ly thuyet chuong so phuc co ban

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.21 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC :

1. Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng

a bi



, trong đó

a b

,





;

i



1

.
 Số phức

z a bi

 

có

a

là phần thực,

b

là phần ảo.

 Số phức

z a bi

 

được biểu diễn bởi điểm

M a b



;



hay bởi u 



a b;





trong
mặt phẳng tọa độ Oxy.

 z = a + 0i là số thực
 z = 0 + bi là số thuần ảo

 z = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau :

a c

a bi c di

b d







 

 





.

 Modun của số phức

z a bi

 

chính là độ dài của

OM



. Vậy :

2 2

z



OM



a



b



 Số phức liên hợp của số phức

z a bi

 

là số phức

z

 

a bi

Chú ý rằng : các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục hồnh. Do đó z là
số thực khi và chỉ khi z z, z là số ảo khi và chỉ khi z  z

2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :
a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :



a bi



 



c di



 



a c



 



b d i







a bi



 



c di



 



a c



 



b d i







a bi c di



 



 



ac bd



 



ad bc i





Chú ý :

Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số
quen thuộc với chú ý rằng

i



1

. Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn
được áp dụng trên tập số phức.

,

1,

,

1

i



i i



i



i i



. Tổng quát :

i

4n



1,

i

4n1



i i

,

4n2



1,

i

4n3



i

.



1 

i





2 i

;



1 

i





2 i

.
b. Phép chia hai số phức :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>



 





 





 



2 2

a bi c di

a bi

c di

c di c di

c

d



















.

Như vậy :

.

z

z z

z

z z

z





Chú ý :

1 i







.

c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun :



z



z

;

z z





 

z z



;

zz





z z

.



;

z



















z



0

với mọi

z

 

z

 

0 z



0



z



z

;

zz





z z



;

z





;

z z







z



z



 Tính kết hợp: ( z + z/ ) + z// = z + ( z/ + z// )
 Tính giao hốn : z + z/ = z/ + z

 Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z

 z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z

I. Căn bậc 2 của số phức:

1. Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức w nếu :

z



w

.

Như vậy để tìm Số phức z x yi 



x y

,

 



là căn bậc hai của số phức

w a bi

 

ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :

2 x

y

a

xy b















Chú ý :

 Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Số thực

a



0

có đúng hai căn bậc hai là :  a

 Số thực

a



0

có hai căn bậc hai là



i a

 

i

a

. Đặc biệt , số



1

có

hai căn bậc hai là i.
II. Phương trình bậc hai :

Cho phương trình bậc hai

az



bz c

 

0

(a b c, , ,a0). 
 Nếu

 

0

, phương trình có một nghiệm kép

2 b

z

a



 Nếu

 

0

, phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1,2

2 b

z

a









trong đó



là một căn bậc hai của



.
a. Định lý Viet :

Nếu phương trình bậc hai

az



bz c

 

0

(a b c, , ,a0) có hai nghiệm

z z

,

2 thì :
1 2

b

z

a





và 1 2

c

z z

a



.
b. Định lý đảo của định lý Viet :

Nếu hai số

z z

,

2 có tổng

z



z



S

và

z z

1 2



P

thì

z z

,

2 là nghiệm của phương trình :

0

z



Sz P





.

I. Dạng lượng giác của số phức :

Số phức

z a bi

 



0

có dạng lượng giác là :

z r





cos





i

sin





; trong đó :

0 r



z



,

cos

a

r

 

sin

b

r

 



Ox OM

,



là một acgumen của z.
Các tính chất của acgumen :

Nếu



là một acgumen của z thì





là một acgumen của z .
Nếu



là một acgumen của z thì







là một acgumen của  z.
II. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu

z r





cos





i

sin





và

z





r





cos







i

sin







thì :









cos sin

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>









cos

sin

z

r

i

z





r







 







 









.
III. Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu

z r





cos





i

sin





thì

z

n



r

n



cos

n





i

sin

n





n



1

và

n

 

.
IV. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu

z r





cos





i

sin





thì các căn bậc hai của z là :

2 cos

sin

2 k

r













i















, với

k



0

hay

k



1

.

Bài 1: Xác định phần thực , phần ảo của các số phức sau :

 

a) z = 2 + 5i b) z = 2 i c) z = 3 d) z = 0

    2  

e) i + (2 4i) (3 5i) f) ( 2 5i) g) (2 + 3i)(2 3i) h) i(2 i)(3+i)

Bài 2: Cho z = (2a 4) + (3b + 6)i với a,b   . Tìm điều kiện của a và b để :

a) z là số thực b) z là số ảo .

Bài 3: Tìm các số thực a,b sao cho z = z với từng trường hợp sau :


  



    

a) z = ( 3a 6) + i , z = 12 + (2b 9)i
b) z = (2a 5) (3b 1)i , z = (2b 1) + (3a 5)i

Bài 4: Tính z + z , z z , z . z với :   




a) z = 3+2i , z = 4 + 3i
b) z = 2-3i , z = 5 + 4i

Bài 5: Tìm nghịch đảo của các số phức sau :

 

a) z = 3 + 4i b) z = 1 2i c) z = 2 + 3i

Bài 6: Thực hiện các phép tính sau :

 

  

2 2 3 1 5 6i

A = (1 i) ; B = (2 + 4i) ; D = (1+ i) 13i ; E = ; F =

(1 i)(4 3i) 4 3i

  



  



7 2i 1 1 3 2i 3 4i

G = ;H ; I = ; J = ; K =

8 6i 2 5i 1 3 i i 4 i

2 2

Bài 7:    

2 3 2

1 3 1

Cho z = i . Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z .

2 2 z

Bài 8: Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z 

     

a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)z 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) = 0

e).

3 x





3 2



i



 

6 7

i

; f).



5 2



i x



  



2 i



 

7 3

i

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

g).





4 2



i



1 

i z



0

. h).

z



2

z

 

6 2

i

.
m).

iz



3 z

 

7 5

i

; n).

3 z



2 z

 

5 2

i

.

Bài 9: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :

 

a) z = 1 b) z = 9 c) z = 5 + 12i d) z = i

e) z = 1+ 4 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = 8 + 6i h) z = 46 14 3i

i).

3 4



i

; j).

 

5 12

i

.

Bài 10: Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z 

            

        

2 2 2 2

2 2

a) z z 1 b) z 2z 5 0 c) z z 1 0 d) z ( 2 i)z 2i 0
e) ix 2(1 i)x 4 0 f) x (5 i)z 8 i 0

 
2

</div>

ly thuyet chuong so phuc co ban

<i>a bi</i>



<i>a b</i>

,





;

<i>i</i>



1

<i>z a bi</i>

 

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>z a bi</i>

 

<i>M a b</i>



;







<i>a c</i>

<i>a bi c di</i>

<i>b d</i>







 

<sub> </sub>





<i>z a bi</i>

 

<i>OM</i>



<i>z</i>



<i>OM</i>



<i>a</i>



<i>b</i>



<i>z a bi</i>

 

<i>z</i>

 

<i>a bi</i>



<i>a bi</i>



 



<i>c di</i>



 



<i>a c</i>



 



<i>b d i</i>







<i>a bi</i>



 



<i>c di</i>



 



<i>a c</i>



 



<i>b d i</i>