Tài liệu Phương pháp Diện Tích BDHSG Toan 8

Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
a)Diện tích hình chữ nhật:
S
ABCD
= a.b; Đường chéo d =
b)Diện tích hình vuông:
S
ABCD
= a
2
; Đường chéo d = a; S
ABCD
= d
2
*Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất .
c)Diện tích hình thang:
S
ABCD
=(a+b).h; Nếu m là độ dài đường trung bình thì S
ABCD
= m.h
d)Diện tích hình bình hành:
S
ABCD
= a.h
e)Diện tích hình thoi:
S
ABCD
= d

1
d
2
= a.h; d
1
2
+d
2
2
= a
2
f)Diện tích tam giác:
S
ABC
= a.h; S
ABC
= p.r
Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính được diện tích hình đó bằng
những công thức mà ta đã biết. Ngược lại các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ về độ
dài của các đoạn thẳng. Sử dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài
các đoạn thẳng.
Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó bằng phương pháp diện tích, ta chú ý các điểm sau:
1) Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
2) Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có
chứa các độ dài.
3) Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh.
Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích ta cần nắm vững:
+Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích của các hình.
+Sử dụng các tính chất:
-Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích.

Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện
tích.
-Nếu hai tam giác có chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song
song với đáy.
-Đường trung bình trong tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1: 3
-Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng
nhau.
-Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích
bằng nhau.
-Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam
giác bằng nửa diện tích hình bình hành.
B – BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tam giác đều ABC và một điểm M nằm trong tam giác đó. Chứng minh tổng các
khoảng cách từ điểm M đến các cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M di chuyển trên cạnh BC. Chứng minh tổng
các khoảng cách từ điểm M đến các cạnh AB, AC của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của
điểm M.
Bài 3: Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó. Lấy điểm A cố định trên tia Ox, điểm B cố định
trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot. Tia Ot cắt AB tại M.
Chứng minh rằng S
AOC
= S
BOC
khi và chỉ khi M là trung điểm của AB.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân ghiác AD. Vẽ DH vuông góc với AB. Đặt
DH = d, AB = c, AC = b . Chứng minh: = + .
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong hoặc ở trên một cạnh của tam giác, sao cho
S
MBC

= S
MAB
+

S
MAC
. Chứng minh rằng M di động trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích S. Gọi M, N là các trung điểm của AC và BC. Chứng
minh S
ABNM
=
3
4
S
Bài 7: Cho tam giác ABC các đường cao BH,CK. Gọi D và E là hình chiếu của B và C trên HK.
Chứng minh:
a) DK=HE b)
BKC BHC BCED
S S S+ =
Bài 8: Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CA. Tia phân giác
của góc A cắt BM tại N, cho biết: S
NBC
=10. Tính S
ABM
Bài 9: Cho tam giác ABC trung tuyến AD và phân giác BE vuông góc với nhau cắt nhau tại F.
Cho biết S
EFD
= 1. Tính S
ABC
.

Giải: Gọi x = S
ABC.
1
ABF BDF
AEF DEF
ABD ADC
ABF BDF S S
AEF DEF S S
+∆ = ∆
+∆ = ∆ ⇒ =
+∆ = ∆ ⇒ = =
ABF BDE BDE DEC
S S maø S S
⇒ = =
1 1
;
3 4
ABF BDE DEC ABC ABF ABC
S S S s S S
⇒ = = = =
1 1
3 3
ABE ABC ABF AEF ABC
S S S S S
⇒ = ⇒ + =
1 1
1 1
4 3 4 3
ABC ABC
x x

S S
⇒ + = ⇒ + =
⇒ = 12x
.
Bài 10: Chứng minh định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông bình phương của cạnh huyền
bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Chứng minh:
Lấy các cạnh của tam giác ABC có Â=90
0
làm cạnh dựng ra ngoài tam giác các hình vuông
BCDE, ABFG, ACMN lần lượt có diện tích là: S
BCDE
=BC
2
=a
2
,
S
ABFG
=AB
2
=c
2
, S
ACMN
=AC
2
=b
2
Ta phải chứng minh S

BCDE
= S
ABFG
+ S
ACMN
hay a
2
= b
2
+ c
2
Kẻ đường cao AH của ∆ABC kéo dài cắt DE tại K.
+ Ta chứng minh S
ABFG
= S
BHKE
.
Nối AE và CF: ∆ABE = ∆CBF (c-g-c) => S
ABE
= S
CBF
(1)
∆FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là bằng AB =>
S
CBF
= S
ABFG
(2)
∆ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này bằng
BH => S

ABE
= S
BHKE
(3)
Từ (1), (2) và (3) => S
ABFG
= S
BHKE
(*)
Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
+Ta chứng minh S
ACMN
= S
CDKH

Nối BM và AD thì ∆BCM = ∆DCA (c-g-c) => S
BCM
= S
DCA
(4)
∆BCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao bằng nhau và bằng AC
=> S
BCM
= S
ACMN
(5)
∆ACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao bằng nhau và bằng KD
=> S
ACD
= S

CDKH
(6). Từ (4), (5) và (6) => S
ACMN
= S
CDKH
(**)
Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta được: S
BHKE
= S
ABFG
S
CDKH
= S
ACMN

S
BCDE
= S
ABFG
+ S
ACMN

Hay a
2
= b
2
+ c
2
Bài 11: Cho tam giác ABC. Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E,
F (B nằm giữa A và D; C nằm giữa B và E ; A nằm giữa C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC

và AF = AC. Gọi s là diện tích của ∆ABC. Tính diện tích ∆DEF theo s.
Giải:
Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích
Xét ∆ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) =>
S
ABC
= S
ACE
= s
=> S
ABE
= S
ABC
+ S
ACE
= 2s
∆AED có EB là trung tuyến (AB = BD) =>
S
ABE
= S
BED
= 2s
=> S
AED
= S
ABE
+ S
BED
= 4s
∆BCF có BA là trung tuyến (AC = AF) => S

ABC
= S
BAF
= s
∆CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) =>
S
ACE
= S
AEF
= s => S
CEF
= S
ACE
+ S
AEF
= 2s
∆AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) =>
S
DBF
= S
BAF
= s => S
AFD
= S
DBF
+ S
BAF
= 2s
S
DEF

= S
AED
+ S
AFE
+ S
AFD
= 4s + s + 2s = 7s. Vậy S
DEF
= 7s
Cách 2:
Kẻ BI ⊥ AC và EH ⊥ CF
Chứng minh ∆vuông BIC = ∆ vuông EHC (Cạnh huyền và góc nhọn) => BI = EH
Ta có AC = AF và AC + AF = CF => CF = 2AC
=> S
CEF
= 2S
ABC
= 2s (hai tam giác có cùng đường cao nhưng cạnh đáy CF của ∆CEF gấp hai lần
cạnh đáy AC của ∆ABC)
Tương tự ta cũng chứng minh được: S
ADF
= 2S
ABC
= 2s và S
BDE
= 2S
ABC
= 2s
Mà S
DEF

= S
ABC +
S
BED
+ S
CFE
+ S
AFD
= s + 2s + 2s + 2s = 7s. Vậy S
DEF
= 7s
Bài 12: Chứng minh rằng nếu một tam giác có số đo các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác
nhỏ hơn .
Phương pháp:
*Nếu tam giác đều có cạnh bằng 1 thì diện tích là
* Nếu tam giác đều có cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích nhỏ hơn
Chứng minh: Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất, AB< 1. Trên nửa mặt phẳng chứa tam
giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác đều ABC’ có cạnh AB<1 =>
S
ABC’
< và AC ≤ AC’, BC ≤ BC’
Từ C và C’ của ∆ABC và ∆ABC’ kẻ hai đường cao tương ứng có chiều dài là h và h’ => h≤ h’
B
C
A
D
E
F
Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
=> S

ABC
= AB.h và S
ABC’
= AB.h’, do h ≤ h’ => S
ABC
≤ S
ABC’
.
Mà S
ABC’
< (vì cạnh AB của tam giác đều ABC’ nhỏ hơn 1). Vậy S
ABC
< .
Bài 13: Chứng minh định lý: “Trong một tam giác chân đường phân giác trong của một góc
chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.”
H
F
E
D
B
C
A
Kẻ đường cao AH ( AH ⊥ BC) và từ D kẻ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC. Theo tính chất tia phân giác
của góc ta có DE = DF (DE và DF là khoảng cách từ điểm D trên tia phân giác AD của góc A
đến hai cạnh AB và AC )
Ta có S
ABD
= AH.BD = AB.DE
S
ADC

= AH.DC = AC.DF
=> =
DFAC
DEAB
CDAH
BDAH
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
=
= = (vì DE = DF). Vậy =
Bài 14: Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh
đối. Chứng minh rằng:
AOD BOC
1
S +S =
2
ABCD
S
Bài 15: Cho hình vuông ABCD tâm O có diện tích S. Một góc vuông xOy có Ox xắt AB tại E,
Oy cắt BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF theo S.

Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD và CD. Nối BN và CM cắt
nhau tại E. Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp 5 lần diện tích tam giác BEC .
Cách 1:
Để chứng minh S
HV/ABCD
= 5S
∆
BEC
. Ta chuyển về tính
S
∆
BEC
= a
2
.
Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng
với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a.
+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE
=> PQ là đường trung bình của tam giác BEC
=> PQ = CE (1)và PQ // CE.
Có CM ⊥ BN tại E; ∆BQP = ∆CEN (gcg)
=> PQ = NE
=> 2NE = BQ và BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ =
QE = CE = 2EN
Ta có: BN = BQ + QE + EN = 5NE => NE = BN => CE
= BN hay =
H
P
Q
E

M
N
A
D
B
C
Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
∆ECH ~ ∆BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a
S
∆
BEC
= BC.EH = a.a = a
2
. Mà S
ABCD
= a
2
. Vậy S
∆
BEC
=S
HV/ABCD
hay S
ABCD
= 5S
∆
BEC

Cách 2:
+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của tam giác BEC

=> PQ = CE (1)và PQ // CE. Chứng minh: CM ⊥ BN tại E
∆BQP = ∆CEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE
Ta có BE = BQ + QE = CE + CE = 2CE
Trong ∆ vuông BEC có BC
2
= BE
2
+ CE
2
= (2CE)
2
+ CE
2
= 5CE
2
=> CE =
5
2
BC
=
5
2
a
=
5
a
=> BE = 2CE = 2.
5
a
∆BEC vuông tại E: S

BEC
= CE.BE =
5
a
.2.
5
a
= a
2
. Mà S
ABCD
= a
2
, nên S
ABCD
= 5.S
BEC
Bài 17: Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CD, AD. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo S
Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Kẻ AE vuông góc với BC và AF vuông góc
với CD
a) Chứng minh:
AF
AE AB
BC
=
b) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB, AD. Tính diện tích tứ giác AMCN theo S.
Bài 19: Cho tứ giác ABCD có góc A, góc C bằng 90
0
. Vẽ CH vuông góc với AB. Biết rằng

đường chéo AC là đường phân giác của góc A và CH = a. Tính diện tích tứ giác ABCD theo a.
Bài 20: Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O
a) Chứng minh:
=
AOD BOC
S S
b) Cho biết
= =
AOB COD
S 9; S 25
. Tính
ABCD
S
Bài 21: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M; N lần lượt là trung điểm của 2 đáy BC và
AD. Một đường thẳng song song với hai đáy và cắt AB; MN và CD lần lượt tại E, O, F. Chứng
minh: O là trung điểm của EF. Hướng dẫn: Chứng minh S
MEN
=S
MFN
Bài 22: Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh:
+ = +
AOB COD AOD BOC
S S S S
Bài 23: Các điểm M và N nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho
AN=CM. Gọi I là giao điểm của AN và CM. Chứng minh ID là tia phân giác của góc AIC.
Bài 24: Gọi O là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là a; b. Tính tổng
diện tích tam giác OAB và OCD theo a và b
Bài 25: Nối các đỉnh B và C thuộc đáy của tam giác ABC cân với
trung điềm O của đường cao AH. Các đường thẳng này cắt các cạnh
bên AC và AB lần lượt ở D và E. Tính diện tích tứ giac AEOD theo

S
ABC
.
Hướng dẫn: Do O là trung điểm của AH nên kẻ đường trung bình. Gọi
N là trung điểm của DC suy ra HN là đường trung bình của tam giác
AHN. AD=DN=NC=1/3AC; S
AHC
=1/2S
ABC
; S
AOC
=1/2S
AHC
1 1 1
;
4 3 3
AOC ABC AOC AOC
S S maø S S vì AD AC
⇒ = = =
Có cùng chiều cao nên
1 2 1
. 2.
12 12 6
AOD ABC ADOE AOD ABC ABC
S S S S S S
= ⇒ = = =