Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

BÙI HUY BÁCH

BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

BÙI HUY BÁCH

BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS Cung Thế Anh

Hà Nội - 2020


1

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của GS.TS Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là hoàn
toàn trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất cứ một cơng trình
nào khác.

Nghiên cứu sinh

Bùi Huy Bách


2

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu
đáo của GS.TS Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn
sâu sắc tới GS.TS Cung Thế Anh, người Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen
với nghiên cứu khoa học từ những ngày học cao học. Ngoài những chỉ dẫn về
mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn
là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phịng Sau Đại
học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc

biệt là PGS.TS Trần Đình Kế và các thầy giáo, cơ giáo trong Bộ mơn Giải
tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động
viên, tạo môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội,
Ban Giám hiệu trường THPT Chúc Động, các thầy cô và các anh chị đồng
nghiệp công tác tại trường THPT Chúc Động đã luôn tạo điều kiện thuận lợi,
giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác
giả xin gửi đến các anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và
tích phân của Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các bạn bè
gần xa, lời cảm ơn chân thành về tất cả những giúp đỡ, động viên mà tác giả
đã nhận được trong suốt thời gian qua.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người ln u
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án.


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.

Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.

Tổng quan vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . .

13

4.

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5.

Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

6.

Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Một số α-mơ hình trong cơ học chất lỏng . . . . . . . . . . . .

17

1.2. Toán tử nội suy Ih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6. Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng . . . . . . . . . . . .

26

Chương 2. BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ


4
LERAY-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm
khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Chương 3. BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ
NAVIER-STOKES-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm
khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Chương 4. BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU LIÊN TỤC RÚT GỌN ĐỐI
VỚI HỆ BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm
khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại I . . . . . . . .

62

4.3. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm
khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại II . . . . . . .

71

Chương 5. BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ
LERAY-α CẢI BIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1. Bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Leray-α
cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.1.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới
nghiệm khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.2. Bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc rút gọn đối với hệ Leray-α cải
biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


5
5.2.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới
nghiệm khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.

Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.

Kiến nghị một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . 118

DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


6

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Ω

Ω = [0, L]3 là hình hộp trong R3

H, V

các khơng gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes
và các α-mơ hình

V

khơng gian đối ngẫu của không gian V

(·, ·), | · |

tích vơ hướng và chuẩn trong khơng gian H

((·, ·)), ·

tích vơ hướng và chuẩn trong khơng gian V

·, ·
·

V ,V

đối ngẫu giữa V và V

V

chuẩn trong không gian V

˜
A, B, B

các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes và các
α-mơ hình

λm

giá trị riêng thứ m của tốn tử Stokes A

D(A)

miền xác định của tốn tử A

D(A)

khơng gian đối ngẫu của không gian D(A)

·, ·
·

D(A) ,D(A)

đối ngẫu giữa D(A) và D(A)

D(A)

chuẩn trong khơng gian D(A)

→
Y

X

hội tụ mạnh
bao đóng của Y trong X

S(t)

nửa nhóm liên tục sinh bởi bài tốn đạo hàm riêng

A

tập hút tồn cục của nửa nhóm S(t)

µ

tham số giãn

Ih

toán tử nội suy


7

MỞ ĐẦU

1.

Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và cơng nghệ. Chính vì vậy nó đã và
đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Sau khi
nghiên cứu tính đặt đúng của bài tốn, việc nghiên cứu bài tốn đồng hóa dữ
liệu (data assimilation), tức là dự đoán dáng điệu của nghiệm trong tương lai
từ những phép đo thu được, rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán
xu thế phát triển của hệ trong tương lai; điều này đặc biệt quan trọng trong
các bài toán dự báo, chẳng hạn bài toán dự báo khí tượng. Đây là một hướng
nghiên cứu được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây.
Về mặt toán học, ta có thể phát biểu bài tốn đồng hóa dữ liệu như sau.
Giả sử một quá trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) được mơ tả bởi
phương trình tiến hóa (nói chung rất phức tạp) có dạng
dY
= F (Y ),
dt
trong đó Y là vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo”. Mục tiêu
của chúng ta là tìm một "xấp xỉ tốt” của Y khi thời gian đủ lớn. Ở đây, chúng
ta không biết “dữ kiện ban đầu” của Y tại một thời điểm trước thời điểm t0
để tính nghiệm của mơ hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, tuy nhiên chúng ta
biết “phép đo” (một phần) của Y trong khoảng thời gian [t0 , t0 + T ] hoặc tại
một dãy thời điểm {tn }n∈N . Bài tốn đồng hóa dữ liệu là xác định một xấp xỉ
W (t) của Y (t) từ các “phép đo” đã biết, sao cho W (t) dần tới Y (t) (theo một
chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng.

8
Một phương pháp cổ điển của đồng hóa dữ liệu liên tục, xem ví dụ [18],
là thay các phép đo quan sát được trực tiếp vào một mơ hình sau này được
lấy tích phân theo thời gian. Chẳng hạn, ta có thể thay các quan sát chế độ
thấp Fourier vào phương trình cho sự tiến hóa của các chế độ cao. Khi đó các
giá trị của chế độ thấp và chế độ cao sẽ được kết hợp để tạo ra một xấp xỉ
đầy đủ cho trạng thái của hệ. Cách tiếp cận này đã được thực hiện cho hệ
Navier-Stokes hai chiều trong [31, 46] và một số hệ khác trong cơ học chất
lỏng [2, 21, 22, 28, 40]. Về mặt toán học, cách tiếp cận này dựa trên sự tồn tại
tập hút tồn cục hữu hạn chiều và tính chất các mode xác định (determining
modes) của hệ Navier-Stokes [38], một tính chất khá phổ biến cho các hệ tiêu
hao mạnh, nhưng có nhược điểm là khơng áp dụng được khi các dữ liệu thu
được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì ta khơng thể lấy đạo hàm theo biến
khơng gian tại các điểm rời rạc đó. Một cách tiếp cận hiệu quả khác áp dụng
cho các hệ tiến hóa tuyến tính được đề xuất bởi J.P. Puel trong [48]. Cách tiếp
cận này dựa trên các bất đẳng thức kiểu Carleman, tỏ ra rất hứa hẹn và hiệu
quả, trên cả phương diện lí thuyết và tính tốn số, nhưng có hạn chế là chỉ áp
dụng được cho các bài toán tuyến tính.
Năm 2014, Titi và cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới [5] khắc phục
được nhược điểm của các phương pháp nói trên. Ý tưởng của phương pháp
này là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi chứa dữ liệu quan sát được
đưa vào trong hệ ban đầu để được một hệ mới gọi là hệ phương trình đồng hóa
dữ liệu. Sau đó ta sẽ thiết lập các điều kiện để đảm bảo hệ đồng hóa dữ liệu
này có một nghiệm tồn cục duy nhất và nó hội tụ về nghiệm khảo sát của hệ
gốc ban đầu. Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu bằng phương pháp này mới chỉ
có ở bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều [5]
và một vài α-mơ hình ba chiều [2, 1]; trong trường hợp rời rạc thì mới chỉ có
kết quả đối với hệ Navier-Stokes hai chiều [27].
Hệ Navier-Stokes đóng vai trị quan trọng trong cơ học chất lỏng. Tuy

9
nhiên, trong trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) thì
tính đặt đúng tồn cục và việc tính tốn số nghiệm của hệ này vẫn còn là
những vấn đề mở lớn và tỏ ra rất khó. Một trong những cách tiếp cận để vượt
qua những khó khăn này là sử dụng những hệ chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes.
Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường được sử dụng là các α-mơ hình trong
cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α [25], hệ Leray-α [15], hệ Leray-α
cải biên [34] và hệ Bardina đơn giản hóa [42], . . . . Về mặt hình thức, nếu cho
α = 0 trong các α-mơ hình này ta sẽ thu lại được hệ Navier-Stokes cổ điển.
Trong vài năm gần đây, đã có một số kết quả về bài tốn đồng hóa dữ liệu liên
tục cho các α-mơ hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-α [2], hệ Bardina đơn giản
hóa [1], hệ Leray-α [24], . . . . Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tơi, chưa có
kết quả nào về bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với các α-mơ hình trong
cơ học chất lỏng. Ngồi ra, bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục mà chỉ sử dụng
phép đo trên hai trong số ba thành phần của vectơ vận tốc (mà ta sẽ gọi là
phép đo rút gọn) đối với các α-mơ hình vẫn cịn rất ít kết quả; mới chỉ có kết
quả gần đây trong [24] đối với hệ Leray-α.
Từ những phân tích trên ta thấy rằng mặc dù đã có một số kết quả ban
đầu nhưng các kết quả về bài tốn đồng hóa dữ liệu đối với các α-mơ hình
trong cơ học chất lỏng, đặc biệt trong trường hợp đồng hóa dữ liệu rời rạc
hoặc chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc, vẫn cịn ít
và đang là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề
"Bài tốn đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học
chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình.
2.

Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Từ cuối những năm 1960s, các vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu được các dữ

liệu về thời tiết gần như liên tục theo thời gian. Charney, Halem và Jastrow đã


10
chỉ ra trong [12] một số phương trình về khí quyển được dùng để xử lí các dữ
liệu đó và thu được các đánh giá trước về trạng thái của khí quyển. Phương
pháp của họ, được gọi là đồng hóa dữ liệu liên tục, đó là đưa các dữ liệu đo
đạc thu thập được một cách trực tiếp vào trong một mơ hình và sau đó tích
phân lại theo thời gian. Một tổng hợp về việc sử dụng đồng hóa dữ liệu liên
tục trong thực tế dự báo thời tiết cũng được nêu bởi Daley [18].
Bằng việc sử dụng cách tiếp cận cổ điển và số mode xác định, Titi và cộng
sự đã nghiên cứu bài tốn đồng hóa dữ liệu cho hệ Navier-Stokes hai chiều,
trong cả hai trường hợp là dữ liệu thu thập được liên tục theo thời gian [46]
và rời rạc theo thời gian [31]. Phương pháp này có ưu điểm là đơn giản về mặt
khái niệm, nhưng có nhược điểm là khơng áp dụng được khi các dữ liệu thu
được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì khơng thể lấy đạo hàm theo biến
khơng gian tại các điểm rời rạc đó.
Nhằm khắc phục những nhược điểm trên, năm 2014 Titi và cộng sự đã đề
xuất một phương pháp mới để nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu [5]. Ý
tưởng của phương pháp này là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi đưa
vào trong phương trình để được một phương trình mới, gọi là phương trình
đồng hóa dữ liệu. Phương pháp này cịn được gọi là phương pháp nudging
Newton hay phương pháp giãn động lực (dynamic relaxation) [32].
Nội dung của phương pháp đồng hóa dữ liệu trong [5] như sau: Giả sử rằng
một hệ phương trình có dạng
dY
= F (Y )
dt

(1)

(với điều kiện biên đã biết) và không biết điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 . Bằng
cách sử dụng các thiết bị đo đạc, ta biết một phần của nghiệm trong khoảng
thời gian [t0 , T ] (bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục) hoặc tại các thời điểm tn
với n = 1, 2, . . ., trong đó ti ≤ tj , ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞ (bài tốn đồng
hóa dữ liệu rời rạc). Vì khơng biết chính xác điều kiện ban đầu nên ta khơng
thể tính được Y (t). Do đó, thay vì đi tính Y (t), ta đi tìm W (t), là nghiệm


11
của một phương trình mới gọi là phương trình đồng hóa dữ liệu, sao cho W (t)
hội tụ về Y (t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vơ cùng.
Khi đó, W (t) gọi là nghiệm xấp xỉ và nghiệm Y (t) gọi là nghiệm khảo sát.
Kí hiệu Ih (Y (t)) là phần của nghiệm mà ta đo đạc được tại thời điểm t. Ở
đây, tham số h đặc trưng cho độ phân giải không gian của phép đo. Toán tử
quan sát Ih , với các điều kiện thích hợp, là một tốn tử khá tổng quát, chứa
cả trường hợp các mode xác định (determining modes), cũng như các nút xác
định (determining nodes) và các phần tử thể tích xác định (determining finite
volume) (xem [2]).
Đối với bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục, phần đo đạc Ih (Y (t)) của nghiệm
thu được trên [t0 , T ], ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu
dW
= F (W ) − µ (Ih (W ) − Ih (Y ))
dt

(2)

với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý). Ở đây, số

dương µ được gọi là tham số giãn. Ta sẽ tìm các điều kiện đủ của các tham
số µ và h (h đủ nhỏ, µ đủ lớn) để hệ (2) có nghiệm tồn cục duy nhất W (t)
và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vơ cùng. Theo quan điểm vật
lí, độ phân giải không gian h của phép đo thường là khó và tốn kém để thay
đổi, trong khi tham số giãn µ là tham số tốn học có thể dễ dàng thay đổi, do
đó ta tập trung vào việc tìm điều kiện của h để tồn tại một giá trị µ đảm bảo
cho sự thành cơng của thuật tốn. Sau khoảng thời gian T > 0 đủ lớn, nghiệm
W (T ) có thể được sử dụng làm điều kiện ban đầu trong hệ (1) để đưa ra dự
đoán trong tương lai của nghiệm tham chiếu Y (t) khi t > T hoặc ta có thể
tiếp tục với chính hệ đồng hóa dữ liệu (2), nếu dữ liệu đo vẫn tiếp tục được
cung cấp.
Đối với bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc, tình huống gần với thực tiễn hơn,
khi mà phần đo đạc Ih (Y (t)) của nghiệm thu được tại các thời điểm rời rạc tn
với n = 1, 2, . . ., trong đó ti ≤ tj , ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞, thay cho hệ


12
(2), ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu sau
∞

dW
= F (W ) − µ
Ih (W (tn ) − Y (tn ))χn
dt
n=0

(3)

với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý), ở đây χn
là hàm đặc trưng của khoảng [tn , tn+1 ). Gọi κ là khoảng cách lớn nhất giữa

hai lần đo: |tn+1 − tn | ≤ κ, ∀n ∈ N. Cũng như đối với hệ (2), ta đi tìm các
điều kiện đủ của h, µ và κ sao cho hệ (3) có nghiệm tồn cục duy nhất W (t)
và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vơ cùng.
Phương pháp đồng hóa dữ liệu chỉ áp dụng được cho các mơ hình đặt
đúng, nói riêng là các hệ mà đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm. Chính vì lí do đó, kết quả đồng hóa dữ liệu đối với hệ Navier-Stokes
mới chỉ có trong trường hợp hai chiều [5, 27], còn trong trường hợp ba chiều
ta chưa chứng minh được các kết quả tương tự. Để nghiên cứu các tính chất
nghiệm nói chung và bài tốn đồng hóa dữ liệu nói riêng của hệ Navier-Stokes
ba chiều, một cách làm phổ biến là nghiên cứu trên các α-mơ hình, được coi
như là những xấp xỉ của hệ Navier-Stokes khi tham số α nhỏ. Gần đây đã có
một số kết quả đối với bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục cho các α-mơ hình
như hệ Navier-Stokes-α [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-α [24], . . .
Rất gần đây một hướng nghiên cứu mới, đó là giảm số chiều phép đo xuống
thấp hơn số chiều không gian, cũng đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà
khoa học [23, 24]. Bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn số chiều phép đo
về cơ bản vẫn được thiết lập như trường hợp đầy đủ số chiều phép đo, nhưng
các số liệu phép đo thay vì được biểu diễn bởi các tốn tử nội suy Ih (Y (t)), ví
dụ như đối với không gian ba chiều là bao gồm cả ba thành phần Ih (Y1 (t)),
Ih (Y2 (t)) và Ih (Y3 (t)) (với t ∈ [t0 , T ]), thì giờ đây chỉ được biểu diễn bởi số
thành phần ít hơn, ví dụ như đối với không gian ba chiều là hai thành phần
(bất kì) trong số ba thành phần này, chẳng hạn chỉ bởi Ih (Y1 (t)) và Ih (Y2 (t)).
Việc khơng có dữ liệu nào đối với thành phần phép đo bị thiếu dẫn tới khó
khăn trong việc xây dựng nghiệm xấp xỉ và chứng minh sự hội tụ của nghiệm


13
xấp xỉ tới nghiệm khảo sát theo thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục. Khó khăn
này đã được khắc phục trong một số mơ hình cụ thể, đó là hệ Navier-Stokes
hai chiều [23] và hệ Leray-α ba chiều [24], bằng cách sử dụng điều kiện không

nén được ∇ · Y = 0 để biểu diễn các số hạng ứng với thành phần chưa biết
thông qua các số hạng ứng với các thành phần đã biết. Tuy nhiên, "chìa khóa"
này chưa thể khẳng định luôn dùng được cho mọi mô hình nói chung và các
α-mơ hình nói riêng. Đó là trong trường hợp bài tốn đồng hóa dữ liệu liên
tục, cịn theo hiểu biết của chúng tơi bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc với phép
đo rút gọn cho đến nay vẫn chưa được thiết lập và nghiên cứu.
Từ những phân tích trên, những vấn đề mở mà chúng tơi quan tâm nghiên
cứu trong luận án này bao gồm:
• Bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với một số α-mơ hình trong khơng
gian ba chiều.
• Bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục đối với một số α-mơ hình trong khơng
gian ba chiều, trong đó chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của
vectơ vận tốc.
• Bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với một số α-mơ hình trong khơng
gian ba chiều, trong đó chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của
vectơ vận tốc.
3.

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích của luận án: Nghiên cứu bài tốn đồng hóa dữ liệu, cả trong
trường hợp liên tục và trường hợp rời rạc, đối với một số α-mơ hình trong
cơ học chất lỏng.
• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất toàn cục và đánh
giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa dữ
liệu (gọi là nghiệm xấp xỉ) với nghiệm khảo sát của hệ gốc (nói riêng là


14
sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát khi thời gian ra vô cùng
nếu phép đo không có sai số), đối với một số α-mơ hình trong cơ học

chất lỏng.
• Phạm vi nghiên cứu: Trong các mơ hình dưới đây v = u − α2 ∆u. Các
mơ hình được xét trên khoảng [t0 , ∞), với điều kiện biên tuần hồn trên
hình hộp Ω = [0, L]3 và điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết.
◦ Nội dung 1: Bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α
ba chiều:



 ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.

◦ Nội dung 2: Bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ NavierStokes-α ba chiều:


 ∂v − ν∆v − u × (∇ × v) + ∇p = f,
∂t

 div u = 0.
◦ Nội dung 3: Bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục chỉ sử dụng phép đo
trên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Bardina đơn giản
hóa ba chiều:


 ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.

◦ Nội dung 4: Bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục/rời rạc chỉ sử dụng
phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Leray-α
cải biên ba chiều:


 ∂v − ν∆v + (v · ∇)u + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.


15
4.

Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc: sử dụng phương pháp đề
xuất trong [27] bởi E. Titi và các cộng sự.
• Nghiên cứu bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục: sử dụng phương pháp đề
xuất trong [5, 23, 24] bởi E. Titi và các cộng sự.

5.

Kết quả của luận án

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và đánh giá
được tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm
khảo sát cho bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α ba
chiều và hệ Navier-Stokes-α ba chiều trong trường hợp phép đo có thể
có sai số. Đặc biệt, khi khơng có sai số ta thu được sự hội tụ theo tốc độ

mũ của nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm khảo sát khi thời gian tiến tới
vô cùng. Đây là nội dung chính của Chương 2 và Chương 3.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ
theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát đối với bài tốn
đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều mà
chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. Đây là nội
dung chính của Chương 4.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ
theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát cho cả bài tốn
đồng hóa dữ liệu liên tục và rời rạc đối với hệ Leray-α cải biên ba chiều
mà chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. Đây là
nội dung chính của Chương 5.
Các kết quả của luận án là những đóng góp có ý nghĩa cho Lí thuyết các
phương trình đạo hàm riêng trong cơ học chất lỏng và Lí thuyết đồng hóa dữ


16
liệu; góp phần vào việc hồn thiện các lí thuyết này và giải quyết một số vấn
đề mở được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm.
Các kết quả chính đạt được đã được cơng bố hoặc đang gửi đăng trên một
số tạp chí chuyên ngành quốc tế (xem phần Danh mục cơng trình khoa học)
và đã được báo cáo tại các hội thảo và seminar khoa học sau:
• Hội nghị tốn học tồn quốc lần thứ 8, Nha Trang, tháng 8/2018;
• Hội nghị nghiên cứu khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các năm 2017 và 2018;
• Seminar của Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội.
6.

Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các cơng trình khoa học liên quan

đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 5 chương:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2. Bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α.
• Chương 3. Bài tốn đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Navier-Stokes-α.
• Chương 4. Bài tốn đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Bardina
đơn giản hóa.
• Chương 5. Bài tốn đồng hóa dữ liệu rút gọn đối với hệ Leray-α cải biên.


17

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về các α-mơ
hình trong cơ học chất lỏng, toán tử nội suy Ih , tập hút tồn cục, các khơng
gian hàm, tốn tử, và các bất đẳng thức được sử dụng trong chứng minh các
kết quả chính của luận án ở các chương sau.
1.1.

Một số α-mơ hình trong cơ học chất lỏng

Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường gặp của hệ Navier-Stokes ba chiều là
các α-mơ hình trong cơ học chất lỏng. Các α-mơ hình này thu được bằng cách
thay v = u − α2 ∆u và thay số hạng phi tuyến (v · ∇)v trong hệ Navier-Stokes



 ∂v − ν∆v + (v · ∇)v + ∇p = f,
∂t

∇ · v = 0,
lần lượt bởi (u · ∇)v, −u × ∇ × (u − α2 ∆u) , (u · ∇)u và (v · ∇)u. Mặc dù
xuất phát từ mục đích ban đầu là dùng để mô phỏng số cho hệ Navier-Stokes,
nhưng các α-mơ hình cũng đã được chỉ ra là có mối liên hệ giữa các nghiệm
của chúng với các dòng chảy hỗn loạn trên các kênh và các đường ống (xem
[13]). Về mặt hình thức, trong các α-mơ hình này nếu thay α bằng 0 ta sẽ
thu được hệ Navier-Stokes. Dưới đây ta liệt kê các α-mơ hình được nghiên cứu
trong luận án.
• Hệ Leray-α ba chiều [15]:


 ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.


18
• Hệ Navier-Stokes-α ba chiều [25]:


 ∂ (u − α2 ∆u) − ν∆(u − α2 ∆u) − u × ∇ × (u − α2 ∆u) + ∇p = f,
∂t

∇ · u = 0.
• Hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều [42]:



 ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.
• Hệ Leray-α cải biên ba chiều [34]:


 ∂v − ν∆v + (v · ∇)u + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.
Trong tất cả các hệ trên, u = u(x, t) biểu diễn cho vận tốc của dòng chảy,
v = u − α2 ∆u và α > 0 là một tham số cho trước. Ở đây, p là một hàm vô
hướng, biểu thị cho áp suất và f là hàm ngoại lực.
Trong những năm gần đây, đã có nhiều kết quả về sự tồn tại duy nhất
nghiệm tồn cục và dáng điệu tiệm cận nghiệm thơng qua sự tồn tại và tính
chất của tập hút tồn cục cho các α-mơ hình; xem, chẳng hạn, [10, 11, 15, 34,
40, 41, 42, 55]. Xin xem thêm bài báo [33] về một số α-mơ hình quan trọng
khác trong cơ học chất lỏng và kết quả toán học liên quan đến chúng.
1.2.

Toán tử nội suy Ih

Trong luận án này ta xét toán tử nội suy Ih là một toán tử tuyến tính thỏa
mãn một trong hai trường hợp sau, lần lượt gọi là toán tử nội suy loại I và
toán tử nội suy loại II.
Trường hợp 1. Ih : H 1 (Ω) → L2 (Ω) và
ϕ − Ih (ϕ)

2
L2 (Ω)

≤ γ0 h2 ϕ

2
H 1 (Ω) , ∀ϕ

∈ H 1 (Ω).


19
Trường hợp 2. Ih : H 2 (Ω) → L2 (Ω) và
ϕ − Ih (ϕ)

2
L2 (Ω)

≤ γ1 h2 ϕ

2
H 1 (Ω)

+ γ2 h 4 ϕ

2
H 2 (Ω) , ∀ϕ

∈ H 2 (Ω).

Dưới đây ta trình bày một số ví dụ về các toán tử nội suy Ih thường gặp
(xem thêm trong [2, 5]).
Ví dụ 1 (tốn tử nội suy Ih loại I): Phép chiếu Fourier.
Trên miền L-tuần hoàn Ω = [0, L]3 , giả sử hàm ϕ có biểu diễn Fourier
ϕ=

ϕˆk φk ,
k∈G

3
ik·x
với G = { 2πm
và ϕˆk = ϕˆ−k .
L : m ∈ Z , m = 0}, φk (x) = e

Với ϕ thỏa mãn |ϕ| < ∞ và λ1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử Stokes
A, ta định nghĩa
ϕ k φk .

I h ϕ = Pk ϕ =
|k|≤

−1/2 −1
h
λ1

Định nghĩa các chuẩn trong L2 và H 1 như sau
1
2

ϕ

L2 (Ω)

|ϕˆk |2

=L

1
2

, ϕ

H 1 (Ω)

|k|2 |ϕˆk |2

=L

k∈G

.

k∈G

Khi đó, ta có thể kiểm tra được
ϕ − Ih (ϕ)

2
L2 (Ω)

≤ γ0 h2 ϕ

2
H 1 (Ω) , ∀ϕ

∈ H 1 (Ω).

Ví dụ 2 (tốn tử nội suy Ih loại I): Các phần tử thể tích.
Chia miền tuần hồn Ω = [0, L]3 thành các khối lập phương Ωk , k = 1, . . . , N ,
có độ dài cạnh bằng

L
√
3
N

và thể tích |Ωk | =

L3
N .

Trung bình địa phương của u

trên Ωk được định nghĩa bởi
u

Ωk

=

1
|Ωk |

u(x)dx.
Ωk


20
Ta xây dựng toán tử nội suy Ih như sau
N

Ih (ϕ(x)) =

ϕ

Ωk

χΩk (x),

k=1

với h =

L
√
,
3
N

χΩk (x) là hàm đặc trưng trên Ωk theo nghĩa χΩk (x) = 0 với

x∈
/ Ωk và χΩk (x) = 1 với x ∈ Ωk . Ở đây ta giả sử rằng giá trị trung bình của
ϕ trên mỗi hình lập phương con Ωk là cho trước. Người ta chứng minh được
(xem [37]):
ϕ − Ih ϕ

2
L2 (Ω)

≤

1 2
h ∇ϕ
3

2
L2 (Ω) .

Ví dụ 3 (tốn tử nội suy Ih loại II): Dựa trên việc sử dụng các đo đạc tại một
tập hợp rời rạc các điểm nút.
Tương tự như Ví dụ 2, chia miền tuần hồn Ω = [0, L]3 thành các khối lập
phương Ωk , k = 1, . . . , N , có độ dài cạnh bằng

L
√
3
N

và thể tích |Ωk | =

L3
N .

Giả

sử điểm xj bất kì thuộc Ωj là điểm mà dữ liệu đo đạc của vận tốc dòng chảy
được thu thập. Ta định nghĩa toán tử Ih như sau
N

Ih (ϕ(x)) =

ϕ(xk )χΩk (x).
k=1

Người ta chứng minh được (xem [2]) với mọi ϕ ∈ D(A), toán tử Ih thỏa mãn
ϕ − Ih (ϕ)

2
L2 (Ω)

≤ 32h2 ϕ

2
H 1 (Ω)

+ 4h4 ϕ

2

H 2 (Ω) ,

√
trong đó h = L/ 3 N .
1.3.

Tập hút tồn cục

Giả sử (X, · ) là một không gian Banach và nửa khoảng cách Hausdorff
distX (·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau
distX (A, B) := sup inf a − b , với A, B ⊂ X.
a∈A b∈B


21
Định nghĩa 1.1. Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm một không gian
Banach X và một họ các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn:
1) S(0) = Id;
2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s);
3) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X);
4) với mọi u ∈ X, ánh xạ t → S(t)u thuộc C 0 ((0, +∞), X).
Họ các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0 thỏa mãn các điều kiện trên được gọi
là một nửa nhóm liên tục trên X. Khơng gian X được gọi là không gian pha
(hay không gian trạng thái).
Định nghĩa 1.2. Nửa nhóm S(t) gọi là tiêu hao bị chặn (gọi tắt là tiêu hao)
nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn
tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀ t ≥ T . Tập B0 như vậy được gọi là
một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t).
Định nghĩa 1.3. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút tồn
cục đối với nửa nhóm S(t) nếu:

1) A là một tập compact;
2) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t ≥ 0;
3) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim dist(S(t)B, A) = 0.

t→+∞

Định lí dưới đây mơ tả cấu trúc của tập hút tồn cục.
Định lí 1.1. ([50]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục A. Khi đó A
là hợp của mọi quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ
đạo tuần hồn, nếu có, đều nằm trên A).


22
Kết quả dưới đây chỉ ra rằng các quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết
định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau
một thời điểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trơng sẽ
giống như một quỹ đạo nào đó trên tập hút trong một khoảng thời gian đủ
dài.
Định lí 1.2. ([50]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục A. Cho trước
một quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số ε > 0 và một khoảng thời gian T > 0.
Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ (ε, T ) và một điểm v0 ∈ A sao cho
u(τ + t) − S(t)v0 ≤ ε với mọi 0 ≤ t ≤ T.
1.4.

Các không gian hàm

Giả sử Ω = [0, L]3 là một hình hộp, với L > 0 cho trước. Đặt
3

V = {u ∈ (C0∞ (Ω)) : ∇ · u = 0}.
Kí hiệu H và V lần lượt là các bao đóng của V trong (L2 (Ω))3 và (H 1 (Ω))3 .
Khi đó H và V là các khơng gian Hilbert với tích vơ hướng lần lượt là
3

u(x) · v(x)dx và ((u, v)) =

(u, v) =
Ω

i,j=1

Ω

∂ui ∂vi
dx,
∂xj ∂xj

và có chuẩn tương ứng là
|u| = (u, u)1/2 và u = ((u, u))1/2 .
1.5.

Các tốn tử

Kí hiệu P : (L˙ 2 (Ω))3 → H là phép chiếu Leray, trong đó (L˙ 2 (Ω))3 là tập hợp
các hàm thuộc (L2 (Ω))3 với trung bình bằng 0 và A = −P∆ là toán tử Stokes,
với miền xác định D(A) = (H 2 (Ω))3 ∩ V . Trong trường hợp điều kiện biên
tuần hồn, A = −∆|D(A) . Tốn tử Stokes A là tốn tử tuyến tính dương tự

23
liên hợp với nghịch đảo compact. Do đó tồn tại một tập hợp các hàm riêng lập
thành một cơ sở trực chuẩn đầy đủ {wj }∞
j=1 ⊂ H, sao cho Awj = λj wj và
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ,

λj → ∞ khi j → ∞.

Với mỗi m ∈ N, kí hiệu Pm là phép chiếu trực giao từ H lên không gian con
Hm = span{w1 , . . . , wm } và Qm = I − Pm .
Với mỗi u, v ∈ V, kí hiệu B(u, v) = P[(u · ∇)v]. Khi đó B là một tốn tử
3-tuyến tính liên tục từ V × V vào V .
Ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của B(u, v). Các kết quả này có
thể được tìm thấy trong [50, 51]. Với u, v, w ∈ V , ta có
B(u, v), w

V ,V

= − B(u, w), v

V ,V

,

và hệ quả là
B(u, v), v

V ,V

(1.1)

= 0.

Hơn nữa (xem [50, 51]),
| B(u, v), w

V ,V

| ≤ c0 u

| B(u, v), w
| B(u, v), w

V ,V

D(A) ,D(A)

1/2

|Au|1/2 |v| w , ∀u ∈ D(A), v ∈ H, w ∈ V, (1.2)

| ≤ c3 |u|1/2 u

| ≤ c4 |u| v

w

1/2

1/2

v

w , ∀u, v, w ∈ V,

(1.3)

|Aw|1/2 , ∀u ∈ H, v ∈ V, w ∈ D(A).
(1.4)

Từ (1.2), ta có
B(u, v)

V

≤ c0 u

1/2

|Au|1/2 |v|, ∀u ∈ D(A), v ∈ H.

(1.5)

Từ (1.4), ta có
B(u, v)

−1/4

D(A)

≤ c4 λ 1

|u| v , ∀u ∈ H, v ∈ V.

(1.6)

Tương tự, với mỗi u, v ∈ V, kí hiệu B(u, v) = −P[u × (∇ × v)]. Tốn tử B
là một tốn tử 3-tuyến tính liên tục từ V × V vào V , và từ H × V vào D(A) .
Nói riêng B thỏa mãn đẳng thức sau (xem [26]):