CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (231.94 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

(NHIỀU TÁC GIẢ)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản

Kiến thức cơ bản

2 2

cos asin a1

sin cos

tan ;cot

cos sin

a a

 

Hệ quả 1 :

1
tan

cot

tan .cot 1

1
cot

tan

a

a
a a

a







  

 




Hệ quả 2 :

1
1 tan

cos

a

 

2 2

1
1 cot

sin

a

 

B. TỐN

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 CUNG

1) a.Tính sina , tana, cota biết cosa =

5 và 0 a 900
 

2) b.Tính cosa, tana, cota biết

12
sin

a

và

3
2

a 

  

3) c.Tính cosa, sina, cota biết tana 2 và 900 a0

4) d.Tính sina, cosa, tana biết cota3và 1800a2700

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CƠNG THỨC CƠ BẢN.

5) a.tính

cot 2 tan

tan 3cot

a a

E

a a




 biết

3
sin

a

và 900a1800

6) b.Tính

sin 3cos

cos 2sin

a a

F

a a




 biết tana3

7) c.Tính

2 2

2 cos sin .cos sin

sin 3cos 4

a a a a

G

a a

 



  biết cota2

8) d.Tính

2sin 3cos

sin cos

a a

B

a a




 biết tana2

9) e. Tính

2 2

3 os 2sin 1

sin 3cos 5

c a a

P

a a

 



  biết tana3

10) tính

2 2

3sin 12sin .cos cos

sin sin .cos 2cos

a a a a

Q

a a a a

 



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

11) a.Tính sin .cosa a, sina cosa , sin4acos4a biết sinacosa m

b.Tính tan2acot2a, tan3cot3a biết tanacota5

ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

12) .





2 2 2

1 sin cot 1 cot

M   a a  a

13) .

2cos 1

sin cos

a

N

a a






14)









2 2

sin 1 cot cos 1 tan

P a  a  a  a
15)

1 2sin

sin cos

a
A

a a






16)

1 sin 1 sin

a a

B

a a

 

 

 

17)



1 cot



sin3



1 tan



cos3

P  a a  a a

18)

2 2

sin 2cos 1

cot

a a

Q

a

 



19)

2 2

sin tan

cos cot

a a

E

a a






20)



sin cos



2 1

cot sin .cos

a a

F

a a a

 




CHỨNG MINH CÁC HẰNG

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

21) .



sina cosa



2 cos2a



1 tan a



sin2a



1 cot a



22) .tan2a sin2atan .sin2a 2a

23)

3 3

sin cos

1 sin .cos

sin cos

 



 


24)

2 2

sin cos tan 1

1 2sin .cos tan 1

  

 



 

25)

4 4 6 6 2 2

sin acos a sin a cos asin .cosa a
26)



4 4





6 6



3 cos asin a  2 cos asin a 1

27) .

sin 1 cos 2

1 cos sin sin

a a

a a a



 



28) .

1 os 1 cos

2cot 0

1 cos 1 os 2

c a a

a a
a c a



   

     

   

29) .cot2a c os2a c ot . os2a c 2a

CHỨNG MINH MỘT BIỂU

THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG

PHỤ THUỘC VÀO X

30) a.



4 4





6 6



3 cos sin 2 cos sin

A x x  x x
31) b.

3 3

os sin

sin .cos

sin cos

c x x

P x x

x x



 



32) c.



8 8





6 6



3 sin os 4 cos 2sin 6sin

B x c x  x x  x
33) d.



4 4 2 2

 

2 8 8



2 cos sin sin .cos sin os

C x x a a  x c x

34)





4 4

4 sin cos os4

D a a  c a
35)



8 8



8 cos sin os6 7 cos 2

E a a  c a a

VẤN ĐỀ 2 : CUNG ( GÓC) CÓ

LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung

liên kết).

STT Hai cung Gọi là haicung

1



a v a



à Đối nhau

os( ) cos

c a  a

sin(a) sina

tan(a) t ana

cot(a)cota

2



  a v a



à Bù nhau sin(  a) sin a

os( ) cos

c   a  a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3 2 a v aà



 



 

  Phụ nhau

4



a v a



à Sai kém

5 à

2 a v a



 



 

 

Sai kém



Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam
giác

a. Ta có : A + B + C = 

( ù)

A B   C b





sin A B sinC





os os

c A B c C

Chứng minh rằng:

36) tan10 .tan 20 ...tan 70 .tan 800 0 0 0 1

37)

0 0 0 0

os20 os40 ... os160 os180 1

c c c c 

38) tan 500tan 750 tan 2300tan 2550

39)cos200cos400 sin1100sin1300

40)sin 250sin 650 sin1550sin1150

41)

0 0 0 0

sin 75 sin 65 cos165 cos205 0

42)

0 0

0
0

sin168 sin192

cot12 2

sin 78





Tính giá trị biểu thức :

43)

0 0

sin( 234 ) os216

tan 36

sin144 os126

c
A

c

 





44)



0 0



0 0

cot 44 tan 226 os406

ot17 . ot73
os316

c

B c c

c



 

45)C cot 5 cot10 ...cot 80 .cot 850 0 0 0

46)

0 0 0 0 0 0

cos10 cos 20 cos30 cos190 cos 200 cos 210

D     

47)

9 6 11

os os os 16

5 5 5 tan

3 6 5

os sin

10 5

c c c

E

c

  



 

 





Đơn giản biểu thức sau :
48)









sin os cot 2 tan

2 2

F     c         

   

49)





3 3

os 5 sin tan .cot

2 2 2

G c            

     

50)













cot 2 . os os 6 2sin

H    c    c     

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC

CỘNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN

os( ) cos .cos sin .sin

c a b  a b a b

os( ) os .cos sin .sin

c a b c a b a b

sin(a b ) sin .cos a b c a os .sinb

sin(a b ) sin .cos a b c a os .sinb

tan tan

tan( )

1 tan .tan

a b
a b

a b


 



tan tan

tan( )

1 tan .tan

a b
a b

a b


 



Hệ quả : Biến đổi biểu thức E a cosx b s inx

i. Giả sử a2b2 0( và a và b không đồng thời triệt tiêu)

Ta có :





2 2

2 2 2 2

2 2
2 2

cos sin

. cos sin

cos . os sin .sin

. os( )

E a x b x

a b

a b x x

a b a b

a b x c x

a b c x

 



 

 

    

 

 

  

  

Áp dụng kết quả trên ta có :

cos sin 2 os

a a c a 

 

cos sin 2 os

a a c a

 

sin cos 2 sin

a a a

 

sin cos 2 sin

a a a  

 

Rút gọn các biểu thức sau :

51) A c os54 . os40c 0 cos36 . os860c 0

52) Bsin 56 .sin 40 0 sin 34 .sin 860 0

53)

0 0

tan 64 tan176

1 tan 64 .tan 356

C 



54)

0 0 0 0

sin( 17 ). os( 13 ) sin( 13 ). os( 17 )

D a c a  a c a

55)

2cos . os

4 4

E   c  

   

56)

os( ) sin .sin

sin( ) sin .cos

c a b a b
F

a b a b

 


 

57)

tan tan

2 12

1 tan .tan

12 12

G

 

 

 

 

   

  

   

   



   

      

   

58)

2cos( )

tan

sin( ) sin( )

a b

H a

a b a b



 

  

59)

sin cos

a a

K

a a






Chứng minh rằng :

60)

cot .cot 1

cot( )

cot cot

a b
a b

b a

 




61)

tan(a b ) tan a tanbtan .tan .tan(a b a b )

62)

2sin( )

tan tan

os( ) os( )

a b

a b
c a b c a b



 

  

63)

2 2 2

sin (a b ) sin a sin b2sin .sin . os(a b c a b )

64) Chứng minh các biểu thức sau không
phụ thuộc vào x :

65)

2 2

os ( ) os 2cos .cos . os( )

A c a x c x a x c a x

66)

2 2

os 2cos .cos . os( ) os ( )

B c x a x c a x c a x

67)



6 6





4 4



2 sin cos 3 sin cos

C a a  a a

Các bài toán liên

quan đến tam giác :

68) Chứng minh rằng với mọi tam giác
ABC (khơng vng) ta đều có :
69)

t anA tan BtanCt anA.tan .tanB C
70) Chứng minh rằng với mọi tam giác

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

71)

A A

t an .tan tan tan tan t an 1

2 2 2 2 2 2

B B C C

  

72) Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức :

73) M t anA+ tanBtanC và xác định

hình tính của tam giác ABC trong
trường hợp này.

74)

A A

1 t an .tan 1 tan tan 1 tan t an

2 2 2 2 2 2

B B C C

F      

75) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và

trực tâm H chia đường cao AA' theo

tỉ số ' ,( 0)

HA

m m

HA   .Tính

tan , tanB C theo m và chứng minh 
rằng :

2 1

tanA m

m




76) Cho tam giác ABC thỏa mãn :

tanA2 tanBtan A.tan B. CMR 
tam giác ABC cân.

Các bài toán liên quan

khác

77) Cho x và y là hai số thay đổi và là
nghiệm đúng của phương trình

2 2 1

x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của phương trình

2 1

P x y 

78) Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa

mãna2b2 4 và x2y2 3. CMR

: 3 2 3 ax  by2 3

79) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

biểu thức y 2x5 biết x và y là hai

số thay đổi thỏa mãn :36x216y2 9

80) Cho hai số x và y thay đổi sao cho

2 2

4x 25y 16. Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức :

3 2 4

P x y

VẤN ĐỀ 4 : CÔNG

THỨC NHÂN

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

2 2

2
2

os sin

os2 2 os 1

1 2sin

c a a
c a c a

a

 



 





2 tan

tan 2

1 tan

a
a

a




Hệ quả

Đặt tan2

a
t

, ta có :

2
2
2
2

2
sin

1
cos

1
2
tan

t
a

t
t
a

t












Cơng thức nhân 3

3
3

sin 3 3sin 4sin

os3 4cos 3cos

3tan tan

tan 3

1 3tan

a a a

c a a a

a a

a

 






81) Tính sin 2 , os2 , tan 2a c a a biết

5 3

cos à

13 2

a v  a 

82) Tính

tan 2 ,cos à 0

5 2

a a v  a

Tính giá trị biểu thức sau:
83) A sin24. osc 24. osc 12. osc 6

   



84) B sin12. osc 12. os . osc 6 c 3

   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

85)C2cos 752 01

86) D 1 2sin 752 0



os150 sin150

 

os150 sin150



E c  c 

87)



os750 sin 750

 

os750 sin 750



F  c  c 

88)

tan

8
1 tan

G







89)

2 0
0

1 cot 105
cot 75

H  

Chứng minh rằng :
90)

3 3 sin 4

cos .sin sin .cos

a
a a a a

91)

3 3

sin cos sin 2

sin cos 2

a a a

a a



 


92)

1 1 2sin

tan 2

os2 1 sin 2

a
a

c a a



 



93)

cos sin cos sin

2 tan 2

cos sin cos sin

a a a a

a

a a a a

 

 

 

94)

1 1 sin 2

1 tan 1 tan

cos cos os

a

a a

a a c a

   

    

   

   

95)

sin 2 2sin

tan

sin 2 2sin 2

a a a

a a






96)

1 sin 2sin

2 4

a
a   

    

 

97)

0 0

sin 3a4sin .sin(60a a).sin(60  a)

98)

0 0

os3 4 os . os(60 ). os(60 )

c a c a c a c  a
99)

0 0

tan3atan .tan(60a a).tan(60  a)

100) Cho tam giác cân có góc ở đỉnh

bằng 200, cạnh bên bằng b và cạnh

đáy băng a. CMR a3b33ab2

Tính giá trị biểu thức sau :
101)

sin
3 2cos

a
M

a



 nếu tan2 2

a



102)

tan 2 sin 2

tan 2 cos 2

a a

N

a a





 nếu

2
tan

a

103)

2sin 2 os2

tan 2 cos 2

a c a
P

a a




 nếu

1
tan

2 2

a



VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH
TỔNG





cos .cos os( ) os( )

a b c a b c a b





sin .sin os( ) os( )

a b c a b  c a b





sin . os sin( ) sin( )

a c b a b  a b





os .sin sin( ) sin( )

c a b a b  a b

Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :
104) sin(a b ).sin(a b )

105) sinx.sin2x.sin3x

106) cos .cos .cosa b c

Chứng minh các đẳng thức sau:
107)

sin .sin(a b c ) sin .sin( b c a ) sin .sin( c a b ) 0

108)

os(a+b).sin(a-b)+cos( ).sin( ) os( ).sin( ) 0

c b c b c c c a c a 

109)

0 0 1

sin 2sin 15 os 15

2 2 2

a a

a   c   

   

110) Cho tam giác ABC có

2 2 2 5

ˆ ˆ ˆ

4 2 . : os os os

A B C CMR c A c B c C

VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI

TỔNG THÀNH TÍCH

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

cos cos 2cos cos

2 2

a b a b
a b  

cos cos 2sin sin

2 2

a b a b
a b  

sin sin 2sin os

2 2

a b a b
a b  c 

sin sin 2 os sin

2 2

a b a b
a b c  

Hệ quả :

cos sin 2 os

a a c a 

 

cos sin 2 os

a a c a

 

sin cos 2 sin

a b a 

 

sin cos 2 sin

a b a  

 





sin

tan tan

cos .cos

a b
a b

a b



 





sin

tan tan

cos .cos

a b
a b

a b



 





sin

cot cot

sin .sin

a b
a b

a b



 





sin

cot cot

sin .sin

a b
a b

a b



 

Biến đổi các biểu thức sau về dạng 
tích :

111) sin 700 sin 200 sin 500

112) cos440 cos220 2 os79c 0

113) sinxsin 2xsin 3x

114) 1 cos x c os2x

Đơn giản các biểu thức sau:
115)

sin( ) sin os( ) os

a b a c a b c a
A

a b a c a b c a

   

 

   

116)

1 cos os2

1 3sin 2 cos

x c x
B

x x

 



 

Chứng minh rằng :

117) cos850cos350 cos250 0

118) cos1300cos1100 cos100 0

VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN

ĐỔI VỀ GÓC TRONG

TAM GIÁC

A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có : A B C  

A B   C(bù) A B   C

sin(A B ) sin C

os( ) os

c A B c C sin 2 os 2
A B C

c




tan cot

2 2

A B C



Bất đẳng thức cơsi

Cho a ,b >0 ta ln có a b 2 a b. hay

a b
a b  

 

Tổng quát : a a1, ,...,2 an 0 ta ln có a1a2...an n a a an 1. ...2 n

Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY



a2b2

 

c2 d2







a c b d.  .



hay







 



2 2 2 2

. .

a c b d  a b c d

Định lí hàm số sin

sin sin sin

a b c

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Định lí hàm số cosin

2 2 2

2 cos
cos

a b c bc A
b c a
A

bc

  
 

 

Cho tam giác ABC biến đổi các biểu 
thức sau về dạng tích :

119) sinAsinBsinC

120) sin 2Asin 2Bsin 2C

121) cot 2 cot2 cot 2

A B C

 

A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. 
Chứng minh rằng :

122)

cos cos cos 1 4sin .sin .sin

2 2 2

A B C

A B C 

123)

cos 2Acos 2Bcos 2C 1 4cos .cos .cosA B C
124)

2 2 2

os os os 1 2 cos .cos .cos

c A c B c C   A B C
125)

2 2 2

sin Asin Bsin C 2 2cos .cos .cosA B C
126)

tanA+ tanBtanC t anA.tan .tanB C

127)

tan .cot cot cot cot tan 1

2 2 2 2 2 2

A B B C C A

  

128)

5 5 5

sin 5 sin 5 sin 5 4. os . os . os

2 2 2

A B C

A B C c c c
129)

sin 6Asin 6Bsin 6C4sin 3 .sin 3 .sin 3A B C

130) Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC

có t anA tan 2cot 2

C
B

 

thì tam
giác ABC là 1 tam giác cân.

131) Cho tam giác ABC , đặt

2 2 2

sin sin sin

T  A B C. Chứng

minh rằng tam giác ABC nhọn T 2.

132) Hãy nhận dạng tam giác ABC

biết : cos2A c os2B c os2C1.

133) Cho tam giác ABC có các cạnh

và các góc thỏa mãn hệ thức :

2 2

1 cos 2

sin 4

B a c

B a c

 



 Chứng minh

tam giác ABC cân.

134) Số đo 3 góc của tam giác ABC

lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn
hệ thức :

3 3

sin sin sin

A B C 

. Tính
các góc A, B , C.

135) Chứng minh rằng tam giác ABC

cân khi và chỉ khi :

.cos .cos .sin .sin

a B b A a A b B.

136) Chứng minh rằng nếu tam giác

ABC có :

.cos .cos .cos 2

.sin .sin .sin 9

a A b B c C p
a B b C c A R

 



  (tron

g đó p là nửa chu vi. R là bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác). Thì
tam giác ABC là tam giác đều.

137) Giả sử tam giác ABC thỏa mãn

điều kiện :





2 .cosa A b .cosB c .cosC   a b c

. Thì tam giác ABC là tam giác đều.

VẤN ĐỀ 8 : PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CƠ BẢN

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương trình

cosX cos

sinX sin 

t anX tan

cotX cot







Giải các phương trình sau :

138)

1
sin

x

139) 2sinx 3

140)

3
cos

x

141)

3
sin 2

x

142)

3
cos 2

3 2

x 

 

 

 

 

143)

3
sin 2

3 2

x 

 

 

 

 

144)





0 1

sin 2 50

x 

145) tanx 3

146)

3tan 3

x 

 

 

 

 

147)

3cot 3

x 

 

 

 

 

148)

2 1

tan
3

x

149) 2 tan .sinx x tanx0

150)

tan cot

cosx x x

  

151) 3sin 22 x7 cos 2x 3 0

152) 6cos2 x5sinx 7 0

153) cos 2x 5sinx 3 0

154) cos 2xcosx 1 0

155) 6sin 32 xcos12x14

156) 4sin4x12cos2x7

157) 2cos2 x 3cos 2x4

158) 5sin2x2cos 2x2

159) sin 2xsinx0

160) 5sinx c os2x 2 0

161) sin2 cos 1

x

 

162)

tan 2 3

x 

 

 

 

 

163) 7 tanx 4cotx12

164)





cot x 3 1 cot x 3 0

165) 2sin2x 2cos2x 4sinx 2 0

166)





2 2

1 2 2 cos

1 tan

x

  



167)

2 2

os 2 os 2 3cos 2 4 0

2 2

c   x c x   x 

   

168) 2 tanx 1 tan2 x

169) tanxtan 2x0

170) tanx 3 cotx



1 3



0

171) 3tanx 3 cotx 3 3 0

172)

2 2

sin 2 2

tan

sin 2 4cos

x

x x






173)

2 tan cot 2sin 2

sin 2

x x x

x

  

174)





tan 7 2 cot 3 0

x  x

      

 

175) 3cos 2x4cos3x cos3x0

176) 4sinx 1 2cos 2 x2

177) tanxtan 2xsin 3 .cosx x

178)









4cos2

tan 45 tan 45

tan cot

2 2

x

x x

  



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

180) sin .sin 7x xsin 3 .sin 5x x

181) sin 5 .sin 3x xsin 9 .sin 7x x

182)

cos . os3x c x sin 2 .sin 6x x sin 4 .sin 6x x0

183)

sin 4 .sin 5x xsin 4 .sin 3x x sin 2 .sinx x0

184) sin 5xsin 3xsin 4x

185) sinxsin 2xsin 3x0

186) cosxcos 3x2cos5x0

187) cos2 x sin2xsin 3x c os4x

188)

cos 22x3cos18x3cos14x c os10x0

189)

os2 cos 2sin

x
c x x

190) 8cos 2 .sin 2 . os4x x c x 2

191)

2 2 2 3

sin sin 2 sin 3

x x x

192)

2 2 2 2

sin 3xsin 4xsin 5xsin 6x
193) sin 22 xsin 42 xsin 62 x

194)

2 2 2 2

os os 2 os 3 os 4 2

c x c x c x c x

195) sin6xcos6x4cos 22 x

196)

2 2

2 tan x3 tanx2cot x3cotx 2 0

197)

2 2

2 tan x 3tanx2cot x3cotx 3 0

Tính giá trị gần đúng các nghiệm 
phương trình sau:

198)

2
sin 2

6 5

x 

 

 

 

  trong khoảng

,
3 6

 

 



 

 

199)

2
os

2 3

x
c 

trong khoảng



2 , 4 



200)

tan 3

x 


trong khoảng

7 ,
,

2 6

 

 



 

 

201)

9 15

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x  x  x

   

    

   

   

trong đoạn x



0, 2



202)

sin 1

cos

in 2

x

s x   trong khoảng



0, 2



x 

203)

sin 3 sin

os2 sin 2

1 os2

x x

c x x

c x



 



trong khoảng x



0, 2



204)

1 cos 1 cos

4sin
cos

x x

x
x

  



trong khoảng x



0, 2



GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG
TRÌNH:

205)





cos 2x 4m1 sinx 2m0

206)





cos 2x 2m 3 cosx m 1 0

207) Tìm tất cả giá trị của m

để phương trình sau có 1 và chỉ 1
nghiệm x



0,





2m1 cos 2



x5cosx m  3 0

208) Tìm tất cả giá trị của m để phương

trình sau có nghiệm

3
,
2 2

x  

 





cos 2x 2m1 cosx m  1 0

209) Tìm tất cả giá trị của m để phương

trình sau có nghiệm

0,
12

x   

 

3 2

cos 4x c os x m sin x

LOẠI 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2 2 2 2 2 2

cos sin

a x b x c

a b c

x x

a b a b a b

 

  

  

2 2
2 2

2 2

cos . os sin .sin ,

sin

a
c

c a b

x c x

b
a b

a b



 










   

  

 







2 2

os c

c x

a b



  

 (điều kiện để phương trình có nghiệm

Giải các phương trình sau :

210) 4sinx 3cosx5

211) 3 cosxsinx2

212)

sin cos

x x

213) cos3x sin 3x1

214) cos5xsin 5x1

215)

2 3 sin 3cos

x x

216) 3sin 2x2 cos 2x3

217) 2sin 2x3cos 2x 13 sin 4x

218) sin 4x 3 cos 4x 3

219)









0 0

os 2 15 sin 2 15 1

c x  x 

220) 2sinx 9 cosx 85

221) 2 sin 2x3cos 2x4

222)









5cos 2x18 12sin 2x18 13

223)

5 2

2cos 3cos

6 3 2

x  x 

   

   

   

   

224) 2sin2x 3 sin 2x3
225) 2sin 22 x 3 sin 4x3
226)





sin 8x c os6x 3 sin 6x c os8x

227)

3 1

8cos

sin cos

x

x x

 

228)

cos 3 sin 2cos

x x   x

 

229)

3 2

2sin sin

4 x x 4 2

 

   

   

   

   

230)

3 cos 2 sin 2 2sin 2 2 2

x x  x  

 

231)

12cos 5sin 8 0

12cos 5sin 14

x x

   

 

232)





4sin 3cos 4 1 tan

cos

x x x

x

   

233)

6 6 1

sin cos sin 4 0

x x x

234) Tìm các giá trị của  để phương

trình :



cos 3sin 3



x2



3 osc  3sin 2



x sin cos 3 0

        

có nghiệm x1

235) Tìm các giá trị của  để phương

trình :



2sin cos2 1



x2



3 sin



x 2 osc 2



3 3 sin



 0

      

236)

2 2

sin 4x3sin 4 . os4x c x 4 os 4c x0

trong khoảng

0,
2

x   

 

Giải và biện luận phương trình theo 
tham số m :

237) Cho phương trình :

3 os3 sin 3

m c x x m .Chứng minh

rằng phương trình trên ln có nghiệm.

238) Cho phương trình :



m 2 os2



c x2 sin cosm x x3m2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

239) Tìm các giá trị của

3
,
4

x   

 

thỏa mãn phương trình sau với mọi m:

2sin sin2 2cos os2 cos sin

m x m x m x mc x x x

240) Tìm m để phương trình

có nghiệm :





sin 1 cos

cos

m

m x m x

x

  

LOẠI 3

Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx :A(sinx+cosx)
+Bsinxcosx+C=0 (1)

Đặt





sin cos 2 os , 2

t x x c x   t 

 

1 2sin .cos
1

sin .cos

t x x

t
x x

  



 

Thay vào phương trình (1), ta có :

2 1

0
2

t

At B  C

Giải các phương trình sau :

241) 3 sin



xcosx



 sin 2x 3 0
242) sinxcosx 4sin .cosx x1 0

243) 2sin 2x 3 3 sin



xcosx



 8 0
244) 2 sin



xcosx



3sin 2x2
245)



1 2 sin





xcosx



 sin 2x



1 2



0

246) 2 sin4x 3sin2x







cos2x 3 0 
247) sin 2x 4 cos



x sinx



 4 0
248) 5sin 2x12 sin



x cosx



12 0
249)



1 2 1 sin





 x cosx



sin 2x
250)

sin 2 2sin 1

x x  

 

251)



3 3







2 sin x c os x sin 2 sinx xcosx  2

252)

1 1 10

cos sin

cos sin 3

x x

  

253)



3 3







4 sin x c os x  3sin 2x 4 sinxcosx 0

254)

sin .cos

sinxcosx  x x

255)

2cos 4 10cos 2 6 0

2 4

x  x 

   

    

   

   

256)



sin 2x c os2x





sin 23 x c os 23 x



1

257)









3sin 2x 4sin 2x 2 3 sin 3x c os3x  6 1 0 

258) Cho phương trình :



 



sin 2x 2 a2 sinxcosx 2a 3 0

a) Chứng minh rằng phương

trình có ít nhất một nghiệm
trong khoảng

0,
2


 
 
 

b) Xác định a để phương

trình có duy nhất một nghiệm
trong khoảng

0,
2


 
 
 

c) Xác định a để phương

trình có 2 nghiệm trong khoảng

0,
2


 
 
 

259) Cho phương trình :





2.sin 2x 2m 2 sinxcosx 2m 1 0

. Xác định m để phương trình có

nghiệm trong khoảng



0,



LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN 
NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Cách 1 :

Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay khơng ?

Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho cos (cos2x x0)

có ẩn số phụ t = tanx. At2Bt E 0.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Dùng công thức :

2
2

1 os2

sin

2
1

sin .cos sin 2

c x
c x

c x
x

x x x























Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x =
C).

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU :
260) sin2x10sin .cosx x21cos2 x0

261) sin2x 2sin .cosx x 3cos2x0

262) 6sin2xsin .cosx x cos2x2

263) sin 2x 2sin2x2cos 2x

264)

2 2

2sin 2x 3sin 2 .cos 2x xcos 2x2

265) cos2 x 3sin .cosx x 1 0

266) cos2 x sin2x 3 sin 2x1

267)

2 2 5

4 3 sin .cos 4 os 2sin

x x c x x

268)

4cos 6sin

sinx  x x

269) sin6x c os6x 3sin .cosx x0

270) 3sin3x4 osc 3x3sinx

271)

















2 0 0 0 2

3sin 180  x 2sin 90 x c. os 90 x  5sin 270x 0

272)





2 2 3

2sin 1 3 os 4 2 3 sin 2 0

2 2 2

x  c  x x 

     

      

     

     

273)









4sin cos 4sin cos 2sin os 1

2 2

x x  x x    x c x 

   

274)









2 2 9

2sin 5 3 1 sin 2 3 sin 0

2 2

x  x  x

         

   

275)





2 2

3sin x 3 3 sin .cosx x 3 osc x0

276)

2 3 2 2 2

3sin . os 3sin . os sin . os sin . os

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x

c     c  c     c

   

277) Số đo của một trong các góc của

tam giác vng ABC là nghiệm của
phương trình :

3 3

sin xsin sin 2x x 3 osc x0. Chứng

minh rằng tam giác ABC là tam giác
vuông.

VẤN ĐỀ 9 : GIẢI VÀ

BIỆN LUẬN PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

278) Cho phương trình lượng giác :





os2 2 1 cos 1 0
c x m x m  

279) Giải phương trình với

3
2

m

280) Tìm m để phương trình có nghiệm

3
,
2 2

x   

 

281) Cho phương trình lượng giác :

6 6

sin xcos xa sin 2x

. Xác định a để
phương trình có nghiệm.

282) Cho phương trình :





3tan tan cot 1 0

sin x x m x x  

. Với giá trị nào của m thì phương trình
có nghiệm.

283) Cho phương trình :









sin 2 x   sin 3x  a sinx

a) Giải phương trình khi a = 1.
b) Tìm a để phương trình có ít nhất 1

nghiệm x k k Z (  ).

284) Cho phương trình :

1 sin x 1 sin xkcosx
a) Giải phương trình với k = 2.
b) Giải và biện luận phương trình

trong trường hợp tổng quát.

285) Cho phương trình :





tan2 2 1 3 0

cos

a x a

x

    

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

định a để phương trình có nhiều hơn 1
nghiệm trong khoảng

0,
2


 
 
 .

286) Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn

điều kiện :





2 1 2

cos 2 sin 0

a a a

 

  

   

 

 

 

 

VẤN ĐỀ 10 - MỘT SỐ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

GIÁC KHƠNG MẪU MỰC

287) Giải phương trình :

2 2

4cos x3tan x 4 3 cosx2 3 tanx 4 0

288) Giải phương trình :





2 2

os3 2 os 3 2 1 sin 2

c x  c x   x

289) Giải phương trình :

2 2 sin 1 0

x  x xy  .

290) Giải phương trình :



cos4x c os2x



2  5 sin 3x

291) Giải phương trình :

15 24

cos xsin x1.

292) Giải phương trình :





2 2

tan xtan ycot x y 1

293) Chứng minh rằng phương trình sau

vơ nghiệm :

sinx 2sin 2x sin 3x2 2.

294) Giải phương trình :





2 2 9

sin sin sin

x y x y 

295) Giải phương trình :

2 1 2 2

sin sin 3 sin .sin 3

x x x x

296) Giải phương trình :

2 2

1 1 1

cos sin 12 sin

cos sin 2

x x y

x x

   

    

   

   

297) Giải phương trình :

1 1

cos 1 cos3 1 1

cos cos3

x x

x  x 

VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

298) Giải hệ phương trình :

tan cot 2sin

x x y

y y x




  

    



  



 

   

 

  



299) Giải hệ phương trình :

sin cos sin cos

2
3

2sin 2 sin 2

x x y y

x y



   





 




300) Giải hệ phương trình :

sin sin 2

cos cos 2

x y
x y

  




 




301) Giải hệ phương trình :

2
2

sin cos .cos

cos sin .sin

x x y

 









302) Giải hệ phương trình :

sin sin 2

cos cos 2

x x m

 




 



303) Giải hệ khi m = 0.

304) Xác định m để hệ phương trình có

nghiệm.

305) Tìm m để hệ phương trình sau có

nghiệm :

sin sin

cos 2 cos 2

x y

x y m



 




  



306) Giải hệ phương trình :

2 2 2

cos cos cos 1

x y z

x y z 

  




  



   


307) Giải hệ phương trình :

sin 7 cos 0

5sin cos 6 0

x y

y x

 




  



308) Giải hệ phương trình :

3 2

9sin 15sin .sin 2 17 cos 11 0

5cos 3sin 8cos 1 0

x x x x

x x x

    




   

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

309) Tìm m để hệ phương trình

sin sin

os2 os2

x y

c x c y m



 




  

 có nghiệm.

310) Tìm m để hệ phương trình :





2 os2 os2 1 4cos 0

x y m

c x c y m

 





   



 có

nghiệm. Tìm nghiệm đó.

311) Giải và biện luận phương trình:





sin 1 cos

cos

m

m x m x

x

  

VẤN ĐỀ 12 - BẤT PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giải các bất phương trình lượng giác 
sau:

312)

sin sin

x  x

 

 

 

 

313) sinxsin 2x0

314) sinx cosx 2cos3



 

315) cos2x cosx0

316)



3 4 sin 2



x cos 4x 1 2 3 0

317)





2cos 2 3 1 sin 3 2 0

x

x    

318) cos 4x 3 cos 2x 2 0

319) cos2x 3cosx 4 0

320) tanxcotx4

321) 2 osc 4x 7 cos2x 3 0

322) 3tan2 x1 0

323)









1 3 tan 2 1 3 0

cos 2x  x  

324)

1 tan

2 cos 0

4 tan
2

x

x
x



 

325) tan 6xtan 3x0

326) Xác định 



0  2



sao cho

phương trình sau có nghiệm :





2 2 2sin 1 2sin 1 0

x   x  

327) Tìm các giá trị của a để phương

trình sau vơ nghiệm :





2 2sin 1 6sin2 sin 1 0
x  a x a a 

328) Giải bất phương trình :

sinxsin 3xsin 2x.

329) Giải bất phương trình :

3 3 5

os os3 sin .sin 3

c xc x x x

330) Giải bất phương trình :

sin 2 os2 1

x c x
x c x

 



 

331) Tìm tất cả giá trị của m để bất

phương trình sau có nghiệm đúng với
mọi x:

2 2

cos

1 cos

m x m m

m m x

</div>

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

<b>CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC</b>

<b>(NHIỀU TÁC GIẢ)</b>

<b>Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản</b>

<b>Kiến thức cơ bản</b>

Hệ quả 1 :

Hệ quả 2 :

<b> </b>

<b>B. TỐN</b>

<b>TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 CUNG</b>

<b>ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC</b>

























<b>CHỨNG MINH CÁC HẰNG</b>

<b>ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC</b>





















<b>CHỨNG MINH MỘT BIỂU</b>

<b>THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG</b>

<b>PHỤ THUỘC VÀO X</b>



















 











<b>VẤN ĐỀ 2 : CUNG ( GÓC) CÓ</b>

<b>LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung</b>

<b>liên kết).</b>





<sub></sub>

<sub></sub>







































