De thi chon HSG mon toan cap tinh L12 V1 20042005

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (307.15 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chän hoc sinh giái tØnh

Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005

Môn : TOáN (vòng 1)

Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

...

BµI 1:

Tìm nghiệm của ph

ơng trình

:

cos

x

−

sin

x

−

cos

2 x

.

1 +

sin

2 x

=

0 tháa ®iỊu kiƯn : 2004 < x < 2005

.

BµI 2:

Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vuông ABC cố định có AB = AC. Tìm

tập hợp những điểm

M

thuộc mặt phẳng (P) sao cho :

4 MA

≤

MB

+

MC

−

MB

−

MC

BµI 3:

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè :

2 2
2

)

2 (

2 +

=

x

y

.

b) T×m sè thùc k nhá nhÊt sao cho víi mäi sè thùc a, b lu«n cã :

a + b + ab

≤

k(a

+ 2)(b

+ 2) .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chän hoc sinh giái tØnh

Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005

Môn : TOán (vßng 2)

Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

...

BµI 1:

a)

Cho hµm sè

( ) ln sin

(

cos

)

sin 2

x x x

g x

x

−
=

( )
( )

0 0

g x khi x
f x

khi x

có tập xác định là D. Tính đạo hàm

của hàm số

:

= D

b) Giải bất ph

ơng trình :

)

1 ln(

)

(

3 2 x

x

x

e

e

+

−

+

≤

BµI 2:

Xét hai độ dài khác nhau a, b. Tìm điều kiện của a, b để tồn tại tứ diện

(T) có một cạnh bằng a và các cạnh còn lại đều bằng b. Với tứ diện (T) này, hãy

xác định mặt phẳng (

) sao cho thiết diện của mặt phẳng (

) và tứ diện (T) là

một hình vng (V). Tính diện tích của hình vng (V) theo a và b.

BµI 3:

Chứng minh rằng tồn tại một tập con E của tập các số tự nhiên N thỏa mãn

đồng thời hai điều kiện sau :

a) E cã 2005 phÇn tử .

b) Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k, h của E thì tích k.h chia hÕt cho

(k-h)

.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đáp án - Thang điểm vòng 1

Bài Nội dung §iĨm

1

...
2

0

2 sin

1 .

2 cos

sin

cos

x

−

x

−

x

+

x

=

(*)

+ 1+sin2x = cosx+sinx

cos2x = ( cosx -sinx ).(cosx +sinx)

+ (*) ⇔(cosx -sinx ).{1 - (cosx +sinx)cosx+sinx } = 0

⇔ cosx -sinx=0 (1) hoặc ( cosx +sinx )cosx+sinx = 1 (2)
+ (1) ⇔cos2x= 0

+ (2) ⇔(1+sin2x ).(1+sin2x) = 1⇔sin2x=0 (vì sin2x >0 khơng thể xảy ra )
Từ đó : (*)⇔cos2x= 0 hoặc sin2x= 0⇔ sin4x= 0 ⇔x =k

π ; k ∈Z

+ Với điều kiện 2004< x <2005 , chọn số nguyên k=2552. Vậy : x = 638π.
...
+ MB +MC - MB-MC = 2 Min (MB; MC)

4MA ≤ MB +MC - MB-MC ⇔ 2MA≤MB vaø 2MA≤MC

+ Chọn hệ trục Axy và đơn vị trên trục sao cho : B(3;0) ,C(0;3) . Gọi M(x;y)

2MA≤MB ⇔4MA2 –MB2≤ 0 ⇔4(x2+y2) – (x-3) 2 –y2 ≤ 0 ⇔(x+1) 2 +y2 ≤ 4
Vậy : 2MA MB M ở trong hình tròn (T) tâm I(-1;0),bán kính 2. (kể cả
biên)

Tơng tự : 2MA MC M ở trong hình tròn (S) tâm J(0;-1),bán kính 2. (kể cả
biên)

+Tập hợp những điển M thoả bài toán là phần giao của hai hình tròn (T) và (S) .
(kể cả biªn)

6

...
6

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3 a

...
3 b

-5 5 10

6
4
2
-2
-4
-6
y
I
J
M
A
C
B

2
2
2
)
2
(
2
+
+
=
x
x
x

y

+ Tập xác định : R
+ y’ = 2 3

2
3
)
2
(
)
2
2
3
(
2
+
−
−
+
−
x
x
x
x
=
2
2 3

2( 1)( 4 2)

( 2)

x x x

x

− − + +

+ y’= 0 ⇔ x=1 ; x= −2± 2 ;

y(1)= 31 ; y(−2− 2)=

16
1
2−

; y(−2+ 2)=

16
1
2+

− ; lim =0
∞
±

y

x

x - -2-∞ 2 -2+ 2 1 +∞

y ' + 0 - 0 + 0 -
y
16
1
2− 
3
1
0
16
1
2+

− 0
+ Vaäy : Ma xR

y

=13 ; Min

y

= 2 1

R

Min

y

− +

...
+ Giả sử k là số thoả bài tốn. Lúc đó : k

b
a
ab
b
a
≤
+
+
+
+
)
2
)(
2

( 2 2 đúng với mọi a,b
Với a=b=1 ,ta có k

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

+Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b : a+b+ab≤

3
1

(a2+2)(b2+2). 
Ta cã : (a2+2)(b2+2)- 3(a+b+ab) = a2b2+2a2+2b2+4-3a-3b-3ab

= (ab-1) 2+

(a-b) 2+

2
3

[(a-1) 2+(b-1) 2] 0 ≥

+Từ đó số k nhỏ nhất thoả bài toán là :

3
1 .

ĐáP áN - THANG ĐIểM (Vòng 2)

Bài Nội dung §iĨm

1.a) 
... 
1.b) 

...
2

+ Khi x D∈ ⇔ ≠x 0vµ ,

x≠ +π kπ k∈Z vµ , *

x k≠ π k∈Z :
2

ln(1 sin 2 ) (sin 2 2 cos 2 ) ln(1 sin 2 ) cot 2

( ) '( )

2sin 2 2sin 2 1 sin 2

x x x x x x x

f x f x g x

x x x

− − −

= ⇒ = −

−

+ Khi x = 0 :

(

)

0 0

ln 1 sin 2

( ) (0) 1

lim lim '(0)

2( sin 2 ) 2

x x

x

f x f

f
x x
→ →
−
− = − = − =
− .

...

3

)

1 ln(

)

(

3 2 x

x

x

e

e

+

−

+

≤

(*)

+ Biĩu thức ln(x2+1) luôn xác định .

+ x=0 ; x=1 ; x=-1 là các giá trị thoả bất phơng trình .
x3-x= (x−3 x).(x2 +x3 x+3 x2)

+Khi x∉{0;1;-1} thì x≠ 3 x.Theo định lí Lagrange ,tồn tại số c ở giữa x và 3 x
sao cho: ex- e3x = (x−3 x)ec

VËy: (*)⇔(x−3 x).[ec + (x2 +x3 x +3 x2) ln(x2

+1)]≤0

⇔ x−3 x ≤0 ( V× [ec + (x2 +x3 x+3 x2) ln(x2+1)]> 0 ) 
⇔ x3-x 0 . ≤

+ Nghi−m cđa bất ph−ơng trình đã cho là : x∈(−∞;−1]∪[0;1] .

...

Điịu kin cđa a,b :

+Gi s tứ di−n (T) tồn tại .Gọi AB là cạnh bằng a, các cạnh : AC,AD,BC,BD CD địu
cùng bằng b . Gọi I là trung điĩm cạnh CD.Tam giác AIB là tam giác cân :

AB=a ;AI=BI=b23. Tõ AB<AI+BI suy ra : 0<a<b 3

+Ng−ỵc lại víi : 0<a<b 3 .Dựng tam giác địu BCD cạnh b víiự chiịu cao BI.
Dựng tam giác cân AIB có AB=a ,nằm trong mỉt phẳng chứa BI và vng góc vói
mp(BCD) Ta có :A∉mp(BCD) Tứ di−n ABCD thoả điịu ki−n bài toán

3

...
4

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

... 
3

mp(BCD) .Ta cã :A∉ mp(BCD) .Tứ din ABCD thoả điịu kin bài toán .

P
M

N
a

C
B

Xác định mỉt phẳng ( ):

+ Giả s thiết din là hình vuông MNPQ. Các mỉt cđa tứ din (T) lần lỵt chứa các
đoạn giao tuyến MN,NP,PQ,QM đỵc gọi tên là mỉt I, mØt II, mØt III, mØt IV.
Do MN//PQ;MQ//NP nªn cạnh chung cđa mỉt I và mỉt III; cạnh chung cđa mỉt IIvà
mỉt IV ,nằm trên hai đờng th¼ng song song vÝi mp(α ).

Ngoài ra, hai đờng thẳng này vuông góc nhau,vì MN vuông góc MQ.

+ Do a khác b nên tứ di−n (T) chỉ có một cỉp cạnh đối vng góc,đó là AB và CD .
Vì vậy mp(α ) phải song song víi AB và CD.

+ Gọi giao điĩm cđa mp( ) víi AC,BC,BD,AD,lần lỵt là M,N,P,Q. Đỉt k =MCMA .
Ta có :MN=

k
a

1 ;MQ= k
kb

1 . Tõ MN=MQ ta cã : k = b
a

.
+ Diõn tích cđa hình vuông MNPQ là :( )2

b
a

ab

...

+ Ta xây dựng các tập En có n phần tử thỏa tính chất :

Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k ,h của En th× tÝch k.h chia hÕt cho (k-h)2 “
bằng phơng pháp qui nạp theo n (n > 1)

+Chän : E2 ={1;2}

+ Gi¶ sư tËp En ={a1 ; a2 ;...;an} víi n >1 , tháa tÝnh chÊt trªn .

XÐt tËp : En+1= F∪{m} víi m= a1.a2 ...an vµ F = {ai+ m/ i=1,2,....,n }
En+1 cã n+1 phần tử . Ta chứng minh En+1 thoả tính chất trªn .

Với k ,h là hai phần tử phân biệt của En+1 ,thì có hai khả năng :
i/Chỉ một phần tử thuộc F ii/Cả hai đều thuộc F

Tr−êng hỵp i/ : k= ai+ m , h = m= a1.a2 ...an

Ta cã : h chia hÕt cho ai ; k chia hÕt cho ai ; k.h chia hÕt cho :ai .ai cßn (k-h)2 =

ai2

Tr−êng hỵp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai và aj thuộc En và khác nhau.

Ta có :k chia hÕt cho ai ;h chia hÕt cho aj ;k.h chia hÕt cho :ai.aj cßn (k-h)2 =(ai -aj)2

Nh−ng ai và aj thuộc En nên tích ai.aj chia hÕt cho (ai -aj)2 .

Từ đó tích k.h chia hết cho (k-h)2 .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7></div>

De thi chon HSG mon toan cap tinh L12 V1 20042005

<b> </b>

Tìm nghiệm của ph

ơng trình

<b> : </b>

cos

<i>x</i>

−

sin

<i>x</i>

−

cos

2

<i>x</i>

.

1

+

sin

2

<i>x</i>

=

0

tháa ®iỊu kiƯn : 2004 < x < 2005

<b> . </b>

<b> BµI 2:</b>

Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vuông ABC cố định có AB = AC. Tìm

tập hợp những điểm

<i>M</i>

thuộc mặt phẳng (P) sao cho :

4

<i>MA</i>

≤

<i>MB</i>

+

<i>MC</i>

−

<i>MB</i>

−

<i>MC</i>

<b>BµI 3:</b>

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè :

)

2

(

2

+

+

=

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<sub> . </sub>

b) T×m sè thùc k nhá nhÊt sao cho víi mäi sè thùc a, b lu«n cã :

a + b + ab

k(a

+ 2)(b

+ 2) .

<b> BµI 1: </b>

<b>a) </b>

Cho hµm sè

(

)

có tập xác định là D. Tính đạo hàm

của hàm số

<b> : </b>

b) Giải bất ph

ơng trình :

)

1

ln(

)

(

<i><sub>x</sub></i>

<i><sub>x</sub></i>

<i><sub>x</sub></i>

<i><sub>e</sub></i>

<i>e</i>

+

−