slide 1 bất đẳng thức cauchy cho hai số dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 bất đẳng thức cauchy cho n số với n số không âm dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bài toán chứng minh rằng ta có giải áp dụng bất

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>1. Bất đẳng thức CauChy cho hai số:</b>

<i>a b</i>

1, ,...,2 <i>n</i> 0

<i>a a</i> <i>a</i> 

a+b
0, b 0

2

   

<i>a</i> <i>ab</i> Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

1 2

...

<i>n</i> <i>n</i> 1 2

...

<i>n</i>

<i>a</i>



<i>a</i>





<i>a</i>



<i>n a a</i>

<i>a</i>

<b>2. Bất đẳng thức CauChy cho n số:</b>
<b>Với n số khơng âm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài tốn</b>: Chứng minh rằng <i>a</i> 0,<i>b</i> 0,<i>c</i> 0 và ,<i>m n</i> 

Ta có:

<i>a</i>

<i>m n</i>



<i>b</i>

<i>m n</i>



<i>c</i>

<i>m n</i>



<i>a b</i>

<i>m n</i>



<i>b c</i>

<i>m n</i>



<i>c a</i>

<i>m n</i>

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số không âm

<i>m n</i>

<i>a</i>



và n số khơng âm <i>bm n</i> _{ta có:}

(

) (

)

<i>m n</i> <i>m n</i>

<i>m n m</i> <i>m n n</i>
<i>m n</i>

<i>ma</i>

<i>nb</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>m n</i>

 
 








( )

<i>m n</i> <i>m n</i>

<i>m</i> <i>n m n</i>
<i>m n</i>
<i>ma</i> <i>nb</i>
<i>a b</i>
<i>m n</i>
 




 

(1)

<i>m n</i> <i>m n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tương tự: Ta cũng có

(2)

<i>m n</i> <i>m n</i>

<i>m n</i>
<i>mb</i> <i>nc</i>

<i>b c</i>
<i>m n</i>

 






(3)

<i>m n</i> <i>m n</i>

<i>m n</i>
<i>mc</i> <i>na</i>

<i>c a</i>
<i>m n</i>

 






</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Ví dụ 1</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0,

<i>c</i>



0. CMR:

5 5 5

3 3 3
2 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>   

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

5

2 3

2

2

<i>a</i>

<i>ab</i>

<i>a</i>

<i>b</i>





5

2 3

2

2

<i>b</i>

<i>bc</i>

<i>b</i>

<i>c</i>





5

2 3

2

2

<i>c</i>

<i>ca</i>

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

5 5 5

2 2 2 3 3 3

2 2 2 2( ) (*)

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>      

Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi
cho m = 1, n = 2 thì ta có:

3 3 3 2 2 2

_(**)

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>



<i>ab</i>



<i>bc</i>



<i>ca</i>

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Ví dụ 2</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0,

<i>c</i>



0. CMR:

5 5 5

3 3 3

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>bc</i>  <i>ca</i>  <i>ab</i>   

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

5

3

2

<i>a</i>

<i>abc</i>

<i>a</i>

<i>bc</i>





5

3

2

<i>b</i>

<i>bca</i>

<i>b</i>

<i>ca</i>





5

3

2

<i>c</i>

<i>cab</i>

<i>c</i>

<i>ab</i>





</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

5 5 5

3 3 3

3 2( ) (*)

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>bc</i>  <i>ca</i>  <i>ab</i>    

Mặt khác:

3 3 3

₃

_(**)

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>



<i>abc</i>

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Ví dụ 3</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0,

<i>c</i>



0. CMR:

5 5 5 3 3 3

3 3 3

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

5 3 5 3 3

2

3

2

3

2

2

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>ab</i>

<i>ab</i>

<i>ab</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

















_



_







5 3 5 3 3

2

3 2 3 2 2

<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>

<i>ca</i> <i>ca</i> <i>ca</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

 

      _  _ 

 

5 3 5 3 3

2

3

2

3

2

2

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>bc</i>

<i>bc</i>

<i>bc</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

















_



_



</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

5 5 5 3 3 3

2 2 2

3 3 3 2( ) 2( ) (*)

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>ab bc ca</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>     <i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>   

2 2 2

(<i>a</i> <i>b</i>  <i>c</i> ) 2( <i>ab bc ca</i>  ) (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng

minh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Ví dụ 4</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0, .0. CMR:

<i>c</i>

3 3 3

2 2 2

1

( )

2 2 2 3

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i>  <i>b</i>  <i>b</i>  <i>c</i>  <i>c</i>  <i>a</i>   

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3

2

9

(

2 ) 6

2

<i>a</i>

<i>a a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>



<i>b</i>







3

2

9

( 2 ) 6
2

<i>b</i>

<i>b b</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>b</i>  <i>c</i>   

3

2

9

( 2 ) 6

2

<i>c</i>

<i>c c</i> <i>a</i> <i>c</i>

<i>c</i>  <i>a</i>   

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

3 3 3

2 2 2 2 2 2

9 ( ) 2( ) 6( ) (*)

2 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b c</i> <i>ab bc ca</i> <i>a b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b b</i> <i>c c</i> <i>a</i>

 

          

 

  

 

2 2 2

(<i>a</i> <i>b</i>  <i>c</i> ) 2( <i>ab bc ca</i>  ) (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng

minh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Ví dụ 5</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0,

<i>c</i>



0. CMR:













3 3 3

2 2 2

1

( )

4

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a b c</i>
<i>b c</i>  <i>c a</i>  <i>a b</i>   

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3
2

8

(

) (

) 6

(

)

<i>a</i>

<i>b c</i>

<i>b c</i>

<i>a</i>

<i>b c</i>













3
2

8

( ) ( ) 6
( )

<i>b</i>

<i>c a</i> <i>c a</i> <i>b</i>
<i>c a</i>     

3
2

8

( ) ( ) 6

( )

<i>c</i>

<i>a b</i> <i>a b</i> <i>c</i>

<i>a b</i>     

Cộng vế với vế ta được ĐFCM

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

0,

0,

0. CMR:

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>















3 3 3 ₁

( )

2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a b c</i>
<i>b c a</i>  <i>c a b</i>  <i>a b c</i>   
<b>Ví dụ 6</b>: Với

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3

4

2

(

) 6

(

)

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c a</i>

<i>a</i>

<i>b c a</i>











3

4

2 ( ) 6
( )

<i>b</i>

<i>c</i> <i>a b</i> <i>b</i>
<i>c a b</i>    

3

4

2

(

) 6

(

)

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b c</i>

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Cộng vế với vế ta được:

3 3 3

4 4( ) 6( )

( ) ( ) ( )

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a b c</i> <i>a b c</i>
<i>b c a</i> <i>c a b</i> <i>a b c</i>

 

       

 

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Ví dụ 7</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0,

<i>c</i>



0. CMR:

4 4 4

2 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>bc</i>  <i>ca</i>  <i>ab</i>   

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

4

2

4

<i>a</i>

<i>b c c</i>

<i>a</i>

<i>bc</i>

   

4

2

4

<i>b</i>

<i>c a a</i>

<i>b</i>

<i>ca</i>

  



4

2

4

<i>c</i>

<i>a b b</i>

<i>c</i>

<i>ab</i>



 



Cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Ví dụ 8</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0,

<i>c</i>



0. CMR:



 

 

 

 

 



3 3 3 ₁

( )

4

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a b c</i>

<i>a b b c</i>   <i>b c c a</i>   <i>c a a b</i>    

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3

8

(

) (

) 6

(

)(

)

<i>a</i>

<i>a b</i>

<i>b c</i>

<i>a</i>

<i>a b b c</i>















3

8

(

) (

) 6

(

)(

)

<i>a</i>

<i>b c</i>

<i>c a</i>

<i>b</i>

<i>b c c a</i>















3

8

( ) ( ) 6
( )( )

<i>a</i>

<i>c a</i> <i>a b</i> <i>c</i>
<i>c a a b</i>      

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Ví dụ 9</b>: Với

<i>a</i>



0,

<i>b</i>



0,

<i>c</i>



0. CMR:

2 2 2
3 3 3

9

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i> <i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3

2

3

<i>b</i>

<i>a a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

 



3

2

3

<i>c</i>

<i>b b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

  

3

2

3

<i>a</i>

<i>c c</i>

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

3 3 3
2 2 2

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>    <b>(Bổ đề)</b>

<b>Áp dụng bổ đề cho biểu thức:</b>

2 2 2 ₃ ₃ ₃

3 3 3

2 2 2

1

1

1

1

1

1

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>_b</i>

<i>_c</i>

<i>_a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>











3 3 3

2 2 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>









































































</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

1 1 1

9

<i>b c a</i>







<i>a b c</i>

 

<b>Ta sẽ chứng minh:</b>

<b>BĐT được chứng minh</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Ví dụ 10</b>: Nếu

<i>a</i>

_

0,

<i>b</i>

_

0,

<i>c</i>

_

0,

<i>a b c</i>

_{  }

3

<i>abc</i>

3₍ _{2 )} 3₍ _{2 )} 3₍ _{2 )} 1

<i>bc</i> <i>ac</i> <i>ab</i>

<i>a c</i>  <i>b</i>  <i>b a</i>  <i>c</i>  <i>c b</i>  <i>a</i> 

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3
2
3
2
3
2

9

(

2 ) 6

2

9

(

2 ) 6

2

9

(

2 ) 6

2

<i>a</i>

<i>a b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>b c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>c a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

3 3 3

2 2 2

3 3 3

2 2 2

9

9

9

3(

)

2

2

2

1

(

)

2

2

2

3

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c c</i>

<i>a a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c c</i>

<i>a a</i>

<i>b</i>



































3 3 3

3 3 3

2 2 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

3 3 3

<i>bc</i> <i>ac</i> <i>ab</i> <i>_a</i> <i>_b</i> <i>_a</i>

<i>a c</i> <i>b</i> <i>b a</i> <i>c</i> <i>c b</i> <i>a</i>

<i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i>

<i>a b c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc ca</i> <i>abc</i>

     
     
     
    
  
  

 
   
 _   _  _   _  
   

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23></div>

<!--links-->