Tài liệu Đề thi HSG Toán 9-Hay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán-lớp 9.
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010.
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề).
Câu I (4,0 điểm).
Cho biểu thức
2 1 2
1 ( ).
1
1 2 1
x x x x x x x x
A
x
x x x
+ − − + −
= + −
−
− −
.
1. Tìm các giá trị của x để
6 6
5
A
−
=
.
2. Chứng minh rằng
2

3
A >
với mọi x thoả mãn
1
0, 1,
4
x x x≥ ≠ ≠
.
Câu II (4,0 điểm).
1. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a
2
+ c
2
= b
2
+ d
2
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .
2. Tìm
,x y
nguyên dương thỏa mãn:

2
( 3) ( 3)x xy− +M
Câu III (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
2 1 3 1x x x+ − = −
.
2. Cho phương trình:
4 2

2 6 24 0x mx+ + =
(m là tham số).
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm
1 2 3 4
, , ,x x x x
phân biệt thỏa mãn:
4 4 4 4
1 2 3 4
144x x x x+ + + =
.
Câu IV (6,0 điểm).
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO. Một
đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy điểm K bất
kì (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa đường
tròn (O) tại M cắt đường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D.
1. Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân.
2. Tính diện tích tam giác ABD theo R, khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu V (2,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

4
1
111
≤
+
+
+
+

+ b
ca
a
bc
c
ab
.
----------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh:.............................................................................................Số báo danh:..............................................
ĐỀ CHÍNH THỨC