Bài giảng Phuong trinh nghiem nguyen - DT

Phng trỡnh nghim nguyờn
CHUYấN PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN
Chuyên đề Bồi dỡng HSG Toán
Giáo viên : Phan c Thnh Trng THCS Qunh vinh
Phơng trình nghiệm nguyên là một lĩnh vực khó,đa dạng về phơng pháp giải,linh
hoạt về cách suy luận Tuy nhiên,ở mức độ nào đó,chúng ta có thể trấn an học sinh
bằng cách cung cấp bài tập một cách hệ thống kèm theo phơng pháp điển hình và qui
trình bắt buộc (nếu có). Với phạm vi bồi dỡng HSG thi cấp huyện, trong chuyên đề này
tôi u tiên đề cập dạng bài Giải bằng phơng pháp phân tích, các phơng pháp khác nh
Chẵn lẻ,Cực hạn, Dùng bất đẳng thức, Loại trừ ,Chia hết, Đồng d, Xuống thang chỉ
giới thiệu với mục đích tham khảo và làm cho học sinh có khái niệm về chúng mà
thôi.
i. GiảI bằng ph ơng pháp phân tích
Vài lu ý khi giảng dạy phơng pháp này:
- Chuyên đề chỉ đề cập đến 3 kiểu phân tích: thành tích,thành tổng các luỹ thừa,
thành tổng dạng liên phân số. (Kiểu bài này phù hợp với trình độ thi HSG cấp huyện)
- Cần phải nhắc nhở và chỉ rõ : Chỉ có trên tập Z (hoặc hẹp hơn nữa là trên số tự
nhiên,tập số nguyên tố) thì việc phân tích 1 số nguyên thành tích các thừa số hoặc tổng
các luỹ thừa mới có thể thực hiện đ ợc. Điều này không thực hiện đợc đối với số trên
tập R
(vì có vô hạn khả năng),để tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc giống nh trờng hợp sau:
Bài tập: Giải pt: x
2
+2x-3 = 0. Có h/s giải: x(x+2) =3 .Giải 4 khả năng và
chọn đợc x=1, x=-3 ! ( Một sự trùng hợp thú vị)
H/s này đã không đọc kỹ đề (giải trên R),vì vậy đã mắc mắc sai lầm lớn .
- a/ Đối với dạng phân tích thành tích
+) Dng n gin: Khụng cn gii h m gii cỏc c, thay giá trị vừa tìm vào phơng
trình suy ra nghiệm (BT: 1; 2; 5; 9; 10; 11). Loi bi toỏn ny sau khi phõn tớch cú
dng
...))((

=
byax
(Nhân tử chỉ chứa một biến) m a v b l cỏc hng s.
+) Dng phi gii h l bi tp sau khi biến đổi phng trỡnh cú dng
...)'')((
=
nybxambyax
(nhân tử chứa nhiều biến) ,trong trng hp cú nhiu
kh nng cú th nhn xột loi b bt ( BT: 3; 4; 7). Cng cú th phi nhn xột tp
xỏc nh hoc c im riờng bit loi b bt kh nng ( nh BT: 8; 9).
+) Dng nghim nguyờn ca phng trỡnh bc hai 2 n lu ý l phi gii theo k
cn (

chớnh phng) do ú phi kiểm tra các khả năng có thể xảy ra và chọn
nghiệm thoả mãn .Loại bài này dùng vào cuối năm lớp 9. (Bài12 đến bài 17)
-b/ Đối với dạng Phân tích thành tổng các luỹ thừa
Khi khụng phõn tớch c thnh tớch thỡ ngh n nú. Cn chn cỏch vit hp
lý cú th phõn tớch c .
1
Phng trỡnh nghim nguyờn
-c/ Dạng liên phân số thì cách cho đề đã khá rõ, cần lu ý là: một phân số khi
phân tích thành liên phân số, kết quả phân tích là duy nhất,do đó việc đặt tơng ứng các
thành phần là hợp lý.
Bài tập GiảI bằng ph ơng pháp phân tích
a. Phân tích thành tích.
1, Tỡm nghim nguyờn ca cỏc phng trỡnh:
a.
xyyx
=+
; b.

9
=++
yxyx
; c.
212
=++
yxxy
(thi chọn HSG lớp 8-2003-2004)
d.
xyyxp
=+
)(
vi p l mt s nguyờn t.
2, a. Tỡm x, y thuc N:
53
3
=
xyx
b. Tỡm x, y, z thuc N* tha món



++=
=+
)(2
222
zyxxy
zyx
Hay tỡm tam giỏc vuụng cú s o din tớch bng s o chu vi.
(Thi chọn HSG lớp 8 năm 2001-2002)

3, Gii cỏc phng trỡnh sau trên Z
a.
968103
22
=++
yxyx
b.
092
22
=+
yxyx
c.
0
22
=+
yxx
d.
91
22
=
yx
4, Tỡm cỏc s nguyờn x
6
2
++
xx
l s chớnh phng (Sơ tuyển 2004-2005)
5, Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng sao cho tng ca mi s vi s 1 thỡ chia ht
cho s kia.
6, Tỡm n

N sao cho
n
222
118
++
l mt s chớnh phng.
7, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
)8)(7)(1(
2
+++=
xxxxy
8, Tỡm x, y, z

N* :
0)()2(
323
=++
yxxzxyyzy
9, Tỡm
xy
sao cho
14)(
222
+=
xyyx
10, Tỡm x;y nguyờn ca phng trỡnh:
19522
2
+=

yxxyx
. (Sơ tuyển 2006-2007)
11,( S tuyn 2002-2003)
Hai i c vua ca hai trng thi u vi nhau, mi u th ca i ny phi
u mt vỏn vi mi u th ca i kia. Bit rng tng s cỏc vỏn c phi u bng
2 ln tng s u th hai i v mt trong hai i cú s u th l s lẻ. Tỡm s u
th ca mi i
12.Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x
2
- (4+n)x +2n = 0 cũng nguyên.
13. Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x
2
-(4+n)x+ 4n- 25 = 0 cũng nguyên.
14. Tìm số p nguyên tố,biết pt: x
2
+px-12p = 0 có 2 nghiệm đều nguyên.
15.Tìm
Nnm

;
sao cho các nghiệm của phơng trình: x
2
-m(n+1)x +m +n +1 = 0
cũng là số tự nhiên.
16, Tỡm x, y

Z tha món cỏc phng trỡnh:
2
Phng trỡnh nghim nguyờn
a.

155332
22
=++++
yxxyyx
b.
9539109
22
=+
yyxyyx

17, Tỡm x, y

Z tha món cỏc phng trỡnh:
a.
)(283612
22
yxyxyx
+=++
; b.
)(3)(7
22
yxyxyx
+=+
b. Phân tích thành tổng các luỹ thừa
1, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
)32(2
362
=
yxxy
2, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:

422222
222
=++
zyzxyzyx
3, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
16954
22
=+
yxyx
4, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: a.
100613
22
=+
xyyx
b.
22
6 yxx
=
5, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
2622423
222
=+++++
yzxzxyzyx
6, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh:
yyyx 3653
232
=+
7, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
xxy 242
22

+=
( Thi HSGlớp 9- huyện Quỳnh lu 2005-2006)
8, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh: a.
3222236
)5(315
+=+
yzyxzxzx
b.
)4914(17)284(
244222
+++=++
yyxyx
c. phân tích thành liên phân số
1, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh
7
10
1
1
=
+
+
z
y
x
2, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh :
)(40)1(31 tyyztztxtxyxyzt
++=++++

3, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh:
)1(229)(55

32233
+=++
xyyxyx
4, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
3838)2(7
22
+=+++
xyyxyxyx
II-HNG DN GII
A, PHN TCH THNH TCH.
1, a/.
1)1)(1(1)1()1(0
====+
yxyyxyxxyxyyx

{ }
1;1)1(

x
)
2211
===
yxx
cp nghim (2;2)
)
1

x
001
===

yx
cp nghim (0;0)
b/.
( ) ( ) ( )( )
101110119
=++=+++=++
yxyyxyxyx
Suy ra
1
+
x
l c ca 10. Suy ra
1
+
x
{ }
10;5;2;1

suy ra
{ }
11;9;6;4;3;1;2;0

x
Thay giỏ tr ca x vo phng trỡnh ó cho thu c y tng ng.
Cỏc nghim ca ph.t. l: (1;4); (4;1); (-3;-6); (-6;-3); (0;9); (9;0); (-2;-11); (-11;-2)
c/. 2xy+x+y=21 4xy+2x+2y+1=43 (2x+1)(2y+1)=43
2x+1 là ớc của 43 =>
{ } { }
22;21;1;043;43;1;1

x
Thay các giá trị vào
pt ta có các giá trị y tơng ứng là: 21;-22; 0; -1.
Vậy phơng trình có 4 nghiệm (x;y)= (0;21) ; (-1;-22) ; (21;0); (-22;-1)
3
Phng trỡnh nghim nguyờn
d/.
xyyxp
=+
)(
( ) ( ) ( )( )
22
0 ppypxppyppyxpypxxy
===
Suy ra
px

{ }
2
;;1 pp

. Do tớnh cht i xng ta cú cỏc nghim. (0;0); (2p;2p);
(p+1;p
2
+p); (p
2
+p;p+1); (p-p
2
;p-1); (p-1;p-p
2

).
2, a/.
( )
5353
23
==
yxxxyx
do
{ }
yxx

5;1
tng ng l
{ }
74;2

Nghim ca phng trỡnh l (x;y) = (5;74) vỡ y = -2 b loi.
b/.
*
,,

zyx
t h
( )



++=
+==+
)2)((2

2)1(
2
2222
zyxxy
xyyxzzyx
Suy ra
( ) ( )
(*)4
2
2
zyxyxz
+++=
(*)
( ) ( ) ( ) ( )
22
2
2
224444
+=+++=+++
zyxzzyxyx
Do
02
+
yx

422
+=+=+
yxzzyx
thay kt qu ny vo (2) ta c
( ) ( ) ( ) ( )( )

84484448444222
===+=
yxyyxyxxyyxxy
Suy ra
{ } { }
4;12;0;8;2;6;3;58;4;2;14

xx
Giỏ tr x = 0; -4 b loi nờn y tng ng l: {12;-4;8;0;6;5}
Giỏ tr y = -4; 0 b loi nờn z tng ng l: {13;10;10;13}
Cỏc nghim ca phng trỡnh l (5;12;13); (12;5;13); (6;8;10); (8;6;10).
3. Gii h trờn Z.
a/.
( ) ( )
9629124968103
222222
=++++=++
yxyxyxyxyxyx


( ) ( ) ( )( )
...12.824.432.348.296.1962439632
22
=======++=++
yxyxyxyx
6.16
( Cỏc hoỏn v v trỏi du (-).(-) nờn cú 24 kh nng )

Nhn xột: Do
( ) ( )

yxyxyx 64243
+=+++
l s chn nờn cỏc kh nng tng 2 tha s l
s l u b b: 1.96; 3.32 nờn ta ch gii 16 h v c 16 nghim
(x,y)=(-94;71);(44;-21);(94;-71);(-44;21);(-14;34);(14;-34);(16;-6);(-16;6);(-26;21);
(26;-21);(4;1);(-4;-1);(-16;14);(16;-14);(-4;6);(4;-6).
b/.
( ) ( )
( )( ) ( )
99092
22222
=+++=++=+
yxxyxyxxyxyxyxyx
( )( )
331992
===+
yxyx
và các hoán vị cùng đổi dấu của chúng.
Nhận xét:
( ) ( )
xyxyx 32
=++
để
Zx

thì 4 khả năng từ 1.9 bị loại vì 1+9 = 10
và (-1)+(-9) = -10 đều bị loại,(
10

không chia hết cho 3) nên chỉ giải2 hệ 3.3 và (-3)(-

3).

4
Phng trỡnh nghim nguyờn
=>










=
=



=
=

=
=+



=
=+
1
2
1
2
32
3
32
3
y
x
y
x
yx
yx
yx
yx
nên phơng trình có 2 nghiệm là (2;1); (-2; -1).
c/.
( ) ( )
121204440

22
2222
=+=+=+
yxyxxyxx

( )( ) ( )( )
11111122122
===+++
yxyx
Giải 2 hệ đợc 2 nghiệm là (0; 0); (-1; 0).
d/.
( )( )
1379119191
22
===+=
yxyxyx
Giải 8 hệ đợc 8 nghiệm là (x,y) = (46;45); (46;-45); (-46;45); (-46;-45)
(10;3); (-10;3) ; (-10;-3); (10;-3).
4. Đặt
22
6 mxx
=++
với m

Z =>
4
23
4
1
2

1
206
2222
=






++=++
mxxmxx
4
23
2
1
2
1
3
23
2
1
2
2
=

+






++=






+
mxmxmx
( )( )
)1(2312323122122
===+++
mxmx
.(*)
Và các hoán vị nên ta giải 4 hệ :
5
Phng trỡnh nghim nguyờn
(*)

=
=



=
=



=
=



=
=

=+
=++



=+
=++



=+
=++

=+
=++
6
5
6
6
6
5
6
6
23122
1122
23122
1122
1122
23122
1122
23122
m
x
m
x
m
x
m
x
mx
mx

mx
mx
mx
mx
mx
mx
Nh vậy có 2 giá trị của x thoả mãn là x=5; x= -6
5, Gọi x, y là 2 số nguyên dơng cần tìm suy ra
yx 1
+
và
xy 1+
Nên
( )( )
)(11
=++
xypyx
với p

N
pxyyxxy
=+++
1
Do

1;1 yx
chia cả 2 vế của (*) cho xy suy ra
1
111
0

=++
p
xyyx

Do
{ }
.4;3;23103
111
<++
pp
xyyx
Nếu p = 4 ,khi đó 3 phân số
1

có tổng bằng 3=> mỗi phân số bằng 1 => x=y=1
Nếu p = 3
( )
12
)2(12
12
1
121212
111


=

+
==+=++=++
y

yy
y
y
xyxyxyyx
xyyx
6
Phng trỡnh nghim nguyờn

12
2
1


=
y
y
Do y
{ } { }
2;11;2
12
2
1
==



xy
y
y
suy ra có 2 nghiệm là (1; 2); (2; 1)

Nếu p=2
( )
1
2
1
1
1
1111
111

+=

+
=+==++=++
yy
y
xyyxxyyx
xyyx
Để
{ } { }
2;33;2
==
xyx
suy ra có 2 nghiệm là (3; 2); (2; 3).
Kết luận: Phơng trình đã cho có 5 nghiệm (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 3); (3;2).
Chú ý: Trờng hợp p =3; p =2, các phơng trình có dạng nh bài tập 1 nên có thể giải
bằng cách phân tích thành tích ( nhớ x,y nguyên dơng)
Ví dụ: p=3 => x+y+1=2xy x(2y-1)-
3)12)(12(
2

3
)12(
2
1
==
yxy
{ } { } { }
1;22;13;112

yxx
. Vậy p.t có 2 nghiệm : (1;2);(2;1)
6. Đặt
A
n
=++
222
118
Thử n

8 thấy A không chính phơng (2305; 2306; 2308; 2312; 2320; 2336;
2368; 2442; 2560).
Với n > 8 ta có A=
( ) ( )
9221822
8888
+=++

nn
Do 2
8

chính phơng nên để A chính phơng thì 2
n-8
+9 = m
2
với m

N*


( ) ( )
8
233

=+
n
mm





=
=+

b
a
m
m
23
23

với a,b

N và a > b


( )





==
=


(*)6122)2.(622
)1(222
8
babba
nba
Suy ra 2
b
là ớc của 6, hay 2
b

{1; 2; 3; 6}

b

{0; 1} (chỉ nhận 1;2; còn 3;6 loại)

thay vào (2) ta có 2
a

{7; 8} suy ra a =3 (chỉ nhận 8, ứng với b=1; còn 7 loại )
Vậy b =1; a = 3 suy ra n = a + b + 8 = 12
Với n =12 ta có
( )
24812118
80922222
=+=++
thoả mãn yêu cầu bài toán.
7.
( )( )( )
( )( )
788871
2222
+++=+++=
xxxxyxxxxy
Đặt
( )
( )
04949722440778
222222
=+++=+=+=
zzyzzyzzyxxz

( ) ( )
49722
22
=+

zy

( )( )
7749149722722
===++
zyzy
Giải các khả năng có 6 hệ.
7
Phng trỡnh nghim nguyờn
*)




=
=++
49722
1722
zy
zy



=
=
16
12
z
y
; *)

=
=




=
=++
9
12
49722
1722
z
y
zy
zy
*)



=
=




=

=++
9
12
1722
49722
z
y
zy
zy
*)



=
=




=
=++
16
12
1722
49722
z
y
zy
zy
*)

=
=




=
=++
7
0
7722
7722
z
y
zy
zy
*)



=
=




=

=++
0
0
7722
7722
z
y
zy
zy
Giải các phơng trình đặt cho z.
*) z = -16

( ) ( ) ( )
12;4;12;4404168
2
2
==+=+
xxxx
*) z = 9
( ) ( ) ( ) ( )
12;9;12;9;12;1;12;19;198
2
===+
xxxx
*) z = 0
( ) ( )
0;8;0;08;008
2
===+
xxxx

*) z = -7
( ) ( )
.0;7;0;17;178
2
===+
xxxx
Vậy phơng trình đã cho có 10 nghiệm.
8.
( )
( )
zyzyxyxxyzxyxxyzzyzyyxxzxyyzy
32322323323
20202
=+=++=++

zyzyzyzyzyxyxxyzzy
2223232222
2
++=++
( ) ( ) ( ) ( )( )
(*)
4
11
2
1
2
2
2
2
2

y
yzzy
y
xyzyyzzzyxyzyxyz
++=






++=+
Do VT
( )( )
11
4
00
2
2
+
yzzy
y
VP
( Đổi dấu 1- y)
1
=
y
vì nếu
2
2

4
1 y
y
y
>>
vô lí (chú ý: x;y;z
*
N

)
Khi y =1 phơng trình đã cho trở thành



=
=







=+
=+
=

+
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
2
1
(*)
2
xz
xz
xz
xz
xz
Phơng trình đã cho có vô số nghiệm (n; 1; n); (n; 1; n-1) với n

N
*
8
Phng trỡnh nghim nguyờn

9. Tìm
xy
sao cho
14)(
222
+=
xyyx
Đk x, y là các chữ số ,x

0
14)(
222
+=
xyyx
0142
4224
=+
xyyyxx
( ) ( )
01442
224224
=++++ xyyxyyxx
( )
( )
012
2
2
22
=++
xyyx

( )( )
01212
2222
=++++
xyyxxyyx
vì x
2
+y
2
+2xy+1 >0
( )
01012
2
22
==+
yxxyyx
( )( )
011
=+
yxyx




=+=
==

98;87;76;65;54;43;32;21;101
89;78;67;56;45;34;23;121
xyyx

xyyx
Có 17 số thoả mãn yêu cầu.
10.
19522
2
+=
yxxyx
( ) ( )
01962
=++
yxxyxx

( )( ) ( )
02212312
=+++
xxyx


( )( )
12(*)22312
+=+
xyxx
là ớc của 22
Hay
{ } { }
6;5;1;022;11;2;112
+
xx
,(Các ớc
22;2

bị loại vì
2x+1 là lẻ)
Thay vào phơng trình (*) có y tơng ứng là
{ }
11;4;26;19

y
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) = (0; 19); (-1; -26); (5; 4); (-6; -11).
11. Theo bài ra ta có phơng trình: xy = 2( x + y) (*) trong đó x, y thuộc Z
+
và x lẻ
(*)
( ) ( ) ( )
4222022022
==+=++
yyxyyxyxxy

( )( )
422
=
yx


2x
Ư(4)={

1;

2;

4}
{ } { }
3;12;6;0;4;1;3
=
xx
do x lẻ
Thay x=1; x=3 vào phơng trình (*) ta đợc kết quả y
{ }
6;2

;-2 bị loại
Vậy số đấu thủ của hai trờng là 3; 6.
12.Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x
2
- (4+n)x +2n = 0 cũng nguyên.
Vì các hệ số của pt đều nguyên nên đk cần là
016
2
>+=
n
là số chính ph ơng
Đặt n
2
+16 = k
2
;
4.48.216.1))((16
22
===+=

knknknZk
Để ý : (n+k) +(n-k)=2n là số chẵn, nên khả năng-1.16 bị loại( vì tổng của 2 thừa cố này
=15(lẻ), chỉ còn phải xét 6 khả năng có từ -2.8 và -4.4.Kết quả cho ở bảng sau:

n+k 8 -8 2 -2 4 -4
n- k -2 2 -8 8 -4 4
n 3 -3 -3 3 0 0
Ta kiểm tra lại cho 3 khả năng có đợc của n=-3;0;3 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp)
*) n = 3 => x
2
-7x+6 = 0 =>x =1;6 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 3 thoả mãn.
*) n =-3 => x
2
-x-6 = 0 =>x = -2;4 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = -3 thoả mãn.
*) n = 0 => x
2
- 4x = 0 =>x = 0;4 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 0 thoả mãn.
9
Phng trỡnh nghim nguyờn
Vậy có 3 giá trị thoả mãn : n = -3;0;3
13. Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x
2
-(4+n)x+ 4n- 25 = 0 cũng nguyên.
Vì các hệ số của pt đều nguyên nên đk cần là
0100)4(
2
>+=
n
là số chính ph ơng
Đặt (n-4)

2
+100 = k
2
;
10.1050.2100.1100)4)(4(
====+
knknZk
Để ý : (n-4+k) +(n-4-k)=2n là số chẵn, nên khả năng-1.100 bị loại( vì tổng của 2 thừa
cố này =99(lẻ), chỉ còn phải xét 6 khả năng có từ -2.50 và - 10.10.
Kết quả cho ở bảng sau:

n- 4+k 50 -50 2 -2 10 - 10
n- 4 - k -2 2 - 50 50 - 10 10
n 28 -20 -20 28 4 4
Ta kiểm tra lại cho 3 khả năng có đợc của n=- 20;4;28 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp)
*) n = 28 => x
2
-32x+87 = 0 =>x =3;29 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 28 thoả
mãn.
*) n =- 20=>x
2
+16x-105 = 0 =>x =-21;5, cả 2 nghiệm thoả mãn => n =-20 thoả mãn.
*) n = 4 => x
2
- 8x - 9 = 0 =>x = -1;9 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 4 thoả mãn.
Vậy có 3 giá trị thoả mãn : n = - 20;4;28
14. Tìm số p nguyên tố,biết pt: x
2
+px-12p = 0 có 2 nghiệm đều nguyên.
Vì các hệ số của pt đều nguyên nên đk cần là

0)48(
>+=
pp
là số chính ph ơng
Do p là số nguyên tố =>đk cần tiếp theo là:
3;24848
=+
pppp
Với p = 2
6;40242100
2
==+=
xxx
cả 2 nghiệm đều nguyên,p=2 TMĐK.
Với p = 3
153
=
, không chính phơng nên p = 3 bị loại.
Vậy p = 2 là số nguyên tố cần tìm.
15.Tìm
Nnm

;
sao cho các nghiệm của phơng trình: x
2
-m(n+1)x +m +n +1 = 0
cũng là số tự nhiên.
Gọi
21
; xx

là các nghiệm của pt,khi đó ,theo Viet ta có:
.2)1()1)(1(1.
)2.....(1.
)1)...(1(
212121
21
21
+=+=



++=
+=+
mnxxmnnxxxx
nmxx
nmxx

2)1)(1()1(
21
=+
xxmn
(*)
Do x;m;n đều là số tự nhiên,nên ,từ pt (2) của hệ Viet ta có :
1;
21

xx
Kết hợp đk đó với pt (1)=> m> 0 => vế trái của (*) là tổng của 2 số không âm
10
Phng trỡnh nghim nguyờn

Vì vậy VP = 2 chỉ có thể có các cách viết là: 2 = 0+2 = 2+0 = 1+1
Giải 3 khả năng này. Cụ thể là:

a)



=
===
)2....(0)1)(1(
5;1)2;2(),3;1();()1....(..........2)1(
21
xx
xmnmn
(Tính m;n từ (1) ,do có 2 kết quả, sau đó thay từng cặp (m;n) vào pt để tìm x .)
b)



==
==
2)2....(1)1)(1(
)2;1();()1....(..........1)1(
2;121
xxx
mnmn
(Tính đợc trực tiếp từ hệ)
c)

==



=
=
=
)3;2();()2....(2)1)(1(
1
0
)1....(..........0)1(
2121
xxxx
m
n
mn


Khả năng c) này ta tìm giá trị cụ thể của m;n trong từng trờng hợp,với chú ý pt có
nghiệm là 2 hoặc 3.
*) n = 0 .Do x=2 là nghiệm , nên: 4-2m+m+1 = 0 =>m = 5, =>(m;n)= (5;0)
Do x=3 là nghiệm , nên: 9-3m+m+1 = 0 =>m = 5, =>(m;n)= (5;0)
*) m=1 . Do x=2 là nghiệm , nên: 4-2(n+1)+1+n+1 = 0 =>n = 4, =>(m;n)= (1;4)
Do x=3 là nghiệm , nên: 9-3(n+1)+1+n+1= 0 => n = 4, =>(m;n)= (1;4)
Vậy các cặp (m;n) có đợc là (m;n)= (3;1);(2;2),(2;1),(1;4),(5;0).
16. Các bài tập của bài 16 này cùng dạng, có qui trình giải đặc biệt ( pt bậc hai cho cả
2 ẩn,xem một ẩn là tham số- giống nh m;n..).

a.+ Nhóm theo x ( xem y là tham số).
155332
22
=++++
yxxyyx
( )
( )
(*)155213
22
=++++
yyyxx
+Thêm bớt vào 2 vế với cùng một số m (tạo cho

của vế trái là chính phơng)
(*)
( )
mmyyyxx
+=+++++
155213
22

+ Chọn m cho

vế trái chính phơng ( đảm bảo Đk cần cho

x
).

( )
( )

myymyyy 49252419
22
2
+=+++=
chọn m =2 Khi đó

= (y-1)
2
+Tìm nghiệm của VT: VT = 0
( )



=
=
=+++++
12
2
025213
22
yx
yx
yyyxx
+Dùng định lý Bơzu (
( )( )
0
21
=
xxxxa
) đa phơng trình về dạng A.B = m.

( Để dùng phơng pháp phân tích thành tích)
(*)
( )( )
)1(17)17(111717117122
=====++++
yxyx
Giải 4 hệ chọn nghiệm nguyên ( vì

chính phơng chỉ là Đk cần), thử lại.
11
Phng trỡnh nghim nguyờn
*)



=
=




=++
=++
17
18
1712
12
y
x
yx

yx
; *)



=
=




=+
=++
15
30
112_
172
y
x
yx
yx
*)



=
=

=++
=++
15
12
1712
12
y
x
yx
yx
; *)



=
=




=++
=++
17
36
112
172
y
x
yx

yx
Phơng trình đã cho có 4 nghiệm : ( -18; 17); ( 30; -15); (12; -15); (-36; 17).
b.
9539109
22
=+
yxxyyx
( )
mmyyyxx
+=+
95101339
22

= 9(3y - 1)
2
+ 36.(10y
2
+ 5y - m)

=
myymyyyy 36912644118036095481
222
++=+++
=
( )
myy 369321221
2
++
chọn m = 0
=

( )
2
321
+
y
VT = 0 khi
3
12
;
3
5
21
+
==
y
xyx
Phơng trình đã cho trở thành
( )( )
9123539
3
12
3
5
9
=++=

+
+







yxyx
y
xyx
Mà Ư(9)= {

1;

3;

9}
Giải 6 hệ có thể, thu đợc nghiệm, chọn nghiệm phù hợp
*)



=
=

=++
=
1
2
9123
153
y
x
yx
yx
; *)




=++
=
1123
953
yx
yx







=

=
7
9
7
6
y
x
(loại);
*)




=++
=
9123
153
yx
yx







=
=
7
9

21
52
y
x
(loại); *)





=
=




=++
=
1
3
4
1123
953
y
x
yx
yx
(Loại);
12
Phng trỡnh nghim nguyờn

*)







=
=




=++
=
7
1
21
16
3123
353
y
x
yx
yx
(Loại); *)

=
=




=++
=
7
1
21
26
3123
353
y
x
yx
yx
(loại);
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).
17) Đối với bài tập này, quy trình trên khó thực hiện do việc tìm m quá phức tạp, hơn
nữa do

có cực đại, nên số lợng cần thử có hạn,ta dùng cách thử trực tiếp (Cách
này không dùng đợc cho bài 16, vì do

có cực tiểu, nên số lợng cần thử là vô
hạn),đòi hỏi kiên trì và cẩn thận.
a.
)(283612
22
yxyxyx
+=++
028328612
22
=++
yyxxyx

( )
0283143212
22
=++
yyyxx
( )
19625227)283(12143'
22
2
++==
yyyyy






=

27
196
3
28
27
2
yy

=






+
27
196
9
196
9
196
3
14
227
2
yy
=
2
2

28784
3
14
27784
=







y
Do

chính phơng và các giá trị cần nhận của x, y thuộc Z.
Thử qua các giá trị của

thì giá trị của

phù hợp là:

= 22
2
thì cặp (x; y) = (1; 8)

= 14
2
thì cặp (x; y) = (0; 0)

= 4
2
thì cặp (x; y) = (-1; 10)
(Các trờng hợp còn lại :
222/
0;....,27;28
=
khi thay vào để tìm y, ta đều có
y

không
chính phơng ,hoặc y không mang giá trị nguyên, nên bị loại )
Ví dụ *)
9
42
0019684905882522778428
/222/
===+=+==
yyyyy
y
*)
2092501872522793
/22/
====
y
yy
không chính phơng=> loại
..
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm là : (1; 8); (0; 0); (-1; 10).
Bài tập này còn có cách giải khác:(Đánh giá miền giá trị của x)

12x
2
+6xy+3y
2
= 28(x+y) 9x
2
= -3(x+y)
2
+28(x+y) = -3






++
)(
3
14
2)(
2
yxyx

27
196
3
196
)
3
14

(3
3
196
9
222
+=
xyxx
; Vì x
2
là số chính phơng nên:
{ } { }
2;1;04;1;0
2

xx
. Đến đây ta thay các giá trị của x vào phơng trình ,tìm
y,chọn cặp nghiệm nguyên (nếu có).
*) x=0 => 3y
2
= 28y => y=0 => (x;y) = (0;0) , (Giá trị y=28/3 bị loại)
13