SKKN So nguyen to va cac bai toan ve SNT

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>LỜI NÓI ĐẦU</b>

Giáo dục là một ngành được các cấp luôn quan tâm, tạo điều kiện phát triển.
Đảng và nhà nước ta coi giáo dục và đào tạo và công nghệ là Quốc sách hàng đầu.
Trong nhà trường phổ thông, giáo dục luôn hướng tới mục tiêu nâng cao mặt bằng về
dân trí, bảo đảm những tri thức cần thiết để mọi người ra nhập cuộc sống xã hội và kinh
tế theo kịp những tiến trình đổi mới và phát triển đất nước, đào tạo bồi dưỡng và nâng
cao chất lượng nguồn nhân lực yêu cầu công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước.

Để đạt được mục tiêu đó, mơn Tốn trong trường phổ thơng là cơng cụ giúp việc học
tập các môn khác cả về kiến thức và tư duy. Mơn tốn có tiềm năng phát triển năng lực
trí tuệ và hình thành phẩm chất trí tuệ như rèn luyện các phẩm chất tư duy, phân tích,
tổng hợp, so sánh, quy nạp, khái qt. Ngồi ra cịn rèn luyện các phẩm chất đạo đức
như tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính chính xác, thẩm mỹ và rèn luyện tính kiên trì,
nhẫn nại. Trong chương trình tốn học đa dạng và phong phú. Có một phần tốn học
ln để lại cho người học những vấn đề ln mới mẻ sau khi giải một bài tốn: Đó là
tốn về "Số ngun tố".

"Tốn học là bà hồng của khoa học". "Số học là bà chúa của toán học". Số học trong
chương trình phổ thơng khơng nhiều nhưng nó lại gắn liền suốt cả chương trình. Đặc
biệt là trong các kỳ thi nào, cấp nào, nước nào thì tốn số học thường có mặt trong đề
thi.

Trong thế giới số học thì số nguyên tố đang là một bí ẩn lớn đối với khơng chỉ người
học tốn mà cịn cả đối với những nhà tốn học. Chưa có một công thức tổng quát nào
biểu diễn một số nguyên tố, cũng khơng có một thuật tóan nào để giải các bài tốn liên
quan đến số ngun tố. Chính vì vậy tôi chọn đề tài " Số nguyên tố và các bài tốn về số
ngun tố" mà trong q trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi rút ra được.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

PHẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ

<b>I. ĐỊNH NGHĨA</b>:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
Số tự nhiên lớn hơn 1 khơng phải là số nguyên tố thì được gọi là hợp số.

Số 0 và 1 không phải là số nguyên tốcũng không phải là hợp số.
<b>II. TÍNH CHẤT:</b>

<b>1. Định lý 1</b>: Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn

<b>2. Định lý 2</b>: Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố không
lớn hơn căn bậc hai củ số đó

<b>3. Định lý 3</b>: Cho một số tự nhiên a và một số nguyên tố p. Khi đó hoặc p/a hoăc
(a,p) = 1

<b>4. Định lý 4</b>: Cho p là số nguyên tố và a1; a2; a3; ...; an là các số tự nhiên Khi đó

nếu p/ 1

<i>n</i>
<i>i</i>



ai thì p/ai (i =1,<i>n</i>)

<b>5. Định lý cơ bản của số học</b>

Mọi số tự nhiên lớn hơn đơn vị (lớn hơn 1) chỉ có thể phân tích thành thừa

số nguyên tố một cách duy nhất (nếu không kể đến thứ tự các thừa số)

<b>III. DẠNG TỔNG QUÁT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ.</b>

Tập hợp số nguyên tố là vô hạn, nó có đặc trưng riêng thế nhưng cho đến
nay chưa có nhà Tốn học nào tìm ra được cơng thức tổng quát cho các số nguyên
tố.

1. Số nguyên tố Fecma: f(n) =

2

2

<i>n</i>
+ 1

Công thức này chỉ đúng với n = 1,2,3,4. f(5) không phải là số nguyên tố.

2. f(n) = n2 – n + 41 công thức này đúng cho n = 1,2,...,40

3. f(n) = n2 – 79n + 1601 cho số nguyên tố đến n = 79

4. Số nguyên tố dạng a.x + b

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỀ SỐ NGUYÊN

TỐ.

<b>CHUYÊN ĐỀ 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ, MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ</b>
<b>NGUYÊN TỐ, LÀ HỢP SỐ.</b>

<b>I . Chứng minh một số, một biểu thức là số nguyên tố.</b>

Thông thường để chứng minh một số, một biểu thức là số nguyên tố người

ta dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

<i><b>Bài toán 1</b></i>: Cho 2m_{– 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m là số nguyên tố.}

<i>Chứng minh:</i> Giả sử m là một hợp số  _{m = p.q ( p, q > 1, p; q}_N)

Ta có:

2

m

_{– 1 = 2}

pq

_{– 1 = 2}

(p)q

_{- 1 = (2}

p

_{- 1) [2}

p(q - 1)

_{+ 2}

p(q - 2)

_{+ ... + 1]}

Vì p > 1 

2

p

-1 > 1 và 2

p(q - 1)

+ 2

p(q - 2)

+ ... + 1 > 1



2

m

-1

_{là hợp số.}
Điều này trái với giả thiết.

Nếu m = 1  ₂m_{– 1 = 1 không phải là số nguyên tố.}

Vậy m phải là một số nguyên tố.

Hay 2m_{– 1 là số nguyên tố}_ _{m là số nguyên tố.}

<i><b>Bài toán 2:</b></i> Chứng minh rằng nếu p chia hết (p – 1)! + 1 thì p nguyên tố.
Giải: Giả sử p là hợp số. Ta có: p/(p – 1)!

Mặt khác theo giả thiết p/(p – 1)! + 1  _{p/1 ( vô lý)}
Vậy p phải là số nguyên tố.

<i><b>Bài toán 3: </b></i> Chứng minh rằng nếu: 1 + 2n_{+ 4}n _{( n}



_Z+_{) là số nguyên tố thì}

n = 3k_{với k}__N.

<i><b>Giải</b></i>: Đặt n = 3k_{.a ( n khơng có dạng 3}k_{) a}__{1 (a,3) = 1}

m = 23<i>k</i> ( m 2; m _N)

Giả sử a > 1 ta xét 2 trường hợp sau: a = 3b + 1 và a = 3b + 2

* Nếu a = 3b + 1 (b _{N) ta có:}

1 + 2

n

+ 4

n

= (1 + m + m

2

) + (m

3b+1

- m) +

m

2

_{( m}

6b

_-

2

₎

_

_{1 + m +m}

2

_{vì m}

6b

_{– m}

2 _

_{(1 + m +m}

2

₎

_

_(m

3b

_-1)

_

_(m

3

_-1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Nên : 1 + 2n_{+ 4}n _{là hợp số (vô lý)}

* Nếu a = 2b + 2 (b



N) hoàn toàn tương tự ta có 1 + 2n_{+ 4}n _{là hợp số (vô lý).}

Vậy a = 1 tức n = 3k_(k



_N)

<i><b>Bài toán 4: </b></i> Chứng minh rằng nếu p và 8p2_{+ 1 là hai số nguyên tố thì 8p}2_{- 1 là}

số nguyên tố.

<i><b>Giải</b></i>: Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 thế thì p có dạng 3k  1 (k



N)
 _p2_{= (3k + 1)}2_{= 3(3k}2 __{2k) + 1 = 3t + 1}

 _8p2_{+1 = 8( 3t + 1) + 1 = 24t + 9}_₃_ _8p2_{+ 1 là hợp số (trái giả thiết)}

Vậy p = 3k, p nguyên tố  _{p = 3}
8p2_{+ 1 = 8.3}2_{+ 1 = 73 ( nguyên tố)}

8p2_{– 1 = 8.3}2_{– 1 = 71 ( nguyên tố)}

Vậy p và 8p2_{+ 1 là hai số nguyên tố thì 8p}2_{- 1 là số nguyên tố.}

<b>Bài tập vận dụng:</b>

<b>1. </b>Chứng minh rằngcác số nguyên tố lớn hơn 2 có dạng 3k  1

2. Chứng minh rằng m2_{– n}2_{là số nguyên tố thì m, n là 2 số tự nhiên liên tiếp.}

3. Số a4_{+ a}2_{+ 1 có thể là một số ngun tố khơng?}

<b>II. Chứng minh một số, một biểu thức là hợp số.</b>

<i><b>Bài toán 1:</b></i> Cho n



N Chứng minh rằng A = n4_{+ 4}n_{là hợp số.}

Giải: *) n chẵn  _A₂ _{A là hợp số.}

*) n lẻ đặt n = 2k + 1



A = n

4

+ 4

n

= n

4

+ 4

2k+1

= (n

2

+ 2

2k+1

)

2

–

2.n

2

_.2

2k+1



A = (n

2

_{+ 2}

2k+1

₎

2

_{– (n.}

2k+1

₎

2

_{= n}

2

_{+ 2}

2k+1

_{– n.2}

k+1

_)(n

2

_{+ 2}

2k+1

_{+ n.2}

k+1

₎

A = [(n – 2k₎2_{+ 2}2k_{][(n + 2}k₎2_{+ 2}2k_{] là hợp số.}

<i><b>Bài toán 2: </b></i> Cho a;b;c _N*_{thỏa mãn ab = cd . Chứng minh rằng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Giải: </b></i>Giả sử (a;c) = t khi đó ta có a = ta1 , c = tc1 với ( a1,c1) = 1. Từ ab = cd  a1b

= c1d mà ( a1,c1) = 1 nên b c1 Đặt b = kc1  c1d = a1kc1  c1d = ka1

Khi đó: A =

a

n

+ b

n

+ c

n

+ d

n

= t

n

a

1

<i>n</i>

+ k

n

_c

₁<i>n</i>

_{+ t}

n

_c

₁<i>n</i>

_{+ k}

n

_a

₁<i>n</i> _

_{A = (t}

n

_{+ k}

n

_{)( a}

1

<i>n</i>

+ c

1

<i>n</i>

)

Vì k; t; a1; c1



N  A là hợp số

<i><b>Bài toán 3</b></i>: Cho n



N*_{, Chứng minh rằng:}

2

10 1

2 <i>n</i>

+ 19 và 2

4 1

3 <i>n</i>

+ 3

4 1

2 <i>n</i>

+ 5 là những hợp số.

<i>Giải</i>:

a.Ta chứng minh 2

10 1

2 <i>n</i>

+ 19 _{23 với mọi n}1

Ta có: 210 __{1 (modun 11)}_ ₂10n __{1 (modun 11)}_ _2.210n __{2 (modun 22)}

 ₂10n +1 _{= 22.k + 2 ( k}



_N)

Theo Fecma: 222 __{1 (modun 23)}_ ₂
10 1

2 <i>n</i>

=

2

22k+2 __{4 (modun 23)}



2

22k+2_{+ 19}_{23 (1)} ₂

10 1

2 <i>n</i>

+ 19 > 23 (2)
Từ (1) và (2)  ₂

10 1

2 <i>n</i>

+ 19 là hợp số

b. Ta chứng minh 2

4 1

3 <i>n</i>

+ 3

4 1

2 <i>n</i>

+ 5 _{11 với mọi n}1
Ta có: 34 __{1 (modun 10)}_ ₃4n +1 __{3 (modun 10)}

34n +1 _{= 10k + 3}

Theo Fecma: 210__{1 (modun 11)}_ ₂

4 1

3 <i>n</i>

= 210k + 3 __{8 (modun 11)}

24__{1 (modun 5)}_ ₂4n + 1 __{2 (modun 10)}

24n + 1_{= 10l + 2}

Theo Fecma: 310__{1 (modun 11)}_ ₃
4 1

2 <i>n</i>

= 310l + 2 __{9 (modun 11)}

 ₂

4 1

3 <i>n</i>

+ 3

4 1

2 <i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2

4 1

3 <i>n</i>

+ 3

4 1

2 <i>n</i>

+ 5 _{0 (modun 11) hay 2}

4 1

3 <i>n</i>

+ 3

4 1

2 <i>n</i>

+ 5 ₁₁

Mặt khác: 2

4 1

3 <i>n</i>

+ 3

4 1

2 <i>n</i>

+ 5 > 11  ₂

4 1

3 <i>n</i>

+ 3

4 1

2 <i>n</i>

+ 5 là hợp số

<i><b>Bài toán 4: </b></i>Chứng minh rằng nếu n là hợp số thì 2n_{– 1 cũng là hợp số.}

<i>Giải: </i> n hợp số suy ra n = p.q (p; q > 1, p, q



N )
2n_{– 1 = ( 2}p ₎q_{– 1 = ( 2p – 1)( 2}p(q – 1)_{+ 2}p(q – 2)_{+ ... + 1)}

Mà 2p_{– 1 >1 và 2}p(q – 1)_{+ 2}p(q – 2)_{+ ... + 1 > 1 nên 2}n _{- 1 là hợp số.}

<b>Bài tập vận dụng:</b>

1. Chứng minh rằng với n



N , n > 1 thì các số sau là hợp số

a. n4_{+ 4} _{b. n}4_{+ 4}n _{c. m}4_{+ m}2_{+ 1}

2. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố với p > 3. Chứng minh 4p + 1 là hợp số.
3. Cho n



N . Chứng minh các số sau là hợp số:

a. A = 2

2 1

2 <i>n</i>

+3 b. B = 2

4 1

2 <i>n</i>

+ 7 c. C = 2

6 3

2 <i>n</i>

+ 13

<b>CHUYÊN ĐỀ 2: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ KHI BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN</b>

<b>I. Tìm số nguyên tố p biết một số, một biểu thức là nguyên tố hay số tự nhiên.</b>
<i><b>Bài tốn 1: </b></i>Tìm các số ngun tố p để:

a. p + 10 ; p + 14 cũng là các số nguyên tố

b. p + 2; p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 cũng là các số nguyên tố.
Giải: a. với p = 3 ta có p + 10 = 13 là số nguyên tố

p + 14 = 17 là số nguyên tố.
Với p > 3 p có dạng p = 6k  1

* Nếu p = 6k + 1 thế thì p + 14 = 6k + 15 chia hết cho 3 hay p + 14 không
là nguyên tố. Vậy p = 6k +1 không thỏa mãn

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Vậy p = 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

b. Với p = 5 ta thấy các số trên dều là số nguyên tố.
Với p _{5 thì p = 5k} 1 ; 5k  2

* Nếu p = 5k + 1 thì p + 14 = 5k + 15 ₅ _{p + 14 không nguyên tố.}
* Nếu p = 5k – 1 thì p + 6 = 5k + 5 ₅ _{p + 6 không là nguyên tố.}
* Nếu p = 5k + 2 thì p + 8 = 5k + 10 ₅ _{p + 8 không là nguyên tố.}
* Nếu p = 5k - 2 thì p + 2 = 5k ₅ _{p + 2 khơng là ngun tố.}
Vậy chỉ có p = 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

<i><b>Bài toán 2: </b></i> Tìm 3 số nguyên tố p; q; r sao cho p2 + q2 = r.

Giải: Giả sử có 3 số nguyên tố p; q; r sao cho

p

q

_{+ q}

p_{= r. khi đó r >3}

 _{r lẻ. Vậy p; q khơng cùng tính chẵn, lẻ nên phải có một số nguyên tố chẵn là}

2.

Giả sử p = 2 khi đó 2q _{+ q}2_{= r}

+) Nếu q không chia hết cho 3  _q2 __{1 ( modun 3)}

Mặt khác q lẻ  ₂q __{-1 ( modun 3)}_ ₂q _{+ q}2 __{3 ( không nguyên tố).}

Vậy q _{3 , q nguyên tố} _{q = 3 Khi đó r = 2}3_{+ 3}2_{= 17}

Do p, q có vai trị như nhau nên có thể p = 3 ; q = 2
Vậy có 2 bộ số được tìm là (2; 3; 17) và ( 3; 2; 17)
<i><b>Bài toán 3</b></i>: Tìm số tự nhiên ( x; y) sao cho:

1
<i>x</i> 

1
<i>y</i> ₌

1

<i>p</i>_{( p là số nguyên tố).}

Giải: Do x; y



N 
1
<i>x</i> 

1
<i>y</i>₌

1

<i>p</i> _ _{(x – p)(y – p) = p}2

p nguyên tố x > p, y > p nên ta có các khả năng sau

*



2
1

<i>x p</i>
<i>y</i> <i>p p</i>

 
 

 



2
1

<i>x p</i>
<i>y</i> <i>p</i> <i>p</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

*



<i>x p p</i>
<i>y p p</i>

 
 

 



2
2

<i>x</i> <i>p</i>
<i>y</i> <i>p</i>




*



2

1

<i>x p p</i>
<i>y p</i>

 
 





2

1

<i>x p</i> <i>p</i>
<i>y p</i>

 
 

<i><b>Bài tốn 4</b></i>: Tìm số ngun tố p sao cho:
2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.

<i>Giải:</i> 2p + 1 = n3 ( n



N )  _{2p = n}3_{– 1 = (n – 1)(n}2_{+ n + 1)}
<i>p = 2 </i>  _{2p + 1 =5} _{Không tồn tại n thỏa mãn.}

 _{p > 2, p nguyên tố nên ( p; 2) = 1}

Mặt khác: n – 1 < n2 + n + 1  _{n – 1 = 2} _{n = 3}

p = n2 + n + 1 ( nguyên tố) . Vậy p = 13 thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

<i><b>Bài tốn 5</b></i>: Tìm số ngun tố

<i>abcd</i>

sao cho

<i>ab</i>

và

<i>ac</i>

là số nguyên tố và b2 =

<i>cd</i>

_{+ b – c.}

Giải: vì

<i>abcd</i>

,

<i>ab</i>

và

<i>ac</i>

là các số nguyên tố  _{b, c, d là các số lẻ khác 5.}
b2 =

<i>cd</i>

+ b – c  _{b( b – 1) =}

<i>cd</i>

_{- c = 10c + d – c = 9c + d}

Do 9c + d 10nên b( b – 1) 10  _b4. Vậy b = 7 hoặc b = 9.
*) Nếu b = 7 ta có: 9c + d = 42 ₃ _d₃ _{d = 3 hoặc d = 9.}

Nếu d = 3  _{9c = 39} _{không tồn tại c thuộc N}
Nếu d = 9  _{9c + d}_{9 cịn 42 khơng}_{9 (lọai)}
*) Nếu b = 9 ta có: 9c + d = 72 ₉ _d_{9 vậy d = 9}

9c + 9 = 72  _{c = 7}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>ac</i>

₌

<i>a</i>

7

_{là số nguyên tố} _a_{2; 5; 7; 8}
Mặt khác a ₀ _{a = 1}

Vậy số cần tìm là 1979 ( Vì 1979 là số nguyên tố)
<b>Bài tập vận dụng: </b>

1. Tìm tất cả các số nguyên tố p để p vừa là tổng, vừa là hiệu của hai số nguyên
tố

2. Tìm số nguyên tố p sao cho 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.
3. Tìm p để p + 1 ; p + 3 ; p + 5 ; p + 9 ; p + 11 ; p + 15 là những số nguyên tố.

<b>II. Tìm số tự nhiên n để một số - một biểu thức là số nguyên tố.</b>
<b>Bài toán tổng quát:</b> Tìm số tự nhiên n để biểu thức P(n) là số nguyên tố.

<b>Thuật toán:</b> Khi gặp dạng toán này ta phân tích P(n) thành nhân tử P(n) =

P1(n) .P2(n)

.

khi đó vì P(n) là số nguyên tố nên P1(n) =1 hoặc P2(n) = 1

Thông thường ta xét biểu thức min(P1(n)

;

P2(n)

) = 1

giải phương trình này ta có

giá trị n cần tìm.

<i><b>Bài tốn 1</b></i>: Tìm tất cả các số ngun n sao cho:
<i><b>a</b></i>. n4_{+ 4 là số nguyên tố.}

b. n1997_{+ n}1996_{+ 1 là số nguyên tố.}

<i>Giải</i>:

a. n4_{+ 4 = ( n}2_{+ 2)}2_{– 4n}2_{= (n}2_{+ 2 - 2n)( n}2_{+ 2 + 2n)}

Ta có n2_{+ 2 – 2n < n}2_{+ 2 + 2n nên để n}4_{+ 4 là số nguyên tố thì n}2_{+ 2 – 2n =}

1  _{(n – 1)}2_{= 0}_ _{n = 1.}

Khi đó n4 _{+ 4 = 5 là số nguyên tố. Vậy n = 1 thỏa mãn bài toán.}

b. n1997_{+ n}1996_{+ 1 = (n}1997_{- n}2_{) + (n}1996_{- n) + ( n}2_{+ n +1) = n}2_(n1995 _{- 1) + n(n}1995_{- 1) +}

(n2_{+ n +1) = ( n}2_{+ n)(n}1995_{- 1) + (n}2_{+ n +1)}

Ta có: n

1995

_{- 1 = (n}

3

₎

665

_{- 1 = (}

_n3_{- 1) [(n}3₎664 _{+ (n}3₎663_{+...+ n}2_{+ 1]}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Do n > 0  _n2_{+ n +1 > 1. Vì vậy để n}1997_{+ n}1996_{+ 1 là số nguyên tố thì n}1997₊

n1996_{+ 1 = n}2_{+ n +1}_ _{n = 1}

<i><b>Bài toán 2</b></i>: Tìm các số tự nhiên m; n để: A = 3

2

3<i>m</i> 6<i>n</i>61

+ 4 là số nguyên tố.

<i>Giải:</i> Ta có 3m2_{+ 6n – 61 chia 3 dư 2. ta đặt 3m}2_{+ 6n - 61 = 3k + 2 (k}



_N)

 _{A =3}3k + 2_{+4 = 9.27}k₊₄

Dễ thấy rằng 9.27k __{9 (modun 13)}_ _9.27k₊₄__13.

Để A nguyên tố thì A = 13  ₃3k + 2_{= 9}_ _{k = 0}

3m2_{+ 6n - 61 = 3k + 2 = 2 (vì k = 0)}_ _3m2_{+ 6n - 63 = 0}_ _m2_{+ 2n - 21 = 0}

 _{n < 11 . Do 2n chẵn} _m2_{phải là số lẻ}_ _m2_{= 1, m}2_{= 9}

*) Nếu m2_{= 1}_ _{m = 1 , n =10.}

*) Nếu m2_{= 9}_ _{m = 3 ; n = 6 . Vậy các giá trị cần tìm là (1;10 ) ; (3; 6 )}

<b>Bài tập vận dụng:</b>

1. Tìm tất cả các số n sao cho:

a. n4_{+ n}2_{+ 1 là số nguyên tố.} _{c. n}1998_{+ n}1997_{+ 1 là số nguyên tố.}

b. n3_{- n}2_{+n - 1 là số nguyên tố.} _{d. n}1997_{+ n}1995_{+ 1 là số nguyên tố.}

2. Bài toán mở rộng:

Tìm a



N để số a3n + 2 _{+ a}3m + 1_{+ 1 là số nguyên tố. biết rằng m, n}



_{N và m}2_{+ n}2 _₀

<b>III. Một số dạng bài toán khác.</b>

<i><b>Bài toán 1: </b></i> Tìm 3 số ngun tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.
Giải: Gọi 3 số nguyên tố đó là a, b, c lúc đó ta có:

a.b.c = 5( a + b + c )  ₅_{abc . mà a, b, c nguyên tố nên một trong 3 số phải bằng 5}
Giả sử a = 5  _{b.c = 5 + b + c} _{( b – 1)(c – 1) = 6}



1 1

1 6

<i>b</i>

<i>c</i>

 

 

 



2

7

<i>b</i>

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>



1 2

1 3

<i>b</i>

<i>c</i>

 

 

 



3

4

<i>b</i>

<i>c</i>





Trường hợp này loại vì b = 4 khơng ngun
tố.

Vậy bộ 3 số nguyên tố cần tìm là (2; 5; 7)

<i><b>Bài tốn 2: </b></i> Tìm tất cả các số ngun tố có dạng

( 1)

2

<i>n n</i>

- 1 ( n  1)

Giải:

( 1)

2

<i>n n</i>

- 1 =

( 1)( 2)

2

<i>n</i> <i>n</i>

= p
*) n = 2  _{p = 2, n = 3} _{p = 5 thỏa mãn.}

*) n > 3 thế thì hoặc n- 1 chẵn hoặc n + 2 chẵn nên p là hợp số.  _{Giá trị p cần tìm}
là p = 2 hoặc p = 5.

<b> Bài tập vận dụng</b>: 1. Chứng minh rằng chỉ có một cặp số nguyên dương (a, b) để a4

+ 4b4_{là số nguyên tố.}

2. Tìm số nguyên tố p có dạng

( 1)( 2)

6

<i>n n</i> <i>n</i>

+ 1 ( n  1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>C. PHẦN KẾT LUẬN</b>.

Cũng bằng kinh nghiệm tích luỹ được tơi đã thể nghiệm giảng dạy bồi
dưỡng học sinh giỏi huyện và Tỉnh kết quả cho thấy các em rất hứng thú
học phần số nguyên tố và các bài toán liên quan đến số nguyên tố tất cả các
học sinh hiểu, biết phân tích đề bài để tìm đến hướng giải quyết trong các
bài thi và bài kiểm tra.

Từ thực tế dạy học về Số nguyên tố mà bản thân tôi đã bồi dưỡng học
sinh giỏi trong những năm qua. Tôi thấy đây là một vấn đề hay và bổ ích
cho khơng chỉ những học sinh mà cịn cả bản thân người bồi dưỡng

Nội dung đề tài xoay quanh đến các vấn đề số nguyên tố. Tuy nhiên
về dạng tốn về số ngun tố thì rất nhiều và phong phú, trong đề tài này tôi
không thể đề cập hết được các dạng toán về số nguyên tố mà chỉ là những
bài tốn cơ bản và hướng giải quyết nó.

Trên đây là một vài suy nghĩ, kinh nghiệm kiến thức mà qua quá trình
học hỏi, giảng dạy của cá nhân tơi tích lũy được, thiết nghĩ rằng đây cũng là
một vấn đề quan trọng để nâng cao hiệu quả giảng dạy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13></div>

<!--links-->