tài liệu d8h10bweeblycom

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (541.6 KB, 76 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH

§ 1 SỚ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC

I. Dạng đại số:

1. Định nghĩa: Dạng đại số của số phức có dạng: z=x+iy
x=Rez: phần thực

y=Imz: phần ảo
i: đơn vị ảo, i2=−1

Tập tất cả các số phức gọi là Trường số phức: ký hiệu C.
2. 2 số phức bằng nhau:

x1+iy1=x2+iy2⇔

{

x1=x2

y1=y2

3. Số phức liên hợp:

Số phức liên hợp của z=x+iy là ¯z=x −iy

4. Các phép toán về số phức:

 Phép cộng:

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)

 Phép trừ:

z1− z2=(x1− x2)+i(y1− y2)

 Phép nhân:

z1z2=(x1x2− y1y2)+i(x2y1+x1y2)
¯z z=x2+y2

 Phép chia:

z1

z2

=z1z2

z2z2

Ví dụ: Tính A= 1

(2 −3 i )(1+i )=

(2− 3i ) (1+i )

26 =

5+i
26

Ví dụ : Rút gọn

B=i+i

+i3+i4+i5

1+i =

i− 1− i+1+i

1+i =

i(1 −i)

2 =

i+1

2
II.Biểu diễn hình học và dạng lượng giác

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2. Dạng lượng giác:

z=x+iy=r ( cos ϕ+i sin ϕ)
r=

√

x2

+y2

ϕ=Argument(z)=Arg(z )=arg (z )+k 2 Π , (k =0,± 1, ±2, …)

ϕ là hàm đa trị

arg(z) là giá trị chính (− Π <arg(z )< Π)

arg (z)=

{

arctan yx x >0
Π +arctan y

x x<0 , y>0
− Π +arctan y

x x<0 , y<0
Π

2 x=0 , y >0

−Π

2 x=0 , y <0

Ví dụ:

Biểu diễn số phức z=-1-I về dạng lượng giác:

r =√2

arg z=− Π +arctan 1=− Π +Π
4=−

3 Π
4

⇒ z=√2

(

cos3 Π
4 −i sin

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3. Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

z1z2=r1.r2

[

cos(ϕ1+ϕ2)+i sin(ϕ1+ϕ2)

]

z1
z2=

r1

r2

[

cos(ϕ1− ϕ2)+i sin(ϕ1− ϕ2)

]

4. phép lũy thừa và phép khai căn
 zn=rn[cos (nϕ)+isin (nϕ)]

 √n z=√nr

[

cos

(

ϕ+k 2 Π

n

)

+isin

(

ϕ+k 2 Π

n

)

]

, k =0 ;n −1

Vậy căn bậc n của số phức z gồm n giá trị
Ví dụ:

 Tìm √31+i=√62

[

cos

(

Π

4 +k 2 Π

)

+i sin

(

Π

4 +k 2 Π

)

]

, k=0; n− 1

5. Dạng mũ

Công thức Euler: eiϕ=cos ϕ+isin ϕ

z=reiϕ

Ví dụ:

z=−1 −i=√2 e−i Π4

5. Một số miền trong mặt phẳng phức:
 |z1− z2| : Khoảng cách giữa 2 số phức.
 |z − z0|=r : Đường tròn tâm Z0, bán kính r.

 |z − z0|<r : Hình tròn mở tâm Z0, bán kính r ( hình tròn không tính biên)

 |z− z0|≤ r : Hình tròn đóng tâm Z0, bán kính r ( hình tròn có biên)
 |z − z0|>r : Phần ngoài hình tròn mở tâm Z0, bán kính r.

BÀI TẬP

1. Viết dưới dạng mũ và dạng lượng giác các số phức sau:

a) z=-5 b) 1− i√3 c)-2+2i d) −√3 −i

2. Tính và viết dưới dạng đại số:

a¿− 2+i

4 − 3i b) (1+i√3)

6 c)

(

1−i1+i

)

(

1+i1− i√3

)

e) 6

√1

3.Tính và viết dưới dạng mũ:
a) 4

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4. Tìm và biểu diễn hình học các số phức thỏa: ¯z=z2

GIẢI:

r=0

rei 3 ϕ=1⇔

{

ϕ=k 2 Πr=1

3 , k =0 ;1;2

⇔ reiϕ

=r2ei 2 ϕ⇔re−iϕ=r2ei 2 ϕ⇔¿

5. Vẽ tập điểm xác định bởi

a) |z − 1+i|=1 b) |z +i|≤ 3 c) Re (¯z− i)=2 d) |2 z −i|=4 e) |z − 1|=|z +i|

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

§2 HÀM 1 BIẾN PHỨC

I. Miền và biên trong mp phức:

Miền trong mp phức là tập D có tính chất sau:
1. D là tập mở ⇔ ∀ z∈ D ,∃ S ( z , r)⊂ D

2. D liên thông ⇔ ∀ z1, z2∈ D có thể nối z1, z2 bằng đường gấp khúc nằm trọn

trong D.

3. Biên của D là đường cong kín C: gồm các điểm của mp phức thỏa:

a) C ∩ D=Φ

b) ∃ hình tròn nếu chứa 1 điểm của C thì nó sẽ chứa ít ra 1 điểm của D
4. D=D¯ ∪C gọi là miền đóng

II. Hàm biến phức

1. Định nghĩa: S⊂C , Hàm số f: S →C là 1 quy tắc cho mỗi z∈ S tương

ứng 1 phần tử duy nhất f ( z )∈C . Hàm biến phức này gọi là hàm đơn trị.
2. Trong lý thuyết hàm phức ta thường gặp các hàm đa trị nghĩa là ứng với mỗi z

có thể có nhiều f(z).

3. Phần thực và phần ảo của hàm biến phức:

z=x +iy⇒ w=f ( z)=u ( x ; y )+iv ( x ; y )

Ví dụ:

Cho w=f ( z )=x2− y2

+i(x + y2) . Tính f(1+2i)

GIẢI:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ:

Cho w=f ( z )=z2 . Tính u(x;y), v(x;y)

GIẢI:

w=f ( x +iy )=x

⏟

2− y2

u

+i(2 xy )

⏟

v

⇔

{

u=x2− y2
v=2 xy .

III. Giới hạn và liên tục

1. Giới hạn: w0 gọi là Giới hạn của hàm w=f(z) khi z → z0 ⇔ ∀ ε>0,∃ δ>0

sao cho khi |z − z0|<δ⇒|w − w0|<ε

Ký hiệu: z → zlim

f (z)=w0

2. Liên tục: f(z) gọi là liên tục tại z0 ⇔ z → zlim

f(z)=f(z0)

3. f ( z)=u ( x ; y )+iv ( x ; y ) liên tục ⇔ Các hàm u(x;y), v(x;y) cũng liên tục.

IV. Các hàm sơ cấp cơ bản

1. Hàm mũ:

 ez : đơn trị và giải tích ∀ z

 ez : có thể âm.

 (ez

)′=ez

2.Hàm lượng giác



eiz=cos z+i sin z

e− iz

=cos z − isin z

eiz+e

− iz

2 ,sin z=e

iz−e− iz

2 i

⇒cos z=¿{

 (cos z)′=− sin z ,(sin z)′=cos z

3. Hàm Hypebolic:

ez+e

− z

2 , shz=e

z− e− z

2 , tghz=
sinh z

cosh z ,coth z=
cosh z
sinh z
chz=¿

4. Hàm Logarit:

z=reiϕ⇒ Lnz=Lnr+i(ϕ+k 2 Π ), (− Π <ϕ<Π )

 Vậy Lnz là hàm đa trị.

 Với k=0 ta được nhánh chính của Lnz.

BÀI TẬP:

1. Tính giá trị các hàm phức sau:

a) Ln(−√2+i√2) b) Ln(1 −i√3) c) Ln

(

−1

2+i

√3

)

2. Viết các hàm sau về dạng đại số:

a)ch(1-i) b)sin(1+i) c) (1− i)2+i d) ii e) (2+i)1− i f) (1− i)2i +1 g) 32+i

h) sin

(

Π

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

§3 ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa: Đạo hàm của hàm biến phức f(z) tại z nếu giới hạn sau tồn tại

f'( z )= lim

Δz→ 0

f (z+ Δz)− f ( z)
Δz

2. Quy tắc:
a) (w1± w2)

′

=w1' ± w2'

b) (w1w2)
′

=w1' w2± w2' w1

(

ww1

)

′

=w1

'w

2− w'2w1

w22

d) (wn)′=nwn −1. w'

3. Điều kiện để hàm biến phức khả vi tại 1 điểm:

Định lý: Cho hàm f ( z)=u ( x ; y )+iv ( x ; y ) , nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các
đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:

{

∂ x∂u=
∂ v
∂ y
∂ u
∂ y=−

∂ v
∂ x

Tại điểm z=x+iy thì f(z) khả vi tại điểm này.

4. Điều kiện để hàm biến phức giải tích tại 1 điểm:

Định lý: Nếu hàm f ( z)=u ( x ; y )+iv ( x ; y ) khả vi tại mọi điểm trong lân cận nào đó
của điểm z0 thì f(z) giải tích tại z0.

NHẬN XÉT:

 Trong 1 miền thì tính khả vi và giải tích là tương đương nhau.

 Nhưng tại 1 điểm thì tính giải tích đòi hỏi điều kiện nhiều hơn tính khả vi.
Định lý: Cho hàm f ( z)=u ( x ; y )+iv ( x ; y ) , nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các
đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:

{

∂ x∂u=
∂ v
∂ y
∂ u
∂ y=−

∂ v
∂ x

Trong miền D là điều kiện cần và đủ để hàm f(z) giải tích trong miền D và khi đó
đạo hàm của f(z) cho bởi công thức:

f'(z )=¿ ∂ u∂ x+i∂ v

∂ x=
∂ v
∂ y−i

∂ u
∂ y

5. Liên hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa

5.1 Hàm u(x;y) gọi là hàm điều hòa trên miền D nếu nó thỏa pt LPLACE:

∇u
2

=¿ ∂

v
∂ x2+

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

5.2 Định lý: hàm f ( z)=u ( x ; y )+iv ( x ; y ) giải tích trên D ⇔ phần thực và phần ảo
là những hàm điều hòa trên D và thỏa điều kiện C-RVí dụ: xét tính giải tích và tính
đạo hàm của các hàm sau:

a) f ( z )=x2− y2+2 ixy b) f ( z )=ex(cos y +i sin y )

GIẢI:

a) ∂ u∂ x=2 x ,∂ v

∂ x=2 y ,
∂ v
∂ y=2 x ,

∂ u

∂ y=− 2 y

Các đạo hàm riêng thỏa điều kiện C-R ⇒ f'(z )=¿ ∂ u∂ x+i∂ v∂ x=2 x+2 iy=2 z . Vậy

(z2

)′=2 z

b) ∂ u∂ x=cos yex,∂ v

∂ x=sin ye

x,∂ v

∂ y=cos ye

x,∂ u

∂ y=−sin ye

x

Các đạo hàm riêng thỏa điều kiện C-R ⇒

f'(z )=¿ ∂ u∂ x+i∂ v

∂ x=e

x

(cos y +isin y )=ez . Vậy (ez)′=ez

Ví dụ: xét tính khả vi của các hàm sau:
a) f ( z )=x2− 3 y3

+9 ixy b) f ( z)=(¯z )2 c) f ( z )=z2−i¯z+iz \{¯z

GIẢI:

a) ∂ u∂ x=2 x ,∂ v

∂ x=9 y ,
∂ v
∂ y=9 x ,

∂ u

∂ y=−9 y

Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:

x=0

y=0
y=1

⇔ (0 ;0) ∨(0 ;1)

2 x=9 x

− 9 y2=−9 y⇔¿

b) f ( z )=x2− y2− 2 ixy
∂ u

∂ x=2 x ,
∂ v

∂ x=− 2 y ,
∂ v

∂ y=− 2 x ,
∂ u

∂ y=−2 y

Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:

{

− 2 y=2 y2 x=−2 x⇔

{

x=0

y =0⇔ (0 ;0)

c) f ( z )=x2− y2− y +i(x2+y2+2 xy − x)

∂ u
∂ x=2 x ,

∂ v

∂ x=2 x+2 y −1,
∂ v

∂ y=2 y +2 x ,
∂ u

∂ y=− 2 y −1

Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:

{

2 x +2 y −1=2 y+12 x=2 y +2 x ⇔

{

y =0

x=1⇔ (1;0 )

Ví dụ: Tìm hàm giải tích f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết

v =3 x2y+2 x2− y3− 2 y2; f (0 )=1 b) u=excos y , f (0)=1 c) u=ln(x2+y2)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 Kiểm tra v là hàm điều hòa

∂ v

∂ x=6 xy+4 x⇒ ∂

v

∂ x2=4+6 y − 1,

∂ v

∂ y=−3 y

+3 x2− 4 y ,∂

v

∂ y2=−6 y − 4

⇒∂2v
∂ x2+

∂2v
∂ y2=0

Ta có V là hàm điều hòa

 Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:

{

∂u
∂ x=

∂ v
∂ y=3 x

− 3 y2− 4 y
∂ u

∂ y=−
∂ v

∂ x=− 6 xy −4 x

Ta có:

u=

∫

(−6 xy − 4 x ) dy+ g( x)=− 3 xy2− 4 xy+g (x)⇒∂u

dx =−3 y

− 4 y +g'(x )
3 x2−3 y2− 4 y⇒ g'

(x)=3 x2⇒ g(x)=x3+C

⇒ f ( z)=− 3 xy2− 4 xy+ x3

+C +(3 x2y +2 x2− y3−2 y2)i
Because : f (0)=C=1, so : f (z)=−3 xy2−4 xy +x3

+1+(3 x2y +2 x2− y3− 2 y2)i

GỈAI:
a)

 Kiểm tra v là hàm điều hòa

∂ u
∂ x=e

x

cos y⇒ ∂2v
∂ x2=e

x

cos y ,∂ v

∂ y=−sin ye

x

,∂

v

∂ y2=− cos ye

x

⇒∂2v
∂ x2+

∂2v

∂ y2=0

Ta có V là hàm điều hòa

 Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:

{

∂u
∂ x=

∂ v
∂ y=e

xcos y

∂ u

∂ y=−

∂ v
∂ x=−e

xsin y

Ta có:

v=

∫

exsin ydx +g( y )=exsin y +g( y )⇒∂ v

dy =e

x

cos y+g'(y)

excos y⇒ g'

(y )=o⇒ g ( y)=C

⇒ f (z)=ex

cos y +(exsin y +C)i

Because : f (0)=iC+1=1⇒C=0, so :f (z)=ex

cos y+(exsin y)i

 Kiểm tra v là hàm điều hòa

∂ u
∂ x=

2 x

x2

+y2⇒ ∂

u
∂ x2=

2(y2− x2)

(x2+y2)2

,∂ u
∂ y=

2 y

x2

+y2 ,

∂2u
∂ y2=

2(− y2

+x2)

(x2+y2)2

⇒∂2v
∂ x2+

∂2v

∂ y2=0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:

{

∂u
∂ x=

∂ v
∂ y=

2 x

x2

+y2

∂ u
∂ y=−

∂ v
∂ x=

2 y

x2

+y2

Ta có:

v =−

∫

2 y
x2

+y2dx +g( y )=− 2acrtg

(

x

y

)

+g( y )⇒ ∂ vdy =
2 x

x2

+y2+g

'

(y )
2 x

x2+y2⇒ g

'

(y )=0⇒ g( y )=C

⇒ f (z)=ln(x2

+y2)+

(

− 2arctg

(

x

y

)

+C

)

i

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

BÀI TẬP: HÀM GIẢI TÍCH- HÀM KHẢ VI-TÍNH ĐẠO HÀM

1. Viết mỗi hàm sau đây thành 1 đa thức theo z=x+iy

x3−3 xy2− y +

¿
¿

+i(3 x2y − y3+x)

c

a ( z )=(x2− y2− 2 y +1)+2i (xy +x ), b¿f (z )=¿

2. Tính đạo hàm:

a¿w=−2 z2+3 z + 4 , b¿w=5 z2− 4 z +2 , c¿w=z3,d¿w=|z|z ,e¿w=(¯z)2

3. Tìm các điểm mà tại đó hàm f(z) thỏa điều kiện C-R

f ( z )=xy2+ix2y

4. Chứng minh rằng các hàm sau thỏa PT: LAPLACE:
a¿Re z2&Im z2, b¿Re z3&Im z3, c¿Re z4&Im z4

5. Tìm hàm giải tích: f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết

a¿u=2 x − 2 xy − x

x2+y2, f (i)=i , b¿v =ln(x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

§4 PHÉP BIẾN HÌNH PHÂN TUYẾN TÍNH

I. Định nghĩa:

1.Ánh xạ phân tuyến tính có dạng:

ω=az+b

cz+d , ad − bc ≠ 0

z1=cz+d , z2=1

z1

⇒ω=(az+b) z2=a

(

z +b

a

)

z2=

a
c

(

cz +

a

)

z2

a

c

(

cz +d +

a −d

)

z2=
a
c z1z2+

bc− ad

a z2=
a
c+

bc − ad

a z2

2.Vậy phép biến hình phân tuyến tính là hợp của 3 phép:
1). z1=cz+d là phép co và phép tịnh tiến.

2). z2=1

z1 là phép nghịch đảo.

3). ω = ac+bc − ad

a z2 là phép co và phép tịnh tiến.

3. Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất:

a) Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất bảo giác.

b) Ánh xạ phân tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn.
c) Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền.

d) Ánh xạ phân tuyến tính biến các điểm đối xứng thành điểm đối xứng.
4. Ánh xạ phân tuyến tính biến 3 điểm tương ứng thành 3 điểm:

z1, z2, z3⃗w=f ( z) ω1,ω2,ω3
ω− ω1

ω3−ω1.

ω3− ω2
ω− ω2=

z − z1
z3− z1.

z3− z2
z − z2

ví dụ:

1) Tìm PBHPTT biến 3 điểm -1, 0, 1→ 0, i, 3i

z +1

1+1.
1− 0

z − 0=
ω

3i.
3i −i

ω− i⇔

z +1

2 z =
2 ω

3 ω−i❑ ⇔ ω=3 i
z+1

3 − z

2) Tìm PBHPTT biến 3 điểm 1, 0, -1→ i, ∞ , 1

z −1
−2 .

− 1
z =

ω−i

1 −i .
1 −∞

ω− ∞⇔ ω= 1 −i2

z −1
z +i=

(1+ i ) z +i − 1
2 z

BÀI TẬP:

Tìm các PBHPTT sau:

a¿0,1 ,i →−1

2, 0,− 1+i ,¿b¿0 , i, −i →i ,1,
1

2i¿c¿0,1 ,i →i ,

i+1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

CHƯƠNG II TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC

§1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC

I. Định nghĩa và công thức:

α
β

f[z (t )]z'

(t ) dt

II. Tính chất: Các tính chất của tích phân đường loại II của hàm thực vẫn còn

f ( z ) dz=−

∮

f ( z ) dz¿d¿

Ck

(¯z)2dz , k=1,2 trong đó C1 là đoạn thẳng nối O→1+i

C2 là đường gấp khúc nối O→1&1→1+i.
GIẢI:

Tham số hóa đường thẳng C1: y=x ⇔

{

y=x=t0 ≤ t ≤ 1
Z(t)=x(t)+iy(t)=t(1+i)

I1=

∫

0
1

t2(1− i)2(1+i )dt =

∫

t2(2 −2 i )dt =2 (1 −i)t

3 ¿0
1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

0→ 1⇔

{

x=t , 0 ≤ t ≤1

y=0 ⇔ z (t)=t

1→ 1+i⇔

{

x=1,0 ≤ t ≤ 1

y=t ⇔ z (t )=1+it
I2=

t − it

−t

)

¿0
1

=2 i
3 +

4
3

Ví dụ

Tính các tích phân sau Ik=

∮

Ck

|z|dz Trong đó C

1 là đường thẳng AB

C2, C3 là các nửa cung tròn đơn vị ( |z|=1 ) có cùng điểm đầu và điểm cuối và
chiều như hình vẽ.

GIẢI:

Tham số hóa đường thẳng C1: AB ⇔

{

x=0
y=t
−1 ≤t ≤1

Z(t)=x(t)+iy(t)=ti

− tdt +

∫

0
1

tdt+¿

∫

−1
0

¿
¿

I1=

∫

−1
1

√

x2+y2idt=i

∫

−1
1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tham số hóa nửa đường tròn C2: ⇔

{

z=reit

=eit

r=1
Π

2 ≤t ≤
3 Π

I2=

∫

Π
2
3 Π

i eitdt=eit

¿Π

2
3 Π

(

cos3 Π
2 +isin

3 Π

)

−

(

cos

Π

2 +isin

Π

)

=− i− i=−2 i Tham số

hóa nửa đường tròn C3: ⇔

{

z=reit

=eit

r =1
−3 Π

2 ≤ t ≤

− Π

I3=

∫

−3 Π
2
− Π
2

i eitdt=eit¿

− 3 Π
2
−Π2

(

cos− Π
2 +i sin

− Π

)

−

(

cos

− 3 Π

2 +i sin

−3 Π

)

=−i −i=− 2i

ví dụ: Tính tích phân sau với C là biên nửa trên hình vành khăn

C=C1∪C2∪C3∪C4 I=

∮

C

z

¯zdz

GIẢI:

I=I1+I2+I3+I4=¿

∮

C1

z

¯zdz+

∮

C2

z

¯zdz +

∮

C 3

z

¯zdz+

∮

C4

z

¯zdz

Tham số hóa đường thẳng C2: BC ⇔

{

x=t
y=0

¿Π2 Π=2
3(e

6 Πi− e3 Πi)

=4
3

Tham số hóa nửa đường tròn C3: ⇔

{

z=reit

=eit

r =1

0≤ t ≤ Π

I3=

∫

0
Π

eit
e− itie

dt= i
3 ie

3 it

¿0Π=1

3(e

3 Πi

− e0)=−2
3

Vậy I=−1 −1 −2

3+
4

3=−

4
3

ví dụ: Tính tích phân sau với C là biên nửa trên đường tròn đơn vị

I=

∮

C

|z|¯z dz

Tham số hóa nửa đường tròn C3: ⇔

{

z=reit

=eit

r =1

0≤ t ≤ Π

I3=

∫

0
Π

ieite− itdt=it¿0Π=iΠ

ví dụ: Tính tích phân I =

∮

C

¯z dz với C là đường nối từ z=0→z=4+2i

trong các trường hợp sau:
a) C1 là đường x= y2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

GIẢI:

a) Tham số hóa đường cong C1 ⇔

{

x=t2
y=t

0 ≤ t ≤2

Z(t)=x(t)+iy(t)= t2+it

I=

∫

0
2

(t2− it)

(2 t +i ) dt =t

2−
it3

3 +

t2

2¿0

2=10 −8 i

b) Tham số hóa đường thẳng C2: AB ⇔

{

x=0
y=t

0 ≤ t ≤2

Z(t)=x(t)+iy(t)=it

I1=

∫

0
2

−itidt=t

2¿0
2

Tham số hóa đường thẳng C2: BC ⇔

{

x=t
y=2

0 ≤ t ≤ 4

Z(t)=x(t)+iy(t)=t+2i

I2=

∫

0
4

(t −2 i )dt =t

2− 2 it¿0

4=8 − 8i⇒ I=2+8 −8 i=10 − 8 i

BÀITẬP:
1.Tính Ik=

∮

Ck

( x+ y )dz

với a) C1 :0→i& i→1+i

b) C2: 0→1+i theo đường thẳng: y=x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18></div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

§2 TÍCH PHÂN CAUCHY CHO MIỀN ĐƠN LIÊN& ĐA LIÊN

I. Các định lý

1. Định lý 1

f(z) giải tích trong miền đơn liên D, thì

∮

C

Nếu D là miền giới nội với biên C thì

∮

C

f(z)dz=0

3. Nguyên hàm và tích phân bất định

0
1+i

( z +2) eizdz¿

{

u=z +2⇒ du=dz
v =

∫

eizdz=e

i

¿I=( z+2)e

i ¿0
1+i

−1
i

∫

0

1 +i

eizd=(i+3)e

i −1

i −

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

5. Tích phân Cauchy cho miền đa liên:

Định lý: D là miền đa liên, bị chặn có biên là các đường cong C0, C1, …, Cn, trong
đó C0 bao các đường cong kín C1, …, Cn.

f(z) là hàm giải tích trên D ta có:

∮

C0

f ( z) dz=

∮

C1

f ( z)dz +

∮

f ( z)dz
z − z❑0

=2 Π if(z0)

2. Định lý 2: Gỉa sử f(z) giải tích trên D ,¯ với biên C trơn từng khúc ∀ a ∈ D
,f(z) có đạo hàm moi cấp ta có:

f(n)

(a)= n !
2 Πi

∮

C

f ( z) dz

( z − a)n+ 1

 Hệ quả:

Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên tục trên

D ,∀ a ∈ D , ta có:

∮

C

f ( z) dz

(z − a)n+1=
2 Πi

n! f

(n)

(a) , with : n=0,1,2 …

CHÚ Ý:

∮

C

(z − z❑0)

n=

{

2 Πi if : n=1
0 if : n≠ 1

Ví dụ: Tính tích phân

z2

C2

z2

z − 2idz , With :f ( z )=
z2

z− 2i giải tích trong hình tròn C2,
I2=

∮

C2

z2

z − 2idz=0

Vídụ: Tính tích phân

z2+9dz , With :a

C2

f (z)

z +3 idz=2 Π if (−3 i)=

2 Πi

−6 i=−
Π

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

c¿I3=

∮

C2

z2

+9dz , With : f ( z)=
1

z2

+9 giải tích trong hình tròn C3,

I3=

∮

C3

f ( z)dz=0

Vídụ: Tính tích phân I=

∮

C

ez

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

ez

z2[z− (1− i)][z − (1+i)]dz=¿

ez

z2(z2− 2 z +2)dz=¿

∮

C

¿With :C1:|z|=r1,C2:|z − (1+i)|=r2,1 −i∉ D

f ( z)

z2 dz , with: f (z)=¿
ez

(z2−2 z+2), GT in D1, f

'

( z )=e

z(

z2−4 z+4)
(z2− 2 z+2)2
I=

∮

C

¿I1=

∮

C1

¿⇒ f'(0)=1

We have : I1=

∮

C1

f ( z )
z2 dz=

2 Πi f'(0)

1 ! =2 Πi .

f ( z )

z −(1+i)dz , with: f ( z)=¿

ez

z2[z − (1 −i)],GT in D2

C

ez

z2(z2+4)dz , With :C :|z −2 i|=3

GIẢI:

I=

∮

C

ez

z2( z +2 i )( z −2 i)dz=I1+I2=

∮

C1

f1(z)

z2 dz+

∮

C2

f2(z )

z −2 idz

With: f1( z )= e

z

z2+4GT in D1∧ f1

'

(z )=e

z(

z2−2 z+4)
(z2+4)2 ⇒ f1

'

(0 )=1
4

We have : I1=

∮

C1

f1(z )

z2 dz=

2 Πi f1' (0)

1 ! =

Πi

2 .

f2(z )

z −(2 i)dz , with: f2(z )=¿

ez
z2

[z +(2 i)], GT in D2
f2( z )

2 i

=Π(4 i− e

2i)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

BÀI TẬP TÍCH PHÂN CAUCHY

Tính các tích phân sau trên các miền đã chỉ ra:

a=

∮

C

ez

(z2+Π2)2

dz , With:C :|z − i|=4¿b¿I =

∮

C

z

(z − 1)( z +1)2dz , With :C :|z − 2|=4¿c¿I=

∮

C

z2

(z2

+1)(z +3 )2dz , With :C :|z|=2¿d¿I=

∮

C

sinΠz
4

(z2−1)dz , With :C : x
2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

CHƯƠNG III: CHUỖI HÀM PHỨC

§1 CH̃I LŨY THỪA

Phần này trên cơ sở của ch̃i lũy thừa hàm thực sinh viên đã học ở toán cao cấp 3
Việc xét tính hội tụ và tìm bán kính hội tụ dựa trên các tiêu chuẩn D’Alembert và
tiêu chuẩn Cauchy. Do đó bài này không nói lại lý thuyết, chỉ xét ví dụ và bài tập

1. Tiêu chuẩn D’Alembert

Bán kính hội tụ của chuỗi

∑

n=1
∞

anzn là R=lim
n → ∞

|

an
an+1

|

2. Tiêu chuẩn Cauchy:

Bán kính hội tụ của chuỗi

∑

n=1
∞

anzn là R=lim
n → ∞

n

√

|an|

Ví dụ: Tìm R và hình tròn hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:

a¿

∑

n=1
∞

zn

n 4n,¿b¿n=1¿∞

(− 1)nzn

n ,¿c¿ ¿

∑

n=1
∞

n ( z −1)n

3n ,¿d¿

∑

n=1
∞

4n(z −1)n,¿

GIẢI:

¿
¿

With

a=lim

n →∞

|

an

an +1

|

=n →∞lim

(n+1) 4n+1

n 4n =4¿With z∈{|z|=4}⇒

∑

n=1
∞

|

zn

n 4n

|

∑

n=1
∞

|z|n

n 4n=

∑

n=1
∞

4n

n 4n=

∑

n=1
∞

nphân ky ̀̀¿MHT :|z|<4¿b¿R=limn → ∞

|

an

an+1

|

=n→ ∞lim

( n+ 1)

n =1¿With z∈{|z|=1}⇒

∑

n=1

∞

|

(− 1)nzn

n

|

∑

n=1

∞
|z|n

n =

∑

n=1

∞

nphân ky ̀̀¿MHT :|z|<1¿c¿With z

'

=z − 1⇒

∑

n=1
∞

n(z')n

3n ¿R=limn →∞

|

an

an +1

|

=limn →∞

n3n+1

(n+1)3n=3¿n¿n
z❑

3n ¿ ¿ ¿

∑

n=1
∞

n3n

3n =

∑

n=1
∞

n phân ky ̀̀¿ ¿MHT :|z − 1|<3¿ ¿ ¿

n

4nz❑

d

¿z'¿=z −1⇒

∑

n=1
∞

❑R=lim

n → ∞

|

an

an+1

|

=n → ∞lim

4n
4n +1=

4¿¿n¿4

n

z❑

¿ ¿ ¿With z∈

{

Ví dụ:

f ( z)=ez

∑

n=0
∞

ea

n !( z − a)

n ( chuỗi Taylor)

Khi a=0 ta có chuỗi Maclaurin:

f ( z)=ez=

∑

n=0
∞

n !z

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

II. Khai triển Maclaurin của 1 số hàm sơ cấp cơ bản

1 e¿z=1+z +z

2!+

z3

3 !+⋯+

zn

n !+⋯=∑n=0
∞

zn

n !∀ z∈ C¿2¿cos z=1 −
z2

2!+

z4

4 !−

z6

6 !+⋯+(−1)

n z2 n

2 n !+⋯=∑n=0
∞

(− 1)n z

2 n

2 n! ∀ z∈C¿3¿sin z=z −

z3

3 !+

z5

5 !−

z7

7 !+⋯+(−1)

n z2 n+1

2 n+1!+⋯=∑n=0
∞

(−1)n z

2 n+1

2 n+1 !∀ z∈ C¿4¿(1+ z)

α=1+αz+α (α −1) z2

2 !+α (α −1) (α − 2)

z3

3 !+⋯+α (α − 1)⋯(α −n+1)

zn

n !+⋯¿

∑

n=0
∞

α (α −1)⋯( α −n+1) zn

n!∀ z∈ C¿5¿

1 − z=1+z+ z

+⋯+zn+⋯=∑

n=0
∞

zn
|z|<1¿

6) 1

1+z=1 − z +z

2− z3

+⋯+(−1)nzn+⋯=∑

n=0
∞

(−1)nzn|z|<1

III.Chuỗi Laurent và điểm bất thường cô lập của hàm giải tích

1. Định lý và định nghĩa

f(z)giải tích trên hình vành khănD: 0 ≤ r<|z− a|<R ≤+∞¿ ∀ z∈ D , ¿

ta có f ( z)=

∑

n=− ∞
+∞

n=− ∞
+∞

an( z −a )n=

∑

n=0
+∞

an( z −a )n+

∑

n=−1
−∞

an( z − a)n

NHẬN XÉT: a− 1= 1
2 Πi

∮

C

f (t )

(t − a)n +1dt=
1

2 Πi

∮

C f (t ) dt=
1

2 Πi

∮

C f ( z)dz

3. Phân loại

a) Cực điểm: Điểm cô lập bất thường z=a được gọi là cực điểm cấp m
nếu khai triển Laurent của f(z) trong hình tròn 0<|z −a|<r có dạng:

an( z − a)n= a−m
(z −a )m+¿

a− m+1

(z − a)m −1+⋯+
a− 1

( z −a )+

∑

n=0
+∞

an(z −a )n,

f ( z )=

∑

n=− 1
−∞

¿with a− m≠ 0

 Nếu m=1 thì a gọi là cực điểm đơn.
 Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì

{

lim

z →af ( z )=∞

lim

z →a(z −a )
m

f ( z)= A ≠ 0

b) Điểm bất thường bỏ được

Điểm bất thường cô lập z=a của f(z) gọi là điểm bất thường bỏ được, nếu
khai triển Laurent của f(z) trên miền 0<|z −a|<r có phần chính triệt tiêu,

tức là f ( z)=¿

∑

n=0

+∞

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

c) Điểm bất thường cốt yếu

điểm bất thường cô lập z=a của f(z) gọi là điểm bất thường cốt yếu, nếu
phần chính của khai triển Laurent trên miền 0<|z −a|<r có vô số số

hạng.

Ví dụ : Khai triển Laurent của hàm số tại điểm bất thường cô lập đã chỉ
ra và gọi tên các điểm bất thường cô lập đó.

a ( z)= e

2 z

( z − 2)3at z=2¿f ( z)=

e4e2(z −2)

( z − 2)3 =

e4

( z −2)3

∑

n=0
∞

2n(z −2)n

n ! ¿
e4

( z − 2)3

[

2 (z −2)
1 ! +

22( z − 2)2
2 ! +⋯+

2n( z − 2)n

n! +⋯

]

¿
e4

( z −2)3+
2 e4
(z −2)2+

22e4

( z −2) 2!+
23e4

3 ! +⋯¿We have :

{

lim

z →2f (z)=∞

lim

z →2( z −2)
3

f ( z)=e4≠ 0

Vậy z=2 là cực điểm cấp 3.

b ( z )=( z −1) cos 1

z −1at z=1¿=(z − 1)

∑

n=0
∞

(− 1)n(z − 1)

−2 n

2 n ! =

∑

n=0
∞

(−1)n 1

2n !( z− 1)2 n −1¿

z=1 là điểm bất thường cốt yếu vì phần chính có vô số số hạng

c (z)=sin z

z at z=0¿f ( z)=

z

∑

n=0
∞

(−1)n z

2 n+1

(2 n+1) !=

∑

n=0
∞

(− 1)n z

2 n

(2 n+1)!¿

f(z) không có phần chính ⇒ z=0 là điểm bất thường bỏ được

Ví dụ:

Khai triển f ( z)= 1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

GIẢI:

f ( z )= 1
z ( z+4 )=

1
4

(

z−

z +4

)

1
4

(

1
2

(

1+z −2
2

)

−1

6
1

(

1+z − 2
6

)

¿1

∑

n=0
∞

(−1 )n( z −2 )

n

2n −
1
24

∑

n =0

∞

(−1)n( z − 2)

n

6n =

∑

n=0
∞

(−1 )n ( z − 2)

n

2n+3−24 . 6n

Ví dụ:

Khai triển f ( z)= 1

1− z thành chuỗi Taylor trong lân cận điểm z0=3i
GIẢI:

f ( z)= 1

1− z=

1 −3 i− ( z−3 i)=
1
1− 3i

(

1−z −3 i
1 −3 i

)

= 1

1 −3 i

∑

n=0

∞

(

1− 3iz −3 i

)

n

|

1 −3 iz −3 i

|

<1⇔|z − 3i|<|1− 3i|=√10

Ví dụ:

Khai triển f (z)=ez2−4 z +3 thành chuỗi Taylor trong lân cận điểm z0=2
GIẢI:

f ( z)=e(z − 2)2−1

e

∑

n=0
∞

( z − 2)2 n,∀ z

Ví dụ:

Khai triển f ( z)= z

z2+4 thành chuỗi Taylor trong lân cận điểm z0=0

GIẢI:

f ( z )=z

4
1
1+z
2
4
=z

∑

n=0
∞

(− 1)n

(

z

2
4

)

n
=

∑

n=0
∞

(−1 )nz

2 n +1

4n+1

Vídụ

Khai triển f(z) thành chuỗi Taylor trong lân cận các điểm đã chỉ ra

1(z)=z −1

z+1 at a=0 , a=1¿2¿f(z)=

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

GIẢI:

1: a=0 , f (z)=1− 2

1+z=1− 2

∑

n=0
∞

(−1)nzn|z|<1⇒ R=1¿When :a=1 , f ( z)=( z − 1) 1

2+z − 1=

z −1

2 .
1
1+z − 1

=z − 1
2

∑

n=0

∞

(−1)n

(

z − 1
2

)

n

∑

n=0
∞

(−1)n

(

z − 1
2

)

n+1

condition :

|

z −1

|

<1⇔|z − 1|<2⇒ R=2¿2¿When : a=0 , f (z )=
1

( z +1) ( z+ 2)=
1

z +1−

z +2=

∑

n=0
∞

(−1)nzn−1
2

∑

)

n

−1

∑

n=0
∞

(−1)n

(

z − 2
4

)

n

∑

n=0
∞

(−1)n(z −2)n

(

1
3n +1−

4n+1

)

¿condition :

{

|

z − 23

|

z − 24

|

⇔

{

|z − 2|<3

|z −2|<4⇔|z −2|<3⇒ R=3¿

BÀI TẬP:

Khai triển f(z) thành chuỗi Taylor trong lân cận các điểm đã chỉ ra

1(z)=1

zat a=i¿2¿f(z)=e

z

at a=Πi¿3¿f(z)= 1

3 − 2 zat a=3¿4¿f(z)=sin

z at a=0¿5¿f(z)= z

z2+4at a=i¿6¿f(z)=sin(2 z +1)at a=−1¿

7 ( z )=3 z +1

(z −2)2 at a=0¿8¿f ( z)=

z2at a=2¿9¿f ( z )=

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

CHƯƠNG IV: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG

§1 KHÁI NIỆM VỀ THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH

I. Khái niệm và định nghĩa:

1. Gỉa sử cần tính

∮

C

f ( z) dz với điều kiện f(z) giải tích trên C, bên trong

C, trừ điểm bất thường duy nhất a. Khai triển Laurent f(z) quanh điểm bất
thường a ta có:

f(z)=

∑

− ∞
+∞

an(z − a)n=

∑

n=0
+∞

an(z − a)n+

∑

n=−1
− ∞

an(z −a)n
that a− 1= 1

2 Πi

∮

C f(z)dz
II. Cách tính thặng dư

1. Thặng dư của hàm giải tích f(z) tại điểm bất thường cô lập a được định
nghĩa và ký hiệu:

Re s[f ( z ), a]:= 1

2 Πi

∮

C f ( z )dz

Trong đó C là đường cong trơn hoặc trơn từng khúc, không tự cắt, bao
điểm a, f(z) giải tích bên trong C, trên C trừ điểm a.

2. Cách tính thặng dư

a) Tổng quát: Nếu khai triển Laurent của f(z) quanh điểm a có dạng:

f(z)=

∑

− ∞
+∞

an(z − a)n

thì Re s[f ( z), a]=a− 1

b) Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì

Re s[f ( z), a]=lim

z → a

(m−1) !

[

(z − a)

m

f ( z)

]

(m − 1)

c) Nếu a cực điểm đơn của f(z) thì:

Re s[f ( z), a]=lim

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Ví dụ: Tìm thặng dư các hàm số tại các điểm bất thường cô lập

a ( z )= e

2 z

( z − 2)3at z=2¿f ( z )=

e4

( z −2 )3+
2 e4
(z −2)2+

22e4

(z −2) 2!

⏟

a−1

z − 2

e4

3 ! +⋯¿⇒[Re sf ( z );2]=a− 1=2 e
4

b ( z )=( z −1) cos 1

z −1at z=1¿=(z − 1)

∑

n=0
∞

(− 1)n(z − 1)

−2 n

2 n ! =

∑

n=0
∞

(−1)n 1

2n !( z− 1)2 n −1=

1
( z −1)−1−

2 !( z − 1)+⋯¿⇒Re s[f ( z ), 1]=−
1
2¿

c (z)=sin z

z at z=0¿f ( z)=

z

∑

n=0
∞

(−1)n z

2 n+1

(2 n+1) !=

∑

n=0
∞

(− 1)n z

2 n

(2 n+1)!¿

f(z) không có phần chính ⇒a−1=0 suy ra ⇒Re s[f ( z ) ,0]=0

d ( z)= 1

(z −1)2z at z=1¿Re s[f ( z ) ,1]=limz → 1

1 !

[

( z − 1)

. 1

(z −1)2z

]

(1)

=lim

z → 1

(

−

z2

)

=−1¿e¿f ( z )=

(z − 1)2zat z=0¿Re s[f ( z ) , 0]=limz →1

[

z

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

III.ỨNG DỤNG THẶNG DƯ TÍNH TÍCH PHÂN

Tích phân dọc theo đường cong kín:

f(z) giải tích trên miền đóng D¯ , giới hạn bởi biên C là đường cong kín,

trừ 1 số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, a2,…an. nằm trong D thì:

∮

C

f ( z) dz=2 Πi

∑

k=1
n

∑

n=0

∞

(−1)n 1

2 n ! z2n

]

¿− z +

1
2 z−

4 ! z3+⋯+(−1)

n +1 1

2n ! z2 n −1¿⇒ a−1=

1
2¿

∮

C

z cos

(

1+Πz

z

)

dz=2 Πi Re s[f ( z) ;0]=2 Π ia− 1=Πi

Ví dụ:

Tính TP

∮

C

ez

(z2+1)

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

GIẢI:

f(z) có 3 cực điểm ±i∈ D , 4 ∉ D

I=Re s[f ( z ), i]+Re s[f ( z ), −i]= Πe

i

i− 4+
Πe−i

i+4

Ví dụ:
Tính TP

Ik=

∮

Ck

z ( z+2)2(z −3 i )dz , k=1,2,3,4
that in C1:|Z − 2|=1 , C2:|Z −1|=2 ,C3:|Z +2|=1

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

a¿I1=0 vì f(z) giải tích trên và trong C1.

b) I2=

∮

C2

z (z+2)2

( z −3 i )dz , f(z) có cực điểm đơn z=0 trong C2.

I2=2 Πi Re s[f ( z) ,0]=2 Πi lim

z →0zf ( z)=2 Πi limz → 0

( z+ 2)2( z − 3 i )=−

Π

c) I3=

∮

C3

z (z+2)2

( z − 3i )dz , f(z) có cực điểm cấp 2, z=-2 trong C3.

I3=2 Πi Re s[f(z),− 2]=2 Πi lim

z → −2

[

(z +2)2f(z)

]

′

1 ! =2 Πi limz → 0

[

z(z − 3 i)

]

′

=Π(63+16 i)
338

d) C4 chứa 3 cực điểm:

I4=2 Πi

{

Re s[f ( z) ,0],Re s[f ( z) ,− 2],Re s[f ( z) ,3 i]

}

−Π

Π (63+16 i)

338 +2 Πi limz → 3 i( z − 3 i ) f ( z )=−

Π

6 +

Π (63+16i)

338 +

2 Πi (−12+5 i)
507

Ví
dụ:

Tính TP

∮

C

2 z2+5

(z2+4)( z +2)2z2dz , With C :|z −2 i|=6

C chứa 4 cực điểm, cấp 2: z=-2, z=0, cấp 1: z=-2i, 2i

I=

∮

C

f ( z) dz=2 Πi

∑

k=1
4

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

I1=Re s[f ( z), −2]=lim

z → −2

[

( z +2)2f ( z)

]

′

1 ! =z → −2lim

[

2 z2+5

z2(z2+4)

]

′

=23
64

I2=Re s[f ( z) ,0]=lim

z → 0

[

(z )2f ( z)

]

′
1 ! =

5
16

I3=Re s[f ( z), 2 i]=lim

z → 2 i( z −2 i ) f ( z )= limz → 2i

[

2 z2

z2

( z +2)2( z +2 i )

]

=−
3
128

I4=Re s[f ( z ) ,− 2i]= lim

z → −2 i( z +2 i ) f (z )=limz → 2 i

[

2 z2+5

z2(z +2)2

(z −2 i)

]

=−

3
128

I=2 Πi

(

64+
5
16 −

6
128

)

5 Πi
4

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau trên các miền đã chỉ ra:

¿
¿
¿

¿
¿

a=

∮

C

C

sinΠz
4 dz

z2− 1 C : x

+y2− 2 x=0 h I=

∮

C

ezdz

(z2)(z2+2 z+2)C :|z|=3¿m¿I=

∮

C

ezdz

(z −1) ( z+ 3)C :|z −i|=2¿n¿I=

∮

C

2+3sin Π zdz

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

CHƯƠNG V: TOÁN TỬ LAPLCE VÀ ỨNG DỤNG

§1 KHÁI NIỆM VỀ TOÁN TỬ LAPLACE

I. Hàm gốc:

Là hàm phức biến thực: f(t)=u(t)+iv(t) thỏa:

1) f(t) liên tục hay liên tục từng khúc trên trục t.
2) f(t)=0 khi t<0.

3) f(t) có bậc mũ: ∃ M >0 , s ≥ 0, ∀ t>0,|f (t)|≤ Mest

Ví dụ:

a) Hàm bậc thang đơn vị ( unit step function)

u (t)=

{

0 t <0

1 t >0

Ký hiệu: u(t) là 1
Đồ thị:

b) Hàm bậc thang đơn vị trễ a đơn vị thời gian

u (t − a)=

{

0 t<a

1 t>a

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

c) Hàm lọc:

uab(t )=u (t − a) −u (t − b)

Đồ thị:

II.Hàm ảnh:

1. Định nghĩa: Hàm ảnh của f(t) là hàm F(p) với p=a+ib, F(p) xác định
bởi toán tử Laplace:

F ( p)=

∫

0
+∞

e−ptf (t ) dt=L
[f (t )]

2. Ví dụ:

a) f(t)=1

F ( p)=L[1]=

∫

0
+∞

e− ptdt= lim
a →+∞

[

−

pe

− pt

]

¿0a= lim

a →+∞−

p

(

epa−1

)

p(Re p>0)

b) f(t)= eαt

F ( p)=L

[

eαt

]

∫

0
+∞

e− pteαtdt= lim

a →+∞

[

α − pe

(α − p)t

]

¿0a=lim

a→+ ∞

α − p

(

e(p − α)a− 1

)

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

BẢNG ẢNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

1[1]=1

pRe p>0¿2¿L[t]=

p2Re p>0¿3¿L

[

e

αt

]

= 1

p −αRe p>α¿4¿L[sin t]=

1+ p2Re p>0¿5¿L[cos t]=

p

1+ p2Re p>0¿6¿L[u (t −a )]=

e− pa

p Re p >0¿

III. Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace

1. Tính chất tuyến tính:

If L[f (t )]=F ( p) , L[g (t )]=G ( p ),∀ α , β ∈ C THEN:

L[αf (t)+βg (t )]=αF ( p)+βG ( p )

Ví dụ: Tính

¿
¿
¿

a¿L

[

5 − 3 e2 t+4 sin t

]

b[sh ωt]¿c L[ch ωt]d

[

uab(t )

]

2. Tính chất đồng dạng ( thay đổi thang đo)

a[f ( αt )]=1

αF

(

p

α

)

¿b¿L

−1[F (αp)]

α f

(

t
α

)

Ví dụ:

a¿L[sin ωt]= ω

ω2+p2b L[cos ωt]=

p
ω2+p2

3. Tính chất dịch chuyển gốc:

L[u (t − a) f (t − a)]=e−paF ( p )

Ví dụ:

a¿L[u (t − a) sin ω(t − 2)]=e−2 p w

w2+p2b L¿

−1

[

e− p 1

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

4. Tính chất dịch chuyển ảnh:

L

[

eatf (t)

]

=F ( p− a) Re ( p −a )> 0

Ví dụ:

¿
¿

a

[

eαtt

]

= 1

( p − α )2b L

[

e

αt

sin ωt

]

= ω

ω2+( p − α )2c L

[

e

αt

cos ωt

]

= p − α

ω2+( p −α )2¿d¿L

− 1

[

p2−4 p+13p+4

]

=L

−1

[

p +4

( p − 2)2+9

]

=L

−1

[

p− 2

( p − 2)2+9+2.
3

( p −2 )2+9

]

=¿e

2 t

cos 3 t+2 . e2 tsnỉ 3 t¿

5. Ảnh của hàm gốc tuần hoàn:

f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T

F ( p)=L[f (t )]= 1
1− e−pT

∫

T

e− ptf (t )dt

]

=p3F ( p) − p2f (0 )− p f'(0 )− f' '(0 )
⋮

L

[

f(n)

(t )

]

=pnF ( p) − pn − 1f ( 0)− pn −2f' '(0 )−⋯f(n −1)(0)

Ví dụ:

Giải phương trình vi phân: y''− y=t (1) , y (0)=1, y'(0)=1

Lấy ảnh Laplace 2 vế pt (1) ta có:

L(y' ')− L ( y )=L (t )

⇔ p2

F ( p )− py (0) − y'(0 )− F ( p )= 1

p2

⇔ p2

F ( p )− p − 1− F ( p)= 1
p2

⇔(p2−1)F ( p )= 1

p2+p+1

F ( p)= 1
p+1+

p2(p2− 1)=

p+1+

(p2−1)−

p2
⇒ y (t )=L−1

[F ( p)]=e−t+sht −t

]

=(−1)nF(n)( p )

Ví dụ:

a[t sin ωt]=− F'( p )=−

(

ω

ω2

+p2

)

′

= 2 pω

(ω2+p2)2

¿b¿L

[

tn

]

=L

[

tn.1

]

=(−1)n

(

p

)

n

= n!

pn+1¿

8. Tích phân hàm gốc:

L

[

∫

0
t

f (u) du

]

=F ( p)

p Re p>0

9. Tích phân hàm ảnh(chia cho t)

L

[

f (t)
t

]

∫

p

+∞

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Ví dụ:

a

p
a

1+u2du= lima →+ ∞arctgu¿p
a

=Π

2 − arctgp¿b¿L

[

∫

0

t

sin u

u du

]

L

[

sin u

u

]

P =

P

[

Π

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

§2 TÍCH CHẬP VÀ ẢNH CỦA TÍCH CHẬP

I. Tích chập

1.Định nghĩa: Tích chập của 2 hàm phức biến thực f(t) và g(t) với 0 ≤t ≤ ∞

Ký hiệu: f∗ g được định nghĩa: f∗ g (t )=

∫

0
t

f (u) g (t − u) du

2. Ví dụ:

0
t

sin udu=− cos u¿0t=1− cos t¿d¿t∗ sint=

∫

0
t

(t −u) sin udu=− (t −u )cos u¿0t−

∫

0
t

cos udu=t −sin t¿

3. Tính chất:

a) Giao hoán: f∗ g=g ∗ f

b) Kết hợp: (f∗ g)∗ h=f ∗(g∗ h)=f∗ g ∗h

c) Phân phối: f∗(g+h)=f∗ g+f ∗h

d) (kf)∗ g=k(f∗ g)

e) |f∗ g|≤|g||f|

4. Ảnh của tích chập

Định lý Borel

{

L[f (t)]=F ( p )

L[g (t )]=G ( p )THEN

{

L[f∗ g]=F ( p ). G ( p )

L−1[F ( p ). G ( p )]

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Ví dụ:

a)Tìm ảnh của hàm gốc:

f (t )=5+t . sh 2t +e−2 tcos 3 t +

∫

0
t

e3 usin (t −u ) du

F ( p)=5

p+L[t . sh 2 t]+L

[

e

−2 t

cos 3 t

]

+L

[

∫

0
t

e3 usin (t −u) du

]

p−

(

p2− 4

)

′

+ p+2

( p +2)2+9+L

[

e

3 t∗sin t

]

p−

(

4 p

(p2− 4)2

)

p+2

( p+2 )2+9+L(e

3 t). L (sin t )

p−

(

4 p

(p2−4)2

)

p+2

( p +2)2+9+
1

p −3.

p2+1

b) Tìm gốc của hàm ảnh

F ( p)= 1
p3(p2+1)
L−1

[

p.

p2.

p2+1

]

=L

−1

(

1p

)

∗ L

− 1

(

p12

)

∗ L

− 1

(

p21+1

)

=1∗ t ∗ sint=1 ∗ (t ∗sin t )
1∗ (t − sin t)=1∗ t −1 ∗sin t=t2

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Ví dụ : Gỉai pt tích phân:

y (t )=2+

∫

0
t

sin(t −u) y (u )du

⇔ y(t )=2+ y (t )∗ sin t
⇔ L[y (t )]=L[2]+L[y (t )∗ sin t]

⇔Y = 2

p+L[y (t )]. L[sin t]=

p+Y .

p2

⇔ Y =2(p

+1)
p3 =2

[

p+

p.

p2

]

=2+2 .1∗t=2+t

BÀI TẬP:

1. Tìm ảnh của các gốc

¿
¿
¿
¿
¿

a (t )=sin 2 t b f (t )=cos 5t c f (t)=cht d f (t)=sh αt e (t)=sin2mt¿ ¿f¿f (t)=cos2mt¿

9+( p − 2)2¿c¿F ( p )=

p+3

( p+3 )2− 4¿d¿F ( p )=
3 p

16+( p)2 ¿e¿L(f (t ))=L (ch 3 t )+L (tsh 3 t )=

p
p2−9− F

'

( p)= p

p2−9−

(

p2−9

)

'

¿ p

p2−9+

6 p

(p2− 9)2=

p3− 3 p

(p2− 9)2 ¿f¿L(f (t))=L(sin 2 t )− 2 L (t cos 2 t )=

p2

+4−2 F

'

( p )= 2

p2

+4−2

(

p
p2

)

'

¿ 2

p2

+4+

2(4 − p2)

(p2+4)2 =

(p2+4)2

2. Tìm ảnh của hàm gốc:

¿
¿
¿
¿
¿

a¿t2eαtb¿0¿t sin udu¿c

∫

0
t

cos 2 udu d sin2t¿
t ¿e

1− cos t

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

GIẢI

(

u−

d(u2+4)

2(u2+4)

)

du=¿

(

1u−
u

u2+4

)

du=¿
1

2a→ +∞lim

∫

p
a

¿1

2a →+∞lim

[

lnu¿p
a

−1

2ln(u

+4)¿p
a

]

2a→+ ∞lim

[

u

(

√

u2+4)

¿p
a

]

= 2

( p − α )3¿b¿L

[

∫

0
t

sin udu

]

=F ( p )

p =

p.

1+ p2¿c¿L

[

∫

0
t

cos 2 udu

]

=F ( p )

p =

p. L[cos 2 t]=

p.
p

4 + p2=
1

4+ p2¿d¿L

[

1− cos 2t

2 t

]

1
2

∫

p

+∞

L[1− cos 2 u]du=1
2

∫

p

+∞

¿1

[

a →+∞lim ln

a

(

√

a2+4)

∨− ln p

(

√

p2+4)

]

=1
4ln

p2+4

p2 ¿e¿L

[

1− cos t
tet

]

∫

p

+∞

F1(u )du , With F1=L

[

e− t−e−tcos t

]

= 1

p+1−

p+1

1+( p+1)2¿
1

p+1−

p +1

p2+2 p+2⇒ L[f (t )]=

∫

p
+∞

¿ lim

a →+∞

∫

p
a

¿ lim

a →+∞

[

u+1

(

√

u2+2 u+2)¿p
a

]

=− ln p+1

(

√

p2+2 p+2)=

1
2ln

p2+2 p+2

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

f 1¿

t (sin 7 t sin 3 t )=−

∫

p

+∞

F1(u) du −

∫

p
+∞

F2(u) du

]

=−1
2

[

∫

p

+∞

(

u2+u102−

u

u2+42

)

]

¿−
1

[

a →+∞lim

∫

p
a

1
2

(

d(u2+102)
u2+102 −

d(u2+42)

u2+42

)

]

=−
1

4a→+ ∞lim

[

u2+102

u2+42 ¿p

a

]

=−1
4ln

p2+102

p2+42 ¿

3. Các bài tập dùng Định lý hoãn
CHÚ Ý CÁC CÔNG THỨC

a[u (t − a) f (t − a)]=e− paF ( p)¿b¿uab(t )=u (t − a)− u (t −b )¿

a) Tìm ảnh của hàm sau:

f (t )=

{

0 t <0
t+1 0 ≤ t<1

3 t 1≤ t<4
0 t ≥ 4

f (t )=(t+1)[u (t )− u(t −1)]+3 t[u (t −1) −u (t − 4 )]

¿tu (t )+u (t)+2 (t −1 )u (t −1 )+u (t − 1)− 3 (t − 4) u (t − 4 )−12 u (t − 4 )

⇒ L[f (t )]=L(t )+L (1)+2 L[(t −1) u (t −1)]+L[u (t −1)]−3 L[(t −4 ) u (t − 4)]−12 L[u (t − 4 )]

¿ 1

p2+

p+e

− p

(

p22+

p

)

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

f (t )=h

at[u (t) −u (t − a)]−
h

a(t −2 a)[u (t −a )− u (t −2 a)]

¿h

at[u (t )]−

2 h

a (t −a )[u (t − a)]+
h

a(t −2 a)[u (t −2 a)]
⇒ L[f (t )]=h

a

p2−

2 h

a
e− ap

p2 +
h
a

e− 2 ap
p2

Ví dụ Tìm hàm gốc biết ảnh của chúng:

¿
¿
¿
¿
¿f ( p)= p

(p2+4) (p2+9)

a ( p)= 2 p− 1
p2

+p− 3b ( p)=

( p −3 )( p −1) ( p +2)+

p+6

(p+2)2+42¿ ¿c¿F ( p )=

10 p+6

( p+ 3) ( p −1 )( p − 4)+

p+8

p2−6 p+25d ( p )=

( p −3 )( p −1)+

p+1

p2−6 p+25¿ ¿e¿F ( p)=

5 p +3

(p2+2 p+5

)( p− 1)¿ g ( p )=

( p −5 )( p −2)+

p

p2−2 p+2¿ ¿ ¿

GIẢI:

a ( p)= 2 p− 1
p2

(

p+1

)

−

(

√13

)

2−

2√13
2

(

p+1

)

−

(

√13

)

√13¿⇒ L

−1

[F ( p)]=2 e− 12tch√13

2 t −
4

√13e

− 1

2tsh√13

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

b ( p)= 6

( p −3) ( p− 1) ( p+2 )

⏟

F1

+ p+6

( p +2)2+42

⏟

F2

¿L−1

[

F1( p )

]

=lim

p →3

6 e3 t

( p −1 )( p+2)+limp →1

6 et

( p −3 )( p+2)+p →− 2lim

6 e− 2t

( p − 1)( p −3)=¿
3
5e

3 t−3 et

+2
5e

− 2t

¿L− 1

[

24
28 e
−3 t
−16
12 e
t
+46
21 e
4 t
L−1

[

F2( p)

]

=L− 1

[

p − 3
( p −3)2+42+

11
4

( p+2)2+42

]

=e

3 tcos 4 t+11

4 e

3 tsin 4 t

d ( p )= 4

(p − 3) ( p −1 )+

p+1
p2−6 p+25¿

1
2. 4

(

p −3−

p −1

)

p −3

( p −3 )2+42+
4

( p −3 )2+42¿⇒ L

− 1

[F ( p )]=2(e3 t− et)+e3 tcos 4 t+e3 tsin 4 t¿
¿

e ( p)= 5 p+3
(p2

+2 p+5)(p −1)=

5 p +3

(( p+1)2+4)( p − 1)=

5 p+3

(( p+1)+2 i)(( p+ 1)− 2i)( p − 1)¿⇒ L

−1

[F ( p)]=lim

p → 1

(5 p+ 3) et

(( p+1)+2 i) (( p+1) −2 i)+limp → 1

(5 p+3 )e(− 1+2 i)t

(( p+1)+2 i)( p −1)+¿+limp →1

(5 p+ 3) e(−1 −2 i)t

(( p +1)− 2i)( p− 1)¿

f¿F(p)= p

(p2+4) (p2+9)
=1

(

p
p2+22−

p

p2+32

)

⇒ L

−1

[F(p)]=1

5(cos2 t − cos 3 t)

g ( p )= 6

(p − 5)( p −2 )+
p
p2−2 p+2=

6
3

(

p −5−

p− 2

)

p − 1

( p − 1)2+1+
1

( p − 1)2+1¿⇒ L

−1[F ( p )]=2(e5t− e2t)

+etcos t +etsin t¿

BÀI TẬP

1. Tìm ảnh của hàm gốc sau:

a e¿−tsin2t¿b¿3 t5e−t+3 tet+7¿c¿2 e− 3 tsin t −5 etcos 2 t+3¿d¿t cos 2 t − 3 t sin 3 t+4¿e¿4 e3 tsin2t +2 t3e2t+5 e− tsh 3 t +4 cos2t¿f¿4 etsin4t+t3e2t+6 etsh 2 t+3¿g¿tetcos t+t2e− 3tsin2 t¿h¿te−2 tchat¿m¿t

2+1+te

t

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

§3 ỨNG DỤNG CỦA TOÁN TỬ LAPLACE

I. Gỉai phương trình vi phân

Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y''+2 y'+5 y =e−tsin t (1) y (0 )=0, y'(0 )=1

GIẢI:

Đặt Y =F ( p )=L[y (t )]

⇔ p2

Y − py (0) − y'(0 )+ 2[pY− y (0 )]+5Y = 1
( p+1 )2+1

⇔ p2Y +2 pY+5Y − 1= 1

( p+1 )2+1

⇔Y = p2+2 p+3
(p2

+2 p+5) (p2+2 p+2

2
3.

1
( p+1)2+22+

1
3.

1
( p+1)2+1

⇒ y(t )=L−1

[Y]=2
3e

−t

sin 2 t+1
3e

− t

sin t

Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân:

y''+3 y'+2 y =f (t )(1) y (0 )=0= y'(0 )=0 with f (t )=

{

e

t 0<t<2

1 t >2

GIẢI:Đặt

Y =F ( p)=L[y (t )]

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

L

[

y' '

]

+3 L

[

y'

]

+2 L

[y]=L[f (t )]

⇔ p2Y − py (0 )− y'

(0)+3[pY − y (0)]+2 Y =L

[

etu (t)

]

+L[u (t −2)]− e2L

[

u (t − 2) et − 2

]

⇔ p2Y +3 pY+2Y = 1

( p − 1)+

e−2 p

p − e

2e− 2 p 1

( p− 1)

⇔Y = 1

( p −1)(p2+3 p +2

e−2 p
p(p2+3 p+2

)− e

e−2 p 1

( p −1)(p2

+3 p+2)

P(p2+3 p+2)=

( p )( p+1) ( p+ 2)=

A
p+

B
p +1+

C
p+2
A=lim

p → 0

( p+1) ( p+ 2)=
1

2, B= limp → −1

( p) ( p+2)=−1 , C= limp →− 2

1
( p )( p+1)=

1
2
1

(p −1)(p2

+3 p+2)

= 1

( p −1) ( p +1)( p+2)=

A
p −1+

B
p+1+

C
p+2
A=lim

p → 1

( p+1) ( p+ 2)=
1

6, B= limp →− 1

( p − 1)( p+2 )=−
1

2,C= limp → −2

( p −1) ( p+1)=
1
3

L

[

(p −1) 6−

1
(p+1) 2+

(p+2) 3

]

1
6e

t−1

2e

− t

+1
3e

−2 t

L

[

e

−2 p

( p )2−

e− 2 p

( p+ 1)+

e− 2 p

( p +2)2

]

=
1

2u (t − 2) −u (t −2) e

−(t −2)

2u (t − 2) e

− 2(t − 2)

L

[

e

−2 p

( p − 1)6−

e− 2 p

2( p+1)+

e− 2 p

( p+ 2)3

]

=
1

6u (t −2) e

(t − 2)

−1

2u (t −2) e

−(t −2)

3u (t − 2) e

− 2(t − 2)

⇒ y (t)=L−1

[Y]=1
6e

t−1

2e

−t

+1
3e

− 2t

+¿+u (t − 2)

[

1
2− e

−(t −2)

+1
2e

−2(t −2)−1

6e

2e(t − 2)−1

2e

2e−(t −2)

+1
3e

2e−2(t − 2)

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y''+6 y'

+9 y=9 e3 ty (0)=0, y'(0)=0

GIẢI:

Đặt Y =F ( p )=L[y (t )]

⇔ p2Y − py (0)− y'

(0 )+ 6[pY− y (0)]+9 Y = 9
( p −3)

⇔ p2Y +6 pY+9 Y = 9

(p −3)
⇔Y = 9

( p −3 )( p+3)2

⇒ y (t )=L− 1

′

=l im

p → −3

[

− 6 te−3 t− e−3 t

(p − 3)2

]

=−

e− 3 t(6 t+1)
36

y=e

3 t

4 −

e−3 t(6 t+1 )
4

Ví dụ:

Gỉai phương trình vi phân: y''+3 y'+2 y =0 y (0)=0, y'(0 )=1

GIẢI:

Đặt Y =F ( p )=L[y (t )]

L

[

y' '

]

+3 L

[

y'

]

+2 L[y]=L[0]

⇔ p2Y − py (0) − y'

(0 )+ 3[pY− y (0)]+2Y =0

⇔ p2

Y +3 pY+2 Y − 1=0
⇔ Y = 1

(p+1)( p+2 )=

1
(p+1)−

1
(p+2)

⇒ y (t )=L−1

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y''+3 y'

+2 y =e−3 ty (0)=1, y'(0 )=−1

GIẢI:

Đặt Y =F ( p )=L[y (t )]

⇔ p2Y − py (0)− y'

(0 )+ 3[pY− y (0)]+2Y = 1
( p+3 )

⇔(p2+3 p+2)Y − p −2= 1

(p+3 )
⇔ Y = 1

( p+ 3) ( p+ 1)( p+2)+
1
( p+1)

⇒ y (t)=L−1

[Y]=L− 1

[

( p+3) ( p+1) ( p+ 2)+
1

( p +1)

]

=¿

{

Re s

[

F ( p) e

;−1

]

+Re s

[

F ( p ) ept;−2

]

y=e

− t

2 − e

−2 t

+e

−3 t

2 +e

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y''−3 y'

+2 y =tety (0)=1, y'(0)=− 2

GIẢI:

Đặt Y =F ( p )=L[y (t )]

⇔ p2Y − py (0) − y'

(0)− 3[pY − y (0)]+2 Y = 1
( p − 1)2

⇔(p2−3 p+2)Y = p −5+ 1

( p −1)2

⇔Y = p − 5

( p −1) ( p − 2)+

1
(p − 1)3(p −2)
⇒ y (t)=L−1

[Y]=L− 1

[

⏟

( p −1) ( p − 2)p −5

F1

+ 1

( p −1)3( p − 2)

⏟

F2

]

=¿

{

Re s

[

F1( p) ept;1

]

=l im

p→ 1

[

et

( p −2)

]

″

+l im

p → 2

[

e2t

(p −1)3

]

1
2. e

t(− t2−2 t − 2)

+2 e2 t

y=et

(

−1

2t

2−t +3

)

− 2 e2 t

Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y''− 4 y'+3 y =0 y ( 0)=0, y'(0 )=10

GIẢI:

Đặt Y =F ( p )=L[y (t )]

L

[

y' '

]

− 4 L

[

y'

]

+3 L[y]=L[0]

⇔ p2Y − py (0) − y'

(0 )− 4[pY− y (0 )]+3Y =0

⇔ p2Y − 4 pY+3Y −10=0

⇔Y =10

(p −1 )( p −3)=5

[

1
(p −3)−

1
(p −1)

]

⇒ y(t )=L− 1

[Y]=5(e3 t−et

)

II. ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN:

1. Xét mạch gồm R,L,C

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

VR(t )+VL(t )+ VC(t )=E (t )

⇔Ri (t)+Ldi

dt +
1

Cq (t )=E (t )
⇔ R

Li (t)+

di
dt+

LC q (t)=

E (t )
L
⇔d

q

dt2 +

R
L

dq
dt +

LCq (t )=

E (t)
L (1)

If circuit only have R , L then

⇔ Ldi (t)

dt +Ri (t )=E (t )(2)
If circuit only have R , C then

Rdq (t )

dt +
1

Cq (t )=E (t ) (3 )

Ví dụ:

Xét mạch điện gồm R,L biết i(0 )=0 , R , L is const

a) Cho E (t)=E0=const . Tìm biểu thức của dòng điện tức thời i(t)

b) Tìm i(t ) If E (t)=E0sin ωt , with ω=const .

GIẢI:

a) Mạch chỉ gồm R,L nên áp dụng công thức (2) ta có:
Ldi(t)

dt +Ri(t)=E(t) (2)

⇔i'

(t)+R

Li(t)=
E(t)

L =

E0
L

Đặt

I=I ( p )=L[i (t )], we have : L

[

i'

(t )

]

=pI−i (0)=pI
(2)⇔ pI+ R

L I=
E0

L

p
⇔ I=E0

L

p

(

p+R
L

)

=E0

R

(

p−

(

p+R
L

)

⇒i (t )=L−1

[I]=E0

R

[

1 −e

− R
Lt

]

b) Trường hợp nguồn AC hình sin

Ldi (t )

dt +Ri (t )=E (t ) (2)

⇔i'

(t )+R

Li(t )=
E (t )

L =

E0sin ωt

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Đặt

I =I ( p)=L[i(t )], we have : L

[

i'

(t )

]

=pI− i(0 )=pI, L[sin ωt]= ω

p2+ω2
(2)⇔ pI+R

LI=
E0

L
ω
p2

+ω2

⇔ I =E0

L

(

p+R
L

)

ω

p2+ω2⇒i (t )=L

−1

[I]=E0

L L

− 1

[

(

p+1R
L

)

]

∗ L− 1

[

p2ω+ω2

]

e− RL(t −u). sin ωudu=

¿E0

L e

− R
Lt

[

∫

0
t

e

R

L(u). sin ωudu

]

i(t )=E0
L e

−R

Lt∗ sin ωt=E0

L

∫

0

t

[

∫

0
t

e

R

L(u). sin ωudu

]

=− L

2ω

R2+L2ω2e

❑

R
Lt

cos ωt +LR

R2+L2ω2e

❑

R
Lt

sin ωt+ L

2ω

R2+L2ω2

⇒i (t )=− E0Lω

R2+L2ω2cos ωt +

E0R

R2+L2ω2sin ωt+

E0Lωe
− R

Lt

R2+L2ω2

BÀI TẬP

Gỉai các phương trình vi phân sau:

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Võ Đăng Thảo. Hàm phức và Toán tử LAPLACE. Nhà xuất bản Đại học quốc gia
TP. Hồ Chí Minh -2004.

[2] Ngô Hữu Tâm. Gíao Trình Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace. Trường Đại
học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh -2005.

[3] Nguyễn Kim Đính. Hàm phức và ứng dụng. Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP.
Hồ Chí Minh -2001.

[4] Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace. Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP. Hồ
Chí Minh -2003.

[5] Trương Văn Thương. Hàm số biến số phức. Nhà xuất bản Gíao Dục 2007.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

MỤC LỤC

TRANG

CHƯƠNG I: Hàm giải tích 1

§1 Sớ phức 1

§2 Hàm 1 biến phức 5

§3 Đạo hàm của hàm phức 8

§4 Tích phân của hàm biến phức 14

CHƯƠNG II: Tích phân của hàm biến phức 15

§1 Tích phân đường của hàm biến phức 15

§2 Tích phân Cauchy cho miền đơn liên và đa liên 22

§3 Cơng thức tích phân Cauchy 25

CHƯƠNG III: Ch̃i hàm phức 32

§1 Ch̃i lũy thừa 32

§2 Chuỗi Taylor-Chuỗi Maclaurin-Chuỗi Laurent 34

CHƯƠNG IV: Thặng dư và Ứng dụng 42

§1 Khái niệm về Thặng dư và cách tính 42

CHƯƠNG V: Toán tử Laplace và ứng dụng 48

§1 Khái niệm về Toán tử Laplace 48

§2 Tích chập và ảnh của tích chập 55

§3 Ứng dụng của Toán tử Laplace 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

</div>

tài liệu d8h10bweeblycom

<b>CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH</b>

<b>§ 1 SỚ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC</b>

{

√

{

(

<sub>[</sub>

<sub>]</sub>

[

]

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

{

<b>§2 HÀM 1 BIẾN PHỨC</b>

<sub>⏟</sub>

<sub>⏟</sub>

{

(

)

(

<b>§3 ĐẠO HÀM</b>

(

)

{

{

{

{

{

{

{

<sub>∫</sub>

{

<sub>∫</sub>

{

<sub>∫</sub>

(

)

(

(

)

)

<b>§4 PHÉP BIẾN HÌNH PHÂN TUYẾN TÍNH</b>

(

)

(

)

(

)

<b>CHƯƠNG II TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC</b>

<b>§1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC</b>

<sub>∮</sub>

<sub>∮</sub>

∮

{

∮

<sub>∫</sub>

∮

<sub>∮</sub>

∮

<sub>∮</sub>

<sub>∮</sub>

∮

<sub>∮</sub>

|

∮