Phuong phap giai PT mu va Logarit co chua phep toan nguoc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (102.83 KB, 2 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ HAI PHÉP TỐN NGƯỢC.

( PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT).
Bài tốn tổng qt:

Giải phương trình: sax +b = r logs( ux+ vũ )+ dx+e (I) , với a ≠ 0 , u ≠0 ,0<s≠ 1 .

Phương pháp giải:

Điều kiện để phương trình (I) có nghĩa là ux +v>0 .

Đặt ẩn phụ: ay +b=logs( ux+ v ) ⇔ say+ b=ux+v . (1)

Khi đó phương trình (I) trở thành:

sax +b

=ary+dx+br+e . (2)

Giả sử có: 
¿

u=ar+d
v =br+e

¿{

hay với b=0⇒v =e , b ≠ 0 thì r=u −d

a =

v − e

b .

Lúc đó, ta có hệ phương trình:

say+ b

=ux+v

sax+b=ary+(u −ar ) x+v

¿{

(1)
 (3)
Trừ từng vế của (1) và (3) rồi rút gọn ta được :

sax+b

+arx=say+b+ary . (4)

Nếu hàm số f ( x )=sax+ b+arx là đơn điệu trên R

⇔
s>1

ar>0

¿{

hoặc 
¿

0<s<1
ar<0

¿{

¿
Thì (4) ⇔ x= y .

Theo cách đặt ẩn phụ từ (1), ta có: sax+b=ux+ v⇔ sax+b− ux − v=0 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VD1: Giải phương trình:

(

)

2 sin2

x

+ sinπ

6=cos 2 x +log4(3 cos 2 x − 1) (1).

Lời giải: ĐK để pt (1) có nghĩa: 3 cos 2 x −1>0⇔ 3 cos2 x>1 . 
Khi đó pt (1) ⇔2cos 2 x− 1

+1=2cos 2 x +2 log4(3 cos 2 x −1) .

Đặt ẩn phụ: cos 2 x=t , ta có phương trình: 2t+1=2t +log2(3 t −1) (2)

Tiếp tục đặt ẩn phụ: z=log2(3 t −1)⇔2z=3 t − 1 (3)

Khi đó phương trình (2) trở thành: 2t+1=2t +z⇔ 2t

=2t +z −1 (4)

Trừ từng vế của (3) và (4), ta được: 2z− 2t

=t − z⇔ 2z+z=2t+t (5)

Xét hàm số : f (t)=2t+t có f'(t )=2tln 2+1>0 nên f (t) đồng biến, do đó

Pt(5) ⇔ z=t thay vào pt(3) có: 2t=3 t −1 , t∈[− 1;1] (6)

Dễ thấy t = 1 là nghiệm của pt(6).

Nếu t∈[− 1;0] thì VT(6) > 0; VP(6) < 0 nên pt(6) vô nghiệm.

Nếu t∈ (0;1 ) thì hàm g(t)=2t−3 t+1 có g'(t)=2tln 2− 3<0 nên hàm g(t) nghịch biến

suy ra g(t)>g(1)=0 .

Tóm lại, pt (6) chỉ có nghiệm duy nhất t=1⇔cos 2 x=1 ⇔ x=kπ , k ∈ Ζ .

Hiển nhiên cos 2 x=1 thì 3 cos 2 x=3>1 thỏa mãn đk ban đầu.

Vậy pt đã cho có nghiệm là x=kπ , k∈ Ζ .

VD2: Giải pt: 7x− 1=1+2 log7(6 x −5 )3 (1)

Lời giải: Đk để pt (1) có nghĩa là 6 x − 5>0⇔ x >5

6 .

Đặt ẩn phụ: y − 1=log7(6 x −5)⇔6 x − 5=7

y −1

(2)

Khi đó pt (1) trở thành: 7x− 1=6 y −5 (3)

Trừ từng vế của (2) và (3 ta được:

7y −1−7x −1=6 x −6 y⇔7y− 1

+6 ( y − 1)=7x −1+6 ( x −1 ) (4)

Xét hàm số: f (t)=7t+6 t có f'(t )=7tln7+6>0 ,∀ t . Suy ra f (t) đồng biến trên R

Do đó pt (4) ⇔ x= y . Thay x= y vào (2) ta được:

7x− 1=6 x − 5⇔7x− 1

− 6 ( x −1) −1=0 (5)

Ta có: g (t)=7t−6 t −1 có g'

(t)=7tln 7 −6=0⇔t=log76 − log77=t0

Do vậy g(t) nghịch biến trong khoảng (− ∞;t0) nghịch biến trong khoảng (t0;+∞)

Nên g(t) có khơng q 2 nghiệm. Hơn nữa, dễ thấy t=0 và t=1 là 2 nghiệm của g(t)

Do đó pt (5) có 2 nghiệm là x=1 và x=2 . Hai nghiệm này đều thỏa mãn pt (1).

</div>

Phuong phap giai PT mu va Logarit co chua phep toan nguoc

<b> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP</b>

<b>GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ HAI PHÉP TỐN NGƯỢC.</b>

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về