phép vị tự trương đình dũng trương thpt trưng vương quy nhơn phép vị tự 1 định nghĩa phép vị tự tâm o cố định tỉ số k k 0 không đổi kh vok vokm m’ 2 tính chất vokm m

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHÉP VỊ TỰ</b>
<b> </b> <i><b>1 Định nghĩa:</b></i>

Phép vị tự tâm O (cố định) tỉ số <i>k</i> ( k  0, không đổi), KH: V(O,k)
+) V(O,k)(M) = M’  <i>OM</i> ' <i>kOM</i>

<i><b>2. Tính chất:</b></i>

+) V(O,k)(M) = M, V(O,k)(N) = N

<i>M N</i>

' '



<i>k MN</i>

.

























































và M’N’ = <i>k</i> MN

+) V(O,k) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, không làm thay đổi thứ tự.
+) V(O,k)(d) = d’ thì d//d’ hoặc d  d’

+) V(O,k) biến tia thành tia

+) V(O,k)(M) = M, V(O,k)(N) = N thì M’N’ = <i>k</i> MN

+) V(O,k)(ABC) = A’B’C’ thìABC A’B’C’ với tỉ số <i>k</i>

+) V(O,k) biến góc thành góc bằng nó.
<i><b>3.Ảnh của đường tròn qua</b><b>V</b><b> (O,k)</b></i>

V(O,k)[(<i>I;R</i>)] = (<i>I’;R’</i>) và <i>R’</i> = <i>k</i> <i>R</i>
<i><b>4. Tâm vị tự của hai đường tròn:</b></i>
(I;R) và (I’;R’) phân biệt.
<i><b>a) I không trùng I’ và R ≠ R’:</b></i>

<b> IM//I’M’ </b>

Có hai phép vị tự:

'
( ,<i>OR</i>)

<i>R</i>

<i>V</i>

;

'
( ',<i>O</i> <i>R</i>)

<i>R</i>

<i>V</i>



Biến <i>(I;R)</i> thành <i>(I’;R’)</i>
<i><b>b) I không trùng I’ và R = R’</b></i>:

Phép vị tự tỉ sô <i>k = -1</i> Vậy

<i>V</i>

( , 1)<i>O</i>



_ĐO
<i><b>c) I </b></i><i><b> I’ và R ≠ R’</b></i>

O  I  I’, k =

'

<i>R</i>

<i>R</i>



<b> *) Biểu thức toạ độ của phép vị tự:</b>
Trong mpOxy: <i>I(a;b)</i> , M(x;y), M’(x’;y’)
V(I,k): M(x; y)  M(x; y). Khi đó:

'

(1

)

'

(1

)

<i>x</i>

<i>kx</i>

<i>k a</i>

<i>y</i>

<i>ky</i>

<i>k b</i>



















<b>CÁC DẠNG BÀI TẬP:</b>

<b>DẠNG 1</b>

<b>: </b><i><b>Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự.</b></i>

<b>1.</b> Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).

<b>2.</b> Phép vi tự tâm I tỉ số

1

2

<i>k</i>

=

biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I trong các trường hợp sau:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M(6; 1) c) M(–1; 4) và M(–3; –6)

<b>3.</b> Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau:

a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) vaø M(2; 0)

<b>4.</b> Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:

a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0

<b>5.</b> Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau:

a) k = 1 b) k = 2c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =

1

2

_{f) k =}

1

2



<b>6.</b> Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1: x – 2y + 1 = 0 và 2: x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k

để phép vị tự V(I,k) biến 1 thành 2.

<b>7.</b> Tìm ảnh của đường trịn (C): (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau:

a) k = 1 b) k = 2c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =

1

2

_{f) k =}

1

2



</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>8.</b> Xét phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường trịn (C) thành (C). Tìm phương trình của đường trịn (C) nếu

biết phương trình đường tròn (C) là:

a)

(

<i>x</i>

-

1)

2

+ -

(

<i>y</i>

5)

2

=

4

b)

(

<i>x</i>

+

2)

2

+ +

(

<i>y</i>

1)

2

=

9

c)

<i>x</i>

2

+

<i>y</i>

2

=

1

<b>11. Trong mặt phẳng </b><i>Oxy</i>, cho điểm <i>I(1,2)</i> và đường tròn tâm <i>I,</i> bán kính <i>2.</i> Viết phương trình đường trịn là ảnh của
đường trịn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp :

a/Phép quay tâm <i>O</i>, góc

45

0và phép vị tự tâm <i>O</i>, tỉ số <i>2</i>.
b/ Phép đối xứng trục <i>Oy</i> và phép vị tự tâm <i>O</i>. tỉ số 2.
c/ Phép đối xứng tâm <i>O</i> và phép vị tự tâm <i>O</i>. tỉ số -2

<b>D</b>

<b> </b>

<b>ẠNG 2</b>

:

<i>Tìm quỹ tích</i>

Tìm quỹ tích ( hay tập hợp) của điểm M

<b> Cg</b>

: - Tìm

V

(O,k)

và các điểm N sao cho

V(O,k)(N) = M

- Tìm

đường (C) cố định khi N chạy trên đó. [Thơng thường (C) là đường trịn hoặc đường thẳng]

- Thì quỹ tích của M là đường (C’) là ảnh của (C) qua

V(O,k)

( có thể giới hạn quỹ tích – nếu có)

<b>---9.</b> Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường trịn (O). Tìm quĩ tích trọng tâm G của

ABC.

<i>HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự </i>
1
( , )

3

<i>I</i>

<i>V</i>

<i>(A) = G. </i>

<b>10.</b> Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của

(O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b) Tìm quĩ tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.

<i>HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.</i>
<i>b) Xét các phép vị tự V(C,2)(Q) = M; </i>

1
( , )

2

<i>C</i>

<i>V</i>

<i>(Q) = N.</i>

<b>11.</b> Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ
các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O).

a) Chứng minh PQ ln đi qua một điểm cố định.

b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O của đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực tâm H của MPQ.

<i>HD: a) Kẻ OI </i><i> d, OI cắt PQ tại N. </i>

<i>OI ON r</i>

.



2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i> N coá ñònh.</i>

<i>b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kính NO.</i>

<i> Tập hợp các điểm O</i><i> đường trung trực đoạn OI.</i>

<i> Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = V(O,2). </i>

<b>12.</b> Trong mp Oxy cho điểm A(-2;2) và đường thănngr d đi qua A có hệ số góc bằng – 1. Gọi B là điểm di động trên d.
Gọi C là điểm sao cho tứ giác OABC là hình bình hành. Tìm phương trình tập hợp

a) Các tâm đối xứng I của hình bình hành.
b) Các trọng tâm G của tam giác ABC.

<b>13.</b> Trong mặt phẳng cho bốn điểm <i>A, B, C, D.</i> Biết các điểm <i>A,B,C</i> cố định , <i>BC = a</i> ( không đổi). Gọi <i>M, N</i> lần lượt là
trung điểm của <i>AC</i> và <i>BD</i>. Tìm tập hợp trung điểm <i>P</i> của <i>MN</i>.

<b>DẠNG 3: </b>

<i>Toán chứng minh</i>

<b>14.</b> Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng

haøng vaø

<i>GH</i>



2

<i>GO</i>





.

<i>HD: Xét phép vị tự V(G,–2)(O) = H</i>

<b>15.</b> Cho điểm A ở ngồi đường trịn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM và AN cắt đường trịn

(O) tại B và C.

a) Chứng minh đường trịn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.

<i>HD: a) AO cắt (AMN) tại D. </i>

<i>OA OD OM ON</i>

.



.



<i>R</i>

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i> D cố định.</i>

<i>b) AO cắt BC taïi E. </i>

<i>AE AD AO</i>

.



2



<i>R</i>

2

 

<i> E cố định.</i>

<b>16.</b> <i>.</i>Cho đường trịn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vng góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a) Chứng minh AM.AD khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) Tứ giác CDNE là hình gì?

<i>HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi)</i> <i>b) NE // CD </i><i> CDNE là hình thang.</i>

<b>D</b>

<b> </b>

<b>ẠNG 4:</b>

<i>Tốn dựng hình</i>

Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép V

(O,k)

. hoặc xem M

như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép V

(O,k)

.

<b>19. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O’) tại N </b>
sao choM là trung điểm của OM

<b>20. Cho tam giác ABC. Dựng hình vng có hai đỉnh nằm trên hai cạnh AB, AC và hai đỉnh cịn lại nằm trên cạnh BC</b>
của tam giác đó.

<b>21.</b> Cho nửa đường trịn đường kính AB. Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm trên nửa đường trịn, hai đỉnh cịn lại nằm

trên đường kính AB của nửa đường trịn đó.

</div>

<!--links-->