Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp tỉnh có đáp án(đề 2)

Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 2)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức:
2
( )x y x x y y
x y
A
x y
x x y y x y

+

=
ữ
ữ

+

1. Rút gọn biểu thức A
2. So sánh A và
A
Bài 2: (5 điểm)
1. Giải hệ phơng trình:

3 1) - xy )( y x (
10 ) 1 y )( 1 x (
22

=+
=++

2.Phân tích thành nhân tử:
( )( )P xy yz zx x y z xyz= + + + +
Bài 3: (2 điểm)
1. Cho các số thực x, y, z thõa mãn:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 9x y x y y z x y z+ + + + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của xyz.
Bài 4: (2 điểm)Tìm các số nguyên dơng x, y, z thõa mãn phơng trình:
4 2
2 0x x yz z + =
Bài 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, góc A= 45
0
và các đờng cao BE, CF cắt nhau
tại H. Gọi M, N, K lần lợt là trung điểm của BC, AH, EF và 0 là tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1.
EAH EBC =
2. Bốn điểm M, E, N, F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Ba điểm H, K, O thẳng hàng.
Bài 6: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD
lấy điểm N sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2. Tính góc MAN.
.................... Hết ........................
1

Đáp án: Đề số 2
Bài Đáp án và hớng dẫn chấm điểm
Bài 1
(4điểm)
Câu 1: (2,5 điểm)
ĐK:
0; 0;x y x y
2
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
x y x y x y x y x xy y
A
x y x xy y x y x y x y

+ + + +
=

+ + +


2
( ) ( )
( )
x y x xy y x y x y x xy y
x y
x xy y x y x xy y x y

+ + + + + + +
= + =

+ + + +


xy
x xy y
=
+
0,5
1,0
1,0
Câu 2: (1,5 điểm)
Vì
0; 0;x y x y
nên
2
( ) 0x y >
0x xy y xy + >

* Nếu x = 0, y > 0 hoặc y = 0, x > 0 thì
A A=
= 0
* Nếu x > 0, y > 0 và
x y
: Ta có:
0 1
xy xy
A
x xy y xy
< = < =
+

Hay
0 1A< <
. Ta có:
( 1) 0A A A A A A = < <
Vậy
A A
0,5
0,5
0,5
Bài 2
5đ
Câu 1: (3 điểm):
Ta có hệ

3 1) - xy )( y x (
10 ) 1 y )( 1 x (
22



=+
=++



3 1) - xy )( y x (
10 1 y x yx
2222

=+
=+++


3 1) - xy )( y x (
10 1) - (xy y) (x
22



=+
=++

Đặt u = x + y ; v = xy - 1 hệ trở thành :

3 u.v
10 v u
22



=
=+

0,5
0,25
0,25
2
⇔

3 u.v
16 v) u (
2



=
=+
⇔

3 u.v
4 v u



=
±=+

• NÕu

3 u.v
4 v u



=
=+
th× ta cã

1 v
3 u



=
=
hoÆc

3 v
1 u



=
=
* víi

1 v
3 u



=
=
th×

1 1 - xy
3 y x




=
=+
⇔

2 xy
3 y x



=
=+
⇔ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2)
* Víi

3 v
1 u



=
=
th×

3 1 - xy
1 y x




=
=+
⇔

4 xy
1 y x



=
=+
nªn x , y lµ 2 nghiÖm cña PT : t
2
- t + 4 = 0 cã ∆ < 0 ⇒ v« nghiÖm ⇒ hÖ
v« nghiÖm trong trêng hîp nµy .
• NÕu

3 u.v
4 v u



=
−=+
th× ta cã

1- v
3- u




=
=
hoÆc

3- v
1- u



=
=
* Víi

1- v
3- u



=
=
ta cã

1- 1 - xy
3- y x



=
=+

⇔

0 xy
3- y x



=
=+
⇔ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3)
* Víi

3- v
1- u



=
=
ta cã

3- 1 - xy
1- y x



=
=+
⇔

2- xy
1- y x



=
=+
⇔ (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2)
Tãm l¹i hÖ ®· cho cã 6 nghiÖm lµ
(x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
C©u 2: (2 ®iÓm)
Ta cã:
( )( )P xy yz zx x y z xyz= + + + + −

( ) ( ) ( )xy x y z yz x y z zx x y z= + + + + + + + +

( )( ) ( )y x z x y z zx x z= + + + + + ( )( )x z x y z zx= + + + +

( )( )( )x y x z y z= + + +
1,0
1,0
Bµi 3

(2®iÓm)
C©u 1: (2 ®iÓm)
Ta cã:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 9x y x z y z x y z+ + + + =

2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 2 ) 2( 2 ) 3( 2 1) 12x xyz y z y xyz x z x y z xyz⇔ + + + + + + − + =

2 2 2
( ) 2( ) 3( 1) 12x yz y xz xyz⇔ + + + + − =

2 2
3( 1) 12 ( 1) 4xyz xyz⇒ − ≤ ⇔ − ≤

2 1 2 1 3xyz xyz⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
1,0
3
d
H
O
K
N
M
F
E
C
B
A
Mà xyz = -1

0
0 ( ; ; ) (1, 1,1);(1,1, 1);( 1,1,1);( 1, 1, 1)
1
x yz
y xz x y z
xyz
+ =


+ = =


=

Vậy giá trị nhỏ nhất của xyz = -1
1,0
Bài 4 (2 điểm)
Ta có:
4 2
2 0x x yz z + =

2 2
( ) 2 (1)x x yz z =
Xét 3 trờng hợp:
* Nếu z = 1 thì (1)
2 2
( ) 1x x y =

2
1

1
2
1 1
x
x
y
y
=

=



=
=


* Nếu z = 2 thì (1)
2 2 2
( 2 ) 0 2x x y x y = =
nên có nghiệm:
2
2 ; 2x k y k= =
(với
k Z
+

)
* Nếu z > 2 thì (1) ta có: z- 2 > 0 và
2

2z x M
nên
2 2 2 2 2 2
2 2 0 0z x z x x x yz x x y + > < <
(vô lý)
Vậy bộ ba số nguyên dơng (x; y; z) thõa mãn đề bài là: (1; 2; 1) và (2k;
2k
2
; 2) với k là số nghuên dơng.
0,5
0,5
Bài 5
5đ
Câu 1(1 điểm)
Do
ã
0
45BAC =
nên
AEB
và
AFC

là các tam giác vuông cân
EA EB
=
(*)
ã
0
45ACF HCE =

vuông cân tại H
HE HC
=
(2*)
Từ (*) và (2*) suy ra
HAE CBE =
0,5
0,5
Câu 2: (2,5 điểm)
Do EN là trung tuyến của tam giác vuông AEH
Nên EN = NH (1)
ã
ã
NAE AEN =
(2)
Ta lại có:
ã
ã
HAE EBC=
(3) (vì
HAE CBE =
c/m câu a)
Tơng tự trong tam giác vuông BEC có EM là trung tuyến nên: EM = MB
MBE
cân tại M
ã
ã
MEB MBE =
(4)
Từ (2); (3) và (4) suy ra

ã
ã
NEA MEB=

Nên
ã
ã ã
ã
0
90AEN NEH NEH MEB+ = + =

MEN
vuông tại E
Nếu gọi I là trung điểm của MN thì ta có IM = IN = IE (3*)
C/M tơng tự ta có:
0,5
0,5
0,5
4
Trong tam giác vuông HFA có FN là trung tuyến
Suy ra FN = NA = NH (5)
Từ (1) và (5) suy ra NE = NF
FNE

cân tại N
ã
ã
NEF NFE =
(6)
Mặt khác:

ã
ã
MEF MFE=
(vì
ME MF=
c/m trên) (7)
Từ (6) và (7) suy ra
ã
ã
ã
ã
0
90NEF MEF NFE MFE+ = + =
Do đó FI là trung tuyến của tam giác vuông MFN
IN IM FI = =
(4*)
Từ (3*) và (4*) suy ra bốn điểm M, F, N, E nằm trên
đờng tròn (I;
)
2
MN
0,5
0,5
Câu 3: ( 1,5 điểm)
Do tam giác AEB là tam giác vuông cân nên E nằm trên đờng trung trực
của AB
//OE AB OE HF

(8) (vì cùng vông góc với AB)
Tơng tự ta có: OA = OC (vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Nên O nằm trên đờng trung trực của AC (a)
Mà tam giác CFA vuông cân tại F do đó F nằm trên đờng trung trực của
AC (b)
Từ (a) và (b) suy ra :
FO AC

//FO BE

hay
//OF HE
(9)
Từ (8) và (9) suy ra tứ giác HFOE là hình bình hình
Mà KE = KF
KO KH
=
do đó H, K, O thẳng hàng (đpcm)
0,5
0,5
0,5
Bài 6
2đ
Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = DN
Khi đó MK = MB + BK = MB + DN = 1 CM +1 CN
= 2 ( CM + CN ) = MN (vì CM +CN + MN = 2 )
Và
ADN ABK AN AK = =

ã
ã
DAN BAK =

.
Từ đó suy ra:
AMN AMK
=
(CCC)
ã ã ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
0 0
2 90 45MAN MAK MAN NAK NAB BAK NAB DAN MAN = = = + = + = =
5
K
N
M
D
C
B
A