng.

<i>Ví dụ:</i> Bài tốn

“ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể khơng chứa nước sau 12 giờ
thì đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1, 5
lần lượng nước của vòi 2 chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vịi chảy một mình
trong bao lâu sẽ đầy bể?”

3<b>) Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống :</b>

<i>Nội dung: </i>Phương pháp chứng minh phân tich đi xuống là phương
pháp chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó.

<i>Cơ sở:</i> Quy tắc lụgớc kt lun.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Phơng pháp suy luận phân tÝch

Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh;
Y là hệ quả lơgíc của X ; ... ; A là hệ quả lơgíc của B và
A là mệnh đề đã biết nào đó. Nếu A sai thì X sai. Nếu A
đúng thì X có thể đúng có thể sai. Lúc này chúng ta phải dùng
phương pháp tổng hợp đi từ A tới X.

Nguyễn Đức

Hải

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Ch¬ng II. </b>

<b>Chứng minh hình học</b>

<b>1) Ví dụ mở đầu</b>

Cho tam giác ABC (ac<ab). Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =
AB. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt BE tại H. Chứng minh:

a) BD = DE

b) BE  AD

GT

AC < AB
AE = AB

 ₁ ₂

A A

K
L

BD = BE
BE AD

<i><b>Giải:</b></i>

<i><b>Phân tích</b></i> <i><b>Chứng minh</b></i>

a) cm BD = DE


cm BDA = EDA


Cã:

 ₁  ₂

AB AE (gt)
A A (gt)

AD chung








§đ ®iỊu kiƯn (c.g.c)

a) BDA vµ EDA cã:

 ₁  ₂

AB AE (gt)
A A (gt)
AD chung








 BDA = EDA (c.g.c)

 BD = DE

b) cm BE  AD (H = 900₎



cm H 1 = H 2



cm ABH = AEH


Cã:

 ₁ ₂

AB AE (gt)
A A (gt)
AH chung

Đủ điều kiện (c.g.c)

b) ABH vµ AEH cã:

 ₁  ₂

AB AE (gt)
A A (gt)
AH chung








 ABH = AEH

 H 1 = H 2

mà H 1 + H 2 = 1800

nên H 1 = H 2 = 1800: 2 = 900

VËy BE  AD

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Phơng pháp suy luận phân tích

<b>2) Bài tập 1</b>

Cho tam giác ABC và trung tuyến BD. Chứng minh rằng nếu M là
trung điểm của BD thì AN cắt BC tại điểm N và CN = 2BN.

GT AD = CD
BM = DM
KL CN = 2BN

<i><b>Giải:</b></i>

<i><b>Phân tích</b></i> <i><b>Chứng minh</b></i>

<i>Cách 1</i>

cm CN = 2BN

Nếu lấy P là trung điểm của CN th×


cm CP = PN = BN


cm AN // DP

Đúng vì DP là đờng trung bình ca tam
giỏc ACN

<i>Cách 1</i>

Gọi P là trung ®iĨm cđa CN

 DP là đờng tung bình của
tam giác ACN

AN // DP

Tam giác BDP có MN đi qua
trung điểm cạnh BD và song
song với cạnh DP nên đi qua
trung ®iĨm cđa BP.

 BN = PN = CP
VËy CN = 2BN

<i>C¸ch 2</i>

P

E
N

M
D

A B

C

<i>Híng dÉn:</i>

- VÏ BE = AB

- Chøng minh N là trọng
tâm của tam giác ACE

<b>Trờng THCS Cồn Thoi</b> 12Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải

P

N

M

D

A

_B

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>3) Bµi tËp 2</b>

Cho tam giác ABC. Trên đờng phân giác AD của góc A, lấy một điểm
D bất kì. BD cắt AC tại M, CD cắt AB tại N. Chứng minh rằng nếu BM =
CN thì tam giỏc ABC cõn.

GT

₁ ₂

A A

D phân giác cđa A
BM = CN

KL _ABC c©n

<i><b>Giải: Đây là một bài tơng đối khó.</b></i>

<i><b> Ta sÏ chøng minh b»ng ph¶n chøng: Giả sử </b><b></b><b>ABC không cân (cụ thể</b></i>

<i><b>là AB < AC). Ta sẽ chứng minh BM </b><b></b><b> CN.</b></i>

<i><b>Phân tích</b></i> <i><b>Chứng minh</b></i>

Giả sư AB < AC. KỴ:

NE // BM BN ME
ME // AB NE BM


 

 

 

Ta sÏ chøng minh CN > NE
tøc lµ CN > BM





_

 ₁  ₂

_



_

 ₂  ₃

_

CEN E E ECN C C

CM E 1 C 2_vàE 2 C 3

Giả sử AB < AC

Lấy điểm K trên AB sao cho
AK=AB

 K n»m gi÷a A vµ C vµ AKD > C 2

a) cm E 1 C 2

mµ E 1B 2_{(cïng bï víi}BNE ₎



cm B 2 C 2

LÊy ®iĨm K trªn AB sao cho
AK=AB

ABD = AKD (c.g.c) (1)

XÐt ABD vµ AKD cã

 ₁  ₂

AD chung
A A
AK AB





 _


 ABD = AKD (c.g.c)

 B 2 AKD C 2 ₍₁₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Phơng pháp suy luận phân tÝch

 B 2 AKD

 cm AKD C  2

§óng vì AKD là gãc ngoµi cđa

CKD

b) Chøng minh E 2 C 3

 cm: CM > ME

 cm: CM > BN



BCM vµ CBN cã BC chung,
BM=CN (gt)



cm B 1 C 1 __{CD > BD}

mµ BD = KD (tõ (1))



cm CD > KD

đúng vì CKD k bự vi gúc nhn

AKD_{nên là góc tù:}

CKD_>C 2

Trong CKD, gãc CKD kỊ bï víi
gãc nhọn AKD nên nó là góc tù:

₂

CKD C __{KD < CD (3)}

Tõ (2) vµ (3) suy ra:
BD < CD B 1C 1

Hai tam giác BCM và CBN cã

 ₁  ₁

BC chung
AK AB
B C







 _{nªn CM > BN (4)}

Kẻ NE//BM và ME//AB cắt nhau tại
E thì ta có: BN = ME (5)

BM = NE (6) vµ E 1 B 2₍₇₎

Tõ (4) vµ (5) suy ra CM > ME
vËy trong CME cã E 2 C 3

Tõ (1) vµ (7) suy ra E 1C 2





_

 ₁  ₂

_



_

 ₂  ₃

_

CEN E E ECN C C

 CN > EN (8)

Từ (6) và (8) suy ra CN > BM
(trái giả thiết)

Điều này chứng tỏ điều giả sử là
sai.

Vậy AB = AC tức là tam giác ABC
cân tại A

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Chơng III. Bài tập</b>

<b>Bài 1 (Líp 7)</b>

Một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song m và n lần lợt tại A và
B. Chứng minh rằng hai tia phân giác của cặp góc so le trong tơng ứng
song song với nhau.

<b>Bµi 2 (Líp 7)</b>

Cho tam giác ABC với các trung điểm M và N của AB và AC. Kéo
dài N và CM những đoạn NB = BN vµ MC’ = CM. Chøng minh A lµ
trung điểm của BC.

<b>Bài 3 (Lớp 7)</b>

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi
đoạn. Chøng minh r»ng:

a) AB = CD, AD = BC
b) AB // CD, AD // BC

<b>Bµi 4</b>

Cho tam giác ABC rtong đó B C   = 900_{. Kẻ tia phân giác AD của}

gãc A

D  BC). Chøng minh ADB = 450

<b>Bài 5</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Phơng pháp suy luận phân tích

Phần kết luận

<i><b>1)</b></i> Cựng mt vn có thể phân tích theo các cách khác nhau từ đó
dẫn đến nhiều cách giải khác nhau. Vì vậy, khi đã phân tích và tìm ra
lời giải rồi, chúng ta cần xem xét lại xem có phân tích theo cách khác
đợc khơng, từ đó sẽ có lời giải mới mà có khi chúng ta lại phát hiện ra
cái mới.

<i><b>2)</b></i> Suy luận phân tích cần phải luyện tập nhiều, dần dần có kinh
nghiệm và hình thành cái quan trọng nhất là trực giác mà trong đó, sự
suy luận phân tích chỉ diễn ra rất nhanh, rất gọn trong não. Đó là phản
xạ tự nhiên, sự nhạy bén trong phân tích mà ngời học tốn cần phải đạt
đợc.

<i><b>3)</b></i> Phép suy luận nói chung và phép suy luận phân tích nói riêng rất
cần trong thực tiễn chứ khơng chỉ riêng trong học toán. Trong thực tế,
khi gặp một vấn đề phức tạp khó giải quyết, phải làm rất nhiều cơng
việc khác để giải quyết vấn đề đó thì chúng ta cần phải ngẫm nghĩ xem
cần làm cái gì trớc, cái gì sau, sử dụng những cái đã có nh thế nào,
những cái cịn thiếu thì giải quyết nh thế nào ... và khi đó thì phép suy
luận phân tích đi lên là một cách tối u.

<i><b>4)</b></i> Do hạn chế của đề tài này, chúng tôi chỉ dừng ở phép suy luận
phân tích đi lên. Chúng ta có thể sử dụng kết hợp cả phơng pháp phân
tích đi xuống và sau đó, ta có thể sử dụng phơng pháp chứng minh
tổng hợp để hệ thống t duy đợc phát triển đầy đủ. Rất mong đợc sự
đóng góp ý kiến, nhận xét của các thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp
tục nghiên cứu sâu hơn, cụ thể hơn và có dịp đợc trình bày đầy đủ hơn,
góp phần nâng cao khả năng học hình học của học sinh.

<i><b>T«i xin chân thành cảm ơn!</b></i>

<i><b>Ninh Bình, tháng 04 năm 2009</b></i>

ngi thc hin ti

Nguyễn Đức Hải

</div>

<!--links-->