Tài liệu BT nguyên hàm

Bài tập NGUYÊN HÀM
1.
3
dx
1
x
x −
∫
( )
3
2
1 1 1
dx 1 dx
1 1
x
x x
x x
− +
 
= = + + +
 ÷
− −
 
∫ ∫
=
( )
( )
2 3 2
1
1 1
1 dx ln 1

1 3 2
d x
x x x x x x c
x
−
+ + + = + + + − +
−
∫ ∫
2.
( )
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x+  + −  +
 
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3
1
2 2 2 2
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
 
 
= + − + + = + − × + +
 
 
 

∫
3.
( )
( )
( )
17
2 2 2
d 2
d 1
2 5
2
2 5
x
x
I
x
x
= =
+
+
∫ ∫
1 10
arctg
5
10
x c
 
= +
 ÷
 

4.
( )
( )
( )
x
dx 1 2 1 1 1 1 2
2 ln
ln 2 5ln 2 5ln 2
2 + 5 2 2 5 2 5
2 2 5
x x
x
x x x
x x
d
d c
 
= = − = +
 ÷
+ +
 
+
∫ ∫ ∫
5.
( )
( )
5
3 2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx

1 sin
x
dx x x dx x x x x
x
 
= + = − +
 
−
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
3 4
2 3
sin cos
1 sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c= − − = − − +
∫ ∫
Bài 6: Tính
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt t =
2
1 x−

⇔
t
2
= 1 – x
2

⇒
xdx = -tdt
Đổi cận:
x 0 1
t 1 0
Khi đó:
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫
=
1
2 2
0
1I x x xdx= −
∫
=
( )
1
2
0
1 . .t t tdt−
∫

=
( )
1
2 4
0
t t dt−
∫
=
3 5
1
0
3 5
t t
 
−
 ÷
 
=
2
.
15
Bài 7: Tính
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
Giải:

Đặt t = x
4
+ 1
⇒
dt = 4x
3
dx
3
4
dt
x dx⇒ =
Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
=
2
4 5
1
2
1 1 31
.
1

4 20 20
t dt t
 
= =
 ÷
 
∫
Bài 8: Tính
1
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt⇒ = ⇒ =
Nguyên hàm- Tích phân 1
Đổi cận:
x
0
1
t 0 1
Khi đó:

( )
( )
1 1 1
0 0 0
1
1 1
2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .
0
1 1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
 
= = = − = − + = −
 ÷
+ +
+
 
∫ ∫ ∫
Bài 9: Tính
1
33 4
0
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt t =
3 4 3 4 3 2

3
1 1
4
x t x x dx t dt− ⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:
x
0
1
t 1 0
Khi đó:
1 1
33 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1 .
0
4 16 16
I x x dx t dt t= − = = =
∫ ∫
Bài 10: Tính
2
3
1
1
dx
I
x x
=

+
∫
Giải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x
=
+ +
∫ ∫
Đặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 1 2
t
2
3
Khi đó:
( )
( )

( )
2 2 3 3
2
2
3 3 3
1 1
2 2
2
2 1 1 1
3 1 3 1 1
1 1
3 3
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
2 1
2 2
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
t t
t
 
= = = = − =
 ÷
− − +

 
+ +
 
 −  − +
= − − + = = − = =
 ÷
 ÷
 ÷
+
+
−
 
 
−
∫ ∫ ∫ ∫

Bài 11: Tính
( )
4
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
2

2x t dx tdt= ⇒ =

Đổi cận:
x 1 4
t 1 2
Nguyên hàm- Tích phân 2
Khi đó:
( )
( ) ( )
( )
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
1 1 1
1
2
2 1 4
2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .
1
3 2 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
x x
t t
 
= = = = − =
 ÷

+ + +
 
+
 
= − + = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 12: Tính
2
3
0
1
3 2
x
I dx
x
+
=
+
∫
Giải:
16 Đặt
3
3 2
3
2
3 2 3 2 3 3 ;
3
t

t x t x t dt dx x
−
= + ⇒ = + ⇒ = =

Đổi cận:
x 0 2
t
3
2
2
Khi đó:
( )
3 3
3
2 2
5 2
2 4
3
2 2
2
2
1 1 1 42 4 2 37 4 2
3
. 1
3 3 5 2 3 5 5 15
2
t
t t
I t dt t t dt
t

−
 
 
−
= = + = + = − − =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
Bài 13: Tính
4
2
7
9
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
17 Đặt
( )
2 2 2
2 2
9 9 0 ;
9
dx tdt tdt

t x t x t tdt xdx
x x t
= + ⇒ = + > ⇒ = = =
−

Đổi cận:
x
7
4
t 4 5
Khi đó:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
4
9 6 3 6 4
dt t
t t
−
= =
− +
∫
Bài 14: Tính
1
1
5 4
x

I dx
x
−
=
−
∫
Giải:
21 Đặt
5 4 4t x dt dx= − ⇒ = −

Đổi cận:
x -1 1
t 9 1
Khi đó:
( ) ( )
1 1 9 9 9
1 9 1 1 1
3
5 1
1 5 5 1 1
4 4
16 8 16
5 4 2
9 9
5 1 2 5 1 5 13 1
. 3 1 27 1
1 1
8 16 3 8 24 4 12 6
t
dt

x t
I dx dt dt tdt
x t t t
t t
−
−
 
−
 ÷
−
 
= = = = − =
−
= − = − − − = − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 15: Tính
9
3
1
1I x xdx= −
∫
Nguyên hàm- Tích phân 3
Giải:
22 Đặt
1t x dt dx= − ⇒ = −

Đổi cận:
x 1 9
t 0 -8
Khi đó:

( ) ( )
(
)
( ) ( )
9 8 0
7
4
4 7
3 4
3 3 3
3 3
1 0 8
0
3 3 3 3 468
1 1 2 2
8
4 7 4 7 7
I x xdx t t dt t t dt t t
−
−
 
= − = − − = − = − = − − + − = −
 ÷
−
 
∫ ∫ ∫

Bài 16: Tính
( )
1

2
2
11 5
dx
I
x
−
=
+
∫
Giải:
24 Đặt
11 5 5t x dt dx= + ⇒ =

Đổi cận:
x -2 1
t 1 6
Khi đó:
( )
1 6
2
2
2 1
6
1 1 1 1 1
1
5 5 30 5 6
11 5
dx dt
I

t t
x
−
−
= = = − = + =
+
∫ ∫
Nguyên hàm- Tích phân 4