Bài giảng ĐỀ THI ĐH-CĐ NĂM 2011 SỐ 56

S GIO DC V O TO NG THP THI TH I HC MễN TON NM 2011
KHI: A
Thi gian: 180 phỳt(khụng k thi gian phỏt )
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm )
Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số
2
32


=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đờng tiệm cận của (C) tại A và
B. Gọi I là giao điểm của các đờng tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam
giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phơng trình






=+
24
cos2sin
2
cossin

2
sin1
22
x
x
x
x
x

2. Giải bất phơng trình






+>+
xxxxx
2
1
log)2(22)144(log
2
1
2
2
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân

+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3aSA
=
,
ã
ã
0

30= =SAB SAC
. Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dơng thoả mãn : a + b + c =
3
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
333
3
1
3
1
3
1
accbba
P
+
+
+
+
+
=

Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2
Phần 1:(Theo chơng trình Chuẩn)
Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đờng thẳng
052:
1
=+

yxd
. d
2
: 3x +6y
7 = 0. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đờng thẳng đó cắt hai đờng
thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đờng thẳng d
1
, d
2
.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4;
-1; 2) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
02
=++
zyx
. Gọi Alà hình chiêú của A lên mặt phẳng
Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn
(C) là giao của (P) và (S).
Câu VIIa (1 điểm)
Tìm số nguyên dơng n biết:
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3.2.2 .... ( 1) ( 1)2 .... 2 (2 1)2 40200
+
+ + + +
+ + + + =

k k k n n
n n n n
C C k k C n n C
Phần 2: (Theo chơng trình Nâng cao)
Câu VIb (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phơng trình:
1
916
22
=
yx
. Viết ph-
ơng trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ
nhật cơ sở của (H).
S 56
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho
( )
052:
=++
zyxP
và đờng thẳng
31
2
3
:)(
=+=
+
zy
x
d

, điểm A( -2; 3; 4). Gọi

là đờng thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (
d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên

điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm):
Giải hệ phơng trình





+=++
=+
++
113
2.322
2
3213
xxyx
xyyx
-------------- Hết--------------
Chú ý: Thí sinh dự thi khối B và D không phải làm câu V
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:--------------------------- Số báo danh:-----------------------------
Dáp án
Câu Nội dung Điểm
I. 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số ..................
1,00

1) Hàm số có TXĐ:
{ }
2\R
0,25
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:
*
+==
+

ylim;ylim
2x2x
Do đó đờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
*
lim lim 2
+
= =
x x
y y
đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
0,25
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
( )
2x,0
2x
1
'y
2
<

=
Bảng biến thiên:
x
- 2
+
y - -
y
2
-
+
2
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2;

và
( )
+
;2
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại






2

3
;0
và cắt trục hoành tại điểm






0;
2
3
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối
xứng.
0,25
I. 2 Tìm M để đờng tròn có diện tích nhỏ nhất ..........................
1,00
Ta có:
2x,
2x
3x2
;xM
0
0
0
0

,
( )
2
0
0
2x
1
)x('y


=
Phơng trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
( )
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2

0


+


=
0,25
Toạ độ giao điểm A, B của
( )

và hai tiệm cận là:
( )
2;2x2B;
2x
2x2
;2A
0
0
0

Ta thấy
M0
0BA
xx
2
2x22
2
xx
==
+
=
+
,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy
=


=
+
suy ra M là
trung điểm của AB.
0,25

Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đờng tròn ngoại tiếp
tam giác IAB có diện tích
S =








+=

+=
2
)2x(
1
)2x(2
2x
3x2
)2x(IM
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0,25
Dấu = xảy ra khi



=
=


=
3x

1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2
0
2
0
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
0,25
II. 1 Giải phơng trình lợng giác ......
1 điểm
)1(
24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22






=+
x

x
x
x
x

( )
xsin1x
2
cos1xsin
2
x
cosxsin
2
x
sin11
2
+=








+=+
0,25
01
2
x

cos
2
x
sin2.
2
x
cos
2
x
sinxsin01xsin
2
x
cos
2
x
sinxsin
=






=

0,25
01
2
x
sin2
2
x
sin21
2
x
sinxsin
2
=






++







0,25
O

y
x
2
3/2
3/2
2
2
sin x 0
x k
x k
x
sin 1 x k , k
x
2 x k4
k2
2 2
x x
2sin 2sin 1
2 2


=
= π


= π



⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = π ∈

π



= π+ π
= + π




+ +

Z
0,25
II. 2 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh.........................
1 ®iÓm
§K:
( )
*
2
1
x
2
1
x
2
1
x
0)1x2(
2

1
x
01x4x4
0x
2
1
22
<⇔







≠
<
⇔





>−
<
⇔






>+−
>−
0,25
Víi ®iÒu kiÖn (*) bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi:
[ ]
1)x21(log)2x(2x2)x21(log2
22
−−++>−−
[ ]
01)x21(logx
2
<+−⇔
0,25




<
>
⇔











>−
<



<−
>
⇔










>−
<



<−
>
⇔











>+−
<



<+−
>
⇔
0x
4
1
x
1)x21(2
0x
1)x21(2
0x
0)x21(2log
0x
0)x21(2log
0x
01)x21(log
0x
01)x21(log

0x
2
2
2
2
0,25
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta cã:
2
1
x
4
1
<<
hoÆc x < 0. 0,25
III
TÝnh tÝch ph©n.............................
1 ®iÓm
∫∫
+
+
=
e
1
2
e
1
xdxlnx3dx
xln1x
xln
I

+) TÝnh
∫
+
=
e
dx
xx
x
I
1
1
ln1
ln
. §Æt
dx
x
1
tdt2;xln1txln1t
2
=+=⇒+=
§æi cËn:
2tex;1t1x
=⇒==⇒=
0,25
( )
( )
( )
3
222
t

3
t
2dt1t2tdt2.
t
1t
I
2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
−
=








−=−=
−
=
∫∫

0,25
+) TÝnh
dxxlnxI
e
1
2
2
∫
=
. §Æt







=
=
⇒



=
=
3
x
v
x
dx

du
dxxdv
xlnu
32
0,25